Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Приложение алгебры высказываний к доказательству теорем | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Приложение алгебры высказываний к доказательству теоремПрямая и обратная теоремыМногие математические теоремы имеют структуру, выражаемую формулой . Утверждение называется условием теоремы, а утверждение — ее заключением. Например: "Если в четырехугольнике все стороны равны между собой , то его диагонали перпендикулярны ". Символическая запись этой теоремы: . Второй пример: "Если в четырехугольнике все стороны равны , то его диагонали делятся точкой пересечения пополам ". Символически: . Третий пример: "Если в четырехугольнике все стороны равны между собой , то его диагонали делят соответствующие углы пополам ". Символически: . Рассмотрим еще такой пример: "Если один из углов треугольника прямой , то квадрат длины одной из сторон этого треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон ". Символически: . Тщательный анализ теоремы позволяет выявить в ней более сложную структуру: условие представляет собой дизъюнкцию трех утверждений , где высказывание есть "", высказывание есть "" и высказывание — "" (символами обозначены величины углов треугольника). Аналогично, заключение также представляет собой дизъюнкцию трех утверждений: , где — высказывание "", — высказывание "", — высказывание "" (символами обозначены длины сторон треугольника, лежащие против углов величины соответственно). Таким образом, теорема при более пристальном рассмотрении имеет вид Далее, если некоторая теорема имеет форму , утверждение называется обратным для данной теоремы. Это утверждение может быть справедливым, и тогда оно называется теоремой, обратной для теоремы , которая, в свою очередь, называется прямой теоремой. Если же утверждение не выполняется, то говорят, что обратная теорема для теоремы неверна. Так, для теоремы обратная теорема неверна, а для теоремы справедлива обратная теорема (проверьте!). Таким образом, при доказательстве теоремы нужно четко выделять, каково ее условие и что доказывается. Доказательство прямой теоремы не дает оснований для вывода о том, что и обратная теорема также верна. Обратная теорема требует специальной проверки. Это обусловлено тем, что формулы и , выражающие структуры прямой и обратной теорем, не равносильны, в чем мы убедились на приведенных примерах. Их неравносильность можно усмотреть также из таблиц истинности данных формул. Структура теоремы достаточно проста. Рассмотрим теорему более сложной структуры: "В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны". Чтобы четко выделить условие данной теоремы и заключение, сформулируем ее следующим образом: "Если два треугольника равны , то из попарного равенства двух углов этих треугольников следует равенство их противолежащих сторон ". Символически теорема записывается так: , т. е. она имеет строение, описываемое формулой . На основании равносильности, получающейся из тавтологии теоремы 3.1, м (правило перестановки посылок), данная формула равносильна формуле , а на основании равносильности теоремы 4.4, пункт г) (см. также тавтологию теоремы 3.1, пункт н)) — правило объединения и разъединения посылок) она равносильна формуле . Следовательно, теорема может быть сформулирована в виде "Если два угла двух треугольников попарно равны , то из равенства этих треугольников следует равенство сторон, противолежащих этим углам ". Наконец, третий вид данной теоремы : "Если треугольники равны и в них два угла попарно равны , то и противолежащие стороны равны ". Таким образом, условие этой теоремы состоит из двух утверждений и или представляет собой их конъюнкцию , а заключением является утверждение . Если теперь зададимся целью сформулировать теорему, обратную рассмотренной теореме , то столкнемся с некоторыми трудностями, преодолеть которые помогает алгебра высказываний. Обратная теорема — такая, в которой условие и заключение прямой теоремы поменялись местами. В рассматриваемой прямой теореме два условия и одно заключение. Это приводит к тому, что получается не одна обратная теорема, а несколько. Так, обращение первых трех форм данной теоремы приводит к следующим обратным утверждениям: 1) "Если из попарного равенства двух углов треугольников следует равенство их противолежащих сторон, то такие треугольники равны"; 2) "Если отрезки обладают тем свойством, что, будучи сторонами в равных треугольниках, они лежат против равных углов, то эти отрезки равны"; 3) "Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то треугольники равны и углы, противолежащие этим сторонам, также равны". Наконец, можем сформулировать еще два обратных утверждения, получающихся из суждений и перестановкой двух последних высказываний. Иначе говоря, эти обратные утверждения получаются перестановкой местами одного из двух условий прямой теоремы и ее заключения: 4) "Если треугольники равны, то из попарного равенства двух их сторон следует равенство противолежащих углов"; 5) "Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то из равенства противолежащих этим углам сторон вытекает равенство самих треугольников". Предлагается самостоятельно убедиться в том, что лишь второе и четвертое из обратных утверждений справедливы, т.е. действительно являются теоремами, а остальные утверждения неверны. Необходимые и достаточные условияС понятиями прямой и обратной теорем тесно связан вопрос о необходимых и достаточных условиях. Если некоторая математическая теорема имеет структуру, выражаемую формулой , то высказывание называется необходимым условием для высказывания (другими словами, если истинно, то с необходимостью должно быть также истинным), а высказывание называется достаточным условием для высказывания (другими словами, для того чтобы было истинным, достаточно, чтобы истинным было высказывание ). Посмотрим с этой точки зрения на первую теорему . Необходимым условием равенства в четырехугольнике всех сторон является перпендикулярность его диагоналей. Иначе говоря, достаточным условием для перпендикулярности диагоналей четырехугольника является равенство всех его четырех сторон. Одно и то же утверждение может иметь несколько необходимых условий. Так, необходимыми условиями равенства всех сторон четырехугольника являются, кроме указанного, деление диагоналей точкой их пересечения пополам , деление диагоналями соответствующих углов пополам и т.д. Аналогично, одно и то же утверждение может иметь несколько достаточных условий. Так, для перпендикулярности диагоналей четырехугольника достаточно также, чтобы в нем было две пары равных смежных сторон. После того как доказана теорема , возникает вопрос, будет ли найденное необходимое условие достаточным или достаточное — необходимым. Иначе говоря, будет ли верно утверждение , называемое обратным по отношению к теореме . Известно, что условие перпендикулярности диагоналей четырехугольника , необходимое для равенства всех его сторон , не будет достаточным для такого равенства. Для проверки нужно привести пример четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, у которого не все стороны равны (сделайте это!). Если справедливы утверждения и , т. е. справедливо , то считают, что — необходимое и достаточное условие для , и, наоборот, что — необходимое и достаточное условие для , или же что является критерием (для) . Математическая наука изобилует утверждениями вида , представляющими собой необходимые и достаточные условия, и их приходится отыскивать в самых разных ее областях. Происходит это приблизительно следующим образом. Предположим, требуется найти необходимое и достаточное условие для некоторого утверждения . Начинают с отыскания ряда необходимых условий для , т.е. утверждений , следующих из . При этом каждый раз пытаются анализировать, не окажется ли то или иное найденное условие или какая-либо их совокупность (конъюнкция) достаточным условием для , т. е. окажется ли истинной какая-либо из импликаций: Так, в примере с четырехугольником имеем два необходимых условия и для свойства , т.е. верны две теоремы: и . Затем, если ни одно из необходимых условий в отдельности не является достаточным (именно такая ситуация в данном примере), то пытаются проверять на достаточность всевозможные конъюнкции этих условий. Так, в указанном примере справедливо следующее утверждение: . (Убедитесь в этом самостоятельно.) Поэтому конъюнкция является достаточным условием для свойства . Рассмотрим еще один пример. Пример 7.1. Пусть требуется найти необходимое и достаточное Условие того, что выпуклый четырехугольник является квадратом . Находим ряд необходимых условий для этого утверждения: "Диагонали четырехугольника перпендикулярны"; "Диагонали четырехугольника равны"; "Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам". Ясно, что каждое из утверждений верно. Анализируем обратные утверждения. Очевидно, неверны следующие из них: И только соединение (конъюнкция) всех трех необходимых для условий дает условие, достаточное для . Это "Диагонали четырехугольника перпендикулярны, равны и делятся пополам точкой их пересечения". Таким образом, истинно утверждение . Кроме того, из истинности утверждений вытекает истинность утверждения . Итак, необходимым и достаточным условием для является условие . Противоположная и обратная противоположной теоремыЗакон контрапозиции. Для теоремы, сформулированной в виде импликации , кроме обратного утверждения можно сформулировать противоположное утверждение. Им называется утверждение вида . Утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, т. е. быть истинным высказыванием, но может таковым и не быть. Это следует из того, что формулы и .Уне являются равносильными, в чем нетрудно убедиться, составив таблицы истинности данных формул (составьте их). В этом можно убедиться и на примерах. Возьмем теорему из предыдущего пункта: "Если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны". Составляем противоположное утверждение "Если в четырехугольнике все стороны не равны, то его диагонали не перпендикулярны". Последнее утверждение неверно, т. е. теоремой не является. Рассмотрим еще одну теорему: "Если сумма цифр натурального числа делится на три, то и само число делится на три". Противоположное утверждение для этой теоремы также справедливо, т. е. является теоремой, противоположной данной: "Если сумма цифр натурального числа не делится на три, то и само число не делится на три". Итак, в том случае, когда утверждение истинно, утверждение может быть как истинным, так и ложным. Это означает, что утверждение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении. При составлении противоположных утверждений к теоремам, условия и заключения которых представляют собой конъюнкции или дизъюнкции нескольких высказываний, нужно пользоваться законами де Моргана (см. теорему 4.4, пункты р), с)). Вспомним, например, теорему , более подробная запись которой имела вид Противоположное утверждение для данной теоремы формулируется следующим образом: Предлагается выяснить, справедливо ли это утверждение, т. е. является ли оно теоремой. Остается рассмотреть еще один вид теорем, связываемых с прямыми теоремами вида , и установить взаимоотношения между этими видами. Имеется в виду теорема, обратная противоположной: . Мы не случайно назвали теоремой утверждение, обратное противоположному. Оно действительно будет истинным тогда и только тогда, когда истинно исходное утверждение, что вытекает из равносильности (см. теорему 4.4, пункт б)), называемой законом контрапозиции. Таким образом, на основании закона контрапозиции предложение, обратное какой-либо противоположной теореме, само является теоремой, и вместо доказательства данной теоремы можно доказывать теорему, обратную противоположной ей. Модификация структуры математической теоремыПриведем ряд равносильностей, которые помогают модифицировать структуру математической теоремы, не нарушая при этом ее логики. Проверьте равносильными преобразованиями их справедливость: 1) . Эта равносильность позволяет теорему, имеющую два следствия (заключения и ), эасчленить на две теоремы и . Число следствий может зыть любым конечным. В частности, 2) . Эта равносильность так же, как и предыдущая, позволяет теорему, в которой условие представляет собой дизъюнкцию двух условий, расчленить на две теоремы: и . Она также допускает обобщения типа: На практике данная равносильность скорее применяется в обратном направлении — для объединения ряда теорем с общим заключением в одну. Например, рассмотрим следующие три теоремы. "Если две биссектрисы (высоты, медианы) треугольника равны, то треугольник — равнобедренный". На основании рассматриваемой равносильности их можно объединить в одну "Если в треугольнике две биссектрисы, или две высоты, или две медианы равны, то треугольник — равнобедренный"; 3) . Эта равносильность представляет собой обобщение понятия теоремы, обратной противоположной (в последнем случае равносильность имеет вид . Рассмотрим, например, следующую геометрическую теорему: "Если прямая /перпендикулярна двум прямым и , лежащим в плоскости п (утверждение ), и прямые и не параллельны т.е. (утверждение ), то прямая перпендикулярна всякой прямой , лежащей в плоскости (утверждение ). На основании рассматриваемой равносильности будет справедлива следующая теорема: "Если прямая перпендикулярна двум прямым и , лежащим в плоскости (утверждение ), и не перпендикулярна некоторой прямой , лежащей в этой плоскости (утверждение ), то прямые и параллельны т.е. (утверждение )". Ясно, что на основании той же равносильности будет справедлива и такая теорема "Если две прямые и , лежащие в плоскости , не параллельны, т.е. (утверждение ) и прямая не перпендикулярна хотя бы одной прямой , лежащей в плоскости (утверждение ), то не перпендикулярна одной из прямых или (утверждение )". 4) . Данная равносильность служит ярким примером того, что к трактовке логических равносильностей в рассмотренном выше духе следует все же относиться с осторожностью. Рассмотрим в связи с данной равносильностью, например, следующие утверждения: "Четырехугольник — прямоугольник"; "Четырехугольник — ромб"; "Четырехугольник — квадрат". Тогда утверждение в левой части равносильности примет вид "Если четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он является квадратом". Оно, несомненно, истинно. В то же время утверждение в правой части принимает вид "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом, или же он является квадратом, если он является ромбом". Это утверждение конечно же ложно. При этом исходная равносильность справедлива, что можно проверить простыми равносильными преобразованиями. Последняя равносильность является еще одним свидетельством того, что математическая логика отражает процесс человеческого мышления с определенной степенью приближенности. Методы доказательства математических теоремМетод доказательства от противного, несомненно, один из самых распространенных в математике методов доказательства теорем. Суть его состоит в следующем. Для того чтобы доказать утверждение (теорему) , т. е. "Если , то ", предполагается, что верно утверждение . Отсюда нужно логическими рассуждениями прийти к утверждению . Вместо этого делается предположение, противное (т.е. противоположное) тому, которое требуется доказать, т.е. предполагается . Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы приходим к нелепому выводу . "Нелепость" (абсурдность) вывода состоит в том, что он противоречит исходному данному утверждению . Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное предположение и принять то, которое требовалось доказать, — . Что же происходит в этих рассуждениях с точки зрения (математической) логики? А происходит то, что доказательство данной теоремы фактически заменяется (подменяется) доказательством теоремы , противоположной обратной (или обратной противоположной) для данной теоремы. Почему это возможно сделать? А потому, что в этом состоит логический закон контрапо-зиции , устанавливающий равносильность этих утверждений. Таким образом, описанный метод доказательства от противного основывается на логическом законе контрапозиции. Метод доказательства от противного применяется также и в других формах. Например, вместо импликации доказывают равносильную ей импликацию , т.е. предполагая, что истинны утверждения и , выводят истинность утверждения в противоречие с предположением. На основании равносильности делается вывод об истинности импликации . Вторая равносильность дает возможность заменить доказательство импликации доказательством импликации , т.е. предположив, что истинны утверждения и , вывести отсюда истинность утверждения в противоречие с предположением. Наконец еще одна форма этого метода, являющаяся также одной из форм метода приведения к абсурду, основана на равносильности Предполагая, что истинны утверждения и , выводим из них некоторое утверждение и его отрицание. Метод приведения к абсурду (нелепости, противоречию) (по-латински reductio ad absurdum) имеет две модификации, которые являются существенно различными как по форме, так и по существу, т.е. по своей логической (дедуктивной) силе. Это — метод приведения противоположного утверждения к абсурду и метод приведения данного утверждения к абсурду. Метод приведения противоположного утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется доказать утверждение . Рассматривается (допускается) противоположное ему утверждение (т.е. утверждение, являющееся его отрицанием) из него выводятся два противоречащих друг другу утверждения (т.е. некоторое утверждение и его отрицание) и и Из этого делается вывод о том, что справедливо исходное утверждение X. Оправданием этому методу может служить следующая тавтология: Метод приведения утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется опровергнуть утверждение , т.е. доказать отрицательное утверждение . В этом случае два противоречащих друг другу утверждения и выводятся не из утверждения , а из самого данного утверждения и . Из этого делается вывод о том, что справедливо утверждение , т.е. данное утверждение опровергнуто. Оправданием этому методу служит следующая формула, также являющаяся тавтологией: Приведем пример рассуждения (доказательства) этим методом. Пример 7.2. Доказать, что не существует биекции множества на множество всех его подмножеств. Другими словами, требуется опровергнуть следующее утверждение "Существует биекция множества на множество всех его подмножеств". Обозначим эту биекцию . Теперь нам нужно указать некоторое высказывание , для которого оно само и его отрицание можно вывести из утверждения . Предварительно нам потребуется рассмотреть следующее множество: — множество всех таких элементов из , которые не принадлежат своему образу (а это есть некоторое подмножество множества ) при биекции . Так как , а — биекция на , то существует такой элемент , что . Рассмотрим теперь такое высказывание . Докажем, что истинно. Допустим противное, т. е. истинно . Тогда . Но . Тогда . Следовательно, в силу определения заключаем, что . Получаем противоречие, из которого делаем вывод, что предположение о том, что истинно, неверно. Следовательно, истинно . (Но тогда истинно и высказывание .) Теперь докажем, что истинно. Допустим противное, т. е. истинно . Тогда . Но по определению это означает, что . Но . Следовательно, . Получаем противоречие, из которого заключаем, что предположение об истинности высказывания неверно. Следовательно, истинно , но, тогда истинно и высказывание . Таким образом, мы пришли к абсурду, противоречию: из данного утверждения вывели истинность двух взаимно отрицающих друг друга утверждений и . Значит, данное утверждение неверно, а верно его отрицание . Доказательство методом приведения к абсурду может основываться также на следующей тавтологии (см. теорему 3.1, пункт п)): . Метод доказательства, основанный на данной тавтологии, состоит в следующем. Допустим, нужно доказать некоторое утверждение . Предполагаем, что справедливо его отрицание , и выводим отсюда некоторое утверждение и его отрицание . В результате заключаем, что справедливо утверждение . Нередко в математических доказательствах используется правило цепного заключения, или правило силлогизма. Пусть нужно доказать утверждение . Находим такое утверждение , для которого можем доказать истинность утверждений и . Тогда на основании правила силлогизма заключаем, что справедливо и утверждение . Например, из двух теорем "Если треугольник равносторонний, то все его углы равны" и "Если в треугольнике все углы равны, то величина каждого его угла равна 60°" — по правилу силлогизма получаем теорему "Если треугольник равносторонний, то величина каждого его угла равна 60°". Существуют и другие методы математических доказательств, состоятельность которых подтверждается математической логикой. Далее будет приведена теорема 7.18, предоставляющая еще один метод получения математических теорем.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |