Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Приложение алгебры высказываний к доказательству теорем

Приложение алгебры высказываний к доказательству теорем


Прямая и обратная теоремы


Многие математические теоремы имеют структуру, выражаемую формулой [math]X\to Y[/math]. Утверждение [math]X[/math] называется условием теоремы, а утверждение [math]Y[/math] — ее заключением.


Например: "Если в четырехугольнике все стороны равны между собой [math](A_1)[/math], то его диагонали перпендикулярны [math](B_1)[/math]". Символическая запись этой теоремы: [math]A_1\to B_1[/math].

Второй пример: "Если в четырехугольнике все стороны равны [math](A_1)[/math], то его диагонали делятся точкой пересечения пополам [math](B'_1)[/math]". Символически: [math]A_1\to B'_1[/math].

Третий пример: "Если в четырехугольнике все стороны равны между собой [math](A_1)[/math], то его диагонали делят соответствующие углы пополам [math](B''_1)[/math]". Символически: [math]A_1\to B''_1[/math].

Рассмотрим еще такой пример: "Если один из углов треугольника прямой [math](A_2)[/math], то квадрат длины одной из сторон этого треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон [math](B_2)[/math]". Символически: [math]A_2\to B_2[/math].

Тщательный анализ теоремы [math]A_2\to B_2[/math] позволяет выявить в ней более сложную структуру: условие [math]A_2[/math] представляет собой дизъюнкцию трех утверждений [math](A'_2\lor A''_2\lor A'''_2)[/math], где высказывание [math]A'_2[/math] есть "[math]\alpha=90^{\circ}[/math]", высказывание [math]A''_2[/math] есть "[math]\beta=90^{\circ}[/math]" и высказывание [math]A'''_2[/math] — "[math]\gamma=90^{\circ}[/math]" (символами [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] обозначены величины углов треугольника). Аналогично, заключение [math]\beta_2[/math] также представляет собой дизъюнкцию трех утверждений: [math]B'_2\lor B''_2\lor B'''_2[/math] , где [math]B'_2[/math] — высказьшание "[math]a^2=b^2+c^2[/math]", [math]B''_2[/math] — высказывание "[math]b^2=a^2+c^2[/math]", [math]B'''_2[/math] — высказывание "[math]c^2=a^2+b^2[/math]" (символами [math]a,b,c[/math] обозначены длины сторон треугольника, лежащие против углов величины [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] соответственно). Таким образом, теорема [math]A_2\to B_2[/math] при более пристальном рассмотрении имеет вид


[math]\bigl(A'_2\lor A''_2\lor A'''_2\bigr)\to \bigl(B'_2\lor B''_2\lor B'''_2\bigr).[/math]

Далее, если некоторая теорема имеет форму [math]X\to Y[/math], утверждение [math]Y\to X[/math] называется обратным для данной теоремы. Это утверждение может быть справедливым, и тогда оно называется теоремой, обратной для теоремы [math]X\to Y[/math], которая, в свою очередь, называется прямой теоремой. Если же утверждение [math]Y\to X[/math] не выполняется, то говорят, что обратная теорема для теоремы [math]X\to Y[/math] неверна. Так, для теоремы [math]A_1\to B_1[/math] обратная теорема неверна, а для теоремы [math]A_2\to B_2[/math] справедлива обратная теорема [math]B_2\to A_2[/math] (проверьте!). Таким образом, при доказательстве теоремы нужно четко выделять, каково ее условие и что доказывается. Доказательство прямой теоремы не дает оснований для вывода о том, что и обратная теорема также верна. Обратная теорема требует специальной проверки. Это обусловлено тем, что формулы [math]X\to Y[/math] и [math]Y\to X[/math], выражающие структуры прямой и обратной теорем, не равносильны, в чем мы убедились на приведенных примерах. Их неравносильность можно усмотреть также из таблиц истинности данных формул.


Структура теоремы [math]A_1\to B_1[/math] достаточно проста. Рассмотрим теорему более сложной структуры: "В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны". Чтобы четко выделить условие данной теоремы и заключение, сформулируем ее следующим образом: "Если два треугольника равны [math](A)[/math], то из попарного равенства двух углов этих треугольников [math](B)[/math] следует равенство их противолежащих сторон [math](C)[/math]". Символически теорема записывается так: [math]A\to (B\to C)[/math], т. е. она имеет строение, описываемое формулой [math]P\to (Q\to R)[/math]. На основании равносильности, получающейся из тавтологии теоремы 3.1, м (правило перестановки посылок), данная формула равносильна формуле [math]Q\to (P\to R)[/math], а на основании равносильности теоремы 4.4, пункт г) (см. также тавтологию теоремы 3.1, пункт н)) — правило объединения и разъединения посылок) она равносильна формуле [math](P\land Q)\to R[/math]. Следовательно, теорема [math]A\to (B\to C)[/math] может быть сформулирована в виде [math]B\to (A\to C):[/math]


"Если два угла двух треугольников попарно равны [math](B)[/math], то из равенства этих треугольников [math](A)[/math] следует равенство сторон, противолежащих этим углам [math](C)[/math]".

Наконец, третий вид данной теоремы [math](A\land B)\to C[/math]:


"Если треугольники равны [math](A)[/math] и в них два угла попарно равны [math](B)[/math], то и противолежащие стороны равны [math](C)[/math]".

Таким образом, условие этой теоремы состоит из двух утверждений [math]A[/math] и [math][/math] или представляет собой их конъюнкцию [math]A\land B[/math], а заключением является утверждение [math]C[/math].


Если теперь зададимся целью сформулировать теорему, обратную рассмотренной теореме [math]A\to (B\to C)[/math], то столкнемся с некоторыми трудностями, преодолеть которые помогает алгебра высказываний. Обратная теорема — такая, в которой условие и заключение прямой теоремы поменялись местами. В рассматриваемой прямой теореме два условия и одно заключение. Это приводит к тому, что получается не одна обратная теорема, а несколько. Так, обращение первых трех форм данной теоремы приводит к следующим обратным утверждениям:


1) [math](B\to C)\to A:[/math] "Если из попарного равенства двух углов треугольников следует равенство их противолежащих сторон, то такие треугольники равны";


2) [math](A\to C)\to B:[/math] "Если отрезки обладают тем свойством, что, будучи сторонами в равных треугольниках, они лежат против равных углов, то эти отрезки равны";


3) [math]C\to (A\land B):[/math] "Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то треугольники равны и углы, противолежащие этим сторонам, также равны".


Наконец, можем сформулировать еще два обратных утверждения, получающихся из суждений [math]A\to (B\to C)[/math] и [math]B\to (A\to C)[/math] перестановкой двух последних высказываний. Иначе говоря, эти обратные утверждения получаются перестановкой местами одного из двух условий прямой теоремы и ее заключения:


4) [math]A\to (C\to B):[/math] "Если треугольники равны, то из попарного равенства двух их сторон следует равенство противолежащих углов";


5) [math]B\to (C\to A):[/math] "Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то из равенства противолежащих этим углам сторон вытекает равенство самих треугольников".


Предлагается самостоятельно убедиться в том, что лишь второе и четвертое из обратных утверждений справедливы, т.е. действительно являются теоремами, а остальные утверждения неверны.




Необходимые и достаточные условия


С понятиями прямой и обратной теорем тесно связан вопрос о необходимых и достаточных условиях. Если некоторая математическая теорема имеет структуру, выражаемую формулой [math]X\to Y[/math], то высказывание [math]Y[/math] называется необходимым условием для высказывания [math]X[/math] (другими словами, если [math]X[/math] истинно, то [math]Y[/math] с необходимостью должно быть также истинным), а высказывание [math]X[/math] называется достаточным условием для высказывания [math]Y[/math] (другими словами, для того чтобы [math]Y[/math] было истинным, достаточно, чтобы истинным было высказывание [math]X[/math]). Посмотрим с этой точки зрения на первую теорему [math]A_1\to B_1[/math]. Необходимым условием равенства в четырехугольнике всех сторон является перпендикулярность его диагоналей. Иначе говоря, достаточным условием для перпендикулярности диагоналей четырехугольника является равенство всех его четырех сторон.


Одно и то же утверждение может иметь несколько необходимых условий. Так, необходимыми условиями равенства всех сторон четырехугольника являются, кроме указанного, деление диагоналей точкой их пересечения пополам [math](B'_1)[/math], деление диагоналями соответствующих углов пополам [math](B''_1)[/math] и т.д. Аналогично, одно и то же утверждение может иметь несколько достаточных условий. Так, для перпендикулярности диагоналей четырехугольника достаточно также, чтобы в нем было две пары равных смежных сторон.


После того как доказана теорема [math]X\to Y[/math], возникает вопрос, будет ли найденное необходимое условие достаточным или достаточное — необходимым. Иначе говоря, будет ли верно утверждение [math]Y\to X[/math], называемое обратным по отношению к теореме [math]X\to Y[/math]. Известно, что условие перпендикулярности диагоналей четырехугольника [math](B_1)[/math], необходимое для равенства всех его сторон [math](A_1)[/math], не будет достаточным для такого равенства. Для проверки нужно привести пример четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, у которого не все стороны равны (сделайте это!).


Если справедливы утверждения [math]X\to Y[/math] и [math]Y\to X[/math], т. е. справедливо [math]X\leftrightarrow Y[/math], то считают, что [math]X[/math] — необходимое и достаточное условие для [math]Y[/math], и, наоборот, что [math]Y[/math] — необходимое и достаточное условие для [math]X[/math], или же что [math]Y[/math] является критерием (для) [math]X[/math]. Математическая наука изобилует утверждениями вида [math]X\leftrightarrow Y[/math], представляющими собой необходимые и достаточные условия, и их приходится отыскивать в самых разных ее областях. Происходит это приблизительно следующим образом. Предположим, требуется найти необходимое и достаточное условие для некоторого утверждения [math]X[/math]. Начинают с отыскания ряда необходимых условий для [math]X[/math], т.е. утверждений [math]Y_1,Y_2,Y_3,\ldots[/math], следующих из [math]X:[/math] [math]X\to Y_1,[/math] [math]X\to Y_2,[/math] [math]X\to Y_3,~\ldots[/math]. При этом каждый раз пытаются анализировать, не окажется ли то или иное найденное условие или какая-либо их совокупность (конъюнкция) достаточным условием для [math]X[/math], т. е. окажется ли истинной какая-либо из импликаций:


[math]\begin{gathered}Y_1\to X,\quad Y_2\to X,\quad Y_3\to X,\\ (Y_1\land Y_2)\to X)_1,\quad (Y_1\land Y_3)\to X,\quad (Y_2\land Y_3)\to X,\\ (Y_1\land Y_2\land Y_3)\to X,\quad \ldots \end{gathered}[/math]

Так, в примере с четырехугольником имеем два необходимых условия [math]B_1[/math] и [math]B'_1[/math] для свойства [math]A[/math], т.е. верны две теоремы: [math]A_1\to B_1[/math] и [math]A_1\to B'_1[/math]. Затем, если ни одно из необходимых условий в отдельности не является достаточным (именно такая ситуация в данном примере), то пытаются проверять на достаточность всевозможные конъюнкции этих условий. Так, в указанном примере справедливо следующее утверждение: [math](B_1\land B'_1)\to A[/math]. (Убедитесь в этом самостоятельно.) Поэтому конъюнкция [math]B_1\land B'_1[/math] является достаточным условием для свойства [math]A[/math].


Рассмотрим еще один пример.




Пример 7.1. Пусть требуется найти необходимое и достаточное Условие того, что выпуклый четырехугольник является квадратом [math](A)[/math]. Находим ряд необходимых условий для этого утверждения:


[math]B_1:[/math] "Диагонали четырехугольника перпендикулярны";
[math]B_2:[/math] "Диагонали четырехугольника равны";
[math]B_3:[/math] "Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам".

Ясно, что каждое из утверждений [math]A\to B_1,~ A\to B_2,~ A\to B_3[/math] верно. Анализируем обратные утверждения. Очевидно, неверны следующие из них:


И только соединение (конъюнкция) всех трех необходимых для [math]A[/math] условий [math]B_1,B_2,B_3[/math] дает условие, достаточное для [math]A[/math]. Это [math]B_1\land B_2\land B_3:[/math] "Диагонали четырехугольника перпендикулярны, равны и делятся пополам точкой их пересечения". Таким образом, истинно утверждение [math](B_1\land B_2\land B_3)\to A[/math]. Кроме того, из истинности утверждений [math]A\to B_1,[/math] [math]A\to B_2,[/math] [math]A\to B_3[/math] вытекает истинность утверждения [math]A\to (B_1\land B_2\land B_3)[/math]. Итак, необходимым и достаточным условием для [math]A[/math] является условие [math]B_1\land B_2\land B_3[/math].




Противоположная и обратная противоположной теоремы


Закон контрапозиции. Для теоремы, сформулированной в виде импликации [math]X\to Y[/math], кроме обратного утверждения [math]Y\to X[/math] можно сформулировать противоположное утверждение. Им называется утверждение вида [math]\lnot X\to\lnot Y[/math]. Утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, т. е. быть истинным высказыванием, но может таковым и не быть. Это следует из того, что формулы [math]X\to Y[/math] и [math]\lnot X\to\lnot Y[/math].Уне являются равносильными, в чем нетрудно убедиться, составив таблицы истинности данных формул (составьте их). В этом можно убедиться и на примерах. Возьмем теорему [math]A_1\to B_1[/math] из предыдущего пункта: "Если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны". Составляем противоположное утверждение [math]\lnot A_1\to\lnot B_1:[/math] "Если в четырехугольнике все стороны не равны, то его диагонали не перпендикулярны". Последнее утверждение неверно, т. е. теоремой не является. Рассмотрим еще одну теорему: "Если сумма цифр натурального числа делится на три, то и само число делится на три". Противоположное утверждение для этой теоремы также справедливо, т. е. является теоремой, противоположной данной: "Если сумма цифр натурального числа не делится на три, то и само число не делится на три". Итак, в том случае, когда утверждение [math]X\to Y[/math] истинно, утверждение [math]\lnot X\to\lnot Y[/math] может быть как истинным, так и ложным. Это означает, что утверждение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении.


При составлении противоположных утверждений к теоремам, условия и заключения которых представляют собой конъюнкции или дизъюнкции нескольких высказываний, нужно пользоваться законами де Моргана (см. теорему 4.4, пункты р), с)). Вспомним, например, теорему [math]A_2\to B_2[/math], более подробная запись которой имела вид


[math]\begin{aligned}\bigl(A'_2\land A''_2\land A'''_2\bigr)\to \bigl(B'_2\land B''_2\land B'''_2\bigr)\colon~ & (\alpha=90^{\circ}\land \beta=90^{\circ}\land \gamma=90^{\circ})\to\\
&\to \bigl( (a^2=b^2+c^2)\land (b^2=a^2+c^2)\land (c^2=a^2+b^2)\bigr).\end{aligned}[/math]

Противоположное утверждение для данной теоремы формулируется следующим образом:


[math](\alpha\ne 90^{\circ}\land \beta\ne 90^{\circ}\land \gamma\ne 90^{\circ})\to \bigl( (a^2\ne b^2+c^2)\land (b^2\ne a^2+c^2)\land (c^2\ne a^2+b^2)\bigr)[/math]

Предлагается выяснить, справедливо ли это утверждение, т. е. является ли оно теоремой.


Остается рассмотреть еще один вид теорем, связываемых с прямыми теоремами вида [math]X\to Y[/math], и установить взаимоотношения между этими видами. Имеется в виду теорема, обратная противоположной: [math]\lnot X\to\lnot Y[/math]. Мы не случайно назвали теоремой утверждение, обратное противоположному. Оно действительно будет истинным тогда и только тогда, когда истинно исходное утверждение, что вытекает из равносильности [math]X\to Y\cong \lnot Y\to\lnot X[/math] (см. теорему 4.4, пункт б)), называемой законом контрапозиции. Таким образом, на основании закона контрапозиции предложение, обратное какой-либо противоположной теореме, само является теоремой, и вместо доказательства данной теоремы можно доказывать теорему, обратную противоположной ей.




Модификация структуры математической теоремы


Приведем ряд равносильностей, которые помогают модифицировать структуру математической теоремы, не нарушая при этом ее логики. Проверьте равносильными преобразованиями их справедливость:


1) [math]X\to (Y\land Z)\cong (X\to Y)\land (X\to Z)[/math]. Эта равносильность позволяет теорему, имеющую два следствия (заключения [math]Y[/math] и [math]Z[/math]), эасчленить на две теоремы [math]X\to Y[/math] и [math]X\to Z[/math]. Число следствий может зыть любым конечным. В частности,


[math]X\to (Y\land Z\land V)\cong (X\to Y)\land (X\to Z)\land (X\to V);[/math]

2) [math](X\lor Y)\to Z\cong (X\to Z)\land (Y\to Z).[/math]. Эта равносильность так же, как и предыдущая, позволяет теорему, в которой условие представляет собой дизъюнкцию двух условий, расчленить на две теоремы: [math]X\to Z[/math] и [math]Y\to Z[/math]. Она также допускает обобщения типа:


[math](X\lor Y\lor Z)\to V\cong (X\to V)\land (Y\to V)\land (Z\to V).[/math]

На практике данная равносильность скорее применяется в обратном направлении — для объединения ряда теорем с общим заключением в одну. Например, рассмотрим следующие три теоремы.[math]A\to D[/math] [math](B\to D,\,C\to D):[/math] "Если две биссектрисы (высоты, медианы) треугольника равны, то треугольник — равнобедренный". На основании рассматриваемой равносильности их можно объединить в одну [math](A\lor B\lor C)\to D:[/math] "Если в треугольнике две биссектрисы, или две высоты, или две медианы равны, то треугольник — равнобедренный";


3) [math](X\land Y)\to Z\cong (X\land\lnot Z)\to\lnot Y[/math]. Эта равносильность представляет собой обобщение понятия теоремы, обратной противоположной (в последнем случае равносильность имеет вид [math]Y\to Z\cong\lnot Z\to\lnot Y[/math].


Рассмотрим, например, следующую геометрическую теорему: "Если прямая /перпендикулярна двум прямым [math]a[/math] и [math]b[/math], лежащим в плоскости п (утверждение [math]A[/math]), и прямые [math]a[/math] и [math]b[/math] не параллельны т.е. [math]a\not\parallel b[/math] (утверждение [math]B[/math]), то прямая [math]\ell[/math] перпендикулярна всякой прямой [math]c[/math], лежащей в плоскости [math]\rho[/math] (утверждение [math]C[/math]). На основании рассматриваемой равносильности будет справедлива следующая теорема: "Если прямая [math]\ell[/math] перпендикулярна двум прямым [math]a[/math] и [math]b[/math], лежащим в плоскости [math]\rho[/math] (утверждение [math]A[/math]), и не перпендикулярна некоторой прямой [math]c[/math], лежащей в этой плоскости (утверждение [math]\lnot C[/math]), то прямые [math]a[/math] и [math]b[/math] параллельны т.е. [math]a\parallel b[/math] (утверждение [math]\lnot B[/math])".


Ясно, что на основании той же равносильности будет справедлива и такая теорема [math](B\land\lnot C)\to\lnot A[/math] "Если две прямые [math]a[/math] и [math]b[/math], лежащие в плоскости [math]\rho[/math], не параллельны, т.е. [math]a\not\parallel b[/math] (утверждение [math]B[/math]) и прямая [math]\ell[/math] не перпендикулярна хотя бы одной прямой [math]c[/math], лежащей в плоскости [math]\rho[/math] (утверждение [math]\lnot C[/math]), то [math]\ell[/math] не перпендикулярна одной из прямых [math]a[/math] или [math]b[/math] (утверждение [math]\lnot A[/math])".


4) [math](X\land Y)\to Z\cong (X\to Z)\lor (Y\to Z)[/math]. Данная равносильность служит ярким примером того, что к трактовке логических равносильностей в рассмотренном выше духе следует все же относиться с осторожностью. Рассмотрим в связи с данной равносильностью, например, следующие утверждения:


[math]A:[/math] "Четырехугольник — прямоугольник";
[math]B:[/math] "Четырехугольник — ромб";
[math]C:[/math] "Четырехугольник — квадрат".

Тогда утверждение в левой части равносильности примет вид [math](A\land B)\to C[/math] "Если четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он является квадратом". Оно, несомненно, истинно. В то же время утверждение в правой части принимает вид [math](A\to C)\lor (B\to C):[/math] "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом, или же он является квадратом, если он является ромбом". Это утверждение конечно же ложно. При этом исходная равносильность справедлива, что можно проверить простыми равносильными преобразованиями.


Последняя равносильность является еще одним свидетельством того, что математическая логика отражает процесс человеческого мышления с определенной степенью приближенности.




Методы доказательства математических теорем


Метод доказательства от противного, несомненно, один из самых распространенных в математике методов доказательства теорем. Суть его состоит в следующем. Для того чтобы доказать утверждение (теорему) [math]X\to Y[/math], т. е. "Если [math]X[/math], то [math]Y[/math]", предполагается, что верно утверждение [math]X[/math]. Отсюда нужно логическими рассуждениями прийти к утверждению [math]Y[/math]. Вместо этого делается предположение, противное (т.е. противоположное) тому, которое требуется доказать, т.е. предполагается [math]\lnot Y[/math]. Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы приходим к нелепому выводу [math]\lnot X[/math]. "Нелепость" (абсурдность) вывода состоит в том, что он противоречит исходному данному утверждению [math]X[/math]. Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное предположение [math]\lnot Y[/math] и принять то, которое требовалось доказать, — [math]Y[/math].


Что же происходит в этих рассуждениях с точки зрения (математической) логики? А происходит то, что доказательство данной теоремы [math]X\to Y[/math] фактически заменяется (подменяется) доказательством теоремы [math]\lnot Y\to\lnot X[/math], противоположной обратной (или обратной противоположной) для данной теоремы. Почему это возможно сделать? А потому, что в этом состоит логический закон контрапо-зиции [math]X\to Y\cong\lnot Y\to\lnot X[/math], устанавливающий равносильность этих утверждений. Таким образом, описанный метод доказательства от противного основывается на логическом законе контрапозиции.


Метод доказательства от противного применяется также и в других формах. Например, вместо импликации [math]X\to Y[/math] доказывают равносильную ей импликацию [math](X\land\lnot Y)\to\lnot X[/math], т.е. предполагая, что истинны утверждения [math]X[/math] и [math]\lnot Y[/math], выводят истинность утверждения [math]\lnot X[/math] в противоречие с предположением. На основании равносильности [math]X\to Y\cong (X\land\lnot Y)\to\lnot X[/math] делается вывод об истинности импликации [math]X\to Y[/math]. Вторая равносильность [math]X\to Y\cong (X\land\lnot Y)\to Y[/math] дает возможность заменить доказательство импликации [math]X\to Y[/math] доказательством импликации [math](X\land\lnot Y)\to y[/math], т.е. предположив, что истинны утверждения [math]X[/math] и [math]\lnot Y[/math], вывести отсюда истинность утверждения [math]Y[/math] в противоречие с предположением. Наконец еще одна форма этого метода, являющаяся также одной из форм метода приведения к абсурду, основана на равносильности


[math]X\to Y\cong (X\land\lnot Y)\to (Z\land\lnot Z).[/math]

Предполагая, что истинны утверждения [math]X[/math] и [math]\lnot Y[/math], выводим из них некоторое утверждение и его отрицание.


Метод приведения к абсурду (нелепости, противоречию) (по-латински reductio ad absurdum) имеет две модификации, которые являются существенно различными как по форме, так и по существу, т.е. по своей логической (дедуктивной) силе. Это — метод приведения противоположного утверждения к абсурду и метод приведения данного утверждения к абсурду.


Метод приведения противоположного утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется доказать утверждение [math]X[/math]. Рассматривается (допускается) противоположное ему утверждение (т.е. утверждение, являющееся его отрицанием) [math]\lnot X[/math] из него выводятся два противоречащих друг другу утверждения (т.е. некоторое утверждение и его отрицание) [math]Y[/math] и [math]Y:[/math] [math]\lnot X\to Y[/math] и [math]\lnot X\to\lnot Y[/math] Из этого делается вывод о том, что справедливо исходное утверждение X. Оправданием этому методу может служить следующая тавтология:


[math](\lnot X\to\lnot Y)\to \bigl((\lnot X\to Y)\to X\bigr).[/math]

Метод приведения утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется опровергнуть утверждение [math]X[/math], т.е. доказать отрицательное утверждение [math]\lnot X[/math]. В этом случае два противоречащих друг другу утверждения [math]Y[/math] и [math]\lnot Y[/math] выводятся не из утверждения [math]\lnot X[/math], а из самого данного утверждения [math]X\colon\, X\to Y[/math] и [math]X\to\lnot Y[/math]. Из этого делается вывод о том, что справедливо утверждение [math]\lnot X[/math], т.е. данное утверждение [math]X[/math] опровергнуто. Оправданием этому методу служит следующая формула, также являющаяся тавтологией:


[math](X\to\lnot Y)\to \bigl((X\to Y)\to\lnot X\bigr).[/math]

Приведем пример рассуждения (доказательства) этим методом.




Пример 7.2. Доказать, что не существует биекции множества [math]M[/math] на множество [math]P(M)[/math] всех его подмножеств.


Другими словами, требуется опровергнуть следующее утверждение [math]A:[/math] "Существует биекция множества [math]M[/math] на множество [math]P(M)[/math] всех его подмножеств". Обозначим эту биекцию [math]\varphi[/math]. Теперь нам нужно указать некоторое высказывание [math]B[/math], для которого оно само и его отрицание [math]\lnot B[/math] можно вывести из утверждения [math]A[/math]. Предварительно нам потребуется рассмотреть следующее множество: [math]M=\bigl\{x\in M\colon\, x\notin \varphi(x)\bigr\}[/math] — множество всех таких элементов из [math]M[/math], которые не принадлежат своему образу (а это есть некоторое подмножество множества [math]M[/math]) при биекции [math]\varphi[/math]. Так как [math]M_0\subseteg M[/math], а [math]\varphi[/math] — биекция [math]M[/math] на [math]P(M)[/math], то существует такой элемент [math]x_0\in M[/math], что [math]M_0=\varphi(x_0)[/math].


Рассмотрим теперь такое высказывание [math]B\colon\, x_0\in M_0[/math]. Докажем, что [math]B[/math] истинно. Допустим противное, т. е. истинно [math]\lnot B[/math]. Тогда [math]x_0\notin M_0[/math]. Но [math]M_0=\varphi(x_0)[/math]. Тогда [math]x_0\notin\varphi(x_0)[/math]. Следовательно, в силу определения [math]M_0[/math] заключаем, что [math]x_0\in M_0[/math]. Получаем противоречие, из которого делаем вывод, что предположение о том, что [math]\lnot B[/math] истинно, неверно. Следовательно, истинно [math]B[/math]. (Но тогда истинно и высказывание [math]\lnot A\to B[/math].)


Теперь докажем, что [math]\lnot B[/math] истинно. Допустим противное, т. е. истинно [math]B[/math]. Тогда [math]x_0\in M_0[/math]. Но по определению [math]M_0[/math] это означает, что [math]x_0\notin\varphi(x_0)[/math]. Но [math]\varphi(x_0)=M_0[/math]. Следовательно, [math]x_0\notin M_0[/math]. Получаем противоречие, из которого заключаем, что предположение об истинности высказывания [math]B[/math] неверно. Следовательно, истинно [math]\lnot B[/math], но, тогда истинно и высказывание [math]\lnot A\to\lnot B[/math].


Таким образом, мы пришли к абсурду, противоречию: из данного утверждения [math]A[/math] вывели истинность двух взаимно отрицающих друг друга утверждений [math]B[/math] и [math]\lnot B[/math]. Значит, данное утверждение [math]A[/math] неверно, а верно его отрицание [math]\lnot A[/math].




Доказательство методом приведения к абсурду может основываться также на следующей тавтологии (см. теорему 3.1, пункт п)): [math]\vDash \bigl(\lnot X\to (Y\land\lnot Y)\bigr)\to X[/math]. Метод доказательства, основанный на данной тавтологии, состоит в следующем. Допустим, нужно доказать некоторое утверждение [math]X[/math]. Предполагаем, что справедливо его отрицание [math]\lnot X[/math], и выводим отсюда некоторое утверждение [math]Y[/math] и его отрицание [math]\lnot Y[/math]. В результате заключаем, что справедливо утверждение [math]X[/math].


Нередко в математических доказательствах используется правило цепного заключения, или правило силлогизма. Пусть нужно доказать утверждение [math]P\to R[/math]. Находим такое утверждение [math]Q[/math], для которого можем доказать истинность утверждений [math]P\to Q[/math] и [math]Q\to R[/math]. Тогда на основании правила силлогизма заключаем, что справедливо и утверждение [math]P\to R[/math]. Например, из двух теорем "Если треугольник равносторонний, то все его углы равны" и "Если в треугольнике все углы равны, то величина каждого его угла равна 60°" — по правилу силлогизма получаем теорему "Если треугольник равносторонний, то величина каждого его угла равна 60°".


Существуют и другие методы математических доказательств, состоятельность которых подтверждается математической логикой. Далее будет приведена теорема 7.18, предоставляющая еще один метод получения математических теорем.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved