Другие приложения интегралов в физике
При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.
а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из в , если материальная точка движется по прямой линии под действием силы , направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты этой точки: .
Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна , где — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке равна . Общая работа выражается интегралом
(2)
Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу , из в , если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу и находится в начале координат (рис. 66).
Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна , где — гравитационная постоянная, а — расстояние между точками. По формуле (2) получаем:
б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени , если мощность двигателя в момент времени равна .
За элементарный промежуток времени двигатель, имеющий мощность , выполняет работу . Поэтому вся работа двигателя равна
(3)
Пример 11. Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле за промежуток времени , если сопротивление цепи равно .
Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой . Поэтому по формуле (3) имеем:
Заметим, что средняя мощность переменного тока равна .
в) Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени , если ток изменяется по формуле .
За элементарный промежуток времени протекает количество электричества . Значит, общее количество электричества равно
В заключение рассмотрим еще один физический пример.
Пример 12. Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой , верхним основанием и нижним основанием .
Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине и имеющий высоту (рис. 67). Легко доказать, что длина этого слоя равна . Поэтому его площадь равна
, а давление на него равно .
Все давление воды на плотину выражается интегралом
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|