Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Другие приложения интегралов в физике

Другие приложения интегралов в физике


При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.


а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из A(a) в B(b), если материальная точка движется по прямой линии под действием силы F, направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты x этой точки: F=F(x).


Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна F\,\Delta x, где \Delta x — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок [a;b] на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке [x;x+dx] равна F(x)\,dx. Общая работа выражается интегралом


A=\int\limits_{a}^{b} F(x)\,dx\,.
(2)



Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу m, из A(a) в B(b), если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу \mu и находится в начале координат (рис. 66).


Перенос материальной точки из состояния A в состояние B

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна \gamma\, \frac{\mu m}{r^2}, где \gamma — гравитационная постоянная, а r — расстояние между точками. По формуле (2) получаем:


A=\gamma\mu m \int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{x^2}= \gamma\mu m\! \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\!.

б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени [a;b], если мощность двигателя в момент времени t равна W(t).


За элементарный промежуток времени [t;t+dt] двигатель, имеющий мощность W(t), выполняет работу dA=W(t)\,dt. Поэтому вся работа двигателя равна


A=\int\limits_{a}^{b} W(t)\,dt\,.
(3)



Пример 11. Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле I=I_0\sin\omega t за промежуток времени \left[0;\frac{2\pi}{\omega}\right], если сопротивление цепи равно R.


Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой W=I^2R. Поэтому по формуле (3) имеем:


A=I_0^2R \int\limits_{0}^{\tfrac{2\pi}{\omega}}\sin^2\omega t\,dt= \frac{I_0^2R\pi}{\omega}\,.

Заметим, что средняя мощность переменного тока равна \frac{A}{2\pi/\omega}= \frac{I_0^2R}{2}.




в) Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [a;b], если ток изменяется по формуле I=I(t).


За элементарный промежуток времени протекает количество электричества dq=I(t)\,dt. Значит, общее количество электричества равно


q=\int\limits_{a}^{b}I(t)\,dt\,.

В заключение рассмотрим еще один физический пример.




Пример 12. Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием a и нижним основанием b.


Давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине x и имеющий высоту dx (рис. 67). Легко доказать, что длина этого слоя равна a-\frac{a-b}{h}\,x. Поэтому его площадь dS равна


\left(a-\frac{a-b}{h}\,x\right)\!dx, а давление dP на него равно x\! \left(a-\frac{a-b}{h}\,x\right)\!dx.

Все давление воды на плотину выражается интегралом


P= \int\limits_{0}^{k}\! \left(a-\frac{a-b}{h}\,x \right)\!x\,dx= a\int\limits_{0}^{k}x\,dx- \frac{a-b}{h} \int\limits_{0}^{k}x^2\,dx= \frac{ah^2}{2}- \frac{a-b}{h}\cdot \frac{h^3}{3}= \frac{h^2}{6}(a+2b).
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved