Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Другие приложения интегралов в физике

Другие приложения интегралов в физике


При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.


а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из [math]A(a)[/math] в [math]B(b)[/math], если материальная точка движется по прямой линии под действием силы [math]F[/math], направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты [math]x[/math] этой точки: [math]F=F(x)[/math].


Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна [math]F\,\Delta x[/math], где [math]\Delta x[/math] — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок [math][a;b][/math] на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке [math][x;x+dx][/math] равна [math]F(x)\,dx[/math]. Общая работа выражается интегралом


[math]A=\int\limits_{a}^{b} F(x)\,dx\,.[/math]
(2)



Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу [math]m[/math], из [math]A(a)[/math] в [math]B(b)[/math], если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу [math]\mu[/math] и находится в начале координат (рис. 66).


Перенос материальной точки из состояния A в состояние B

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна [math]\gamma\, \frac{\mu m}{r^2}[/math], где [math]\gamma[/math] — гравитационная постоянная, а [math]r[/math] — расстояние между точками. По формуле (2) получаем:


[math]A=\gamma\mu m \int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{x^2}= \gamma\mu m\! \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\!.[/math]

б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени [math][a;b][/math], если мощность двигателя в момент времени [math]t[/math] равна [math]W(t)[/math].


За элементарный промежуток времени [math][t;t+dt][/math] двигатель, имеющий мощность [math]W(t)[/math], выполняет работу [math]dA=W(t)\,dt[/math]. Поэтому вся работа двигателя равна


[math]A=\int\limits_{a}^{b} W(t)\,dt\,.[/math]
(3)



Пример 11. Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле [math]I=I_0\sin\omega t[/math] за промежуток времени [math]\left[0;\frac{2\pi}{\omega}\right][/math], если сопротивление цепи равно [math]R[/math].


Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой [math]W=I^2R[/math]. Поэтому по формуле (3) имеем:


[math]A=I_0^2R \int\limits_{0}^{\tfrac{2\pi}{\omega}}\sin^2\omega t\,dt= \frac{I_0^2R\pi}{\omega}\,.[/math]

Заметим, что средняя мощность переменного тока равна [math]\frac{A}{2\pi/\omega}= \frac{I_0^2R}{2}[/math].




в) Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [math][a;b][/math], если ток изменяется по формуле [math]I=I(t)[/math].


За элементарный промежуток времени протекает количество электричества [math]dq=I(t)\,dt[/math]. Значит, общее количество электричества равно


[math]q=\int\limits_{a}^{b}I(t)\,dt\,.[/math]

В заключение рассмотрим еще один физический пример.




Пример 12. Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой [math]h[/math], верхним основанием [math]a[/math] и нижним основанием [math]b[/math].


Давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине [math]x[/math] и имеющий высоту [math]dx[/math] (рис. 67). Легко доказать, что длина этого слоя равна [math]a-\frac{a-b}{h}\,x[/math]. Поэтому его площадь [math]dS[/math] равна


[math]\left(a-\frac{a-b}{h}\,x\right)\!dx[/math], а давление [math]dP[/math] на него равно [math]x\! \left(a-\frac{a-b}{h}\,x\right)\!dx[/math].

Все давление воды на плотину выражается интегралом


[math]P= \int\limits_{0}^{k}\! \left(a-\frac{a-b}{h}\,x \right)\!x\,dx= a\int\limits_{0}^{k}x\,dx- \frac{a-b}{h} \int\limits_{0}^{k}x^2\,dx= \frac{ah^2}{2}- \frac{a-b}{h}\cdot \frac{h^3}{3}= \frac{h^2}{6}(a+2b).[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved