Повторные независимые испытания. Схема и формула Бернулли
Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная, теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона, для маловероятных случайных событий.
Повторные независимые испытания
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.
Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли
Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в –м испытании. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно раз. Обозначим появление события , a — непоявление события в –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем
Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно :
 (3.1)
где в каждое произведение событие входит раз, а — раз.
Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события (обозначим ее )
 (3.2)
Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем
Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
Решение.
Наивероятнейшее число появлений события
Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называется такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу . Используя формулу (3.2), записываем
 (3.3)
Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственно и раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность , т. е.
Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностей и , получаем
Решая эти неравенства относительно , получаем
Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа:
 (3.4)
Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е.
и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:
1) если — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;
2) если — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);
3) если — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .
При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга
справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу:
 (3.5)
Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.
Решение. По условию . Согласно неравенству (3.4) имеем
откуда . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из 250 шт. равно 234. Подставляя данные в формулу (3.5), вычисляем вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции
 при  .
Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция четна, т. е. .
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,
 где  .
Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:
Вычислим определяемое данными задачи значение :
По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):
Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Необходимо вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить "от до раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.
Теорема 3.2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз,
 где  .
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в прил. 2, где даны значения функции для положительных значений , для используют ту же таблицу (функция нечетна, т. е. ). Таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз,
 где  .
Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Вычислим пределы интегрирования: нижний
верхний
Таким образом
По таблице прил. 2 находим
Искомая вероятность
Применение интегральной теоремы Лапласа
Если число (число появлений события при независимых испытаниях) будет изменяться от до , то дробь будет изменяться от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:
 (3.6)
Поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства , что то же самое, . Эту вероятность будем обозначать так: . С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем
 (3.7)
Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение. По условию . Требуется найти вероятность . Используя формулу (3.7), получаем
По таблице прил. 2 находим , следовательно, . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит 0,03.
Формула Пуассона для маловероятных событий
Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшом значении произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.
Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но значение произведения остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз,
Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона (см. прил. 3).
Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Решение. Здесь . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (прил. 3) при получаем .
Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее :
Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность
а согласно формуле Бернулли точное ее значение
Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет
 , или  а по формуле Пуассона —
 , или  т.е. во много раз меньше.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|