Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Числовые последовательности и ряды с комплексными членами

Числовые последовательности и ряды с комплексными членами


Последовательности комплексных чисел


Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.


1. Если каждому натуральному числу [math]n~(\forall n\in\mathbb{N})[/math] поставлено в соответствие комплексное число [math]z_n~(z_n\in\mathbb{C})[/math], то говорят, что задана последовательность комплексных чисел (последовательность с комплексными членами): [math]\bigl\{z_n\bigr\}_{n=1}^{\infty}[/math].


2. Последовательность [math]z_n[/math] называется ограниченной, если существует число [math]M>0[/math], такое, что для любого [math]n\in\mathbb{N}[/math] выполняется неравенство [math]|z_n|<M[/math]. Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной: для [math](\forall M\in \mathbb{R})(\exists n^0)[/math], что [math]|z_{n^0}|>M[/math].


3. Последовательность [math]z_n[/math] называется бесконечно малой, если для любого числа [math]\varepsilon>0[/math] найдется номер [math]N(\varepsilon)[/math], такой, что для всех [math]n[/math], удовлетворяющих условию [math]n>N(\varepsilon)[/math], выполняется неравенство [math]|z_n|<\varepsilon\colon[/math]


[math]z_n[/math] — бесконечно малая [math]\Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~ \exists N(\varepsilon)\colon\, n>N(\varepsilon),~ |z_n|<\varepsilon[/math].

Правило 1.1. Чтобы по определению доказать, что данная последовательность [math]z_n[/math] является бесконечно малой, следует:


1) записать неравенство [math]|z_n|<\varepsilon[/math], где [math]\varepsilon[/math] — любое, [math]\varepsilon>0[/math];
2) решить это неравенство относительно [math]n[/math];
3) из полученного решения [math]n>N(\varepsilon)[/math], определить [math]N(\varepsilon)[/math].

4. Последовательность [math]z_n[/math] называется бесконечно большой, если для любого числа [math]M~(M\in\mathbb{R})[/math] найдется номер [math]N(M)[/math], такой, что для всех [math]n[/math], удовлетворяющих условию [math]n>N(M)[/math], выполняется неравенство [math]|z_n|>M[/math]. Геометрически это означает, что члены последовательности [math]z_n[/math] для [math]n>N(M)[/math] расположены в окрестности бесконечно удаленной точки, в области [math]|z|>M[/math].


Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей легко установить связь между ними. Если [math]a_n[/math] — бесконечно малая последовательность, то [math]z_n=\frac{1}{\alpha_n}[/math] — бесконечно большая, и наоборот, если [math]z_n[/math] — бесконечно большая последовательность, то [math]\alpha_n=\frac{1}{z_n}[/math] — бесконечно малая.


5. Число [math]A~(A\ne\infty,\, A\in\mathbb{C})[/math] называется пределом последовательности [math]z_n[/math], если последовательность [math]\alpha_n=z_n-A[/math] является бесконечно малой (обозначается [math]A=\lim_{n\to\infty}z_n[/math]):


[math]A=\lim_{n\to\infty}z_n~ \Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~~ \exists N(\varepsilon)\colon\, |z_n-A|<\varepsilon[/math] для [math]n>N(\varepsilon)[/math].

Из определения получаем правило.


Правило 1.2.Чтобы доказать, что заданное число [math]A[/math] является пределом данной последовательности [math]z_n[/math], следует:


1) составить последовательность [math]\alpha_n=z_n-A[/math];
2) доказать, что [math]\alpha_n[/math] — бесконечно малая последовательность (см. правило 1.1).

6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.


Расходящейся последовательностью является любая неограниченная последовательность, в частности бесконечно большая. Для бесконечно большой последовательности принято обозначение [math]\lim_{n\to\infty}z_n=\infty[/math].


Интерпретация комплексных чисел точками сферы Римана придает этому равенству большую наглядность. Действительно, образами точек последовательности [math]z_n[/math] на сфере Римана являются точки [math]M_n[/math] с координатами


[math]\xi_n=\frac{x_n}{1+|z_n|^2},\quad \eta_n=\frac{y_n}{1+|z_n|^2},\quad \varphi_n= \frac{|z_n|^2}{1+|z_n|^2}[/math], где [math]x_n=\operatorname{Re}z_n,~ y_n=\operatorname{Im} z_n[/math].

Эти соотношения получаются из равенств [math]x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi}[/math] и уравнения сферы [math]\xi^2+\eta^2=\varphi(1-\varphi)[/math] (см. замечание 1.2). Поскольку [math]|x_n|\leqslant |z_n|,~ |y_n|\leqslant|z_n|[/math], то условие [math]\lim_{n\to\infty} z_n=\infty[/math] означает, что последовательность точек [math]M_n[/math] сходится к точке [math]N[/math] сферы Римана, так как при этом


[math]\lim_{n\to\infty}\xi_n=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\eta_n=0,\qquad \lim_{n\to\infty} \varphi_n=1.[/math]

Пример 1.36. Записать пять первых членов последовательностей: а) [math]z_n= i^n[/math]; б) [math]\omega_n=(1+i)^n[/math].


▼ Решение

Подставляя последовательно значения [math]n=1,2,\ldots,5[/math], получаем:


а) [math]z_1=i;~~ z_2=-1;~~ z_3=-i;~~ z_4=1;~~ z_5=i[/math];


б) [math]\omega_1=1+i,~~ \omega_2=(1+i)^2=2i,~~ \omega_3=(1+i)^3= 2i(1+i)= -2+2i,[/math]

[math]\omega_4= (1+i)^4= \bigl((1+i)^2\bigr)^2= (2i)^2=-4,~~ \omega_5=(1+i)^5= (1+i)^4(1+i)= -4-4i.[/math]


Пример 1.37. Исследовать на ограниченность последовательности: [math]z_n=i^n,~ \omega_n=(1+i)^n[/math].


Решение. Так как [math]|z_n|=|i^n|=1[/math], то для любого [math]n\in \mathbb{N}[/math] выполняется, например, неравенство [math]|z_n|<2[/math]. По определению последовательность [math]z_n=i^n[/math] — ограниченная.


Для второй последовательности, используя свойство модуля, находим


[math]|\omega_n|= \bigl|(1+i)^n\bigr|= \bigl(|1+i|\bigr)^n= \bigl(\sqrt{2}\bigr)^n.[/math]

Далее рассматриваем неравенство [math](\sqrt{2})^n>M[/math] при любом [math]M[/math] и решаем его относительно [math]n\colon\, n\lg\sqrt{2}>\lg M,~ n>\frac{2\lg M}{\lg 2}[/math]. В качестве [math]n_0[/math] можно взять любое [math]N(M)=\frac{2\lg M}{\lg2}[/math]. По определению последовательность неограниченная.


Пример 1.38. Доказать, что последовательность [math]z_n[/math] вида [math]z_n= q^n[/math] является бесконечно малой, если [math]|q|<1[/math], и бесконечно большой, если [math]|q|>1[/math].


▼ Решение

Пусть [math]|q|<1[/math]. Воспользуемся правилом 1.1:


1) составляем неравенство [math]|z_n|<\varepsilon[/math], то есть [math]|q^n|=|q|^n<\varepsilon[/math];

2) решаем его относительно [math]n\colon\, n>\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}[/math];

3) обозначив [math]N(\varepsilon)=\left[\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}\right]+1[/math] ([math][x][/math] — целая часть числа [math]x[/math]), получим, что для [math]n>N(\varepsilon)[/math] выполняется неравенство [math]|z_n|<\varepsilon[/math] для любого [math]\varepsilon>0[/math]. По определению [math]z_n[/math] — бесконечно малая последовательность.


Учитывая связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей, заключаем, что [math]z_n=q^n[/math] при [math]|q|>1[/math] является бесконечно большой.


Так, бесконечно малыми являются, например, последовательности:


[math]\left(\frac{i}{2}\right)^n,~ \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^n,~ \left(\frac{1-2i}{3+i}\right)^n,~ \left(\frac{i}{2-3i}\right)^n[/math]; бесконечно большой [math](1+i)^n,~ \left(\frac{2+i}{1-i}\right)^n[/math].

Пример 1.39. Применяя определение, доказать, что [math]\lim_{n\to\infty} \frac{n-2ni}{n+2}=1-2i[/math].


▼ Решение

Используем правило 1.2:


1) составляем последовательность [math]\alpha_n= z_n-A= \frac{n-2ni}{n+2}-(1-2i)= \frac{4i-2}{n+2}[/math];


2) доказываем, что [math]\alpha_n[/math] — бесконечно малая. Находим [math]|\alpha_n|= \frac{|4i-2|}{n+2}= \frac{\sqrt{20}}{n+2}[/math]. Так как [math]\lim_{n\to\infty}|\alpha_n|=0[/math], то [math]|\alpha_n|<\varepsilon,~ n>N(\varepsilon)[/math] и, следовательно, [math]\alpha_n[/math] — бесконечно малая.


Исследование сходимости последовательности комплексных чисел и нахождение ее предела (в случае сходимости) можно свести к соответствующей задаче дли последовательностей с действительными членами. А именно имеет место следующее утверждение.


Утверждение 1.2. Для сходимости последовательности z„ необходимо и достаточно, чтобы сходились две последовательности [math]\operatorname{Re}z_n=x_n[/math] и [math]\operatorname{Im}z_n=y_n[/math], причем


[math]\lim_{n\to\infty}z_n= \lim_{n\to\infty}\operatorname{Re}z_n+ i\lim_{n\to\infty} \operatorname{Im}z_n[/math], иначе [math]\lim_{n\to\infty}z_n= \lim_{n\to\infty}(x_n+ iy_n)=c~ \Leftrightarrow~ \begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\\ \lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\end{cases} c=a+bi.[/math]

Из утверждения 1.2 и свойств сходящихся последовательностей действительных чисел вытекают следующие свойства последовательностей с комплексными членами. Эти свойства приведем в виде утверждения.


Утверждение 1.3. Если [math]\lim_{n\to\infty}z_n=a,~ \lim_{n\to\infty}u_n=b[/math], то


[math]\lim_{n\to\infty}(z_n+u_n)=a+b;\quad \lim_{n\to\infty}z_n\cdot u_n= a\cdot b;\quad \lim_{n\to\infty}\frac{z_n}{u_n}= \frac{a}{b};\quad u_n\ne0,\quad n=1,2,\ldots;\quad b\ne0.[/math]

Пример 1.40. Вычислить предел последовательности с комплексными членами [math]\lim_{n\to\infty}\frac{2+3ni}{i-n}[/math].


▼ Решение

Первый способ. Используем утверждение 1.2. Обозначим [math]z_n=\frac{2+3ni}{i-n}[/math] и найдем [math]x_n=\operatorname{Re}z_n,~ y_n=\operatorname{Im}z_n[/math], выполняя операцию деления комплексных чисел:


[math]\frac{2+3ni}{i-n}=\frac{(2+3ni)(n+i)}{-(n-i)(n+i)}= \frac{-n+i(3n^2+2)}{-(n^2+1)}= \frac{n}{n^2+1}+ i\,\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}\,.[/math]

Получаем [math]x_n=\frac{n}{n^2+1},~ y_n=\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}[/math]. Найдем пределы последовательностей действительных чисел:


[math]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}=-3[/math], то есть [math]a=0,~b=-3[/math].

Следовательно, [math]\lim_{n\to\infty}z_n=a+bi=-3i[/math].


Второй способ. Используем утверждение 1.3, применяя соответствующие методы, как в действительном анализе. Находим


[math]\lim_{n\to\infty}\frac{2+3ni}{i-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}+3i}{\frac{i}{n}-1}= -3i[/math], так как здесь [math]\frac{i}{n}[/math] и [math]\frac{2}{n}[/math] бесконечно малые.



Ряды с комплексными членами


Основные понятия, связанные с рядами в комплексной области, вводятся так же, как в действительной области.


1. Выражение вида [math]z_1+z_2+\ldots+z_n+\ldots[/math], где [math]z_1,z_2,\ldots, z_n,\ldots[/math]последовательность комплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math]).


2. Сумма [math]z_1+z_2+\ldots+z_n=\sum_{k=1}^{n}z_k[/math] называется n-й частичной суммой ряда, обозначается [math]S_n[/math] последовательность [math]S_1,S_2,\ldots,S_n,\ldots[/math] — последовательность частичных сумм ряда.


3. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует [math]\lim_{n\to\infty}S_n[/math]. Этот предел называется суммой ряда:


[math]S=\lim_{n\to\infty}S_n,~~S[/math] — сумма ряда; [math]S-S_n=\sum_{k=1}^{\infty} a_{n+k}[/math] — остаток ряда.

4. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|[/math]. Заметим, что ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|[/math] — ряд с действительными положительными членами.




Признаки сходимости рядов с комплексными членами


Критерий Коши. Дня сходимости ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] необходимо и достаточно, чтобы для любого [math]\varepsilon>0[/math] можно было найти [math]N(\varepsilon)[/math], такое, что для любого [math]n>N(\varepsilon)[/math] и любого [math]m[/math] (натурального) выполнялось неравенство [math]|z_{n+1}+\ldots+z_{n+m}|< \varepsilon[/math].


Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] сходится, то [math]\lim_{n\to\infty}z_n=0[/math].


Отсюда следует, что условие [math]\lim_{n\to\infty}z_n\ne0[/math] является достаточным условием расходимости ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math].


Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к соответствующей задаче для рядов с действительными членами.


Утверждение 1.4. Дня сходимости ряда с комплексными членами необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда с действительными членами:


[math]\sum_{n=1}^{\infty}x_n= \sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{Re}z_n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}y_n= \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Im}z_n[/math],

причем

[math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n=S\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}x_n=a,\quad \sum_{n=1}^{\infty}y_n=b,\quad S=a+bi.[/math]

Правило 1.3. Чтобы исследовать ряд с комплексными членами на сходимость, необходимо:


1) для данного ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] найти [math]\operatorname{Re}z_n= x_n[/math] и [math]\operatorname{Im}z_n=y_n[/math];


2) составить ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}x_n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}y_n[/math] и исследовать их на сходимость, как ряды с действительными членами. Если оба ряда сходятся, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math], сходящийся, если хотя бы один из рядов [math]\sum_{n=1}^{\infty}x_n[/math] или [math]\sum_{n=1}^{\infty}y_n[/math] расходится, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math], расходящийся.


Правило 1.4. Чтобы исследовать комплексный ряд на абсолютную сходимость, необходимо:


1) составить ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|[/math], членами которого являются модули членов данного ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math];


2) исследовать полученный ряд на сходимость, как ряд с действительными положительными членами. Для этого могут быть использованы признаки сходимости таких рядов: признак Даламбера, Коши, признаки сравнения, интегральный признак.


Если ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|[/math] сходится, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] сходится абсолютно.


Если [math]\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|[/math] расходится, то [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] может быть либо расходящимся, либо сходящимся; в последнем случае он называется условно сходящимся.




Признаки абсолютной сходимости рядов с комплексными членами


А. Признак Даламбера. Если [math]\lim_{n\to\infty}\left| \frac{z_{n+1}}{z_n}\right|=|q|<1[/math], то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] сходится абсолютно.


Б. Признак Коши. Если [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|}= |q|<1[/math], то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math] сходится абсолютно.


В. Признак сравнения. Если [math]\forall n\,~|z_n|<|\alpha_n|[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|[/math] сходится, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math], сходится абсолютно.


Замечание 1.3. При исследовании на сходимость рядов [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_n[/math], где [math]z_n[/math] — дробно-рациональное, или дробно-иррациональное выражение от [math]n[/math], используется признак сравнения; при этом в качестве ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}|\alpha_n|[/math] выбирается ряд вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}[/math], который, как доказывается в действительном анализе, сходится при [math]\alpha>1[/math] и расходится при [math]\alpha\leqslant1[/math].


Пример 1.41. Исследовать на сходимость ряды; в случае сходимости найти суммы рядов:


[math]\bold{1)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{i}{2}\right)^n;\qquad \bold{2)}~ \sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{1}{3^n}+i\,\frac{1}{2^n}\right)\!.[/math]


▼ Решение

1) Так как [math]|z_n|=\left(\frac{i}{2}\right)^n[/math], то, применяя признак Коши, получаем [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|}= \frac{1}{2}<1[/math], следовательно, ряд сходится абсолютно.


Составляем последовательность частичных сумм ряда [math]S_n= \sum_{k=1}^{n}\!\left( \frac{i}{2}\right)^k[/math] и обозначаем [math]q=\frac{i}{2}[/math]. Тогда [math]S_n= \sum_{k=1}^{n}q^k[/math] — сумма [math]n[/math] членов геометрической прогрессии:


[math]S_n= \frac{q-q^{n+1}}{1-q}= \frac{q}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q}\,.[/math]

Так как [math]|q|<1[/math], то [math]\lim_{n\to\infty}q^{n+1}=0[/math] (см. пример 1.38), поэтому [math]\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q}{1-q}[/math].


Полученный результат можно сформулировать следующим образом: ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} z_n[/math] вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}q_n[/math] при [math]|q|<1[/math] сходится и сумма его вычисляется по формуле [math]S=\frac{q}{1-q}[/math]. В данном случае [math]q=\frac{i}{2}[/math], поэтому [math]S=\frac{i \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}{1-i \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}=\frac{i}{2-i}[/math].


2) Используем правило 1.3:


1) из [math]z_n=\frac{1}{3^n}+i\,\frac{1}{2^n}[/math] имеем [math]x_n=\frac{1}{3^n}[/math] и [math]y_n=\frac{1}{2^n}[/math];


2) составляем ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}x_n= \sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{1}{3}\right)^n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}y_n= \sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{1}{2}\right)^n[/math]. Ряды сходятся как ряды вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}q^n,~ |q|<1[/math]. и их суммы равны [math]S_1= \frac{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}{1-1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}= \frac{1}{2},~ S_2=\frac{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}{1-1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}=1[/math]. Суммой данного ряда является число [math]S=S_1+i\,S_2=\frac{1}{2}+i[/math].


Пример 1.42. Исследовать на сходимость ряды:


[math]\bold{1)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3in-1}{2in^2-\sqrt{3}};\qquad \bold{2)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3in-1}{2in^4-\sqrt{3}}.[/math]


▼ Решение

Для этих рядов нахождение [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] затруднительно, поэтому будем пользоваться другими признаками:


1) здесь [math]\lim_{n\to\infty}z_n=\frac{1}{2i}\ne0[/math], ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости;


2) для этого ряда [math]\lim_{n\to\infty}z_n=0[/math], необходимый признак выполняется, но в силу его недостаточности требуется дальнейшее исследование. Воспользуемся замечанием 1.3. Применим признак сравнения с рядом [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\colon[/math]


[math]\lim_{n\to\infty}\frac{|z_n|}{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, n^2}= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{n^4+3in^3-n^2}{2in^4-\sqrt{3}}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{|n^4-n^2+3in^3|}{|\sqrt{3}-2in^4|}= \frac{1}{2}\,.[/math]

Итак, по признаку сравнения ряд сходится абсолютно.


Пример 1.43. Доказать, что сходится абсолютно ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2i)^n}{n!}[/math]


▼ Решение

Используя признак Даламбера, рассмотрим [math]\lim_{n\to\infty} \left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|\colon[/math]


[math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(2i)^{n+1}\cdot n!}{(n+1)!\cdot (2i)^n}\right|= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2i}{n+1}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0<1.[/math]

Так как [math]\lim_{n\to\infty} \left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1[/math], то ряд сходится абсолютно.


Заметим, что сходится абсолютно любой ряд вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}[/math], где [math]z[/math] — любое комплексное число.




Свойства абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами


Как и в действительной области, для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами справедливы те же правила действий, что и с конечными суммами.


1. В абсолютно сходящихся рядах допустима любая перестановка и группировка членов (даже бесконечного их числа).


Например, если ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}[/math] сходится абсолютно, то сходятся и ряды, полученные группировкой членов этого ряда, например [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_{2n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_{2n-1}[/math] — ряды членов с четными и нечетными номерами, причем [math]\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n-1}+ \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n}[/math].


2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать по правилу перемножения многочленов.


Пример 1.44. Найти произведение рядов [math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}[/math] и [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}[/math]


▼ Решение

Как отмечено в примере 1.43, ряды вида [math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}[/math] — абсолютно сходятся при любом фиксированном [math]z[/math]. Поэтому сомножителями являются абсолютно сходящиеся ряды. Перемножим их по правилу перемножения многочленов:


[math]\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_2^n}{n!}&= \!\left(1+z_1+\frac{z_1^2}{2!}+\ldots+\frac{z_1^{n-k}}{(n-k)!}+ \ldots+ \frac{z_1^n}{n!}+ \ldots\right)\! \cdot\! \left(1+z_2+\frac{z_2^2}{2!}+\ldots+ \frac{z_2^k}{k!}+ \ldots+ \frac{z_2^n}{n!}+\ldots\right)\!=\\ &=1+(z_1+z_2)+\left(\frac{z_1^2}{2!}+ z_1z_2+ \frac{z_2^2}{2!} \right)+\ldots+\left(\frac{z_1^n}{n!}+ \frac{z_1^{n-1}z_2}{(n-1)!}+ \ldots+ \frac{z_1^{n-k}z_2^k}{(n-k)!k!}+ \ldots+ \frac{z_2^n}{n!}\right)+\ldots \end{aligned}[/math]

Перепишем последнее выражение следующим образом:


[math]1+(z_1+z_2)+ \frac{1}{2!}\bigl(z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\bigr)+ \ldots +\frac{1}{n!}\bigl(z_1^n+nz_1^{n-1}z_2+ \ldots+ z_2^n\bigr)+\ldots[/math]

Общий член этого ряда имеет вид [math]\frac{1}{n!}\sum_{n=0}^{n}C_{n}^{k} z_{1}^{n-k}z_2^k[/math], или, согласно формуле бинома Ньютона, [math]\frac{1}{n!}(z_1+z_2)^n[/math]. Таким образом, окончательно получаем


[math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved