Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Числовые последовательности и ряды с комплексными членами

Числовые последовательности и ряды с комплексными членами


Последовательности комплексных чисел


Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.


1. Если каждому натуральному числу n~(\forall n\in\mathbb{N}) поставлено в соответствие комплексное число z_n~(z_n\in\mathbb{C}), то говорят, что задана последовательность комплексных чисел (последовательность с комплексными членами): \bigl\{z_n\bigr\}_{n=1}^{\infty}.


2. Последовательность z_n называется ограниченной, если существует число M>0, такое, что для любого n\in\mathbb{N} выполняется неравенство |z_n|<M. Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной: для (\forall M\in \mathbb{R})(\exists n^0), что |z_{n^0}|>M.


3. Последовательность z_n называется бесконечно малой, если для любого числа \varepsilon>0 найдется номер N(\varepsilon), такой, что для всех n, удовлетворяющих условию n>N(\varepsilon), выполняется неравенство |z_n|<\varepsilon\colon


z_n — бесконечно малая \Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~ \exists N(\varepsilon)\colon\, n>N(\varepsilon),~ |z_n|<\varepsilon.

Правило 1.1. Чтобы по определению доказать, что данная последовательность z_n является бесконечно малой, следует:


1) записать неравенство |z_n|<\varepsilon, где \varepsilon — любое, \varepsilon>0;
2) решить это неравенство относительно n;
3) из полученного решения n>N(\varepsilon), определить N(\varepsilon).

4. Последовательность z_n называется бесконечно большой, если для любого числа M~(M\in\mathbb{R}) найдется номер N(M), такой, что для всех n, удовлетворяющих условию n>N(M), выполняется неравенство |z_n|>M. Геометрически это означает, что члены последовательности z_n для n>N(M) расположены в окрестности бесконечно удаленной точки, в области |z|>M.


Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей легко установить связь между ними. Если a_n — бесконечно малая последовательность, то z_n=\frac{1}{\alpha_n} — бесконечно большая, и наоборот, если z_n — бесконечно большая последовательность, то \alpha_n=\frac{1}{z_n} — бесконечно малая.


5. Число A~(A\ne\infty,\, A\in\mathbb{C}) называется пределом последовательности z_n, если последовательность \alpha_n=z_n-A является бесконечно малой (обозначается A=\lim_{n\to\infty}z_n):


A=\lim_{n\to\infty}z_n~ \Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~~ \exists N(\varepsilon)\colon\, |z_n-A|<\varepsilon для n>N(\varepsilon).

Из определения получаем правило.


Правило 1.2.Чтобы доказать, что заданное число A является пределом данной последовательности z_n, следует:


1) составить последовательность \alpha_n=z_n-A;
2) доказать, что \alpha_n — бесконечно малая последовательность (см. правило 1.1).

6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.


Расходящейся последовательностью является любая неограниченная последовательность, в частности бесконечно большая. Для бесконечно большой последовательности принято обозначение \lim_{n\to\infty}z_n=\infty.


Интерпретация комплексных чисел точками сферы Римана придает этому равенству большую наглядность. Действительно, образами точек последовательности z_n на сфере Римана являются точки M_n с координатами


\xi_n=\frac{x_n}{1+|z_n|^2},\quad \eta_n=\frac{y_n}{1+|z_n|^2},\quad \varphi_n= \frac{|z_n|^2}{1+|z_n|^2}, где x_n=\operatorname{Re}z_n,~ y_n=\operatorname{Im} z_n.

Эти соотношения получаются из равенств x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi} и уравнения сферы \xi^2+\eta^2=\varphi(1-\varphi) (см. замечание 1.2). Поскольку |x_n|\leqslant |z_n|,~ |y_n|\leqslant|z_n|, то условие \lim_{n\to\infty} z_n=\infty означает, что последовательность точек M_n сходится к точке N сферы Римана, так как при этом


\lim_{n\to\infty}\xi_n=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\eta_n=0,\qquad \lim_{n\to\infty} \varphi_n=1.

Пример 1.36. Записать пять первых членов последовательностей: а) z_n= i^n; б) \omega_n=(1+i)^n.


▼ Решение

Подставляя последовательно значения n=1,2,\ldots,5, получаем:


а) z_1=i;~~ z_2=-1;~~ z_3=-i;~~ z_4=1;~~ z_5=i;


б) \omega_1=1+i,~~ \omega_2=(1+i)^2=2i,~~ \omega_3=(1+i)^3= 2i(1+i)= -2+2i,

\omega_4= (1+i)^4= \bigl((1+i)^2\bigr)^2= (2i)^2=-4,~~ \omega_5=(1+i)^5= (1+i)^4(1+i)= -4-4i.


Пример 1.37. Исследовать на ограниченность последовательности: z_n=i^n,~ \omega_n=(1+i)^n.


Решение. Так как |z_n|=|i^n|=1, то для любого n\in \mathbb{N} выполняется, например, неравенство |z_n|<2. По определению последовательность z_n=i^n — ограниченная.


Для второй последовательности, используя свойство модуля, находим


|\omega_n|= \bigl|(1+i)^n\bigr|= \bigl(|1+i|\bigr)^n= \bigl(\sqrt{2}\bigr)^n.

Далее рассматриваем неравенство (\sqrt{2})^n>M при любом M и решаем его относительно n\colon\, n\lg\sqrt{2}>\lg M,~ n>\frac{2\lg M}{\lg 2}. В качестве n_0 можно взять любое N(M)=\frac{2\lg M}{\lg2}. По определению последовательность неограниченная.


Пример 1.38. Доказать, что последовательность z_n вида z_n= q^n является бесконечно малой, если |q|<1, и бесконечно большой, если |q|>1.


▼ Решение

Пусть |q|<1. Воспользуемся правилом 1.1:


1) составляем неравенство |z_n|<\varepsilon, то есть |q^n|=|q|^n<\varepsilon;

2) решаем его относительно n\colon\, n>\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|};

3) обозначив N(\varepsilon)=\left[\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}\right]+1 ([x] — целая часть числа x), получим, что для n>N(\varepsilon) выполняется неравенство |z_n|<\varepsilon для любого \varepsilon>0. По определению z_n — бесконечно малая последовательность.


Учитывая связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей, заключаем, что z_n=q^n при |q|>1 является бесконечно большой.


Так, бесконечно малыми являются, например, последовательности:


\left(\frac{i}{2}\right)^n,~ \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^n,~ \left(\frac{1-2i}{3+i}\right)^n,~ \left(\frac{i}{2-3i}\right)^n; бесконечно большой (1+i)^n,~ \left(\frac{2+i}{1-i}\right)^n.

Пример 1.39. Применяя определение, доказать, что \lim_{n\to\infty} \frac{n-2ni}{n+2}=1-2i.


▼ Решение

Используем правило 1.2:


1) составляем последовательность \alpha_n= z_n-A= \frac{n-2ni}{n+2}-(1-2i)= \frac{4i-2}{n+2};


2) доказываем, что \alpha_n — бесконечно малая. Находим |\alpha_n|= \frac{|4i-2|}{n+2}= \frac{\sqrt{20}}{n+2}. Так как \lim_{n\to\infty}|\alpha_n|=0, то |\alpha_n|<\varepsilon,~ n>N(\varepsilon) и, следовательно, \alpha_n — бесконечно малая.


Исследование сходимости последовательности комплексных чисел и нахождение ее предела (в случае сходимости) можно свести к соответствующей задаче дли последовательностей с действительными членами. А именно имеет место следующее утверждение.


Утверждение 1.2. Для сходимости последовательности z„ необходимо и достаточно, чтобы сходились две последовательности \operatorname{Re}z_n=x_n и \operatorname{Im}z_n=y_n, причем


\lim_{n\to\infty}z_n= \lim_{n\to\infty}\operatorname{Re}z_n+ i\lim_{n\to\infty} \operatorname{Im}z_n, иначе \lim_{n\to\infty}z_n= \lim_{n\to\infty}(x_n+ iy_n)=c~ \Leftrightarrow~ \begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\\ \lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\end{cases} c=a+bi.

Из утверждения 1.2 и свойств сходящихся последовательностей действительных чисел вытекают следующие свойства последовательностей с комплексными членами. Эти свойства приведем в виде утверждения.


Утверждение 1.3. Если \lim_{n\to\infty}z_n=a,~ \lim_{n\to\infty}u_n=b, то


\lim_{n\to\infty}(z_n+u_n)=a+b;\quad \lim_{n\to\infty}z_n\cdot u_n= a\cdot b;\quad \lim_{n\to\infty}\frac{z_n}{u_n}= \frac{a}{b};\quad u_n\ne0,\quad n=1,2,\ldots;\quad b\ne0.

Пример 1.40. Вычислить предел последовательности с комплексными членами \lim_{n\to\infty}\frac{2+3ni}{i-n}.


▼ Решение

Первый способ. Используем утверждение 1.2. Обозначим z_n=\frac{2+3ni}{i-n} и найдем x_n=\operatorname{Re}z_n,~ y_n=\operatorname{Im}z_n, выполняя операцию деления комплексных чисел:


\frac{2+3ni}{i-n}=\frac{(2+3ni)(n+i)}{-(n-i)(n+i)}= \frac{-n+i(3n^2+2)}{-(n^2+1)}= \frac{n}{n^2+1}+ i\,\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}\,.

Получаем x_n=\frac{n}{n^2+1},~ y_n=\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}. Найдем пределы последовательностей действительных чисел:


\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{-(3n^2+2)}{n^2+1}=-3, то есть a=0,~b=-3.

Следовательно, \lim_{n\to\infty}z_n=a+bi=-3i.


Второй способ. Используем утверждение 1.3, применяя соответствующие методы, как в действительном анализе. Находим


\lim_{n\to\infty}\frac{2+3ni}{i-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}+3i}{\frac{i}{n}-1}= -3i, так как здесь \frac{i}{n} и \frac{2}{n} бесконечно малые.



Ряды с комплексными членами


Основные понятия, связанные с рядами в комплексной области, вводятся так же, как в действительной области.


1. Выражение вида z_1+z_2+\ldots+z_n+\ldots, где z_1,z_2,\ldots, z_n,\ldotsпоследовательность комплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается \sum_{n=1}^{\infty}z_n).


2. Сумма z_1+z_2+\ldots+z_n=\sum_{k=1}^{n}z_k называется n-й частичной суммой ряда, обозначается S_n последовательность S_1,S_2,\ldots,S_n,\ldots — последовательность частичных сумм ряда.


3. Ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует \lim_{n\to\infty}S_n. Этот предел называется суммой ряда:


S=\lim_{n\to\infty}S_n,~~S — сумма ряда; S-S_n=\sum_{k=1}^{\infty} a_{n+k} — остаток ряда.

4. Ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд \sum_{n=1}^{\infty}|z_n|. Заметим, что ряд \sum_{n=1}^{\infty}|z_n| — ряд с действительными положительными членами.




Признаки сходимости рядов с комплексными членами


Критерий Коши. Дня сходимости ряда \sum_{n=1}^{\infty}z_n необходимо и достаточно, чтобы для любого \varepsilon>0 можно было найти N(\varepsilon), такое, что для любого n>N(\varepsilon) и любого m (натурального) выполнялось неравенство |z_{n+1}+\ldots+z_{n+m}|< \varepsilon.


Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n сходится, то \lim_{n\to\infty}z_n=0.


Отсюда следует, что условие \lim_{n\to\infty}z_n\ne0 является достаточным условием расходимости ряда \sum_{n=1}^{\infty}z_n.


Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к соответствующей задаче для рядов с действительными членами.


Утверждение 1.4. Дня сходимости ряда с комплексными членами необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда с действительными членами:


\sum_{n=1}^{\infty}x_n= \sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{Re}z_n и \sum_{n=1}^{\infty}y_n= \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Im}z_n,

причем

\sum_{n=1}^{\infty}z_n=S\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}x_n=a,\quad \sum_{n=1}^{\infty}y_n=b,\quad S=a+bi.

Правило 1.3. Чтобы исследовать ряд с комплексными членами на сходимость, необходимо:


1) для данного ряда \sum_{n=1}^{\infty}z_n найти \operatorname{Re}z_n= x_n и \operatorname{Im}z_n=y_n;


2) составить ряды \sum_{n=1}^{\infty}x_n и \sum_{n=1}^{\infty}y_n и исследовать их на сходимость, как ряды с действительными членами. Если оба ряда сходятся, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n, сходящийся, если хотя бы один из рядов \sum_{n=1}^{\infty}x_n или \sum_{n=1}^{\infty}y_n расходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n, расходящийся.


Правило 1.4. Чтобы исследовать комплексный ряд на абсолютную сходимость, необходимо:


1) составить ряд \sum_{n=1}^{\infty}|z_n|, членами которого являются модули членов данного ряда \sum_{n=1}^{\infty}z_n;


2) исследовать полученный ряд на сходимость, как ряд с действительными положительными членами. Для этого могут быть использованы признаки сходимости таких рядов: признак Даламбера, Коши, признаки сравнения, интегральный признак.


Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}|z_n| сходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n сходится абсолютно.


Если \sum_{n=1}^{\infty}|z_n| расходится, то \sum_{n=1}^{\infty}z_n может быть либо расходящимся, либо сходящимся; в последнем случае он называется условно сходящимся.




Признаки абсолютной сходимости рядов с комплексными членами


А. Признак Даламбера. Если \lim_{n\to\infty}\left| \frac{z_{n+1}}{z_n}\right|=|q|<1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n сходится абсолютно.


Б. Признак Коши. Если \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|z_n|}= |q|<1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n сходится абсолютно.


В. Признак сравнения. Если \forall n\,~|z_n|<|\alpha_n| и \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n| сходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_n, сходится абсолютно.


Замечание 1.3. При исследовании на сходимость рядов \sum_{n=1}^{\infty}z_n, где z_n — дробно-рациональное, или дробно-иррациональное выражение от n, используется признак сравнения; при этом в качестве ряда \sum_{n=1}^{\infty}|\alpha_n| выбирается ряд вида \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}, который, как доказывается в действительном анализе, сходится при \alpha>1 и расходится при \alpha\leqslant1.


Пример 1.41. Исследовать на сходимость ряды; в случае сходимости найти суммы рядов:


\bold{1)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{i}{2}\right)^n;\qquad \bold{2)}~ \sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{1}{3^n}+i\,\frac{1}{2^n}\right)\!.


▼ Решение

1) Так как |z_n|=\left(\frac{i}{2}\right)^n, то, применяя признак Коши, получаем \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|z_n|}= \frac{1}{2}<1, следовательно, ряд сходится абсолютно.


Составляем последовательность частичных сумм ряда S_n= \sum_{k=1}^{n}\!\left( \frac{i}{2}\right)^k и обозначаем q=\frac{i}{2}. Тогда S_n= \sum_{k=1}^{n}q^k — сумма n членов геометрической прогрессии:


S_n= \frac{q-q^{n+1}}{1-q}= \frac{q}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q}\,.

Так как |q|<1, то \lim_{n\to\infty}q^{n+1}=0 (см. пример 1.38), поэтому \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q}{1-q}.


Полученный результат можно сформулировать следующим образом: ряд \sum_{n=1}^{\infty} z_n вида \sum_{n=1}^{\infty}q_n при |q|<1 сходится и сумма его вычисляется по формуле S=\frac{q}{1-q}. В данном случае q=\frac{i}{2}, поэтому S=\frac{i \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}{1-i \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}=\frac{i}{2-i}.


2) Используем правило 1.3:


1) из z_n=\frac{1}{3^n}+i\,\frac{1}{2^n} имеем x_n=\frac{1}{3^n} и y_n=\frac{1}{2^n};


2) составляем ряды \sum_{n=1}^{\infty}x_n= \sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{1}{3}\right)^n и \sum_{n=1}^{\infty}y_n= \sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{1}{2}\right)^n. Ряды сходятся как ряды вида \sum_{n=1}^{\infty}q^n,~ |q|<1. и их суммы равны S_1= \frac{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}{1-1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}= \frac{1}{2},~ S_2=\frac{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}{1-1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}=1. Суммой данного ряда является число S=S_1+i\,S_2=\frac{1}{2}+i.


Пример 1.42. Исследовать на сходимость ряды:


\bold{1)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3in-1}{2in^2-\sqrt{3}};\qquad \bold{2)}~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3in-1}{2in^4-\sqrt{3}}.


▼ Решение

Для этих рядов нахождение x_n и y_n затруднительно, поэтому будем пользоваться другими признаками:


1) здесь \lim_{n\to\infty}z_n=\frac{1}{2i}\ne0, ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости;


2) для этого ряда \lim_{n\to\infty}z_n=0, необходимый признак выполняется, но в силу его недостаточности требуется дальнейшее исследование. Воспользуемся замечанием 1.3. Применим признак сравнения с рядом \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\colon


\lim_{n\to\infty}\frac{|z_n|}{1 \!\!\not{\phantom{|}}\, n^2}= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{n^4+3in^3-n^2}{2in^4-\sqrt{3}}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{|n^4-n^2+3in^3|}{|\sqrt{3}-2in^4|}= \frac{1}{2}\,.

Итак, по признаку сравнения ряд сходится абсолютно.


Пример 1.43. Доказать, что сходится абсолютно ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2i)^n}{n!}


▼ Решение

Используя признак Даламбера, рассмотрим \lim_{n\to\infty} \left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|\colon


\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(2i)^{n+1}\cdot n!}{(n+1)!\cdot (2i)^n}\right|= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2i}{n+1}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0<1.

Так как \lim_{n\to\infty} \left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1, то ряд сходится абсолютно.


Заметим, что сходится абсолютно любой ряд вида \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, где z — любое комплексное число.




Свойства абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами


Как и в действительной области, для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами справедливы те же правила действий, что и с конечными суммами.


1. В абсолютно сходящихся рядах допустима любая перестановка и группировка членов (даже бесконечного их числа).


Например, если ряд \sum_{n=1}^{\infty}z_{n} сходится абсолютно, то сходятся и ряды, полученные группировкой членов этого ряда, например \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n} и \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n-1} — ряды членов с четными и нечетными номерами, причем \sum_{n=1}^{\infty}z_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n-1}+ \sum_{n=1}^{\infty}z_{2n}.


2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать по правилу перемножения многочленов.


Пример 1.44. Найти произведение рядов \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!} и \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}


▼ Решение

Как отмечено в примере 1.43, ряды вида \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} — абсолютно сходятся при любом фиксированном z. Поэтому сомножителями являются абсолютно сходящиеся ряды. Перемножим их по правилу перемножения многочленов:


\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_2^n}{n!}&= \!\left(1+z_1+\frac{z_1^2}{2!}+\ldots+\frac{z_1^{n-k}}{(n-k)!}+ \ldots+ \frac{z_1^n}{n!}+ \ldots\right)\! \cdot\! \left(1+z_2+\frac{z_2^2}{2!}+\ldots+ \frac{z_2^k}{k!}+ \ldots+ \frac{z_2^n}{n!}+\ldots\right)\!=\\ &=1+(z_1+z_2)+\left(\frac{z_1^2}{2!}+ z_1z_2+ \frac{z_2^2}{2!} \right)+\ldots+\left(\frac{z_1^n}{n!}+ \frac{z_1^{n-1}z_2}{(n-1)!}+ \ldots+ \frac{z_1^{n-k}z_2^k}{(n-k)!k!}+ \ldots+ \frac{z_2^n}{n!}\right)+\ldots \end{aligned}

Перепишем последнее выражение следующим образом:


1+(z_1+z_2)+ \frac{1}{2!}\bigl(z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\bigr)+ \ldots +\frac{1}{n!}\bigl(z_1^n+nz_1^{n-1}z_2+ \ldots+ z_2^n\bigr)+\ldots

Общий член этого ряда имеет вид \frac{1}{n!}\sum_{n=0}^{n}C_{n}^{k} z_{1}^{n-k}z_2^k, или, согласно формуле бинома Ньютона, \frac{1}{n!}(z_1+z_2)^n. Таким образом, окончательно получаем


\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved