Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат (полярные координаты)


Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки [math]O[/math], называемой полюсом, и полупрямой [math]OX[/math], называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор [math]\vec{i}[/math], приложенный к точке [math]O[/math], длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).


Положение точки в полярной системе координат, полярные радиус и угол

Положение точки [math]M[/math] в полярной системе координат определяется расстоянием [math]r[/math] (полярным радиусом) от точки [math]M[/math] до полюса (т.е. [math]r=\vert\overrightarrow{OM}\vert[/math]) и углом [math]\varphi[/math] (полярным углом) между полярной осью и вектором [math]\overrightarrow{OM}[/math]. Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки [math]M[/math], что записывается в виде [math]M(r,\varphi)[/math]. Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:


- в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

- в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.


Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения [math]r\geqslant0[/math]. Полярный угол [math]\varphi[/math] определен для любой точки плоскости, за исключением полюса [math]O[/math], и принимает значения [math]-\pi<\varphi\leqslant\pi[/math], называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых [math]2\pi n[/math], где [math]n\in\mathbb{Z}[/math]. В этом случае значениям [math]\varphi+2\pi n[/math] полярного угла для всех [math]n\in\mathbb{Z}[/math] соответствует одно и то же направление радиус-вектора.


С полярной системой координат [math]Or\varphi[/math] можно связать прямоугольную систему координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math], начало [math]O[/math] которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.


Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).


Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты [math]x,y[/math] точки [math]M[/math], отличной от точки [math]O[/math], и ее полярные координаты [math]r,\varphi[/math]. По рис.2.28,б получаем


[math]\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\[2pt]y=r\cdot\sin\varphi.\end{cases}[/math]
(2.17)

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:


[math]\left\{\begin{aligned}r&= \sqrt{x^2+y^2},\\ \cos\varphi&= \frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \sin\varphi&= \frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\end{aligned}\right.[/math]
(2.18)

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых [math]2\pi n[/math], где [math]n\in\mathbb{Z}[/math]. При [math]x\ne0[/math] из них следует, что [math]\operatorname{tg}\frac{y}{x}[/math]. Главное значение полярного угла [math]\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi)[/math] находится по формулам (рис.2.29):

Главное значение полярного угла
[math]\varphi=\left\{\begin{aligned}\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x>0,\\\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.[/math]



Пример 2.9. В полярной системе координат [math]Or\varphi[/math]:


а) изобразить координатные линии [math]r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac{\pi}{4},~\varphi=\frac{\pi}{2}[/math];

б) изобразить точки [math]M_1,~M_2[/math] с полярными координатами [math]r_1=3,~\varphi_1=\frac{9\pi}{4},~r_2=3,~\varphi=-\frac{7\pi}{4}[/math]. Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек [math]M_1,~M_2[/math].


Решение. а) Координатные линии [math]r=1,~r=2,~r=3[/math] представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии [math]\varphi=\frac{\pi}{4},[/math] [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] и [math]\varphi=\frac{3\pi}{4}[/math] — полупрямые (рис.2.30,а).


б) Построим точки [math]M_1\!\left(3,\frac{9\pi}{4}\right)[/math] и [math]M_2\!\left(3,-\frac{7\pi}{4}\right)[/math] (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение [math]\varphi=\frac{\pi}{4}[/math]. Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой [math]M\!\left(3,\frac{\pi}{4}\right)[/math], изображенной на рис.2.30,а.


в) Учитывая пункт "б", найдем прямоугольные координаты точки [math]M[/math]. По формулам (2.17) получаем:


[math]x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2};~y=r\cdot\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2},[/math] то есть [math]M\!\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).[/math]

Построение линии в полярной системе координат



Замечания 2.8


1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, [math]0\leqslant\varphi<2\pi[/math].


2. Расстояние между двумя точками [math]M_1(r_1,\varphi_1)[/math] и [math]M_2(r_2,\varphi_2)[/math] (длина отрезка [math]M_1M_2[/math]) вычисляется по формуле


Ориентированная площадь параллелограмма, построенного на радиус-векторах
[math]M_1M_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)},[/math]

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).


3. Ориентированная площадь [math]S_{\ast}^{\land}[/math] параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах [math]\overrightarrow{OM_1}[/math] и [math]\overrightarrow{OM_2}[/math], находится по формуле


[math]S_{\ast\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_2}}^{\land}=\overrightarrow{OM_1}\land\overrightarrow{OM_2}=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1).[/math]

Она положительна, если [math]\varphi_1<\varphi_2[/math] (при этом ориентация пары радиус- векторов [math]\overrightarrow{OM_1}[/math] и [math]\overrightarrow{OM_2}[/math] правая), и отрицательна, если [math]\varphi_1>\varphi_2[/math] (ориентация пары радиус-векторов [math]\overrightarrow{OM_1}[/math] и [math]\overrightarrow{OM_2}[/math] левая).




Пример 2.10. Даны полярные координаты [math]\varphi_A=\frac{\pi}{3},~r_A=4[/math] и [math]\varphi_B=\frac{2\pi}{3},~r_B=2[/math] точек [math]A[/math] и [math]B[/math] (рис.2.32). Требуется найти:


Чертёж точек в полярных координатах

а) скалярное произведение [math]\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl\rangle[/math];

б) длину отрезка [math]AB[/math];

в) внешнее произведение [math]\overrightarrow{OA}\land\overrightarrow{OB}[/math];

г) площадь [math]S_{OAB}[/math] треугольника [math]OAB[/math];

д) координаты середины [math]C[/math] отрезка [math]AB[/math] в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.


Решение. а) По определению скалярного произведения находим


[math]\left\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right\rangle=\left|\overrightarrow{OA}\right|{\cdot}\left|\overrightarrow{OB}\right|\!\cdot\cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac{\pi}{3}=4.[/math]

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):


[math]AB=\sqrt{r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)}=\sqrt{4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}.[/math]

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math]:


[math]\overrightarrow{OA}\land\overrightarrow{OB}=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac{\pi}{3}=4\sqrt{3}.[/math]

Площадь положительная, так как векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] образуют правую пару [math](\varphi_A<\varphi_B)[/math].


г) Площадь треугольника [math]OAB[/math] находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math].


Так как [math]S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}=\left|\overrightarrow{OA}\land\overrightarrow{OB}\right|=4\sqrt{3}[/math] (см. пункт "в"), то [math]S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}=2\sqrt{3}[/math].

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек [math]A[/math] и [math]B[/math]:


[math]\begin{gathered}x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac{1}{2}=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3};\\[3pt] x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac{-1}{2}=-1,\quad y_B=r_B\cdot\sin\varphi_B=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.\end{gathered}[/math]

а затем координаты середины [math]C[/math] отрезка [math]AB[/math] (см. пункт 3 замечаний 2.1):


[math]x_C=\frac{x_A+x_b}{2}=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2};\quad y_C=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.[/math]



Пример 2.11. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] отмечена точка [math]A(4,-3)[/math]. Найти:


Полярные координаты точки и её образа, поворот радиус-вектора на угол вокруг начала координат

а) полярные координаты точки [math]A'[/math], образа точки [math]A[/math] при повороте радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] на угол [math]\frac{\pi}{3}[/math] вокруг начала координат (рис.2.33);


б) полярные координаты точки [math]A_1[/math], образа точки [math]A[/math] при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).


Решение. а) Найдем полярные координаты точки [math]A[/math]. По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:


[math]r_A=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5;\quad\varphi_A=\operatorname{arctg}\frac{y_A}{x_A}=\operatorname{arctg}\frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4},[/math]

так как точка [math]A[/math] лежит в [math]\text{IV}[/math] четверти.


При повороте радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] вокруг полюса на угол [math]\frac{\pi}{3}[/math] полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки [math]A'[/math]: [math]r_{A'}=r_{A}=5[/math], [math]\varphi_{A'}=\varphi_{A}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\operatorname{arctg}\frac{3}{4}[/math], причем [math]\varphi_{A'}[/math] — главное значение полярного угла [math](-\pi<\varphi_{A'}\leqslant\pi)[/math].


б) При инверсии относительно окружности радиуса [math]R[/math] полярные координаты [math]r',\varphi'[/math] образа выражаются через полярные координаты [math]r,\varphi[/math] прообраза следующими формулами:


[math]r'=\frac{R^2}{r},\quad\varphi'=\varphi.[/math]

Поэтому, учитывая пункт "а", находим (для [math]R=1[/math]):


[math]r_{A_1}=\frac{1}{r_A}=\frac{1}{5},\quad\varphi_{A_1}=\varphi_{A}=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved