Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Полуобратная матрица

Полуобратная матрица


Пусть A — произвольная матрица размеров m\times n. Матрица A^{\neg1} размеров n\times m называется полуобратной для матрицы A, если выполняется условие:


A\cdot A^{\neg1}\cdot A=A.
(4.12)

Если, кроме того, выполняется условие

A^{\neg1}\cdot A\cdot A^{\neg1}=A^{\neg1}.
(4.13)

то матрицу A^{\neg1} называют взаимной полуобратной. Далее будут рассматриваться только взаимные полуобратные матрицы, поэтому термин взаимные будем опускать для краткости.


Заметим, что если матрица A имеет обратную A^{\neg1}, то она также является и полуобратной (A^{\neg1}=A^{-1}), так как условия (4.12) и (4.13) для обратной матрицы выполняются:


\underbrace{A\cdot A^{-1}}_{E}\cdot A= E\cdot A=A,\qquad \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{E}\cdot A^{-1}=E\cdot A^{-1}=A^{-1}.

Замечание 4.5. Из определения следует, что (A^{\neg1})^{\ast}= (A^{\ast})^{\neg1}. В самом деле, находя сопряженные матрицы для обеих частей равенств (4.12), (4.13), получаем


A^{\ast}\cdot(A^{\neg1})^{\ast}\cdot A^{\ast}=A^{\ast},\qquad (A^{\neg1})^{\ast}\cdot A^{\ast}\cdot (A^{\neg1})^{\ast}=(A^{\neg1})^{\ast}.

Следовательно, матрица (A^{\neg1})^{\ast} — полуобратная к сопряженной матрице A^{\ast}.




Алгоритм нахождения полуобратной матрицы


Пусть дана ненулевая матрица A размеров m\times n. Для нахождения полуобратной A^{\neg1} нужно выполнить следующие действия.


1. Составить блочную матрицу \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_m\\\hline E_n\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}, приписывая к матрице A слева и снизу единичные матрицы соответствующих размеров. Правый нижний блок этой матрицы может быть произвольным, так как не участвует в дальнейших преобразованиях.


2. Элементарными преобразованиями над первыми m строками и первыми n столбцами привести блочную матрицу к виду матрица размеров m\times n простейшего вида (4.8), r=\operatorname{rg}A.


3.Записать полуобратную матрицу


A^{\neg1}= T\cdot \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S,
(4.14)

где U и V — произвольные матрицы размеров (n-r)\times r и r\times(m-r) соответственно.


В первых двух пунктах алгоритма фактически находится скелетное разложение (4.10) матрицы A:


A=BC;\quad B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1},

не вычисляя, однако, самих множителей B и C. Учитывая (4.11), матрицу (4.14) можно представить в виде


A^{\neg1}=C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1}.
(4.15)

Докажем, что матрица (4.15) является полуобратной. Нужно проверить равенства (4.12) и (4.13). Подставляя матрицы A=BC и A^{\neg1}=C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1} в (4.12) и (4.13), убеждаемся в справедливости этих равенств


\begin{gathered}A\cdot A^{\neg1}\cdot A=B\cdot\underbrace{C\cdot C_{np}^{-1}}_{E_r}\cdot \underbrace{B_{\ell}^{-1}\cdot B}_{}\cdot C=B\cdot C=A;\\[5pt] A^{\neg1}\cdot A\cdot A^{\neg1}= C_{np}^{-1}\cdot\underbrace{B_{\ell}^{-1}\cdot B}_{E_r}\cdot\underbrace{C\cdot C_{np}^{-1}}_{E_r}\cdot B_{\ell}^{-1}= C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1}=A^{\neg1}.\end{gathered}

Следовательно, матрица (4.15) (или, что то же самое, (4.14)) является полуобратной.




Замечания 4.6.


1. Из алгоритма следует, что любая матрица A имеет хотя бы одну полуобратную матрицу. Если матрица A обратима, то обратная матрица A^{-1}, как следует из (4.12), является полуобратной, т.е. A^{\neg1}=A^{-1}. Если исходная матрица A = нулевая размеров m\times n, то любая матрица A^{\neg1} размеров n\times m удовлетворяет условию (4.12), т.е. является полуобратной (но не взаимной полуобратной). Взаимная полуобратная матрица A^{\neg1} для нулевой матрицы A это нулевая матрица размеров n\times m.


2. Первые два пункта алгоритма совпадают с алгоритмом нахождения элементарных преобразующих матриц.


3. Полуобратная матрица (4.14) определена неоднозначно. Элементы матриц U и V можно выбрать произвольным образом. Справедливо и обратное утверждение: любая взаимная полуобратная матрица A^{\neg1} для ненулевой матрицы A может быть записана в виде (4.14), (4.15). Ничего плохого в этой неоднозначности нет. Более того, в зависимости от приложения, выбирая надлежащим образом матрицы U и V, можно придать полуобратной матрице дополнительные свойства.


4. Если поставлена задача нахождения хотя бы одной полуобратной матрицы, то проще всего в формуле (4.14) взять матрицы U и V нулевыми. Тогда в п.3 алгоритма получим полуобратную матрицу


A_{0}^{\neg1}=T\cdot \Lambda\cdot S,
(4.16)

где \Lambda — матрица простейшего вида (4.8), полученная в п.2 алгоритма.


5. Если строки или столбцы матрицы A (размеров m\times n) линейно не зависимы, то в формуле (4.14) отсутствует блок V или блок U соответственно:


A^{\neg1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_m}{U}\end{pmatrix}\!\cdot S~~\text{if}~~r=m;\qquad A^{\neg1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}E_n\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S~~\text{if}~~r=n.

Если r=m=n,то A — невырожденная квадратная матрица, которая имеет обратную и A^{\neg1}=A^{-1}.




Пример 4.9. Для матрицы A=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix} найти полуобратную.


Решение. 1, 2. Первые два пункта алгоритма выполнены при решении примера 1.29, где получены матрицы


\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!,\quad T=\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!,

удовлетворяющие равенству \Lambda=SAT. Осталось выполнить п.3 алгоритма.


3. Найдем хотя бы одну полуобратную матрицу, воспользовавшись формулой (4.16):


\begin{gathered}A_{0}^{\neg1}=T\cdot\Lambda^T\cdot S= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1 \end{pmatrix}=\\[2pt] \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!. \end{gathered}

Нетрудно проверить, что эта матрица полуобратная:


\begin{gathered}A\cdot A_{0}^{\neg1}\cdot A= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}=A;\end{gathered}

\begin{gathered}A_{0}^{\neg1}\cdot A\cdot A_{0}^{\neg1}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}= A_{0}^{\neg1}.\end{gathered}

Найдем множество всех полуобратных матриц по формуле (4.14). Определим размеры матриц U и V. Так как m=3, n=4 и r=\operatorname{rg}A=2, то матрица U имеет размеры 2\times2, а V2\times1. Обозначим элементы этих матриц через


U=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\!,\qquad V=\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}\!.

Запишем полуобратную матрицу (4.14)


\begin{gathered} A^{-1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_2}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_2\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\hline a&b\\c&d \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0\!\!&\vline\!\!&s\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&t \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1-a-c&1-b-d\\a-c&1+b-d\\a&b\\c&d\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1-s&-s&s\\ 1-t&1-t&t\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

При любых значениях параметров полученная матрица будет полуобратной. Возьмем, например, следующие значения параметров:


a=\frac{1}{3};\quad b=0;\quad c=\frac{1}{3};\quad d=\frac{2}{3};\quad s=\frac{1}{3};\quad t=\frac{2}{3}.

Тогда получим полуобратную матрицу


A^{\neg1}= \begin{pmatrix}1/3&1/3\\0&1/3\\1/3&0\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\1/3&1/3&2/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&0&1/3\\ 1/9&1/9&2/9\\ 2/9&-1/9&1/9\\ 4/9&1/9&5/9\end{pmatrix}\!.

Проверка условий (4.12), (4.13) делается так же, как в первом варианте.




Пример 4.10. Используя полуобратную матрицу, решить уравнение


AX=B, где A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Определитель матрицы A равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Пусть матрица A^{\neg1} полуобратная для A. Уравнение AX=B запишем, используя равенство (4.12):


A\cdot A^{\neg1}\cdot A\cdot X=B.

Заменяя в левой части произведение AX матрицей B, получаем


A\cdot A^{\neg1}\cdot B=B.

Отсюда следует, что матрица A^{\neg1}B является одним из решений уравнения AX=B, т.е. X=A^{\neg1}B. Получим это решение, используя алгоритм нахождения полуобратной матрицы.


1. Составим блочную матрицу


\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2&4\!\!&\vline\!\!&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}

2. При помощи элементарных преобразований приводим левый верхний блок (матрицу A) к простейшему виду:


\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2&4\!\!&\vline\!\!&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&-2&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&-2&1\\\hline 1&-2\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\Lambda\!\!&\vline\!\!&S\\\hline T\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\!.

Следовательно, r=\operatorname{rg}A=1,~ S=\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1\end{pmatrix}\!,~ T=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\!..


3. Определим размеры матриц U и V. Так как m=n=2 и r=1, то матрица U имеет размеры (n-r)\times r=1\times1, матрица Vr\times(m-r)=1\times1. Обозначим единственные элементы этих матриц через c и d: U(c), V=(d). По формуле (4.14) запишем полуобратную матрицу:


\begin{aligned}A^{\neg1}&= T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\c\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&d \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}1-2c\\c\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1-2d&d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-2c-2d+4cd&d-2cd\\ c-2cd&cd\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

Умножая ее справа на матрицу B, получаем решение уравнения


X=A^{\neg1}B= \begin{pmatrix} 1-2c-2d+4cd&d-2cd\\ c-2cd&cd\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-2c&0\\c&0\end{pmatrix}\!.

Таким образом, для любого значения параметра c полученная матрица будет решением уравнения. Заметим, что в примере 4.8 были найдены все решения этого уравнения:


X=\begin{pmatrix}1-2c&-2d\\ c&d\end{pmatrix}\!,

где параметры c и d могут принимать любые значения. Сравнивая эту матрицу с полученной при помощи полуобратной матрицы, видим, что найдены не все решения уравнения, а лишь соответствующие нулевому значению параметра d.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved