Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Полуобратная матрица
ОглавлениеЛинейная алгебра

Полуобратная матрица


Пусть [math]A[/math] — произвольная матрица размеров [math]m\times n[/math]. Матрица [math]A^{\neg1}[/math] размеров [math]n\times m[/math] называется полуобратной для матрицы [math]A[/math], если выполняется условие:


[math]A\cdot A^{\neg1}\cdot A=A.[/math]
(4.12)

Если, кроме того, выполняется условие

[math]A^{\neg1}\cdot A\cdot A^{\neg1}=A^{\neg1}.[/math]
(4.13)

то матрицу [math]A^{\neg1}[/math] называют взаимной полуобратной. Далее будут рассматриваться только взаимные полуобратные матрицы, поэтому термин взаимные будем опускать для краткости.


Заметим, что если матрица [math]A[/math] имеет обратную [math]A^{\neg1}[/math], то она также является и полуобратной [math](A^{\neg1}=A^{-1})[/math], так как условия (4.12) и (4.13) для обратной матрицы выполняются:


[math]\underbrace{A\cdot A^{-1}}_{E}\cdot A= E\cdot A=A,\qquad \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{E}\cdot A^{-1}=E\cdot A^{-1}=A^{-1}.[/math]

Замечание 4.5. Из определения следует, что [math](A^{\neg1})^{\ast}= (A^{\ast})^{\neg1}[/math]. В самом деле, находя сопряженные матрицы для обеих частей равенств (4.12), (4.13), получаем


[math]A^{\ast}\cdot(A^{\neg1})^{\ast}\cdot A^{\ast}=A^{\ast},\qquad (A^{\neg1})^{\ast}\cdot A^{\ast}\cdot (A^{\neg1})^{\ast}=(A^{\neg1})^{\ast}.[/math]

Следовательно, матрица [math](A^{\neg1})^{\ast}[/math] — полуобратная к сопряженной матрице [math]A^{\ast}[/math].




Алгоритм нахождения полуобратной матрицы


Пусть дана ненулевая матрица [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math]. Для нахождения полуобратной [math]A^{\neg1}[/math] нужно выполнить следующие действия.


1. Составить блочную матрицу [math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_m\\\hline E_n\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}[/math], приписывая к матрице [math]A[/math] слева и снизу единичные матрицы соответствующих размеров. Правый нижний блок этой матрицы может быть произвольным, так как не участвует в дальнейших преобразованиях.


2. Элементарными преобразованиями над первыми [math]m[/math] строками и первыми [math]n[/math] столбцами привести блочную матрицу к виду матрица размеров [math]m\times n[/math] простейшего вида (4.8), [math]r=\operatorname{rg}A[/math].


3.Записать полуобратную матрицу


[math]A^{\neg1}= T\cdot \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S,[/math]
(4.14)

где [math]U[/math] и [math]V[/math] — произвольные матрицы размеров [math](n-r)\times r[/math] и [math]r\times(m-r)[/math] соответственно.


В первых двух пунктах алгоритма фактически находится скелетное разложение (4.10) матрицы [math]A:[/math]


[math]A=BC;\quad B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1},[/math]

не вычисляя, однако, самих множителей [math]B[/math] и [math]C[/math]. Учитывая (4.11), матрицу (4.14) можно представить в виде

[math]A^{\neg1}=C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1}.[/math]
(4.15)

Докажем, что матрица (4.15) является полуобратной. Нужно проверить равенства (4.12) и (4.13). Подставляя матрицы [math]A=BC[/math] и [math]A^{\neg1}=C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1}[/math] в (4.12) и (4.13), убеждаемся в справедливости этих равенств


[math]\begin{gathered}A\cdot A^{\neg1}\cdot A=B\cdot\underbrace{C\cdot C_{np}^{-1}}_{E_r}\cdot \underbrace{B_{\ell}^{-1}\cdot B}_{}\cdot C=B\cdot C=A;\\[5pt] A^{\neg1}\cdot A\cdot A^{\neg1}= C_{np}^{-1}\cdot\underbrace{B_{\ell}^{-1}\cdot B}_{E_r}\cdot\underbrace{C\cdot C_{np}^{-1}}_{E_r}\cdot B_{\ell}^{-1}= C_{np}^{-1}\cdot B_{\ell}^{-1}=A^{\neg1}.\end{gathered}[/math]

Следовательно, матрица (4.15) (или, что то же самое, (4.14)) является полуобратной.




Замечания 4.6.


1. Из алгоритма следует, что любая матрица [math]A[/math] имеет хотя бы одну полуобратную матрицу. Если матрица [math]A[/math] обратима, то обратная матрица [math]A^{-1}[/math], как следует из (4.12), является полуобратной, т.е. [math]A^{\neg1}=A^{-1}[/math]. Если исходная матрица [math]A[/math] = нулевая размеров [math]m\times n[/math], то любая матрица [math]A^{\neg1}[/math] размеров [math]n\times m[/math] удовлетворяет условию (4.12), т.е. является полуобратной (но не взаимной полуобратной). Взаимная полуобратная матрица [math]A^{\neg1}[/math] для нулевой матрицы [math]A[/math] это нулевая матрица размеров [math]n\times m[/math].


2. Первые два пункта алгоритма совпадают с алгоритмом нахождения элементарных преобразующих матриц.


3. Полуобратная матрица (4.14) определена неоднозначно. Элементы матриц [math]U[/math] и [math]V[/math] можно выбрать произвольным образом. Справедливо и обратное утверждение: любая взаимная полуобратная матрица [math]A^{\neg1}[/math] для ненулевой матрицы [math]A[/math] может быть записана в виде (4.14), (4.15). Ничего плохого в этой неоднозначности нет. Более того, в зависимости от приложения, выбирая надлежащим образом матрицы [math]U[/math] и [math]V[/math], можно придать полуобратной матрице дополнительные свойства.


4. Если поставлена задача нахождения хотя бы одной полуобратной матрицы, то проще всего в формуле (4.14) взять матрицы [math]U[/math] и [math]V[/math] нулевыми. Тогда в п.3 алгоритма получим полуобратную матрицу


[math]A_{0}^{\neg1}=T\cdot \Lambda\cdot S,[/math]
(4.16)

где [math]\Lambda[/math] — матрица простейшего вида (4.8), полученная в п.2 алгоритма.

5. Если строки или столбцы матрицы [math]A[/math] (размеров [math]m\times n[/math]) линейно не зависимы, то в формуле (4.14) отсутствует блок [math]V[/math] или блок [math]U[/math] соответственно:


[math]A^{\neg1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_m}{U}\end{pmatrix}\!\cdot S~~\text{if}~~r=m;\qquad A^{\neg1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}E_n\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S~~\text{if}~~r=n.[/math]

Если [math]r=m=n[/math],то [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, которая имеет обратную и [math]A^{\neg1}=A^{-1}[/math].




Пример 4.9. Для матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}[/math] найти полуобратную.


Решение. 1, 2. Первые два пункта алгоритма выполнены при решении примера 1.29, где получены матрицы


[math]\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!,\quad T=\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!,[/math]

удовлетворяющие равенству [math]\Lambda=SAT[/math]. Осталось выполнить п.3 алгоритма.

3. Найдем хотя бы одну полуобратную матрицу, воспользовавшись формулой (4.16):


[math]\begin{gathered}A_{0}^{\neg1}=T\cdot\Lambda^T\cdot S= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1 \end{pmatrix}=\\[2pt] \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Нетрудно проверить, что эта матрица полуобратная:

[math]\begin{gathered}A\cdot A_{0}^{\neg1}\cdot A= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}=A;\end{gathered}[/math]

[math]\begin{gathered}A_{0}^{\neg1}\cdot A\cdot A_{0}^{\neg1}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}= A_{0}^{\neg1}.\end{gathered}[/math]

Найдем множество всех полуобратных матриц по формуле (4.14). Определим размеры матриц [math]U[/math] и [math]V[/math]. Так как [math]m=3,[/math] [math]n=4[/math] и [math]r=\operatorname{rg}A=2[/math], то матрица [math]U[/math] имеет размеры [math]2\times2[/math], а [math]V[/math][math]2\times1[/math]. Обозначим элементы этих матриц через


[math]U=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\!,\qquad V=\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}\!.[/math]

Запишем полуобратную матрицу (4.14)

[math]\begin{gathered} A^{-1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_2}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_2\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\hline a&b\\c&d \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0\!\!&\vline\!\!&s\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&t \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1-a-c&1-b-d\\a-c&1+b-d\\a&b\\c&d\end{pmatrix}\!\xdot\! \begin{pmatrix}1-s&-s&s\\ 1-t&1-t&t\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

При любых значениях параметров полученная матрица будет полуобратной. Возьмем, например, следующие значения параметров:

[math]a=\frac{1}{3};\quad b=0;\quad c=\frac{1}{3};\quad d=\frac{2}{3};\quad s=\frac{1}{3};\quad t=\frac{2}{3}.[/math]

Тогда получим полуобратную матрицу

[math]A^{\neg1}= \begin{pmatrix}1/3&1/3\\0&1/3\\1/3&0\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\1/3&1/3&2/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&0&1/3\\ 1/9&1/9&2/9\\ 2/9&-1/9&1/9\\ 4/9&1/9&5/9\end{pmatrix}\!.[/math]

Проверка условий (4.12), (4.13) делается так же, как в первом варианте.




Пример 4.10. Используя полуобратную матрицу, решить уравнение


[math]AX=B,[/math] где [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Определитель матрицы [math]A[/math] равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Пусть матрица [math]A^{\neg1}[/math] полуобратная для [math]A[/math]. Уравнение [math]AX=B[/math] запишем, используя равенство (4.12):


[math]A\cdot A^{\neg1}\cdot A\cdot X=B.[/math]

Заменяя в левой части произведение [math]AX[/math] матрицей [math]B[/math], получаем


[math]A\cdot A^{\neg1}\cdot B=B.[/math]

Отсюда следует, что матрица [math]A^{\neg1}B[/math] является одним из решений уравнения [math]AX=B[/math], т.е. [math]X=A^{\neg1}B[/math]. Получим это решение, используя алгоритм нахождения полуобратной матрицы.


1. Составим блочную матрицу


[math]\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2&4\!\!&\vline\!\!&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}[/math]

2. При помощи элементарных преобразований приводим левый верхний блок (матрицу [math]A[/math]) к простейшему виду:


[math]\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2&4\!\!&\vline\!\!&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&-2&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&-2&1\\\hline 1&-2\!\!&\vline\!\!&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\Lambda\!\!&\vline\!\!&S\\\hline T\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]r=\operatorname{rg}A=1,~ S=\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1\end{pmatrix}\!,~ T=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math].


3. Определим размеры матриц [math]U[/math] и [math]V[/math]. Так как [math]m=n=2[/math] и [math]r=1[/math], то матрица [math]U[/math] имеет размеры [math](n-r)\times r=1\times1[/math], матрица [math]V[/math][math]r\times(m-r)=1\times1[/math]. Обозначим единственные элементы этих матриц через [math]c[/math] и [math]d:[/math] [math]U(c),[/math] [math]V=(d)[/math]. По формуле (4.14) запишем полуобратную матрицу:


[math]\begin{aligned}A^{\neg1}&= T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\c\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&d \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}1-2c\\c\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1-2d&d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-2c-2d+4cd&d-2cd\\ c-2cd&cd\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Умножая ее справа на матрицу [math]B[/math], получаем решение уравнения


[math]X=A^{\neg1}B= \begin{pmatrix} 1-2c-2d+4cd&d-2cd\\ c-2cd&cd\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-2c&0\\c&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Таким образом, для любого значения параметра [math]c[/math] полученная матрица будет решением уравнения. Заметим, что в примере 4.8 были найдены все решения этого уравнения:


[math]X=\begin{pmatrix}1-2c&-2d\\ c&d\end{pmatrix}\!,[/math]

где параметры [math]c[/math] и [math]d[/math] могут принимать любые значения. Сравнивая эту матрицу с полученной при помощи полуобратной матрицы, видим, что найдены не все решения уравнения, а лишь соответствующие нулевому значению параметра [math]d[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved