Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел


Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.


Комплексным числом называется выражение вида x+yi, где x и y — действительные числа, а i — символ, называемый мнимой единицей. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z=x+yi и обозначаются


x=\operatorname{}(x+yi)= \operatorname{Re}z,\qquad y=\operatorname{Im}(x+yi)= \operatorname{Im}z\,.
(B.4)

Если мнимая часть равна нулю (y=0), то число x+0i считается совпадающим с действительным числом x. Если действительная часть равна нулю (x=0), то число 0+yi называется чисто мнимым и обозначается просто yi.


Два комплексных числа x_1+y_1i и x_2+ y_2i называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:


x_1+y_1\cdot i=x_2+y_2\cdot i\quad \Rightarrow\quad\! \begin{cases}x_1=x_2,\\ y_1=y_2. \end{cases}

Множество комплексных чисел обозначается символом \mathbb{C}. Определим на этом множестве арифметические операции.




Сложение и вычитание в поле комплексных чисел


Суммой z_1+z_2 комплексных чисел z_1=x_1+y_1i и z_2=x_2+y_2i называется комплексное число


z=z_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\cdot i\,.
(B.5)

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:


а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: z_1+z_2=z_2+z_1~ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C};


б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3~ \forall z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C};


в) существует нулевой элемент \theta=0+0i\colon\, z+\theta=\theta+z=z~ \forall z\in \mathbb{C}; нулевой элемент обозначается просто символом нуль 0=0+0i;


г) для каждого комплексного числа z=x+yi существует противоположный ему элемент


(-z)=(-x)+(-y)i\colon~ z+(-z)=(-z)+z=0.

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел z_1=x_1+y_1i и z_2=x_2+y_2i называется комплексное число


z=z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\cdot i\,.



Умножение и деление в поле комплексных чисел


Произведением z_1z_2 комплексных чисел z_1=x_1+y_1i и z_2=x_2+y_2i называется комплексное число


z=z_1\cdot z_2= (x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2)+(x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1)\cdot i\,.
(B.6)

В частности, i\cdot i=(0+1i)\cdot(0+1i)= (0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+0\cdot1)i= -1+0\cdot i=-1, то есть i\cdot i=-1.


Правую часть формулы (В.6) можно получить, если перемножить выражения (x_1+y_1i) и (x_2+y_2i), как двучлены, и учесть равенство i\cdot i=-1.


Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:


а) операция умножения комплексных чисел коммутативна: z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1~ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}.


б) операция умножения комплексных чисел ассоциативна: z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3~ \forall z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}.


в) существует единичный элемент e=1+0i\colon\, ze=ez=z~ \forall z\in \mathbb{C}; единичный элемент обозначается просто символом единица: 1=1+0i;


г) для каждого комплексного числа z=x+yi, отличного от нуля, существует обратный ему элемент


z^{-1}= \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y\cdot i}{x^2+y^2} такой, что z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z=1.

В самом деле, знаменатель дробей отличен от нуля, так как равенство x^2+y^2=0 означает, что x=0 и y=0, т.е. z=0+0i=0. Следовательно, для z\ne0 правая часть определена. Проверим равенство zz^{-1}=1. Используя определение (В.6) и равенство i\cdot i=-1, получаем:


z\cdot z^{-1}=(x+yi)\cdot\! \left(\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y\cdot i}{x^2+y^2}\right)= \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}+\frac{-xy+yx}{x^2+y^2}\cdot i = 1+0i=1\,.

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).


Частным двух чисел z_1=x_1+y_1i и z_2=x_2+y_2i называется комплексное число


z=\frac{z_1}{z_2}= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\cdot i\,.
(B.7)

Правую часть формулы (В.7) можно получить, если умножить числитель и знаменатель дроби \frac{z_1}{z_2} на число x_2-y_2i.


Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:


(z_1+z_2)\cdot z_3= z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3\qquad \forall z_1\in \mathbb{C},\quad \forall z_2\in \mathbb{C},\quad \forall z_3\in \mathbb{C}.

Таким образом, множество \mathbb{C} комплексных чисел является полем.




Пример В.10. Пусть z_1=2+i,~ z_2=1+2i. Вычислить z_1+z_2,~ z_1-z_2,~ z_1z_2,~ \frac{z_1}{z_2}.


Решение. По определению операций получаем


\begin{gathered} z_1+z_2= (2+i)+(1+2i)=3+3i\,;\qquad z_1-z_2=(2+i)-(1+2i)=1-i\,;\\[5pt] z_1\cdot z_2= (2+i)\cdot(1+2i)= 2+4i+i+2i^2= 2-2+5i=5i\,;\\[5pt] \frac{z_1}{z_2}= \frac{2+i}{1+2i}= \frac{(2+i)\cdot(1-2i)}{(1+2i)\cdot(1-2i)}= \frac{2+i-4i-2i^2}{1-4i^2}= \frac{4-3i}{5}= 0,\!8-0,\!6i\,. \end{gathered}

При нахождении произведения и частного использовалось равенство i^2=-1.




Сопряженные числа в поле комплексных чисел


Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые — противоположны по знаку. Число, сопряженное числу z=x+yi, обозначается \overline{z}=x-yi.


Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:


\begin{gathered}z+\overline{z}= (x+yi)+(x-yi)= 2x=2 \operatorname{Re}z\,;\\ z\cdot\overline{z}= (x+yi)\cdot(x-yi)= x^2+y^2.\end{gathered}

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:


1) \overline{z_1\pm z_2}= \overline{z}_1\pm \overline{z}_2;


2) \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z}_1\cdot \overline{z}_2, в частности: \overline{z^n}= \bigl(\overline{z}\bigr)^n~ \forall n\in \mathbb{N};


3) \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}= \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}.




Пример В.11. Решить уравнение z^2-2z+5=0.


Решение. Пусть z=x+yi — корень уравнения. Тогда


(x+yi)^2-2(x+yi)+5=0~\Leftrightarrow~ x^2+2xyi-y^2-2x-2yi+5=0 или (x^2-y^2-2x+5)+(2xy-2y)i=0.

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем


\begin{cases}x^2-y^2-2x+5=0,\\ 2xy-2y=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases} x^2-y^2-2x+5=0,\\ (x-1)y=0\end{cases}

Из второго уравнения следует, что x=1 (случай y=0 не подходит, так как уравнение x^2-2x+5=0 не имеет действительных корней). Подставляя x=1 в первое уравнение, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~ y=\pm2. Таким образом, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня z_{1,2}=1\pm2i.




Замечания В.3


1. Квадратное уравнение az^2+bz+c=0 с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом D=b^2-4ac<0 имеет два комплексных сопряженных корня z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}.


2. Равенство (В.7) можно получить, умножая числитель и знаменатель дроби \frac{z_1}{z_2} на число \overline{z}_2, сопряженное числу z_2 (см. пример В.10).


3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что


\overline{p_n(z)}=p_n(\overline{z}) для любого многочлена p_n(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0

степени n с действительными коэффициентами a_n,a_{n-1},\ldots, a_1,a_0.


4. Рассмотренные ранее числовые поля удовлетворяют включениям \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}, т.е. поле комплексных чисел содержит поле действительных чисел, которое, в свою очередь, содержит поле рациональных чисел.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved