Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел


Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.


Комплексным числом называется выражение вида [math]x+yi[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] — действительные числа, а [math]i[/math] — символ, называемый мнимой единицей. Числа [math]x[/math] и [math]y[/math] называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа [math]z=x+yi[/math] и обозначаются


[math]x=\operatorname{}(x+yi)= \operatorname{Re}z,\qquad y=\operatorname{Im}(x+yi)= \operatorname{Im}z\,.[/math]
(B.4)

Если мнимая часть равна нулю [math](y=0)[/math], то число [math]x+0i[/math] считается совпадающим с действительным числом [math]x[/math]. Если действительная часть равна нулю [math](x=0)[/math], то число [math]0+yi[/math] называется чисто мнимым и обозначается просто [math]yi[/math].


Два комплексных числа [math]x_1+y_1i[/math] и [math]x_2+ y_2i[/math] называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:


[math]x_1+y_1\cdot i=x_2+y_2\cdot i\quad \Rightarrow\quad\! \begin{cases}x_1=x_2,\\ y_1=y_2. \end{cases}[/math]

Множество комплексных чисел обозначается символом [math]\mathbb{C}[/math]. Определим на этом множестве арифметические операции.




Сложение и вычитание в поле комплексных чисел


Суммой [math]z_1+z_2[/math] комплексных чисел [math]z_1=x_1+y_1i[/math] и [math]z_2=x_2+y_2i[/math] называется комплексное число


[math]z=z_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\cdot i\,.[/math]
(B.5)

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:


а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: [math]z_1+z_2=z_2+z_1~ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}[/math];


б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: [math]z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3~ \forall z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}[/math];


в) существует нулевой элемент [math]\theta=0+0i\colon\, z+\theta=\theta+z=z~ \forall z\in \mathbb{C}[/math]; нулевой элемент обозначается просто символом нуль [math]0=0+0i[/math];


г) для каждого комплексного числа [math]z=x+yi[/math] существует противоположный ему элемент


[math](-z)=(-x)+(-y)i\colon~ z+(-z)=(-z)+z=0.[/math]

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел [math]z_1=x_1+y_1i[/math] и [math]z_2=x_2+y_2i[/math] называется комплексное число


[math]z=z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\cdot i\,.[/math]



Умножение и деление в поле комплексных чисел


Произведением [math]z_1z_2[/math] комплексных чисел [math]z_1=x_1+y_1i[/math] и [math]z_2=x_2+y_2i[/math] называется комплексное число


[math]z=z_1\cdot z_2= (x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2)+(x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1)\cdot i\,.[/math]
(B.6)

В частности, [math]i\cdot i=(0+1i)\cdot(0+1i)= (0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+0\cdot1)i= -1+0\cdot i=-1[/math], то есть [math]i\cdot i=-1[/math].


Правую часть формулы (В.6) можно получить, если перемножить выражения [math](x_1+y_1i)[/math] и [math](x_2+y_2i)[/math], как двучлены, и учесть равенство [math]i\cdot i=-1[/math].


Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:


а) операция умножения комплексных чисел коммутативна: [math]z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1~ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}[/math].


б) операция умножения комплексных чисел ассоциативна: [math]z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3~ \forall z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}[/math].


в) существует единичный элемент [math]e=1+0i\colon\, ze=ez=z~ \forall z\in \mathbb{C}[/math]; единичный элемент обозначается просто символом единица: [math]1=1+0i[/math];


г) для каждого комплексного числа [math]z=x+yi[/math], отличного от нуля, существует обратный ему элемент


[math]z^{-1}= \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y\cdot i}{x^2+y^2}[/math] такой, что [math]z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z=1[/math].

В самом деле, знаменатель дробей отличен от нуля, так как равенство [math]x^2+y^2=0[/math] означает, что [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math], т.е. [math]z=0+0i=0[/math]. Следовательно, для [math]z\ne0[/math] правая часть определена. Проверим равенство [math]zz^{-1}=1[/math]. Используя определение (В.6) и равенство [math]i\cdot i=-1[/math], получаем:


[math]z\cdot z^{-1}=(x+yi)\cdot\! \left(\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y\cdot i}{x^2+y^2}\right)= \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}+\frac{-xy+yx}{x^2+y^2}\cdot i = 1+0i=1\,.[/math]

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).


Частным двух чисел [math]z_1=x_1+y_1i[/math] и [math]z_2=x_2+y_2i[/math] называется комплексное число


[math]z=\frac{z_1}{z_2}= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\cdot i\,.[/math]
(B.7)

Правую часть формулы (В.7) можно получить, если умножить числитель и знаменатель дроби [math]\frac{z_1}{z_2}[/math] на число [math]x_2-y_2i[/math].


Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:


[math](z_1+z_2)\cdot z_3= z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3\qquad \forall z_1\in \mathbb{C},\quad \forall z_2\in \mathbb{C},\quad \forall z_3\in \mathbb{C}.[/math]

Таким образом, множество [math]\mathbb{C}[/math] комплексных чисел является полем.




Пример В.10. Пусть [math]z_1=2+i,~ z_2=1+2i[/math]. Вычислить [math]z_1+z_2,~ z_1-z_2,~ z_1z_2,~ \frac{z_1}{z_2}[/math].


Решение. По определению операций получаем


[math]\begin{gathered} z_1+z_2= (2+i)+(1+2i)=3+3i\,;\qquad z_1-z_2=(2+i)-(1+2i)=1-i\,;\\[5pt] z_1\cdot z_2= (2+i)\cdot(1+2i)= 2+4i+i+2i^2= 2-2+5i=5i\,;\\[5pt] \frac{z_1}{z_2}= \frac{2+i}{1+2i}= \frac{(2+i)\cdot(1-2i)}{(1+2i)\cdot(1-2i)}= \frac{2+i-4i-2i^2}{1-4i^2}= \frac{4-3i}{5}= 0,\!8-0,\!6i\,. \end{gathered}[/math]

При нахождении произведения и частного использовалось равенство [math]i^2=-1[/math].




Сопряженные числа в поле комплексных чисел


Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые — противоположны по знаку. Число, сопряженное числу [math]z=x+yi[/math], обозначается [math]\overline{z}=x-yi[/math].


Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:


[math]\begin{gathered}z+\overline{z}= (x+yi)+(x-yi)= 2x=2 \operatorname{Re}z\,;\\ z\cdot\overline{z}= (x+yi)\cdot(x-yi)= x^2+y^2.\end{gathered}[/math]

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:


1) [math]\overline{z_1\pm z_2}= \overline{z}_1\pm \overline{z}_2[/math];


2) [math]\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z}_1\cdot \overline{z}_2[/math], в частности: [math]\overline{z^n}= \bigl(\overline{z}\bigr)^n~ \forall n\in \mathbb{N}[/math];


3) [math]\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}= \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}[/math].




Пример В.11. Решить уравнение [math]z^2-2z+5=0[/math].


Решение. Пусть [math]z=x+yi[/math] — корень уравнения. Тогда


[math](x+yi)^2-2(x+yi)+5=0~\Leftrightarrow~ x^2+2xyi-y^2-2x-2yi+5=0[/math] или [math](x^2-y^2-2x+5)+(2xy-2y)i=0[/math].

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем


[math]\begin{cases}x^2-y^2-2x+5=0,\\ 2xy-2y=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases} x^2-y^2-2x+5=0,\\ (x-1)y=0\end{cases}[/math]

Из второго уравнения следует, что [math]x=1[/math] (случай [math]y=0[/math] не подходит, так как уравнение [math]x^2-2x+5=0[/math] не имеет действительных корней). Подставляя [math]x=1[/math] в первое уравнение, получаем [math]y^2=4~\Leftrightarrow~ y=\pm2[/math]. Таким образом, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня [math]z_{1,2}=1\pm2i[/math].




Замечания В.3


1. Квадратное уравнение [math]az^2+bz+c=0[/math] с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом [math]D=b^2-4ac<0[/math] имеет два комплексных сопряженных корня [math]z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}[/math].


2. Равенство (В.7) можно получить, умножая числитель и знаменатель дроби [math]\frac{z_1}{z_2}[/math] на число [math]\overline{z}_2[/math], сопряженное числу [math]z_2[/math] (см. пример В.10).


3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что


[math]\overline{p_n(z)}=p_n(\overline{z})[/math] для любого многочлена [math]p_n(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0[/math]

степени [math]n[/math] с действительными коэффициентами [math]a_n,a_{n-1},\ldots, a_1,a_0[/math].


4. Рассмотренные ранее числовые поля удовлетворяют включениям [math]\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}[/math], т.е. поле комплексных чисел содержит поле действительных чисел, которое, в свою очередь, содержит поле рациональных чисел.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved