Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Показатели эффективности инвестиционного проекта (инвестиций)
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Показатели эффективности инвестиционного проекта (инвестиций) Основными показателями оценки эффективности инвестиционного проекта являются: – чистый дисконтированный доход (NPV); – индекс доходности (PI); – внутренняя норма доходности (IRR, %); – модифицированная внутренняя ставка доходности (MIRR, %); – период окупаемости первоначальных затрат (РР); – период окупаемости первоначальных затрат, рассчитанный с учетом дисконтирования денежных потоков (DPP); – средневзвешенная (бухгалтерская) ставка рентабельности (ARR). Рассмотрим данные показатели эффективности инвестиций более подробно. Метод чистой дисконтированной доходности инвестиций Метод чистой дисконтированной доходности основан на сопоставлении дисконтированной стоимости денежных поступлений (инвестиций), генерируемых предприятием в течение прогнозируемого периода. Целью данного метода является выявление реального размера прибыли, который может быть получен организацией вследствие реализации данного инвестиционного проекта. Чистый дисконтированный доход (Profitability Index — PI) количественно определяется несколькими способами: — текущая стоимость денежных доходов минус текущая стоимость денежных затрат (за исключением затрат на финансирование), дисконтированных с использованием средневзвешенной цены заемного и собственного капитала; — текущая стоимость денежных притоков к акционерам минус текущая стоимость денежных оттоков от акционеров, дисконтированных по ставке, равной издержкам упущенных возможностей; — текущая стоимость экономической прибыли, дисконтированной по ставке, равной издержкам упущенных возможностей. Все три подхода раскрывают экономическую суть чистой текущей стоимости. Показатель чистой приведенной стоимости рассчитывается по формуле: $NPV=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}-IC,$ (1.35) где $CF$ — дисконтированный поток денежных средств; $IC$ — первоначальные инвестиции (в нулевой период); $t$ — год расчета; $r$ — ставка дисконтирования, равная средневзвешенной стоимости капитала (WACC); $n$ — период дисконтирования. Данная модель предполагает наличие условий: – объем инвестиций принимается как завершенный; – объем инвестиций принимается в оценке на момент проведения анализа; – процесс отдачи начинается после завершения инвестиций. В качестве ставки дисконтирования $r$ может использоваться: – кредитная ставка банка; – средневзвешенная стоимость капитала; – альтернативная стоимость капитала; – внутренняя норма доходности. Если анализ проводится до начала инвестиций, то размер инвестиционных расходов также должен быть приведен к настоящему моменту. Модель расчета чистого приведенного дохода примет вид: $NPV=\sum_{i=1}^{n_2}\frac{R_i}{(1+r)^{i+n_1}}-\sum_{t=1}^{n}\frac{IC_t}{(1+r)^t}\,,$ (1.36) где $IC_t$ — инвестиционные расходы в периоде $t$ ; $R_i$ — доход в периоде $i$ ; $n_1$ — продолжительность периода инвестиций; $n_2$ — продолжительность периода отдачи от инвестиций. Показатель $NPV$ отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала коммерческой организации в случае принятия рассматриваемого проекта. Если $NPV>0$ , то проект является прибыльным, увеличивающим на величину $NPV$ фактическую стоимость организации. Пример 6. Расчет чистой текущей стоимости проекта, представленного в табл. 1.10, на основе формулы (1.36) можно представить тремя этапами: 1. Дисконтированный доход $PV_R=186\cdot0,\!75+ 279\cdot0,\!69+372\cdot0,\!62=561,\!3$ тыс. руб. 2. Дисконтированная сумма капитальных затрат $PV_K=279\cdot0,\!91+186\cdot0,\!83=407,\!3$ тыс. руб. 3. Чистая приведённая стоимость $NPV=PV_R-PV_K=561,\!3-407,\!3=154$ тыс. руб. Поступления за каждый период времени могут быть представлены как разность дисконтированных на один момент времени показателей дохода и капитальных вложений (табл. 1.11). Выбор инвестиционных проектов по критерию чистой текущей стоимости основывается на таких правилах: — если чистая текущая стоимость положительна $(NPV>0)$ , то финансовое решение по проекту может быть принято; — если проекты независимы и имеют положительную чистую текущую стоимость, то могут быть приняты оба. Если $NPV>0$ , то проект является убыточным и должен быть отвергнут. Если $NPV=0$ , то проект не является ни прибыльным, ни убыточным, т. е. с экономической точки зрения безразлично, принимать или нет этот проект; если проекты альтернативны, то принимается проект с большей чистой текущей стоимостью. Логика рассмотренного критерия ясна: даже если чистая текущая стоимость нулевая, то генерируемого проектом денежного потока достаточно для возмещения вложенного капитала; для обеспечения необходимой отдачи (не менее цены капитала фирмы) на вложенный капитал. Если чистая текущая стоимость больше нуля, то проект генерирует прибыль, которая принадлежит акционерам, цена фирмы возрастает. Итак, критерий $NPV$ позволяет выявить экономическую отдачу от реализации проекта. Например, если изначально единственной целью проекта ставилось получение прибыли, а значение $NPV$ оказалось отрицательным, то проект может быть окончательно отвергнут на этой стадии анализа. Ключевым моментом при расчете чистой приведенной стоимости, как и при использовании других методов анализа, основанных на дисконтных оценках, является выбор ставки дисконтирования. Ставка дисконтирования выбирается разработчиком самостоятельно. При этом следует учитывать размер безрисковых ставок, прогнозируемый темп инфляции за период, норму вмененных издержек, неопределенность и риск при планировании отдаленных по времени денежных поступлений и др. Обоснование выбора ставки дисконтирования в каждом случае индивидуально и зависит от условий и целей анализа, а также от квалификации аналитика. Путем дисконтирования денежных потоков аналитик сможет убедиться в том, что инвестиции приносят большие денежные доходы, чем лучшие имеющиеся альтернативы. При этом "лучшая" может трактоваться по-разному. В качестве "лучшей" может рассматриваться возможность безрискового размещения капитала или другой инвестиционный проект, приносящий максимальную прибыль. Любой инвестиционный проект должен быть, по крайней мере, сравнен с возможностью безрискового инвестирования. Безрисковое инвестирование (покупка государственных ценных бумаг или размещение денежных средств на депозите в банке), кроме отсутствия самого риска, сопровождается минимальными трудозатратами, т. е. представляет собой наиболее простой способ инвестирования. Поэтому, если инвестиционный проект приносит прибыль меньшую, чем прибыль при безрисковом размещении аналогичных средств, то он, безусловно, является коммерчески несостоятельным. На практике сравнение с безрисковым инвестированием осуществляется выбором при расчете $NPV$ в качестве ставки дисконтирования безрисковой ставки. В качестве безрисковой принято рассматривать ставку валютного депозита банка. Потребность в дополнительном финансировании с учетом дисконта — максимальное значение абсолютной величины отрицательного накопленного дисконтированного сальдо от инвестиционной и операционной деятельности; показывает минимальный дисконтированный объем внешнего финансирования проекта, необходимый для обеспечения его финансовой реализуемости. Пример 7. Пусть движение денежных средств пятилетнего проекта выглядит следующим образом: Результаты расчета чистой текущей стоимости для различных ставок дисконтирования приведены в табл. 1.12. График чистой текущей стоимости, построенный на основе табл. 1.12, показывает изменение $NPV$ при изменении ставки дисконтирования (рис. 1.14). Чем больший наклон имеет линия графика $NPV$ , тем рискованнее изменение цены капитала для проекта. В рассмотренном примере при стоимости финансирования проекта свыше 12,52 % проект утрачивает свою привлекательность, поскольку его принятие ведет к уменьшению богатства акционеров. После вычисления чистой текущей стоимости ряда проектов может возникнуть проблема выбора альтернативных инвестиций различных объемов. В этом случае нельзя игнорировать тот факт, что хотя чистые текущие стоимости альтернативных проектов могут быть близкими или даже одинаковыми, они затрагивают сильно различающиеся размерами первоначальные инвестиции. Для сравнения альтернативных проектов применяется показатель — индекс рентабельности инвестиций RI. Индекс доходности (прибыльности) инвестиций (Profitability Index — PI) Индекс доходности инвестиций — это доход на единицу вложенных средств. Он определяется как отношение текущей стоимости денежного потока доходов к текущей стоимости инвестиционных затрат: $PI=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}:IC=1+NPV:IC.$ (1.37) В отличие от чистой дисконтированной стоимости индекс рентабельности представляет собой относительный показатель: он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т. е. эффективность вложений — чем больше значение этого показателя, тем выше отдача каждой гривни, инвестированной в данный проект. Благодаря этому критерий $PI$ очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих близкие значения $NPV$ (в частности, если два проекта имеют одинаковые значения $NPV$ , но разные объемы требуемых инвестиций, то очевидно, что выгоднее тот из них, который обеспечивает большую эффективность вложений), либо при комплектовании портфеля инвестиций с целью максимизации суммарного значения $NPV$ . Чем выше показатель доходности, тем предпочтительнее проект. Если индекс равен 1 и ниже, то проект едва ли отвечает или даже не отвечает минимальной ставке доходности (на практике индекс, близкий к единице, в некоторых случаях приемлем). Индекс, равный 1, соответствует нулевой чистой текущей стоимости. Пример 8. Ставка дисконтирования равна 10% При ставке дисконтирования 10 % величина $NPV$ составляет 52,8 тыс. руб. Тогда $PI$ равно: $PI=1+52,\!8:500=1,\!11.$ Таким образом, на каждый рубль, вложенный в проект, инвестор получит 1,11 руб. дохода. Пример 9. Ставка процентного дохода равна 10 % годовых. $\begin{aligned}NPV_A&= 270\cdot0,\!75+ 330\cdot0,\!68+ 375\cdot0,\!62-500\cdot0,\!83=659,\!4-415=244,\!4;\\[5pt] NPV_B&= 345\cdot0,\!75+525\cdot0,\!68+600\cdot0,\!62-780\cdot0,\!83=659,\!4-415=340,\!4. \end{aligned}$ Чистая текущая стоимость проекта $B$ выше, чем проекта $A$ , однако проект $A$ является более выгодным, так как обеспечивает получение большего размера денежных поступлений на 1 руб. инвестиций. Очевидно, что критерий $PI$ зависит от $NPV$ : если $NPV$ имеет положительное значение, то $PI>1$ , и наоборот. Следовательно, проект может быть принят, если $PI$ больше 1. Если проекты альтернативны, то принимается тот проект, где $PI$ выше. В то же время индекс прибыльности имеет ограниченное применение в тех случаях, когда проект требует дополнительных инвестиций в процессе реализации проекта. Стартовые инвестиции не отражают всех инвестиционных затрат, поскольку в ряде случаев компания должна иметь (или заработать) дополнительные инвестиции также в начале проекта. Модифицированный индекс рентабельности (MPI) Модифицированный индекс рентабельности отражает увеличение богатства инвесторов на единицу стартовых обязательств. Если инвестиции поступают в виде потока, то: $MPI=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}:\sum_{k=1}^{n}\frac{IC_k}{(1+r)^k}\,,$ (1.38) где $IC_k$ — инвестиционные затраты в периоды $k=1,2,\ldots,n$ . Стартовые обязательства инвестиционного проекта — это необходимые стартовые инвестиции плюс дополнительная сумма, которую необходимо отложить в начале периода, для того чтобы накопить необходимые денежные суммы для дополнительных инвестиций в последующие периоды. $MPI=1+52,\!8:(500+570)=1,\!049.$ Таким образом, проект приносит 0,11 руб. чистой текущей прибыли на каждую гривню стартовых инвестиций, но только 0,049 руб. чистой текущей прибыли на каждую гривню стартовых обязательств. Следовательно, если чистые денежные потоки являются неординарными, т.е. на протяжении срока действия проекта меняют знак на противоположный более 1 раза, индекс рентабельности и модифицированный индекс рентабельности могут различаться при сравнении привлекательности проекта. Внутренняя норма доходности (прибыли) инвестиций (Internal Rate of Return, IRR, %) Внутренняя норма доходности инвестиций — это дисконтная ставка, при которой текущая стоимость чистых денежных потоков равна текущей стоимости инвестиций по проекту. $\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+IRR)^t}=0$ (1.39) $IRR=0$ , при котором $t=0$ . То есть внутренняя ставка доходности — это уровень доходности, который в применении к поступлениям от инвестиций в течение жизненного цикла дает нулевую чистую текущую стоимость: $NPV=f(r)=0.$ (1.40) Внутренняя норма доходности характеризует максимальную стоимость капитала для финансирования инвестиционного проекта. Поскольку в общем случае уравнение для нахождения IRR будет нелинейным, то возможно существование нескольких значений этого показателя. Рассчитанная в процессе анализа эффективности планируемых инвестиций внутренняя норма прибыли IRR показывает ожидаемую доходность проекта. Этот показатель является весьма ценным для анализа и может трактоваться с различных точек зрения. В частности, экономический смысл критерия IRR состоит в том, что предприятие может принимать любые инвестиционные решения, рентабельность которых не ниже текущего значения показателя "стоимость капитала" (СС). Последний означает всю совокупность стоимостей имеющихся источников финансирования проекта. Принятие решения по инвестиционному проекту по критерию IRR основывается на правиле: если значение IRR больше ставки финансирования проекта, то данный проект следует принять, и наоборот. Определить внутреннюю ставку доходности можно двумя способами: 1) графическим способом; 2) методом последовательных итераций. При использовании графического способа по оси абсцисс откладывается ставка дисконтирования, а по оси ординат величина NPV. Точка пересечения графика с осью абсцисс и является искомой дисконтной ставкой IRR (рис. 1.15). Для проекта, приведенного в табл. 1.14, уравнение (1.38) для определения IRR имеет вид: $-500= \frac{150}{1+IRR}+ \frac{250}{(1+IRR)^2}+\frac{350}{(1+IRR)^3}+ \frac{300}{(1+IRR)^4}+\frac{250}{(1+IRR)^5}\,,$ Коэффициент NPV проекта при процентной ставке 10 % составляет 52,8 тыс. руб.; при ставке дисконтирования 5 % NPV составят 161,1 тыс. руб. Построив прямую через эти точки, получим точку пересечения с осью абсцисс: IRR=0,1295, или 12,95 %. Поскольку $IRR>r$ , то проект можно принять. В общем случае, когда инвестиции и отдача от них задаются в виде потока платежей, внутренняя норма рентабельности определяется с применением метода последовательных итераций. Для этого с помощью таблиц дисконтирующих множителей (факторов) выбирают два значения коэффициента дисконтирования $r_1<r_2$ таким образом, чтобы в интервале $r_1\leqslant r\leqslant r_2$ функция $NPV=f(r)$ меняла свое значение с плюса на минус. Внутренняя ставка доходности определяется по формуле: $IRR=r_1+\frac{f(r_1)}{f(r_1)-f(r_2)}\cdot(r_2-r_1),$ (1.41) где $r_1$ — значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором $f(r_1)>0$ ; $r_2$ — значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором $f(r_2)<0$ . Наиболее точный результат достигается, когда длина интервала минимальна (равна 1 %). Пример 10. Определение $IRR$ для проекта $A$ . По формуле (1.39) $IRR$ составит $IRR=27\%+\frac{0,\!06}{0,\!06-(-5,\!8)}\cdot(28-27)=27,\!01\%.$ По данным расчета 1, в табл. 1.14 величина $NPV$ близка к нулевому значению, что подтверждается расчетом $IRR$ . При использовании $IRR$ следует учитывать, что в отличие от формирования чистой текущей стоимости, где денежные потоки дисконтируются по ставке, соответствующей средневзвешенной стоимости капитала, метод оценки инвестиционных проектов по внутренней норме прибыли подразумевает, что денежные потоки реинвестируются в проект именно по этой ставке, что представляется некорректным и искажает истинную и сравнительную картину доходности проекта. При использовании $IRR$ могут возникнуть неверные решения в случае с неординарными денежными потоками и при сравнении взаимоисключающих проектов. Часть проблем, связанных с $IRR$ , решает использование модифицированной внутренней прибыли (доходности). Модифицированная внутренняя норма прибыли (MIRR) Модифицированная внутренняя норма прибыли — это ставка дисконтирования, которая приравнивает будущую стоимость чистых денежных потоков за период проекта, рассчитанную по ставке финансирования (цене капитала), к текущей стоимости инвестиций по проекту, рассчитанной по ставке финансирования (цене капитала): $\sum_{t=0}^{n}\frac{OF_t}{(1+r)^t}= \sum_{t=0}^{n}IF_t(1+r)^{n-t}:(1+MIRR)^n,$ (1.42) где $OF_t$ — отток средств в периоде $t$ ; $IF_t$ — приток средств в периоде $t$ ; $r$ — ставка финансирования; $n$ — продолжительность проекта. Модифицированная внутренняя норма прибыли определяется по формуле: $707=\frac{1224}{(1+MIRR)^5}\quad \Rightarrow\quad MIRR=11,\!6\%.$ Поскольку $MIRR>r$ , то проект принимается. Для оценки инвестиционных проектов $MIRR$ предпочтительнее $IRR$ для характеристики реальной доходности проекта или "ожидаемой долгосрочной нормы проекта". Однако величина $NPV$ все же корректнее для анализа альтернативных проектов, различающихся по масштабу, поскольку показывает, насколько оптимальный проект увеличивает стоимость компании. Вопрос о выборе базы сравнения для критерия $IRR$ и вопрос выбора ставки дисконтирования для расчета критерия $NPV$ являются одним и тем же вопросом. В случае рассмотрения единичного проекта все рассмотренные критерии, основанные на дисконтных оценках, дают одинаковые рекомендации по поводу принятия или игнорирования проекта. Иными словами, проект, приемлемый по одному из этих критериев, будет приемлем по другим. Причина такого "единодушия" состоит в том, что между показателями $NPV,\,PI$ и $IRR$ имеются очевидные взаимосвязи: – если $NPV>0$ , то одновременно $IRR>R$ и $PI>1$ ; – если $NPV<0$ , то одновременно $IRR<R$ и $PI<1$ ; – если $NPV=0$ , то одновременно $IRR=R$ и $PI=1$ . В то же время они не являются абсолютно взаимозаменяемыми. Принимая решение, инвестору желательно опираться на расчет всех перечисленных выше критериев. Критерий $NPV$ показывает в абсолютном выражении возможный прирост экономического потенциала коммерческой организации, а критерий $IRR$ позволяет наиболее наглядно сравнить данный проект с другими возможностями инвестирования. Каждый из критериев обладает своими плюсами и минусами, но критерий $IRR$ не всегда может быть рассчитан. В случае неординарного денежного потока критерий $IRR$ может иметь несколько значений или не иметь действительных значений вообще. Период окупаемости первоначальных инвестиций (payback period) Период окупаемости первоначальных инвестиций (затрат) - это период времени, необходимый для поступления денежных средств от вложенного капитала в размере, позволяющем возместить первоначальные денежные расходы. Показатель текущей окупаемости определяет минимально необходимый период для инвестиции, чтобы была обеспечена ставка доходности, измеряемый в месяцах, кварталах и годах. Моментом окупаемости называется тот момент времени в расчетном периоде, после которого текущий чистый доход становится положительным. Этот метод является наиболее простым и потому широко распространенным. Он не предполагает процедур дисконтирования денежных поступлений. Алгоритм расчета срока окупаемости (Payback Period, PP) зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиций. Если размер ожидаемого дохода равномерно распределен по годам (периодам), то срок окупаемости рассчитывается по нижеприведенной формуле. Показатель окупаемости (PP) равен отношению исходных инвестиций $(IC)$ к величине годового притока $(CF_t)$ наличности за период возмещения $t:$ $PP=IC:CF_t=\frac{IC}{CF_t}\,,$ (1.43) Если рассчитанный период окупаемости меньше максимально приемлемого, то проект принимается, если нет — отвергается. При сравнении инвестиционных проектов наилучшим считается вариант с наименьшим сроком окупаемости инвестиций. Если поступления по годам различаются, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, за которые кумулятивный доход будет равен размеру начальных инвестиций. Как видно из табл. 1.16, период окупаемости составляет один год и часть второго года $PP=1+\frac{5000}{25000}=1,\!2$ года Таким образом, инвестиционный проект позволит окупить первоначальные вложения 25000 руб. за 1,2 года. Период окупаемости как показатель оценки эффективности инвестиций имеет существенный недостаток: он не учитывает временной фактор. Период окупаемости первоначальных затрат с учетом дисконтирования доходов устраняет этот недостаток. Дисконтированный период окупаемости (Discounted Payback Period, DPB) — это период времени, необходимый для возмещения дисконтированной стоимости инвестиций за счет настоящей стоимости будущих денежных поступлений. Данный показатель определяется путем деления величины инвестиций на дисконтированный чистый поток денежных средств. Использование процедур дисконтирования увеличивает срок окупаемости проекта, т. е. всегда верно соотношение DPP > PP. В результате проект, удовлетворяющий аналитика по критерию РР, может оказаться неприемлемым по критерию DPP. При оценке инвестиционных проектов критерии РР и DPP могут использоваться при таких условиях: а) проект принимается, если окупаемость имеет место; б) если рассчитанный период окупаемости меньше некоторого максимально допустимого периода окупаемости, который компания считает приемлемым для себя, то данный проект принимается; в) из ряда альтернативных инвестиционных проектов принимается тот, срок окупаемости которого меньше. В отличие от критериев NPV, IRR и PI критерии DPP и РР позволяют получить оценки, хотя и приближенные, о ликвидности и рискованности проекта. Данные табл. 1.17 показывают, что дисконтированный период окупаемости составляет два года и часть третьего года $DPB=1+\frac{12215}{21360}\approx1+1,\!57=2,\!57$ года. Таким образом, инвестиционный проект компании позволит окупить первоначальные вложения 50000 руб. за 2,57 года. Срок окупаемости показывает число лет, необходимое для возврата первоначального вложения, или окупятся ли инвестиции в течение срока жизненного цикла проекта. Однако простого получения своего капитала обратно недостаточно, поскольку, с экономической точки зрения, инвестор надеется заработать прибыль на инвестированные им средства. Для обеспечения экономической доходности должны рассматриваться годы, находящиеся за точкой окупаемости. Если период окупаемости и период жизненного цикла точно совпадут, то инвестор понесет потери в виде скрытых издержек, поскольку те же средства, инвестированные в финансовые активы, например, в ценные бумаги, принесли бы больший доход. Критерий окупаемости, кроме серьезных достоинств, имеет и серьезные недостатки, поэтому в качестве единственного критерия его использовать нельзя. Во многих источниках его используют в качестве вспомогательного критерия наряду с показателями, характеризующими эффективность или эффект проекта. Доход на инвестиции представляет собой величину, обратную сроку окупаемости: $POI=CF_t:IC=\frac{CF_t}{IC}\,.$ (1.44) Достоинства и недостатки критерия окупаемости систематизированы в табл. 1.18. Коэффициент эффективности инвестиций — Accounting Rate of Return, ARR) Метод расчета средневзвешенной ставки рентабельности (или учетная доходность, коэффициент эффективности инвестиций — Accounting Rate of Return, ARR) — не предполагает дисконтирования денежных потоков и равен отношению среднегодовой ожидаемой чистой прибыли к среднегодовому объему инвестиций. Годовая чистая прибыль определяется как разность между денежным потоком этого года и суммой годовых амортизационных отчислений, ассоциируемыми с данным проектом. Среднегодовая чистая прибыль определяется как частное отделения разности между доходами и расходами, ассоциируемыми с данным проектом, на предполагаемый срок капиталовложений. Прибыль в данном случае должна быть уменьшена на сумму отчислений в бюджет. Если амортизация начисляется линейно, то стоимость инвестиций будет уменьшаться равномерно с течением времени. Средняя стоимость инвестиций при этом будет равна половине суммы начальных инвестиционных затрат, увеличенной на половину ликвидационной стоимости. Если предполагается, что по истечении срока реализации анализируемого проекта все капитальные затраты будут списаны, то средняя стоимость инвестиций будет соответствовать половине суммы начальных инвестиционных затрат. С учетом этих условий простая ставка доходности модифицируется в показатель, называемый коэффициентом эффективности инвестиций ARR: $ARR=\frac{PN}{\frac{1}{2}(IC-RV)}\,,$ (1.45) где $PN$ — среднегодовая чистая прибыль; IC — начальные инвестиции; $RV$ — ликвидационная стоимость проекта (остаточная). Внедряется тот проект, у которого учетная доходность выше. При этом идет ее сопоставление с рыночной ставкой процента, чтобы оценить, насколько эти инвестиции дают лучший или худший результат по сравнению с другими вложениями капитала. Имеет смысл сравнить полученные ставки с фактическим уровнем рентабельности активов предприятия. Предприятие оценивает целесообразность реализации инвестиционного проекта, который предусматривает первоначальное вложение средств в сумме 50000 руб. и получение чистых денежных потоков в размере 20000 руб. — в первый год, 25000 руб. во второй год и 30000 руб. — в третий. Средневзвешенная стоимость капитала составляет 12 %. Допустим, что ликвидационная стоимость оборудования в конце третьего года равна 0. Рентабельность вложенного капитала составит: $ARR=\frac{(20000+25000+30000-50000):3}{\frac{1}{2}(50000-0)}\cdot 100\%\approx33,\!33\%.$ Недостаток показателя рентабельности вложенного капитала заключается в том, что он не учитывает временную стоимость денег. Когда этот показатель используется в отношении проекта, где поступлений денежных средств нет почти до конца его срока, он покажет тот же результат, что и для проекта, где поступления денежных средств имеют место на раннем этапе его реализации при условии, что средние поступления денежных средств по этим проектам одинаковы. По этой причине показатель рентабельности вложенного капитала не рекомендуют принимать во внимание при оценке целесообразности инвестиций. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Показатели эффективности инвестиционного проекта (инвестиций)

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Показатели эффективности инвестиционного проекта (инвестиций)

Основными показателями оценки эффективности инвестиционного проекта являются:

– чистый дисконтированный доход (NPV);

– индекс доходности (PI);

– внутренняя норма доходности (IRR, %);

– модифицированная внутренняя ставка доходности (MIRR, %);

– период окупаемости первоначальных затрат (РР);

– период окупаемости первоначальных затрат, рассчитанный с учетом дисконтирования денежных потоков (DPP);

– средневзвешенная (бухгалтерская) ставка рентабельности (ARR).

Рассмотрим данные показатели эффективности инвестиций более подробно.

Метод чистой дисконтированной доходности инвестиций

Метод чистой дисконтированной доходности основан на сопоставлении дисконтированной стоимости денежных поступлений (инвестиций), генерируемых предприятием в течение прогнозируемого периода. Целью данного метода является выявление реального размера прибыли, который может быть получен организацией вследствие реализации данного инвестиционного проекта.

Чистый дисконтированный доход (Profitability Index — PI) количественно определяется несколькими способами:

— текущая стоимость денежных доходов минус текущая стоимость денежных затрат (за исключением затрат на финансирование), дисконтированных с использованием средневзвешенной цены заемного и собственного капитала;

— текущая стоимость денежных притоков к акционерам минус текущая стоимость денежных оттоков от акционеров, дисконтированных по ставке, равной издержкам упущенных возможностей;

— текущая стоимость экономической прибыли, дисконтированной по ставке, равной издержкам упущенных возможностей.

Все три подхода раскрывают экономическую суть чистой текущей стоимости. Показатель чистой приведенной стоимости рассчитывается по формуле:

$NPV=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}-IC,$

(1.35)

где $CF$ — дисконтированный поток денежных средств; $IC$ — первоначальные инвестиции (в нулевой период); $t$ — год расчета; $r$ — ставка дисконтирования, равная средневзвешенной стоимости капитала (WACC); $n$ — период дисконтирования.

Данная модель предполагает наличие условий:

– объем инвестиций принимается как завершенный;

– объем инвестиций принимается в оценке на момент проведения анализа;

– процесс отдачи начинается после завершения инвестиций.

В качестве ставки дисконтирования $r$ может использоваться:

– кредитная ставка банка;
– средневзвешенная стоимость капитала;
– альтернативная стоимость капитала;
– внутренняя норма доходности.

Если анализ проводится до начала инвестиций, то размер инвестиционных расходов также должен быть приведен к настоящему моменту. Модель расчета чистого приведенного дохода примет вид:

$NPV=\sum_{i=1}^{n_2}\frac{R_i}{(1+r)^{i+n_1}}-\sum_{t=1}^{n}\frac{IC_t}{(1+r)^t}\,,$

(1.36)

где $IC_t$ — инвестиционные расходы в периоде $t$ ; $R_i$ — доход в периоде $i$ ; $n_1$ — продолжительность периода инвестиций; $n_2$ — продолжительность периода отдачи от инвестиций.

Показатель $NPV$ отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала коммерческой организации в случае принятия рассматриваемого проекта.

Если $NPV>0$ , то проект является прибыльным, увеличивающим на величину $NPV$ фактическую стоимость организации.

Пример 6. Расчет чистой текущей стоимости проекта, представленного в табл. 1.10, на основе формулы (1.36) можно представить тремя этапами:

1. Дисконтированный доход

$PV_R=186\cdot0,\!75+ 279\cdot0,\!69+372\cdot0,\!62=561,\!3$ тыс. руб.

2. Дисконтированная сумма капитальных затрат

$PV_K=279\cdot0,\!91+186\cdot0,\!83=407,\!3$ тыс. руб.

3. Чистая приведённая стоимость

$NPV=PV_R-PV_K=561,\!3-407,\!3=154$ тыс. руб.

Поступления за каждый период времени могут быть представлены как разность дисконтированных на один момент времени показателей дохода и капитальных вложений (табл. 1.11).

Расчёт потоков дисконтированных платежей

Выбор инвестиционных проектов по критерию чистой текущей стоимости основывается на таких правилах:

— если чистая текущая стоимость положительна $(NPV>0)$ , то финансовое решение по проекту может быть принято;

— если проекты независимы и имеют положительную чистую текущую стоимость, то могут быть приняты оба.

Если $NPV>0$ , то проект является убыточным и должен быть отвергнут.

Если $NPV=0$ , то проект не является ни прибыльным, ни убыточным, т. е. с экономической точки зрения безразлично, принимать или нет этот проект; если проекты альтернативны, то принимается проект с большей чистой текущей стоимостью.

Логика рассмотренного критерия ясна: даже если чистая текущая стоимость нулевая, то генерируемого проектом денежного потока достаточно для возмещения вложенного капитала; для обеспечения необходимой отдачи (не менее цены капитала фирмы) на вложенный капитал. Если чистая текущая стоимость больше нуля, то проект генерирует прибыль, которая принадлежит акционерам, цена фирмы возрастает.

Итак, критерий $NPV$ позволяет выявить экономическую отдачу от реализации проекта. Например, если изначально единственной целью проекта ставилось получение прибыли, а значение $NPV$ оказалось отрицательным, то проект может быть окончательно отвергнут на этой стадии анализа.

Ключевым моментом при расчете чистой приведенной стоимости, как и при использовании других методов анализа, основанных на дисконтных оценках, является выбор ставки дисконтирования. Ставка дисконтирования выбирается разработчиком самостоятельно. При этом следует учитывать размер безрисковых ставок, прогнозируемый темп инфляции за период, норму вмененных издержек, неопределенность и риск при планировании отдаленных по времени денежных поступлений и др. Обоснование выбора ставки дисконтирования в каждом случае индивидуально и зависит от условий и целей анализа, а также от квалификации аналитика.

Путем дисконтирования денежных потоков аналитик сможет убедиться в том, что инвестиции приносят большие денежные доходы, чем лучшие имеющиеся альтернативы. При этом "лучшая" может трактоваться по-разному. В качестве "лучшей" может рассматриваться возможность безрискового размещения капитала или другой инвестиционный проект, приносящий максимальную прибыль.

Любой инвестиционный проект должен быть, по крайней мере, сравнен с возможностью безрискового инвестирования. Безрисковое инвестирование (покупка государственных ценных бумаг или размещение денежных средств на депозите в банке), кроме отсутствия самого риска, сопровождается минимальными трудозатратами, т. е. представляет собой наиболее простой способ инвестирования. Поэтому, если инвестиционный проект приносит прибыль меньшую, чем прибыль при безрисковом размещении аналогичных средств, то он, безусловно, является коммерчески несостоятельным. На практике сравнение с безрисковым инвестированием осуществляется выбором при расчете $NPV$ в качестве ставки дисконтирования безрисковой ставки. В качестве безрисковой принято рассматривать ставку валютного депозита банка.

Потребность в дополнительном финансировании с учетом дисконта — максимальное значение абсолютной величины отрицательного накопленного дисконтированного сальдо от инвестиционной и операционной деятельности; показывает минимальный дисконтированный объем внешнего финансирования проекта, необходимый для обеспечения его финансовой реализуемости.

Пример 7. Пусть движение денежных средств пятилетнего проекта выглядит следующим образом:

Схема движения денежных средств пятилетнего проекта

Результаты расчета чистой текущей стоимости для различных ставок дисконтирования приведены в табл. 1.12.

Расчёт чистой текущей стоимости (NPV) инвестиций

График динамики чистой текущей стоимости

График чистой текущей стоимости, построенный на основе табл. 1.12, показывает изменение $NPV$ при изменении ставки дисконтирования (рис. 1.14). Чем больший наклон имеет линия графика $NPV$ , тем рискованнее изменение цены капитала для проекта. В рассмотренном примере при стоимости финансирования проекта свыше 12,52 % проект утрачивает свою привлекательность, поскольку его принятие ведет к уменьшению богатства акционеров.

После вычисления чистой текущей стоимости ряда проектов может возникнуть проблема выбора альтернативных инвестиций различных объемов. В этом случае нельзя игнорировать тот факт, что хотя чистые текущие стоимости альтернативных проектов могут быть близкими или даже одинаковыми, они затрагивают сильно различающиеся размерами первоначальные инвестиции. Для сравнения альтернативных проектов применяется показатель — индекс рентабельности инвестиций RI.

Индекс доходности (прибыльности) инвестиций (Profitability Index — PI)

Индекс доходности инвестиций — это доход на единицу вложенных средств. Он определяется как отношение текущей стоимости денежного потока доходов к текущей стоимости инвестиционных затрат:

$PI=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}:IC=1+NPV:IC.$

(1.37)

В отличие от чистой дисконтированной стоимости индекс рентабельности представляет собой относительный показатель: он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т. е. эффективность вложений — чем больше значение этого показателя, тем выше отдача каждой гривни, инвестированной в данный проект. Благодаря этому критерий $PI$ очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих близкие значения $NPV$ (в частности, если два проекта имеют одинаковые значения $NPV$ , но разные объемы требуемых инвестиций, то очевидно, что выгоднее тот из них, который обеспечивает большую эффективность вложений), либо при комплектовании портфеля инвестиций с целью максимизации суммарного значения $NPV$ .

Чем выше показатель доходности, тем предпочтительнее проект. Если индекс равен 1 и ниже, то проект едва ли отвечает или даже не отвечает минимальной ставке доходности (на практике индекс, близкий к единице, в некоторых случаях приемлем). Индекс, равный 1, соответствует нулевой чистой текущей стоимости.

Пример 8. Ставка дисконтирования равна 10%

Схема движения денежных средств пятилетнего проекта 2

При ставке дисконтирования 10 % величина $NPV$ составляет 52,8 тыс. руб. Тогда $PI$ равно:

$PI=1+52,\!8:500=1,\!11.$

Таким образом, на каждый рубль, вложенный в проект, инвестор получит 1,11 руб. дохода.

Пример 9. Ставка процентного дохода равна 10 % годовых.

Финансовые характеристики рассматриваемых инвестиционных проектов

$\begin{aligned}NPV_A&= 270\cdot0,\!75+ 330\cdot0,\!68+ 375\cdot0,\!62-500\cdot0,\!83=659,\!4-415=244,\!4;\\[5pt] NPV_B&= 345\cdot0,\!75+525\cdot0,\!68+600\cdot0,\!62-780\cdot0,\!83=659,\!4-415=340,\!4. \end{aligned}$

Чистая текущая стоимость проекта $B$ выше, чем проекта $A$ , однако проект $A$ является более выгодным, так как обеспечивает получение большего размера денежных поступлений на 1 руб. инвестиций.

Очевидно, что критерий $PI$ зависит от $NPV$ : если $NPV$ имеет положительное значение, то $PI>1$ , и наоборот. Следовательно, проект может быть принят, если $PI$ больше 1. Если проекты альтернативны, то принимается тот проект, где $PI$ выше.

В то же время индекс прибыльности имеет ограниченное применение в тех случаях, когда проект требует дополнительных инвестиций в процессе реализации проекта. Стартовые инвестиции не отражают всех инвестиционных затрат, поскольку в ряде случаев компания должна иметь (или заработать) дополнительные инвестиции также в начале проекта.

Модифицированный индекс рентабельности (MPI)

Модифицированный индекс рентабельности отражает увеличение богатства инвесторов на единицу стартовых обязательств. Если инвестиции поступают в виде потока, то:

$MPI=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}:\sum_{k=1}^{n}\frac{IC_k}{(1+r)^k}\,,$

(1.38)

где $IC_k$ — инвестиционные затраты в периоды $k=1,2,\ldots,n$ .

Стартовые обязательства инвестиционного проекта — это необходимые стартовые инвестиции плюс дополнительная сумма, которую необходимо отложить в начале периода, для того чтобы накопить необходимые денежные суммы для дополнительных инвестиций в последующие периоды.

$MPI=1+52,\!8:(500+570)=1,\!049.$

Таким образом, проект приносит 0,11 руб. чистой текущей прибыли на каждую гривню стартовых инвестиций, но только 0,049 руб. чистой текущей прибыли на каждую гривню стартовых обязательств.

Следовательно, если чистые денежные потоки являются неординарными, т.е. на протяжении срока действия проекта меняют знак на противоположный более 1 раза, индекс рентабельности и модифицированный индекс рентабельности могут различаться при сравнении привлекательности проекта.

Внутренняя норма доходности (прибыли) инвестиций (Internal Rate of Return, IRR, %)

Внутренняя норма доходности инвестиций — это дисконтная ставка, при которой текущая стоимость чистых денежных потоков равна текущей стоимости инвестиций по проекту.

$\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+IRR)^t}=0$

(1.39)

$IRR=0$ , при котором $t=0$ .

То есть внутренняя ставка доходности — это уровень доходности, который в применении к поступлениям от инвестиций в течение жизненного цикла дает нулевую чистую текущую стоимость:

$NPV=f(r)=0.$

(1.40)

Внутренняя норма доходности характеризует максимальную стоимость капитала для финансирования инвестиционного проекта.

Поскольку в общем случае уравнение для нахождения IRR будет нелинейным, то возможно существование нескольких значений этого показателя. Рассчитанная в процессе анализа эффективности планируемых инвестиций внутренняя норма прибыли IRR показывает ожидаемую доходность проекта. Этот показатель является весьма ценным для анализа и может трактоваться с различных точек зрения.

Определение коэффициента IRR графическим способом

В частности, экономический смысл критерия IRR состоит в том, что предприятие может принимать любые инвестиционные решения, рентабельность которых не ниже текущего значения показателя "стоимость капитала" (СС). Последний означает всю совокупность стоимостей имеющихся источников финансирования проекта.

Принятие решения по инвестиционному проекту по критерию IRR основывается на правиле: если значение IRR больше ставки финансирования проекта, то данный проект следует принять, и наоборот.

Определить внутреннюю ставку доходности можно двумя способами:

1) графическим способом;

2) методом последовательных итераций.

При использовании графического способа по оси абсцисс откладывается ставка дисконтирования, а по оси ординат величина NPV. Точка пересечения графика с осью абсцисс и является искомой дисконтной ставкой IRR (рис. 1.15).

Для проекта, приведенного в табл. 1.14, уравнение (1.38) для определения IRR имеет вид:

$-500= \frac{150}{1+IRR}+ \frac{250}{(1+IRR)^2}+\frac{350}{(1+IRR)^3}+ \frac{300}{(1+IRR)^4}+\frac{250}{(1+IRR)^5}\,,$

Коэффициент NPV проекта при процентной ставке 10 % составляет 52,8 тыс. руб.; при ставке дисконтирования 5 % NPV составят 161,1 тыс. руб. Построив прямую через эти точки, получим точку пересечения с осью абсцисс: IRR=0,1295, или 12,95 %.

Поскольку $IRR>r$ , то проект можно принять.

Определение коэффициента IRR для проекта А

В общем случае, когда инвестиции и отдача от них задаются в виде потока платежей, внутренняя норма рентабельности определяется с применением метода последовательных итераций. Для этого с помощью таблиц дисконтирующих множителей (факторов) выбирают два значения коэффициента дисконтирования $r_1<r_2$ таким образом, чтобы в интервале $r_1\leqslant r\leqslant r_2$ функция $NPV=f(r)$ меняла свое значение с плюса на минус.

Внутренняя ставка доходности определяется по формуле:

$IRR=r_1+\frac{f(r_1)}{f(r_1)-f(r_2)}\cdot(r_2-r_1),$

(1.41)

где $r_1$ — значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором $f(r_1)>0$ ; $r_2$ — значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором $f(r_2)<0$ .

Наиболее точный результат достигается, когда длина интервала минимальна (равна 1 %).

Пример 10. Определение $IRR$ для проекта $A$

По формуле (1.39) $IRR$ составит

$IRR=27\%+\frac{0,\!06}{0,\!06-(-5,\!8)}\cdot(28-27)=27,\!01\%.$

По данным расчета 1, в табл. 1.14 величина $NPV$ близка к нулевому значению, что подтверждается расчетом $IRR$ .

При использовании $IRR$ следует учитывать, что в отличие от формирования чистой текущей стоимости, где денежные потоки дисконтируются по ставке, соответствующей средневзвешенной стоимости капитала, метод оценки инвестиционных проектов по внутренней норме прибыли подразумевает, что денежные потоки реинвестируются в проект именно по этой ставке, что представляется некорректным и искажает истинную и сравнительную картину доходности проекта. При использовании $IRR$ могут возникнуть неверные решения в случае с неординарными денежными потоками и при сравнении взаимоисключающих проектов.

Часть проблем, связанных с $IRR$ , решает использование модифицированной внутренней прибыли (доходности).

Модифицированная внутренняя норма прибыли (MIRR)

Модифицированная внутренняя норма прибыли — это ставка дисконтирования, которая приравнивает будущую стоимость чистых денежных потоков за период проекта, рассчитанную по ставке финансирования (цене капитала), к текущей стоимости инвестиций по проекту, рассчитанной по ставке финансирования (цене капитала):

$\sum_{t=0}^{n}\frac{OF_t}{(1+r)^t}= \sum_{t=0}^{n}IF_t(1+r)^{n-t}:(1+MIRR)^n,$

(1.42)

где $OF_t$ — отток средств в периоде $t$ ; $IF_t$ — приток средств в периоде $t$ ; $r$ — ставка финансирования; $n$ — продолжительность проекта.

Модифицированная внутренняя норма прибыли определяется по формуле:

$707=\frac{1224}{(1+MIRR)^5}\quad \Rightarrow\quad MIRR=11,\!6\%.$

Поскольку $MIRR>r$ , то проект принимается.

Текущая и будущая стоимости денежных оттоков и притоков инвестиционного проекта

Для оценки инвестиционных проектов $MIRR$ предпочтительнее $IRR$ для характеристики реальной доходности проекта или "ожидаемой долгосрочной нормы проекта". Однако величина $NPV$ все же корректнее для анализа альтернативных проектов, различающихся по масштабу, поскольку показывает, насколько оптимальный проект увеличивает стоимость компании.

Вопрос о выборе базы сравнения для критерия $IRR$ и вопрос выбора ставки дисконтирования для расчета критерия $NPV$ являются одним и тем же вопросом. В случае рассмотрения единичного проекта все рассмотренные критерии, основанные на дисконтных оценках, дают одинаковые рекомендации по поводу принятия или игнорирования проекта. Иными словами, проект, приемлемый по одному из этих критериев, будет приемлем по другим. Причина такого "единодушия" состоит в том, что между показателями $NPV,\,PI$ и $IRR$ имеются очевидные взаимосвязи:

– если $NPV>0$ , то одновременно $IRR>R$ и $PI>1$ ;

– если $NPV<0$ , то одновременно $IRR<R$ и $PI<1$ ;

– если $NPV=0$ , то одновременно $IRR=R$ и $PI=1$ .

В то же время они не являются абсолютно взаимозаменяемыми. Принимая решение, инвестору желательно опираться на расчет всех перечисленных выше критериев. Критерий $NPV$ показывает в абсолютном выражении возможный прирост экономического потенциала коммерческой организации, а критерий $IRR$ позволяет наиболее наглядно сравнить данный проект с другими возможностями инвестирования. Каждый из критериев обладает своими плюсами и минусами, но критерий $IRR$ не всегда может быть рассчитан. В случае неординарного денежного потока критерий $IRR$ может иметь несколько значений или не иметь действительных значений вообще.

Период окупаемости первоначальных инвестиций (payback period)

Период окупаемости первоначальных инвестиций (затрат) - это период времени, необходимый для поступления денежных средств от вложенного капитала в размере, позволяющем возместить первоначальные денежные расходы. Показатель текущей окупаемости определяет минимально необходимый период для инвестиции, чтобы была обеспечена ставка доходности, измеряемый в месяцах, кварталах и годах. Моментом окупаемости называется тот момент времени в расчетном периоде, после которого текущий чистый доход становится положительным.

Этот метод является наиболее простым и потому широко распространенным. Он не предполагает процедур дисконтирования денежных поступлений. Алгоритм расчета срока окупаемости (Payback Period, PP) зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиций. Если размер ожидаемого дохода равномерно распределен по годам (периодам), то срок окупаемости рассчитывается по нижеприведенной формуле.

Показатель окупаемости (PP) равен отношению исходных инвестиций $(IC)$ к величине годового притока $(CF_t)$ наличности за период возмещения $t:$

$PP=IC:CF_t=\frac{IC}{CF_t}\,,$

(1.43)

Если рассчитанный период окупаемости меньше максимально приемлемого, то проект принимается, если нет — отвергается. При сравнении инвестиционных проектов наилучшим считается вариант с наименьшим сроком окупаемости инвестиций.

Если поступления по годам различаются, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, за которые кумулятивный доход будет равен размеру начальных инвестиций.

Как видно из табл. 1.16, период окупаемости составляет один год и часть второго года

$PP=1+\frac{5000}{25000}=1,\!2$ года

Таким образом, инвестиционный проект позволит окупить первоначальные вложения 25000 руб. за 1,2 года.

Период окупаемости как показатель оценки эффективности инвестиций имеет существенный недостаток: он не учитывает временной фактор.

Период окупаемости первоначальных затрат с учетом дисконтирования доходов устраняет этот недостаток.

Дисконтированный период окупаемости (Discounted Payback Period, DPB) — это период времени, необходимый для возмещения дисконтированной стоимости инвестиций за счет настоящей стоимости будущих денежных поступлений. Данный показатель определяется путем деления величины инвестиций на дисконтированный чистый поток денежных средств.

Использование процедур дисконтирования увеличивает срок окупаемости проекта, т. е. всегда верно соотношение DPP > PP. В результате проект, удовлетворяющий аналитика по критерию РР, может оказаться неприемлемым по критерию DPP.

При оценке инвестиционных проектов критерии РР и DPP могут использоваться при таких условиях:

а) проект принимается, если окупаемость имеет место;

б) если рассчитанный период окупаемости меньше некоторого максимально допустимого периода окупаемости, который компания считает приемлемым для себя, то данный проект принимается;

в) из ряда альтернативных инвестиционных проектов принимается тот, срок окупаемости которого меньше.

В отличие от критериев NPV, IRR и PI критерии DPP и РР позволяют получить оценки, хотя и приближенные, о ликвидности и рискованности проекта.

Расчет дисконтированного периода окупаемости инвестиций

Данные табл. 1.17 показывают, что дисконтированный период окупаемости составляет два года и часть третьего года

$DPB=1+\frac{12215}{21360}\approx1+1,\!57=2,\!57$ года.

Таким образом, инвестиционный проект компании позволит окупить первоначальные вложения 50000 руб. за 2,57 года.

Срок окупаемости показывает число лет, необходимое для возврата первоначального вложения, или окупятся ли инвестиции в течение срока жизненного цикла проекта. Однако простого получения своего капитала обратно недостаточно, поскольку, с экономической точки зрения, инвестор надеется заработать прибыль на инвестированные им средства. Для обеспечения экономической доходности должны рассматриваться годы, находящиеся за точкой окупаемости. Если период окупаемости и период жизненного цикла точно совпадут, то инвестор понесет потери в виде скрытых издержек, поскольку те же средства, инвестированные в финансовые активы, например, в ценные бумаги, принесли бы больший доход.

Критерий окупаемости, кроме серьезных достоинств, имеет и серьезные недостатки, поэтому в качестве единственного критерия его использовать нельзя. Во многих источниках его используют в качестве вспомогательного критерия наряду с показателями, характеризующими эффективность или эффект проекта.

Доход на инвестиции представляет собой величину, обратную сроку окупаемости:

$POI=CF_t:IC=\frac{CF_t}{IC}\,.$

(1.44)

Достоинства и недостатки критерия окупаемости систематизированы в табл. 1.18.

Достоинства и недостатки критерия окупаемости инвестиций

Коэффициент эффективности инвестиций — Accounting Rate of Return, ARR)

Метод расчета средневзвешенной ставки рентабельности (или учетная доходность, коэффициент эффективности инвестиций — Accounting Rate of Return, ARR) — не предполагает дисконтирования денежных потоков и равен отношению среднегодовой ожидаемой чистой прибыли к среднегодовому объему инвестиций. Годовая чистая прибыль определяется как разность между денежным потоком этого года и суммой годовых амортизационных отчислений, ассоциируемыми с данным проектом.

Среднегодовая чистая прибыль определяется как частное отделения разности между доходами и расходами, ассоциируемыми с данным проектом, на предполагаемый срок капиталовложений. Прибыль в данном случае должна быть уменьшена на сумму отчислений в бюджет. Если амортизация начисляется линейно, то стоимость инвестиций будет уменьшаться равномерно с течением времени. Средняя стоимость инвестиций при этом будет равна половине суммы начальных инвестиционных затрат, увеличенной на половину ликвидационной стоимости. Если предполагается, что по истечении срока реализации анализируемого проекта все капитальные затраты будут списаны, то средняя стоимость инвестиций будет соответствовать половине суммы начальных инвестиционных затрат.

С учетом этих условий простая ставка доходности модифицируется в показатель, называемый коэффициентом эффективности инвестиций ARR:

$ARR=\frac{PN}{\frac{1}{2}(IC-RV)}\,,$

(1.45)

где $PN$ — среднегодовая чистая прибыль; IC — начальные инвестиции; $RV$ — ликвидационная стоимость проекта (остаточная).

Внедряется тот проект, у которого учетная доходность выше. При этом идет ее сопоставление с рыночной ставкой процента, чтобы оценить, насколько эти инвестиции дают лучший или худший результат по сравнению с другими вложениями капитала. Имеет смысл сравнить полученные ставки с фактическим уровнем рентабельности активов предприятия.

Предприятие оценивает целесообразность реализации инвестиционного проекта, который предусматривает первоначальное вложение средств в сумме 50000 руб. и получение чистых денежных потоков в размере 20000 руб. — в первый год, 25000 руб. во второй год и 30000 руб. — в третий. Средневзвешенная стоимость капитала составляет 12 %. Допустим, что ликвидационная стоимость оборудования в конце третьего года равна 0. Рентабельность вложенного капитала составит:

$ARR=\frac{(20000+25000+30000-50000):3}{\frac{1}{2}(50000-0)}\cdot 100\%\approx33,\!33\%.$

Недостаток показателя рентабельности вложенного капитала заключается в том, что он не учитывает временную стоимость денег. Когда этот показатель используется в отношении проекта, где поступлений денежных средств нет почти до конца его срока, он покажет тот же результат, что и для проекта, где поступления денежных средств имеют место на раннем этапе его реализации при условии, что средние поступления денежных средств по этим проектам одинаковы. По этой причине показатель рентабельности вложенного капитала не рекомендуют принимать во внимание при оценке целесообразности инвестиций.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]