Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Подсистемы алгебраических систем

Подсистемы алгебраических систем


Ранее были введены понятия подгруппы, подкольца, подполя, которые можно объединить в рамках общего понятия подсистемы произвольной алгебраической системы, а также понятия подалгебры произвольной Ω-алгебры.


Пусть [math]\mathcal{A}=(A,\Omega,\Pi)[/math] — произвольная алгебраическая система и [math]B\subseteq A[/math] — непустое множество.


Множество [math]B[/math] называют замкнутым относительно операций из [math]\Omega[/math] (Ω-замкнутым множеством), если результат применения любой n-арной операции из [math]\Omega[/math] к любым элементам из [math]B[/math] принадлежит [math]B[/math], т.е. для любой n-арной операции [math]\omega[/math] и любых элементов [math]a_1,\ldots,a_n\in B[/math] элемент [math]\omega(a_1,\ldots,a_n)\in B[/math].


Например, в полугруппе [math](\mathbb{N},+)[/math] подмножество четных чисел замкнуто относительно операции сложения, а подмножество нечетных чисел не замкнуто. В кольце целых чисел подмножество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, но не замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента.


Алгебраическую систему [math]\mathcal{B}=(B,\Omega,\Pi\big|_{B})[/math], где [math]B\subseteq A[/math], называют подсистемой алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math], если [math]B[/math] Ω-замкнуто и [math]\Pi\big|_{B}[/math] есть множество ограничений на [math]B[/math] всех отношений из [math]\Pi\colon\, \Pi\big|_{B}=\{p\big|_{B}\colon p\in\Pi\}[/math].


Очевидно, что алгебраические системы [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}[/math] однотипны, и часто вместо [math]\Pi\big|_{B}[/math] будем в таком случае писать просто [math]\Pi[/math].


Если [math]\mathcal{A}[/math] — алгебра, то любую ее подсистему называют ее подалгеброй (точнее, Ω-подалгеброй).


Замечание 4.2. В определении Ω-подалгебры требуется лишь замкнутость относительно операций из [math]\Omega[/math]. Если же мы хотим, чтобы при переходе к подалгебре "наследовались" какие-либо специальные свойства операций исходной алгебры, то это нужно специально оговаривать. Именно так мы и поступали, определяя понятия подгруппы, подкольца, подполя и т.п. Впрочем, подгруппу можно определить и через свойство замкнутости, но лишь в том случае, если в сигнатуру группы включить не только одну бинарную операцию "умножения" (которая обладает специальными "групповыми свойствами"), но также унарную операцию взятия обратного элемента и нульарную операцию — единицу группы.


Аналогично, исключительно через требование замкнутости, можно определить понятие подмоноида. Следовательно, таким образом можно определить и подкольцо.


Сложнее обстоит дело с телом и полем. Мы не можем определить поле как алгебру с сигнатурой [math]\{+,\ast,-,\phantom{A}^{-1},\bold{0},\bold{1}\}[/math], где операция — есть операция вычисления противоположного элемента (обратного по сложению), а операция [math]\phantom{A}^{-1}[/math] — операция вычисления обратного элемента по умножению, так как последняя операция есть частичное отображение и не определена для элемента [math]\bold{0}[/math]. Поэтому она не может быть введена в сигнатуру алгебры, по определению содержащей только всюду определенные операции.


Обратим внимание и на то, что переходя к Ω-замкнутому подмножеству, мы можем получить алгебру как обогащенную новыми свойствами операций сигнатуры [math]\Omega[/math], так и утратившую некоторые из свойств. Например, моноид [math](\mathbb{N}_0,+,0)[/math] будет только подмоноидом группы [math](\mathbb{Z},+,0)[/math] (но не подгруппой), а подмоноид биекций в симметрическом моноиде некоторого бесконечного множества будет уже группой (это не подгруппа, а именно подмоноид, являющийся группой!).




В следующей теореме сформулировано простое, но очень важное свойство замкнутых подмножеств.


Теорема 4.1. Непустое пересечение произвольного семейства Ω-замкнутых подмножеств Ω-замкнуто.


Для простоты рассмотрим доказательство для пересечения двух Ω-замкнутых подмножеств.


Пусть в алгебре [math](A,\Omega)[/math] Ω-замкнутые подмножества [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] имеют непустое пересечение. Тогда для любого [math]n\geqslant0[/math], а также любых (не обязательно различных) [math]a_1,\ldots,a_n\in B_1\cap B_2[/math] элемент [math]\omega(a_1,\ldots,a_n)[/math], какова бы ни была операция и [math]\omega\in \Omega^{(n)}[/math] снова будет принадлежать пересечению [math]B_1\cap B_2[/math], так как в силу замкнутости каждого из множеств [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] одновременно [math]\omega(a_1,\ldots,a_n)\in B_1[/math] и [math]\omega(a_1,\ldots,a_n)\in B_2[/math].




Рассмотрим алгебру [math]\mathcal{A}=(A,\Omega)[/math] и подмножество [math]B\subseteq A[/math], не обязательно Ω-замкнутое.


Из теоремы 4.1 следует, что существует Ω-замкнутое подмножество, совпадающее с пересечением всех Ω-замкнутых подмножеств, содержащих [math]B[/math]. Его называют замыканием подмножества [math]B[/math] относительно операций из [math]\Omega[/math] (или Ω-замыканием подмножества [math]B[/math]) и обозначают [math][ b ]_{\Omega}[/math]. Хотя бы одно Ω-замкнутое подмножество, содержащее [math]B[/math], обязательно найдется — весь носитель [math]A[/math]. В том случае, когда [math][ B ]_{\Omega}=A[/math], подмножество [math]B[/math] называют системой образующих алгебры [math]\mathcal{A}=(A,\Omega)[/math], а ее саму называют алгеброй, порожденной множеством [math]B[/math]. Алгебру, которая имеет конечную систему образующих, называют конечно порожденной.


Замечание 4.3. Определение замыкания можно представить и в несколько иной форме, которая содержательно ассоциируется с некоторой процедурой построения множества [math][ b ]_{\Omega}[/math] по шагам.


Определим семейство множеств [math](B_i)_{i\geqslant0}[/math] полагая [math]B_0=B[/math], а


[math]B_{i+1}= B_i\cup \bigl\{x\colon\, x=\omega(b_1,\ldots,b_n),~ n \geqslant 0,~ \omega\in \Omega^{(n)},~ b_1,\ldots,b_n\in B_i\bigr\}.[/math]

Таким образом, множество [math]B_1[/math] состоит из всех элементов [math]B_0=B[/math], и к ним добавляются все элементы, которые могут быть получены как результат применения операций сигнатуры [math]\Omega[/math] к аргументам операции из [math]B_0[/math]. Множество [math]B_2[/math] точно так же содержит все элементы множества [math]B_1[/math] плюс все результаты применения операций из [math]\Omega[/math] к аргументам из [math]B_1[/math] и т.д. По определению,


[math]B=B_0\subseteq B_1\subseteq B_2\subseteq \ldots \subseteq B_i\subseteq B_{i+1} \subseteq\ldots[/math]

т.е. для любого [math]i\geqslant 0[/math] имеют место включения [math]B_i\subseteq B_{i+1}[/math] и [math]B_i \subseteq [ B ]_{\Omega}\subseteq A[/math]. Можно показать, что [math]\textstyle{\mathop{[ B ]_{\Omega}= \bigcup\limits_{i\geqslant0} B_i}\limits^{\phantom{A}^{.}}}[/math].


Замкнутость [math]B[/math] означает с точки зрения такого определения, что все множества [math]B_i[/math] совпадают с множеством [math]B[/math]. Кроме того, может оказаться, что процесс образования множеств [math]B_i[/math] "оборвется на некотором шаге", т.е. найдется такое [math]i[/math], что [math]B_{i+1}=B_i[/math]. Тогда [math]B_i=[ B ]_{\Omega}[/math].


Для конечной алгебры описанную выше процедуру можно рассматривать как алгоритм построения замыкания исходного множества (при том, что каждой операции сопоставлен некий алгоритм ее вычисления). На первом шаге алгоритма в замыкание [math][ B ]_{\Omega}[/math] помещают все элементы множества [math]B[/math], а затем применяют операции сигнатуры [math]\Omega[/math] к исходным и вновь получаемым элементам до тех пор, пока не перестанут появляться новые элементы.


Иначе это можно описать так:


1) все элементы множества [math]B_0[/math] считаются и элементами замыкания [math][ B ]_{\Omega}[/math];

2) каковы бы ни были элементы [math]b_1,\ldots,b_n[/math], относительно которых известно, что они принадлежат [math][ B ]_{\Omega}[/math] (т.е. какому-то множеству [math]B_i[/math] из определенного выше семейства), к имеющимся элементам замыкания [math][ B ]_{\Omega}[/math] добавляют все элементы [math]\omega(b_1,\ldots,b_n)[/math] для произвольной n-арной операции [math]\omega[/math] сигнатуры [math]\Omega[/math].


Никакие другие элементы, кроме тех, что могут быть получены рассмотренным выше способом, замыканию [math][ B ]_{\Omega}[/math] не принадлежат.


Образно говоря, [math]B[/math] — это "детали конструктора", a [math][ B ]_{\Omega}[/math] — все, что можно собрать из этих деталей по некоторым заранее оговоренным "правилам сборки" (каковыми являются операции сигнатуры [math]\Omega[/math]).




Рассмотрим примеры построения Ω-замыкания.


Пример 4.2. а. В алгебре [math](\mathbb{N},+)[/math] возьмем одноэлементное множество [math]B=\{1\}=B_0[/math]. Тогда


[math]B_1=\{1,2\},\quad B_2=\{1,2,3,4\},\quad B_3=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}[/math] и т.д.

Множество [math]B_i[/math] при [math]i\geqslant1[/math] состоит из всех сумм вида [math]m+n[/math], где [math]m,n\in B_{i-1}[/math]. Несложно заметить, что [math]B_i=\{1,2,\ldots,k,\ldots,2k\}[/math], где [math]k=2^{i-1},~ i\geqslant0[/math]. Ясно, что в данном случае [math]\textstyle{\mathop{\bigcup\limits_{i\geqslant0} B_i= \mathbb{N}}\limits^{ \phantom{A}^{.}}}[/math], и, таким образом, множество [math]\{1\}[/math] является системой образующих этой алгебры.


б. В мультипликативной группе вычетов по модулю 23 (т.е. в группе [math]\mathbb{Z}_{23}^{\ast}[/math]) построим замыкание множества [math]B=\{3\}[/math], полагая, что сигнатура группы состоит из единственной операции умножения (по модулю 23).


Поскольку в этой алгебре сигнатура состоит из одной операции, а исходное множество [math]B[/math] также одноэлементно, то замыкание [math]B[/math] будет состоять из всех степеней элемента 3. Итак, для построения замыкания множества [math]B[/math] в данном случае достаточно вычислять последовательно степени (по модулю 23) элемента 3. Имеем


[math]\begin{array}{lll}3^2=9,~3^3=4, &\qquad 3^4=4\cdot3=12, &\qquad 3^5=12\cdot 3=13, \\[2pt] 3^6=13\cdot3=16, &\qquad 3^7=16\cdot3=2, &\qquad 3^8=2\cdot3=6,\\[2pt] 3^9=6\cdot3=18, &\qquad 3^{10}=18\cdot3=8, &\qquad 3^{11}=8\cdot3=1. \end{array}[/math]

Так как получена единица, то "круг замкнулся", и тем самым вычислено замыкание множества [math]\{3\}[/math]. Заметим, что в этом случае множество [math]B_1[/math] состоит из всех степеней тройки, начиная с первой и кончая второй, множество [math]B_2[/math] — из всех степеней, начиная с первой и кончая четвертой, множество [math]B_3[/math] — из всех степеней с первой по восьмую, а множество [math]B_4[/math] — из всех степеней с первой по 16-ю, но поскольку начиная с 12-й степени элементы повторяются, т.е.


[math]3^{12}=3,~~ 3^{13}=3^2,~~ 3^{14}=3^3,~~ 3^{15}=3^4[/math] и, наконец, [math]3^{16}=3^4[/math],

то уже множество [math]B_5[/math] совпадет с множеством [math]B_4[/math], так что в данном случае [math][ b ]_{\,\cdot\,}=B_4[/math].


Порожденная множеством [math]\{3\}[/math] группа совпала с циклической подгруппой группы [math]\mathbb{Z}_{23}[/math] с образующим элементом 3. Этот результат легко обобщить, доказав, что для произвольной конечной группы [math]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/math], рассматриваемой как алгебра с сигнатурой, состоящей только из операции умножения, ее циклическая подгруппа с образующим элементом а совпадает с подгруппой, порожденной множеством [math]\{a\}[/math].




Циклическая группа есть один из важнейших примеров конечно порожденной алгебры.


В этой связи обратим внимание на одну тонкость. Если [math]\mathcal{G}[/math] — циклическая группа с образующим элементом [math]a[/math], то ее, вообще говоря, нельзя рассматривать как алгебру с системой образующих [math]\{a\}[/math]. Все зависит от конкретной сигнатуры группы. Действительно, если в сигнатуру группы включить только умножение, то для бесконечной циклической группы [math]\bold{1}\ne a^n[/math] для любого положительного [math]n[/math]. Поэтому замыкание множества [math]\{a\}[/math] относительно умножения не содержит единицу. Если же сигнатуру группы как алгебры дополнить унарной операцией взятия обратного, т.е. возведения в степень [math](-1)[/math], то циклическая группа с образующим элементом [math]a[/math] будет алгеброй с системой образующих [math]\{a\}[/math]. При таком подходе аддитивная группа целых чисел, рассматриваемая как алгебра [math](\mathbb{Z},+,-,0)[/math], есть бесконечная циклическая группа, порожденная множеством [math]\{1\}[/math].


Пример 4.3. а. Алгебра [math](\mathbb{Z},\cdot,1)[/math] (мультипликативный моноид кольца целых чисел) не является конечно порожденной. Действительно, в этом моноиде в систему образующих необходимо включить все простые числа, поскольку ни одно из них нельзя представить как произведение других чисел. Но множество простых чисел бесконечно.


б. Любая конечная алгебра будет, разумеется, и конечно порожденной. В частности, любое кольцо вычетов по модулю [math]k[/math] (поле вычетов при простом [math]k[/math]) — конечно порожденная алгебра, даже если в сигнатуре нет операции нахождения обратного элемента.


в. Свободный моноид, порожденный конечным множеством (алфавитом) [math]A[/math] есть конечно порожденная (и бесконечная) алгебра, система образующих которой равна [math]A\cup\{\lambda\}[/math], где [math]\lambda[/math] — пустой кортеж.


г. Хорошим примером замыкания служит линейная оболочка заданного множества векторов произвольного линейного пространства. Как известно, линейная оболочка [math]V[/math] множества векторов [math]x_1,\ldots,x_{m}[/math] линейного пространства [math]L[/math] есть множество всех линейных комбинаций вида


[math]\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_ix_i[/math], где [math]x_i\in V,~ i=\overline{1,m},~m\in \mathbb{N}[/math].

Линейная оболочка замкнута относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, так как линейная оболочка множества векторов является линейным подпространством. Более того, линейная оболочка [math]V[/math] множества векторов [math]x_1,\ldots,x_{m}[/math] — это наименьшее (относительно отношения включения множеств) замкнутое множество, содержащее заданное множество векторов, поскольку любое замкнутое множество, содержащее векторы [math]x_1,\ldots,x_{m}[/math], содержит и все их линейные комбинации, т.е. включает в себя [math]V[/math]. Отметим, что конечномерное линейное пространство — конечно порожденная алгебра, так как оно является линейной оболочкой любого из своих базисов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved