Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Подсистемы алгебраических систем

Подсистемы алгебраических систем


Ранее были введены понятия подгруппы, подкольца, подполя, которые можно объединить в рамках общего понятия подсистемы произвольной алгебраической системы, а также понятия подалгебры произвольной Ω-алгебры.


Пусть \mathcal{A}=(A,\Omega,\Pi) — произвольная алгебраическая система и B\subseteq A — непустое множество.


Множество B называют замкнутым относительно операций из \Omega (Ω-замкнутым множеством), если результат применения любой n-арной операции из \Omega к любым элементам из B принадлежит B, т.е. для любой n-арной операции \omega и любых элементов a_1,\ldots,a_n\in B элемент \omega(a_1,\ldots,a_n)\in B.


Например, в полугруппе (\mathbb{N},+) подмножество четных чисел замкнуто относительно операции сложения, а подмножество нечетных чисел не замкнуто. В кольце целых чисел подмножество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, но не замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента.


Алгебраическую систему \mathcal{B}=(B,\Omega,\Pi\big|_{B}), где B\subseteq A, называют подсистемой алгебраической системы \mathcal{A}, если B Ω-замкнуто и \Pi\big|_{B} есть множество ограничений на B всех отношений из \Pi\colon\, \Pi\big|_{B}=\{p\big|_{B}\colon p\in\Pi\}.


Очевидно, что алгебраические системы \mathcal{A} и \mathcal{B} однотипны, и часто вместо \Pi\big|_{B} будем в таком случае писать просто \Pi.


Если \mathcal{A} — алгебра, то любую ее подсистему называют ее подалгеброй (точнее, Ω-подалгеброй).


Замечание 4.2. В определении Ω-подалгебры требуется лишь замкнутость относительно операций из \Omega. Если же мы хотим, чтобы при переходе к подалгебре "наследовались" какие-либо специальные свойства операций исходной алгебры, то это нужно специально оговаривать. Именно так мы и поступали, определяя понятия подгруппы, подкольца, подполя и т.п. Впрочем, подгруппу можно определить и через свойство замкнутости, но лишь в том случае, если в сигнатуру группы включить не только одну бинарную операцию "умножения" (которая обладает специальными "групповыми свойствами"), но также унарную операцию взятия обратного элемента и нульарную операцию — единицу группы.


Аналогично, исключительно через требование замкнутости, можно определить понятие подмоноида. Следовательно, таким образом можно определить и подкольцо.


Сложнее обстоит дело с телом и полем. Мы не можем определить поле как алгебру с сигнатурой \{+,\ast,-,\phantom{A}^{-1},\bold{0},\bold{1}\}, где операция — есть операция вычисления противоположного элемента (обратного по сложению), а операция \phantom{A}^{-1} — операция вычисления обратного элемента по умножению, так как последняя операция есть частичное отображение и не определена для элемента \bold{0}. Поэтому она не может быть введена в сигнатуру алгебры, по определению содержащей только всюду определенные операции.


Обратим внимание и на то, что переходя к Ω-замкнутому подмножеству, мы можем получить алгебру как обогащенную новыми свойствами операций сигнатуры \Omega, так и утратившую некоторые из свойств. Например, моноид (\mathbb{N}_0,+,0) будет только подмоноидом группы (\mathbb{Z},+,0) (но не подгруппой), а подмоноид биекций в симметрическом моноиде некоторого бесконечного множества будет уже группой (это не подгруппа, а именно подмоноид, являющийся группой!).




В следующей теореме сформулировано простое, но очень важное свойство замкнутых подмножеств.


Теорема 4.1. Непустое пересечение произвольного семейства Ω-замкнутых подмножеств Ω-замкнуто.


Для простоты рассмотрим доказательство для пересечения двух Ω-замкнутых подмножеств.


Пусть в алгебре (A,\Omega) Ω-замкнутые подмножества B_1 и B_2 имеют непустое пересечение. Тогда для любого n\geqslant0, а также любых (не обязательно различных) a_1,\ldots,a_n\in B_1\cap B_2 элемент \omega(a_1,\ldots,a_n), какова бы ни была операция и \omega\in \Omega^{(n)} снова будет принадлежать пересечению B_1\cap B_2, так как в силу замкнутости каждого из множеств B_1 и B_2 одновременно \omega(a_1,\ldots,a_n)\in B_1 и \omega(a_1,\ldots,a_n)\in B_2.




Рассмотрим алгебру \mathcal{A}=(A,\Omega) и подмножество B\subseteq A, не обязательно Ω-замкнутое.


Из теоремы 4.1 следует, что существует Ω-замкнутое подмножество, совпадающее с пересечением всех Ω-замкнутых подмножеств, содержащих B. Его называют замыканием подмножества B относительно операций из \Omega (или Ω-замыканием подмножества B) и обозначают [ b ]_{\Omega}. Хотя бы одно Ω-замкнутое подмножество, содержащее B, обязательно найдется — весь носитель A. В том случае, когда [ B ]_{\Omega}=A, подмножество B называют системой образующих алгебры \mathcal{A}=(A,\Omega), а ее саму называют алгеброй, порожденной множеством B. Алгебру, которая имеет конечную систему образующих, называют конечно порожденной.


Замечание 4.3. Определение замыкания можно представить и в несколько иной форме, которая содержательно ассоциируется с некоторой процедурой построения множества [ b ]_{\Omega} по шагам.


Определим семейство множеств (B_i)_{i\geqslant0} полагая B_0=B, а


B_{i+1}= B_i\cup \bigl\{x\colon\, x=\omega(b_1,\ldots,b_n),~ n \geqslant 0,~ \omega\in \Omega^{(n)},~ b_1,\ldots,b_n\in B_i\bigr\}.

Таким образом, множество B_1 состоит из всех элементов B_0=B, и к ним добавляются все элементы, которые могут быть получены как результат применения операций сигнатуры \Omega к аргументам операции из B_0. Множество B_2 точно так же содержит все элементы множества B_1 плюс все результаты применения операций из \Omega к аргументам из B_1 и т.д. По определению,


B=B_0\subseteq B_1\subseteq B_2\subseteq \ldots \subseteq B_i\subseteq B_{i+1} \subseteq\ldots

т.е. для любого i\geqslant 0 имеют место включения B_i\subseteq B_{i+1} и B_i \subseteq [ B ]_{\Omega}\subseteq A. Можно показать, что \textstyle{\mathop{[ B ]_{\Omega}= \bigcup\limits_{i\geqslant0} B_i}\limits^{\phantom{A}^{.}}}.


Замкнутость B означает с точки зрения такого определения, что все множества B_i совпадают с множеством B. Кроме того, может оказаться, что процесс образования множеств B_i "оборвется на некотором шаге", т.е. найдется такое i, что B_{i+1}=B_i. Тогда B_i=[ B ]_{\Omega}.


Для конечной алгебры описанную выше процедуру можно рассматривать как алгоритм построения замыкания исходного множества (при том, что каждой операции сопоставлен некий алгоритм ее вычисления). На первом шаге алгоритма в замыкание [ B ]_{\Omega} помещают все элементы множества B, а затем применяют операции сигнатуры \Omega к исходным и вновь получаемым элементам до тех пор, пока не перестанут появляться новые элементы.


Иначе это можно описать так:


1) все элементы множества B_0 считаются и элементами замыкания [ B ]_{\Omega};

2) каковы бы ни были элементы b_1,\ldots,b_n, относительно которых известно, что они принадлежат [ B ]_{\Omega} (т.е. какому-то множеству B_i из определенного выше семейства), к имеющимся элементам замыкания [ B ]_{\Omega} добавляют все элементы \omega(b_1,\ldots,b_n) для произвольной n-арной операции \omega сигнатуры \Omega.


Никакие другие элементы, кроме тех, что могут быть получены рассмотренным выше способом, замыканию [ B ]_{\Omega} не принадлежат.


Образно говоря, B — это "детали конструктора", a [ B ]_{\Omega} — все, что можно собрать из этих деталей по некоторым заранее оговоренным "правилам сборки" (каковыми являются операции сигнатуры \Omega).




Рассмотрим примеры построения Ω-замыкания.


Пример 4.2. а. В алгебре (\mathbb{N},+) возьмем одноэлементное множество B=\{1\}=B_0. Тогда


B_1=\{1,2\},\quad B_2=\{1,2,3,4\},\quad B_3=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} и т.д.

Множество B_i при i\geqslant1 состоит из всех сумм вида m+n, где m,n\in B_{i-1}. Несложно заметить, что B_i=\{1,2,\ldots,k,\ldots,2k\}, где k=2^{i-1},~ i\geqslant0. Ясно, что в данном случае \textstyle{\mathop{\bigcup\limits_{i\geqslant0} B_i= \mathbb{N}}\limits^{ \phantom{A}^{.}}}, и, таким образом, множество \{1\} является системой образующих этой алгебры.


б. В мультипликативной группе вычетов по модулю 23 (т.е. в группе \mathbb{Z}_{23}^{\ast}) построим замыкание множества B=\{3\}, полагая, что сигнатура группы состоит из единственной операции умножения (по модулю 23).


Поскольку в этой алгебре сигнатура состоит из одной операции, а исходное множество B также одноэлементно, то замыкание B будет состоять из всех степеней элемента 3. Итак, для построения замыкания множества B в данном случае достаточно вычислять последовательно степени (по модулю 23) элемента 3. Имеем


\begin{array}{lll}3^2=9,~3^3=4, &\qquad 3^4=4\cdot3=12, &\qquad 3^5=12\cdot 3=13, \\[2pt] 3^6=13\cdot3=16, &\qquad 3^7=16\cdot3=2, &\qquad 3^8=2\cdot3=6,\\[2pt] 3^9=6\cdot3=18, &\qquad 3^{10}=18\cdot3=8, &\qquad 3^{11}=8\cdot3=1. \end{array}

Так как получена единица, то "круг замкнулся", и тем самым вычислено замыкание множества \{3\}. Заметим, что в этом случае множество B_1 состоит из всех степеней тройки, начиная с первой и кончая второй, множество B_2 — из всех степеней, начиная с первой и кончая четвертой, множество B_3 — из всех степеней с первой по восьмую, а множество B_4 — из всех степеней с первой по 16-ю, но поскольку начиная с 12-й степени элементы повторяются, т.е.


3^{12}=3,~~ 3^{13}=3^2,~~ 3^{14}=3^3,~~ 3^{15}=3^4 и, наконец, 3^{16}=3^4,

то уже множество B_5 совпадет с множеством B_4, так что в данном случае [ b ]_{\,\cdot\,}=B_4.


Порожденная множеством \{3\} группа совпала с циклической подгруппой группы \mathbb{Z}_{23} с образующим элементом 3. Этот результат легко обобщить, доказав, что для произвольной конечной группы \mathcal{G}=(G,\cdot), рассматриваемой как алгебра с сигнатурой, состоящей только из операции умножения, ее циклическая подгруппа с образующим элементом а совпадает с подгруппой, порожденной множеством \{a\}.




Циклическая группа есть один из важнейших примеров конечно порожденной алгебры.


В этой связи обратим внимание на одну тонкость. Если \mathcal{G} — циклическая группа с образующим элементом a, то ее, вообще говоря, нельзя рассматривать как алгебру с системой образующих \{a\}. Все зависит от конкретной сигнатуры группы. Действительно, если в сигнатуру группы включить только умножение, то для бесконечной циклической группы \bold{1}\ne a^n для любого положительного n. Поэтому замыкание множества \{a\} относительно умножения не содержит единицу. Если же сигнатуру группы как алгебры дополнить унарной операцией взятия обратного, т.е. возведения в степень (-1), то циклическая группа с образующим элементом a будет алгеброй с системой образующих \{a\}. При таком подходе аддитивная группа целых чисел, рассматриваемая как алгебра (\mathbb{Z},+,-,0), есть бесконечная циклическая группа, порожденная множеством \{1\}.


Пример 4.3. а. Алгебра (\mathbb{Z},\cdot,1) (мультипликативный моноид кольца целых чисел) не является конечно порожденной. Действительно, в этом моноиде в систему образующих необходимо включить все простые числа, поскольку ни одно из них нельзя представить как произведение других чисел. Но множество простых чисел бесконечно.


б. Любая конечная алгебра будет, разумеется, и конечно порожденной. В частности, любое кольцо вычетов по модулю k (поле вычетов при простом k) — конечно порожденная алгебра, даже если в сигнатуре нет операции нахождения обратного элемента.


в. Свободный моноид, порожденный конечным множеством (алфавитом) A есть конечно порожденная (и бесконечная) алгебра, система образующих которой равна A\cup\{\lambda\}, где \lambda — пустой кортеж.


г. Хорошим примером замыкания служит линейная оболочка заданного множества векторов произвольного линейного пространства. Как известно, линейная оболочка V множества векторов x_1,\ldots,x_{m} линейного пространства L есть множество всех линейных комбинаций вида


\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_ix_i, где x_i\in V,~ i=\overline{1,m},~m\in \mathbb{N}.

Линейная оболочка замкнута относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, так как линейная оболочка множества векторов является линейным подпространством. Более того, линейная оболочка V множества векторов x_1,\ldots,x_{m} — это наименьшее (относительно отношения включения множеств) замкнутое множество, содержащее заданное множество векторов, поскольку любое замкнутое множество, содержащее векторы x_1,\ldots,x_{m}, содержит и все их линейные комбинации, т.е. включает в себя V. Отметим, что конечномерное линейное пространство — конечно порожденная алгебра, так как оно является линейной оболочкой любого из своих базисов.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved