Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Подпространства линейного пространства: определение и примеры

Подпространства линейного пространства


Определение линейного подпространства


Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если


1) \mathbf{u}+\mathbf{v}\in L~~\forall \mathbf{u,v}\in L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);


2) \lambda \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{v}\in L и любого числа \lambda (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).


Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение L\triangleleft V, а слово "линейное" опускать для краткости.


Замечания 8.7


1. Условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: \lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{u,v}\in L и любых чисел \lambda и \mu. Разумеется, что здесь и в определении речь идет о произвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство V.


2. В любом линейном пространстве V имеются два линейных подпространства:


а) само пространство V, т.е. V\triangleleft V;

б) нулевое подпространство \{\mathbf{o}\}, состоящее из одного нулевого вектора пространства V, т.е. \{\mathbf{o}\}\triangleleft V. Эти подпространства называются несобственными, а все остальные — собственными.


3. Любое подпространство L линейного пространства V является его подмножеством: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, но не всякое подмножество M\subset V является линейным подпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейным операциям.


4. Подпространство L линейного пространства V само является линейным пространством с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число, что и в пространстве V, поскольку для них выполняются аксиомы 1-8. Поэтому можно говорить о размерности подпространства, его базисе и т.п.


5. Размерность любого подпространства L линейного пространства V не превосходит размерности пространства V\colon\,\dim{L}\leqslant \dim{V}. Если же размерность подпространства L\triangleleft V равна размерности конечномерного пространства V (\dim{L}=\dim{V}), то подпространство совпадает с самим пространством: L=V.


Это следует из теоремы 8.2 (о дополнении системы векторов до базиса). Действительно, взяв базис подпространства L, будем дополнять его до базиса пространства V. Если это возможно, то \dim{L}<\dim{V}. Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V, то \dim{L}=\dim{V}. Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V.


6. Для любого подмножества M линейного пространства V линейная оболочка \operatorname{Lin}(M) является подпространством V и M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V.


В самом деле, если M=\varnothing (пустое множество), то по определению \operatorname{Lin}(M)=\{\mathbf{o}\}, т.е. является нулевым подпространством и \varnothing\subset\{\mathbf{o}\}\triangleleft V. Пусть M\ne\varnothing. Нужно доказать, что множество \operatorname{Lin}(M) замкнуто по отношению к операциям сложения его элементов и умножения его элементов на число. Напомним, что элементами линейной оболочки \operatorname{Lin}(M) служат линейные комбинации векторов из M. Так как линейная комбинация линейных комбинаций векторов является их линейной комбинацией, то, учитывая пункт 1, делаем вывод, что \operatorname{Lin}(M) является подпространством V, т.е. \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V. Включение M\subset \operatorname{Lin}(M) — очевидное, так как любой вектор \mathbf{v}\in M можно представить как линейную комбинацию 1\cdot\mathbf{v}, т.е. как элемент множества \operatorname{Lin}(M).


7. Линейная оболочка \operatorname{Lin}(L) подпространства L\triangleleft V совпадает с подпространством L, т.е. \operatorname{Lin}(L)=L.


Действительно, так как линейное подпространство L содержит все возможные линейные комбинации своих векторов, то \operatorname{Lin}(L)\subset L. Противоположное включение (L\subset \operatorname{Lin}(L)) следует из пункта 6. Значит, \operatorname{Lin}(L)=L.




Примеры линейных подпространств


Укажем некоторые подпространства линейных пространств, примеры которых рассматривались ранее. Перечислить все подпространства линейного пространства невозможно, за исключением тривиальных случаев.


1. Пространство \{\mathbf{o}\}, состоящее из одного нулевого вектора пространства V, является подпространством, т.е. \{\mathbf{o}\}\triangleleft V.


2. Пусть, как и ранее, V_1,\,V_2,\,V_3 — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.


3. В n-мерном арифметическом пространстве \mathbb{R}^n рассмотрим множество L "полунулевых" столбцов вида x=\begin{pmatrix} x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T с последними (n-m) элементами, равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в L. Умножение "полунулевого" столбца на число дает "полунулевой" столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в L. Поэтому L\triangleleft \mathbb{R}^n, причем \dim{L}=m. Напротив, подмножество ненулевых столбцов \mathbb{R}^n не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств \mathbb{R}^n приводятся в следующем пункте.


4. Пространство \{Ax=o\} решений однородной системы уравнений с n неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства \mathbb{R}^n. Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: \dim\{Ax=o\}=n-\operatorname{rg}A.


Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы (при b\ne o) не является подпространством \mathbb{R}^n, так как сумма двух решений неоднородной ; системы не будет решением той же системы.


5. В пространстве M_{n\times n} квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество M_{n\times n}^{\text{sim}} симметрических матриц и множество M_{n\times n}^{\text{kos}} кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в M_{n\times n}^{\text{sim}}. Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в M_{n\times n}^{\text{sim}}. Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. M_{n\times n}^{\text{sim}}\triangleleft M_{n\times n}. Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют : л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: a_{ii}=1~ i=1,\ldots,n, а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: a_{ij}=a_{ji}=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1,\ldots,n. Всего в базисе будет {n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac{n(n+1)}{2}} матриц. Следовательно, \dim{M_{n\times n}^{\text{sim}}}= \frac{n(n+1)}{2}. Аналогично получаем, что M_{n\times n}^{\text{kos}}\triangleleft M_{n\times n} и \dim{M_{n\times n}^{\text{kos}}}= \frac{n(n+1)}{2}.


Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством M_{n\times n}, так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве M_{2\times2}:


\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.

6. В пространстве многочленов P(\mathbb{R}) с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств


P_0(\mathbb{R})\triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft P_2(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P(\mathbb{R}).

Множество четных многочленов (p(-x)=p(x)) является линейным подпространством P(\mathbb{R}), так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов (p(-x)=-p(x)) также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.


7. В пространстве C(\mathbb{R}) можно указать естественную цепочку подпространств:


C(\mathbb{R})\triangleright C^1(\mathbb{R})\triangleright C^2(\mathbb{R}) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb{R})\triangleright\ldots

Многочлены из P(\mathbb{R}) можно рассматривать как функции, определенные на \mathbb{R}. Так как многочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любого порядка, можно записать: P(\mathbb{R})\triangleleft C(\mathbb{R}) и P_n(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R}) \forall m,n\in\mathbb{N}. Пространство тригонометрических двучленов T_{\omega} (\mathbb{R}) является подпространством C^m(\mathbb{R}), так как производные любого порядка функции f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t непрерывны, т.е. T_{\omega}(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R}) \forall m\in \mathbb{N}. Множество непрерывных периодических функций не является подпространством C(\mathbb{R}), так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, \sin{t}+\sin(\pi t).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved