Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Подпространства линейного пространства: определение и примеры
ОглавлениеЛинейная алгебра

Подпространства линейного пространства


Определение линейного подпространства


Непустое подмножество [math]L[/math] линейного пространства [math]V[/math] называется линейным подпространством пространства [math]V[/math], если


1) [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}\in L~~\forall \mathbf{u,v}\in L[/math] (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);


2) [math]\lambda \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{v}\in L[/math] и любого числа [math]\lambda[/math] (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).


Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение [math]L\triangleleft V[/math], а слово "линейное" опускать для краткости.


Замечания 8.7


1. Условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: [math]\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{u,v}\in L[/math] и любых чисел [math]\lambda[/math] и [math]\mu[/math]. Разумеется, что здесь и в определении речь идет о произвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство [math]V[/math].


2. В любом линейном пространстве [math]V[/math] имеются два линейных подпространства:


а) само пространство [math]V[/math], т.е. [math]V\triangleleft V[/math];

б) нулевое подпространство [math]\{\mathbf{o}\}[/math], состоящее из одного нулевого вектора пространства [math]V[/math], т.е. [math]\{\mathbf{o}\}\triangleleft V[/math]. Эти подпространства называются несобственными, а все остальные — собственными.


3. Любое подпространство [math]L[/math] линейного пространства [math]V[/math] является его подмножеством: [math]L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V[/math], но не всякое подмножество [math]M\subset V[/math] является линейным подпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейным операциям.


4. Подпространство [math]L[/math] линейного пространства [math]V[/math] само является линейным пространством с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число, что и в пространстве [math]V[/math], поскольку для них выполняются аксиомы 1-8. Поэтому можно говорить о размерности подпространства, его базисе и т.п.


5. Размерность любого подпространства [math]L[/math] линейного пространства [math]V[/math] не превосходит размерности пространства [math]V\colon\,\dim{L}\leqslant \dim{V}[/math]. Если же размерность подпространства [math]L\triangleleft V[/math] равна размерности конечномерного пространства [math]V[/math] [math](\dim{L}=\dim{V})[/math], то подпространство совпадает с самим пространством: [math]L=V[/math].


Это следует из теоремы 8.2 (о дополнении системы векторов до базиса). Действительно, взяв базис подпространства [math]L[/math], будем дополнять его до базиса пространства [math]V[/math]. Если это возможно, то [math]\dim{L}<\dim{V}[/math]. Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства [math]L[/math] является базисом пространства [math]V[/math], то [math]\dim{L}=\dim{V}[/math]. Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем [math]L=V[/math].


6. Для любого подмножества [math]M[/math] линейного пространства [math]V[/math] линейная оболочка [math]\operatorname{Lin}(M)[/math] является подпространством [math]V[/math] и [math]M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V[/math].


В самом деле, если [math]M=\varnothing[/math] (пустое множество), то по определению [math]\operatorname{Lin}(M)=\{\mathbf{o}\}[/math], т.е. является нулевым подпространством и [math]\varnothing\subset\{\mathbf{o}\}\triangleleft V[/math]. Пусть [math]M\ne\varnothing[/math]. Нужно доказать, что множество [math]\operatorname{Lin}(M)[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения его элементов и умножения его элементов на число. Напомним, что элементами линейной оболочки [math]\operatorname{Lin}(M)[/math] служат линейные комбинации векторов из [math]M[/math]. Так как линейная комбинация линейных комбинаций векторов является их линейной комбинацией, то, учитывая пункт 1, делаем вывод, что [math]\operatorname{Lin}(M)[/math] является подпространством [math]V[/math], т.е. [math]\operatorname{Lin}(M)\triangleleft V[/math]. Включение [math]M\subset \operatorname{Lin}(M)[/math] — очевидное, так как любой вектор [math]\mathbf{v}\in M[/math] можно представить как линейную комбинацию [math]1\cdot\mathbf{v}[/math], т.е. как элемент множества [math]\operatorname{Lin}(M)[/math].


7. Линейная оболочка [math]\operatorname{Lin}(L)[/math] подпространства [math]L\triangleleft V[/math] совпадает с подпространством [math]L[/math], т.е. [math]\operatorname{Lin}(L)=L[/math].


Действительно, так как линейное подпространство [math]L[/math] содержит все возможные линейные комбинации своих векторов, то [math]\operatorname{Lin}(L)\subset L[/math]. Противоположное включение [math](L\subset \operatorname{Lin}(L))[/math] следует из пункта 6. Значит, [math]\operatorname{Lin}(L)=L[/math].




Примеры линейных подпространств


Укажем некоторые подпространства линейных пространств, примеры которых рассматривались ранее. Перечислить все подпространства линейного пространства невозможно, за исключением тривиальных случаев.


1. Пространство [math]\{\mathbf{o}\}[/math], состоящее из одного нулевого вектора пространства [math]V[/math], является подпространством, т.е. [math]\{\mathbf{o}\}\triangleleft V[/math].


2. Пусть, как и ранее, [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то [math]V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3[/math]. Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.


3. В n-мерном арифметическом пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] рассмотрим множество [math]L[/math] "полунулевых" столбцов вида [math]x=\begin{pmatrix} x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T[/math] с последними [math](n-m)[/math] элементами, равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в [math]L[/math]. Умножение "полунулевого" столбца на число дает "полунулевой" столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в [math]L[/math]. Поэтому [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math], причем [math]\dim{L}=m[/math]. Напротив, подмножество ненулевых столбцов [math]\mathbb{R}^n[/math] не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств [math]\mathbb{R}^n[/math] приводятся в следующем пункте.


4. Пространство [math]\{Ax=o\}[/math] решений однородной системы уравнений с [math]n[/math] неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: [math]\dim\{Ax=o\}=n-\operatorname{rg}A[/math].


Множество [math]\{Ax=b\}[/math] решений неоднородной системы (при [math]b\ne o[/math]) не является подпространством [math]\mathbb{R}^n[/math], так как сумма двух решений неоднородной ; системы не будет решением той же системы.


5. В пространстве [math]M_{n\times n}[/math] квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество [math]M_{n\times n}^{\text{sim}}[/math] симметрических матриц и множество [math]M_{n\times n}^{\text{kos}}[/math] кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в [math]M_{n\times n}^{\text{sim}}[/math]. Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в [math]M_{n\times n}^{\text{sim}}[/math]. Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. [math]M_{n\times n}^{\text{sim}}\triangleleft M_{n\times n}[/math]. Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют : л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: [math]a_{ii}=1~ i=1,\ldots,n[/math], а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: [math]a_{ij}=a_{ji}=1,[/math] [math]i=1,\ldots,n,[/math] [math]j=i,i+1,\ldots,n[/math]. Всего в базисе будет [math]{n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac{n(n+1)}{2}}[/math] матриц. Следовательно, [math]\dim{M_{n\times n}^{\text{sim}}}= \frac{n(n+1)}{2}[/math]. Аналогично получаем, что [math]M_{n\times n}^{\text{kos}}\triangleleft M_{n\times n}[/math] и [math]\dim{M_{n\times n}^{\text{kos}}}= \frac{n(n+1)}{2}[/math].


Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством [math]M_{n\times n}[/math], так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве [math]M_{2\times2}:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

6. В пространстве многочленов [math]P(\mathbb{R})[/math] с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств


[math]P_0(\mathbb{R})\triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft P_2(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P(\mathbb{R}).[/math]

Множество четных многочленов [math](p(-x)=p(x))[/math] является линейным подпространством [math]P(\mathbb{R})[/math], так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов [math](p(-x)=-p(x))[/math] также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, [math](x^2-x)+(x+1)=x^2+1[/math].


7. В пространстве [math]C(\mathbb{R})[/math] можно указать естественную цепочку подпространств:


[math]C(\mathbb{R})\triangleright C^1(\mathbb{R})\triangleright C^2(\mathbb{R}) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb{R})\triangleright\ldots[/math]

Многочлены из [math]P(\mathbb{R})[/math] можно рассматривать как функции, определенные на [math]\mathbb{R}[/math]. Так как многочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любого порядка, можно записать: [math]P(\mathbb{R})\triangleleft C(\mathbb{R})[/math] и [math]P_n(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R})[/math] [math]\forall m,n\in\mathbb{N}[/math]. Пространство тригонометрических двучленов [math]T_{\omega} (\mathbb{R})[/math] является подпространством [math]C^m(\mathbb{R})[/math], так как производные любого порядка функции [math]f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t[/math] непрерывны, т.е. [math]T_{\omega}(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R})[/math] [math]\forall m\in \mathbb{N}[/math]. Множество непрерывных периодических функций не является подпространством [math]C(\mathbb{R})[/math], так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, [math]\sin{t}+\sin(\pi t)[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved