Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Подобие числовых матриц
ОглавлениеЛинейная алгебра

Подобие числовых матриц


Квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] n-го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица [math]S~(\det{S}\ne0)[/math], что


[math]B=S^{-1}\cdot A\cdot S.[/math]

Преобразование матрицы [math]A[/math] по формуле [math]S^{-1}AS[/math] называется преобразованием подобия, а матрица [math]S[/math]преобразующей.


Свойства подобных матриц


1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: [math]A=E^{-1}AE[/math].


2. Если матрица [math]B[/math] подобна матрице [math]A[/math], то и [math]A[/math] подобна [math]B:[/math]


[math]B=S^{-1}\cdot A\cdot S~~\Leftrightarrow~~A=T^{-1}\cdot B\cdot T[/math] при [math]T=S^{-1}[/math].

3. Если матрица [math]A[/math] подобна матрице [math]B[/math], а [math]B[/math] подобна [math]C[/math], то [math]A[/math] подобна [math]C:[/math]


[math]\left.{\begin{gathered}A=S^{-1}\cdot B\cdot S\\ B=T^{-1}\cdot C\cdot T\end{gathered}}\right\}~ \Rightarrow~~A=P^{-1}\cdot B\cdot P[/math], где [math]P=T\cdot S[/math].

4. Подобие является частным случаем эквивалентных преобразований.


5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы являются конгруэнтными.


Поясним свойства 4, 5. Напомним, что эквивалентные матрицы связаны соотношением [math]B=SAT[/math], где [math]S[/math] и [math]T[/math] — невырожденные (элементарные) матрицы. Если [math]T=S^{-1}[/math], то получаем преобразование подобия [math]B=SAS^{-1}\Leftrightarrow A=S^{-1}BS[/math]. Если же матрица [math]S[/math] ортогональная [math](S^{-1}=S^T)[/math], то подобные матрицы, связанные равенством [math]B=S^{-1}AS[/math], оказываются конгруэнтными, так как [math]B=S^TAS[/math].


Подобные матрицы возникают во многих алгебраических задачах при замене переменных. Например, при решении системы уравнений [math]Ax=b[/math] с невырожденной квадратной матрицей [math]A[/math] можно сделать линейную замену неизвестных: ввести столбец [math]y[/math] — новых неизвестных [math](x=Sy)[/math] и новый столбец свободных членов с [math](b=Sc)[/math], для которых система уравнений будет выглядеть так


[math]A\cdot S\cdot y=S\cdot c[/math] или [math]S^{-1}\cdot A\cdot S\cdot y=c[/math].

Матрица [math]S^{-1}AS=\Lambda[/math] полученной системы подобна матрице исходной системы. Например, если в результате преобразования подобия полученная матрица [math]\Lambda[/math] имеет диагональный вид: [math]\Lambda=\operatorname{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)[/math], то решение системы [math]\Lambda y=c[/math] находится просто: [math]y_1=\frac{c_i}{\lambda_i}[/math] [math]i=1,\ldots,n[/math], после чего нетрудно вычислить и решение исходной системы [math]x=Sy[/math].




Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия


Рассмотрим задачу приведения квадратной матрицы [math]A[/math] к диагональному виду [math]\Lambda=\operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math] при помощи преобразования подобия.


Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка приводилась к диагональному виду [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math], необходимо и достаточно, чтобы она имела [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов.


Действительно, запишем равенство [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math] в виде [math]S\Lambda=AS[/math], т.е.


[math]S\cdot\Lambda=\begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\s_{n1}&\cdots&s_{nn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda_1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots\\ s_{n1}&\cdots&s_{nn}\end{pmatrix}= A\cdot S[/math]

или [math]\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}\! \cdot\Lambda=A\cdot\! \begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n \end{pmatrix}[/math], где [math]s_1,\ldots,s_n[/math] — столбцы матрицы [math]S[/math]. Отсюда получаем систему уравнений для столбцов [math]s_i[/math] матрицы [math]S:[/math]


[math]A\cdot s_i=\lambda_i\cdot s_i,\quad i=1,2,\ldots,n.[/math]
(7.18)

Поэтому, если матрицу [math]A[/math] можно привести преобразованием подобия к диагональному виду [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math], то для столбцов матрицы [math]S[/math] выполняются равенства (7.18), т.е. столбцы [math]s_i[/math] являются собственными векторами матрицы [math]A[/math], причем они линейно независимы, так как матрица [math]S[/math] невырожденная. Необходимость доказана. Пусть, наоборот, матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]s_i[/math], удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу [math]S[/math], получим для нее равенство [math]S\Lambda=AS[/math], равносильное (7.18). Учитывая, что матрица [math]S[/math] невырожденная (из-за линейной независимости ее столбцов), получаем [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math], т.е. матрица [math]A[/math] подобна диагональной. Достаточность доказана.


Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.


Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.


Следствие 2. Если матрица [math]A[/math] приводится к диагональному виду [math]\Lambda=S^{-1}AS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math], то числа [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы [math]A[/math], а столбцы [math]s_1,\ldots,s_n[/math] преобразующей матрицы [math]S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}[/math] являются соответствующими собственными векторами матрицы [math]A[/math].


Следствие 3. Если [math]s_1,\ldots,s_n[/math] — линейно независимые собственные векторы матрицы [math]A[/math], соответствующие ее собственным значениям [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] (среди которых могут быть равные), то матрица [math]A[/math] приводится к диагональному виду [math]\Lambda=S^{-1}AS= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math] при помощи преобразующей матрицы [math]S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}[/math], составленной из собственных векторов.


Чтобы привести квадратную матрицу [math]A[/math] (n-го порядка) к диагональному виду при помощи преобразования подобия [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math] и найти преобразующую матрицу [math]S[/math], нужно выполнить следующие действия.


1. Найти л линейно независимых собственных векторов [math]s_1,\ldots,s_n[/math] матрицы [math]A[/math] (при этом использовать алгоритм в разд. 7.2.1 с учетом пункта 2 замечаний 7.5).


2. Из собственных векторов [math]s_1,\ldots,s_n[/math] составить преобразующую матрицу [math]S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}[/math] (см. следствие 3 теоремы 7.5).


3. По собственным значениям матрицы [math]A[/math] составить матрицу [math]\Lambda= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math] — диагональный вид матрицы [math]A[/math]. Иначе матрицу [math]\Lambda[/math] можно найти, выполняя преобразование подобия [math]\Lambda=S^{-1}AS[/math].




Пример 7.9. Привести данные матрицы к диагональному виду и найти соответствующие преобразующие матрицы:


[math]A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&8\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix} 1&-4\\1&1 \end{pmatrix}\!,\qquad C=\begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений [math]\lambda_1=2[/math] и [math]\lambda_2=7[/math] возьмем соответствующие собственные векторы (полагая [math]C_1=1,~C_2=3[/math]): [math]s_1=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\!,~ s_2=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}[/math]. Эти столбцы линейно независимы (по свойству 1 собственных векторов).


2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу [math]S=\begin{pmatrix} s_1&s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&-1\\1&3 \end{pmatrix}[/math].


3. Находим диагональный вид [math]\Lambda[/math] матрицы [math]A[/math], выполняя преобразование подобия:


[math]\begin{aligned}\Lambda=S^{-1}AS&= \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&-2\\3&8\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}= \frac{1}{-5}\!\begin{pmatrix}3&1\\-1&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-2\\3&8 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}=\\[2pt] &= -\frac{1}{5}\! \begin{pmatrix} 6&2\\-7&-14\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&0\\0&7\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

На главной диагонали (согласно следствию 2 теоремы 7.5) стоят собственные значения матрицы [math]A[/math].


Преобразующую матрицу можно было составить по-другому: [math]S'=\begin{pmatrix}s_2&s_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&1\end{pmatrix}[/math]. Тогда в результате преобразования подобия получили бы диагональную матрицу [math]\Lambda'=(S')^{-1}AS'=\operatorname{diag}(7;2)[/math].


Матрица [math]B[/math]. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений [math]\lambda_1=1+2i[/math] и [math]\lambda_2=1-2i[/math] возьмем соответствующие собственные векторы (полагая [math]C_1=1,~ C_2=1[/math]): [math]s_1=\begin{pmatrix}2i\\1\end{pmatrix}\!,~s_2=\begin{pmatrix}-2i\\1 \end{pmatrix}[/math]. Эти столбцы линейно независимы, поэтому матрицу [math]B[/math] можно привести к диагональному виду.


2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу [math]S=\begin{pmatrix} s_1&s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2i&-2i\\1&1 \end{pmatrix}[/math]. Выполняем преобразование подобия


[math]\begin{aligned}\Lambda=S^{-1}BS&= \begin{pmatrix}2i&-2i\\1&1\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&-4\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2i&-2i\\1&1\end{pmatrix}= \frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}1&2i\\-1&2i\end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}1&-4\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2i&-2i\\ 1&1\end{pmatrix}= \\[2pt] &=\frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}1&2i\\-1&2i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-4+2i&-4-2i\\ 1+2i&1-2i \end{pmatrix}= \frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}-8+4i&0\\0&8+4i\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+2i&0\\0&1-2i\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

На главной диагонали матрицы [math]\Lambda[/math] стоят (согласно следствию 2 теоремы 7.5) собственные значения матрицы [math]B[/math].


Матрица [math]C[/math]. Найдем собственные векторы матрицы [math]C[/math], используя алгоритм, изложенный в разд.7.2.1.


1. Составляем характеристический многочлен [math]\Delta_{C}(\lambda)= \begin{vmatrix}4-\lambda&4\\-1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2-4 \lambda+4=(\lambda-2)^2[/math].


2. Решаем характеристическое уравнение [math](\lambda-2)^2=0~\Rightarrow~\lambda=2[/math].


3. Для собственного значения [math]\lambda=2[/math] составляем однородную систему уравнений [math](C-2E)x=o[/math], которую решаем методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы к упрощенному виду


[math]\begin{pmatrix}C-2E\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы равен единице [math](r=1)[/math], количество неизвестных [math]n=2[/math]. Поэтому фундаментальная система решений содержит [math]n-r=1[/math] решение. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-2x_2[/math]. Полагая [math]x_2=1[/math], находим решение [math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}[/math].


4. Все собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda=2[/math], имеют вид [math]s=C_1\varphi_1=C_1\! \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}[/math], где [math]C_1[/math] — произвольная постоянная. отличная от нуля.


Как видим, матрица [math]C[/math] второго порядка имеет только один линейно независимый собственный вектор, поэтому ее нельзя привести к диагональному виду при помощи преобразования подобия.




Пример 7.10. Привести матрицу [math]A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/math] к диагональному виду и найти соответствующую преобразующую матрицу. Найти выражение для степени [math]A^m[/math] с натуральным показателем [math]m\in\mathbb{N}[/math].


Решение. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Выберем три линейно независимых собственных вектора (см. пример 7.8):


[math]s_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\!,\qquad s_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}\!,\qquad s_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!.[/math]

Векторы [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] соответствуют собственному значению [math]\lambda=0[/math], вектор [math]s_3[/math] -собственному значению [math]\lambda=3[/math].


2, 3. Составляем из этих собственных векторов преобразующую матрицу [math]S[/math], при помощи которой матрица [math]A[/math] приводится к диагональному виду [math]\Lambda:[/math]


[math]\Lambda=S^{-1}\cdot A\cdot S= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Найдем m-ю степень матрицы [math]A[/math], учитывая, что [math]A=S\Lambda S^{-1}:[/math]


[math]A^m=\begin{pmatrix}S\cdot\Lambda\cdot S^{-1}\end{pmatrix}^m= \underbrace{S\Lambda S^{-1}\cdot S\Lambda S^{-1}\cdot\ldots\cdot S\Lambda S^{-1}}_{m}= S\cdot\Lambda^m\cdot S^{-1}.[/math]

Нетрудно получить степень [math]\Lambda^m[/math] диагональной матрицы, так как произведение диагональных матриц является диагональной матрицей:


[math]\Lambda^m= \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&3^m \end{pmatrix}\!.[/math]
Следовательно,
[math]\begin{aligned}A^m&=S\cdot\Lambda^m\cdot S^{-1}= \begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3^m \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}^{-1}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 0&0&3^m\\0&0&3^m\\ 0&0&3^m\end{pmatrix} \!\cdot\frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}-1&-1&2\\ -1&2&-1\\ -1&-1&-1\end{pmatrix}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}3^m&3^m&3^m\\ 3^m& 3^m&3^m\\ 3^m&3^m&3^m\end{pmatrix}= 3^{m-1}\! \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]



Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц


Получим необходимое и достаточное условие подобия числовых квадратных матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] n-го порядка. Напомним, что с этими числовыми матрицами связаны λ-матрицы [math](A-\lambda E)[/math] и [math](B-\lambda E)[/math], которые называются характеристическими. Две λ-матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Согласно пункту 6 замечаний 7.4, если λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] эквивалентны, то существуют такие обратимые λ-матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math], что [math]B(\lambda)= S(\lambda)A(\lambda)T(\lambda)[/math].




Критерий подобия числовых матриц


Теорема 7.6 (критерий подобия числовых матриц). Для того чтобы числовые матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] были подобными необходимо и достаточно, чтобы их характеристические λ-матрицы [math](A-\lambda E)[/math] и [math](B-\lambda E)[/math] были эквивалентны.


В самом деле, если числовые матрицы подобны, т.е. [math]B=S^{-1}AS[/math], то


[math]B-\lambda\cdot E=S^{-1}\cdot A\cdot S-\lambda\cdot S^{-1}\cdot E\cdot S=S^{-1}\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S.[/math]

Значит, характеристические матрицы эквивалентны, так как числовую матрицу [math]S[/math] можно считать частным случаем λ-матрицы, а невырожденная числовая матрица является элементарной (следствие 3 теоремы 3.3). Необходимость доказана.


Для доказательства достаточности запишем условие эквивалентности λ-матриц [math](A-\lambda E)[/math] и [math](B-\lambda E)[/math]:


[math]B-\lambda\cdot E=S(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).[/math]
Перепишем равенство в виде
[math]S^{-1}(\lambda)\cdot(B-\lambda\cdot E)=(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).[/math]
(7.19)

Разделим λ-матрицу [math]S^{-1}(\lambda)[/math] слева на [math](A-\lambda E)[/math], а λ-матрицу [math]T(\lambda)[/math] справа на [math](B-\lambda E):[/math]


[math]S^{-1}(\lambda)=(A-\lambda E)\cdot S_1(\lambda)+S_0;\quad T(\lambda)=T_1(\lambda)\cdot (B-\lambda E)+T_0.[/math]
(7.20)

Здесь остатки [math]S_0[/math] и [math]T_0[/math] — обратимые числовые матрицы, так как [math]S^{-1}(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] — обратимые λ-матрицы (см. пункт 3 замечаний 7.3). Подставим выражения (7.20) в (7.19):


[math]\Bigl[(A-\lambda E)\cdot S_1(\lambda)+S_0\Bigr]\cdot(B-\lambda E)= (A-\lambda E)\cdot\Bigl[T_1(\lambda)\cdot(B-\lambda E)+T_0\Bigr].[/math]
Преобразуем равенство
[math](A-\lambda E)\cdot\Bigl[S_1(\lambda)-T_1(\lambda)\Bigr]\cdot(B-\lambda E)= (A-\lambda E)\cdot T_0-S_0\cdot(B-\lambda E).[/math]

Отсюда следует, что [math]S_1(\lambda)=T_1(\lambda)[/math], в противном случае равенство ложное, так как степень многочлена в левой части не менее второй, а в правой части — не более первой. При [math]S_1(\lambda)=T_1(\lambda)[/math] получаем


[math]S_0\cdot(B-\lambda\cdot E)=(A-\lambda\cdot E)\cdot T_0[/math]
(7.21)

Сравнивая это равенство с (7.19), делаем вывод, что λ-матрицы [math]S^{-1}(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] в (7.19) можно заменить числовыми матрицами [math]S_0[/math] и [math]T_0[/math]. Приравнивая в (7.21) коэффициенты при одинаковых степенях [math]\lambda[/math], находим


[math]S_0=T_0,\qquad A\cdot T_0=S_0\cdot B.[/math]
(7.22)

Следовательно, [math]B=S_0^{-1}AS_0[/math], т.е. матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] подобны.


Следствие. Если матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] подобны, т.е. [math]B=S_0^{-1}AS_0[/math], то в качестве преобразующей матрицы [math]S_0[/math] можно взять матрицу [math]S_0=S_{\text{left}}^{-1}(B)=T_{\text{right}}(B)[/math] — левое или правое значения соответствующих λ-матриц из равенства


[math]B-\lambda\cdot E=S(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).[/math]
(7.23)

В самом деле, из доказательства теоремы следует, что λ-матрицы в (7.23) можно заменить числовыми матрицами:


[math]B-\lambda\cdot E=S_0^{-1}\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T_0,[/math]

где преобразующая матрица [math]T_0[/math] согласно (7.20) равна правому остатку при делении [math]T(\lambda)[/math] на [math](B-\lambda E)[/math], который по теореме Безу равен правому значению [math]T_{\text{right}}(B)[/math]. Учитывая (7.22), получаем [math]S_0=T_0=T_{\text{right}}(B)[/math]. Равенство [math]S_0=S_{\text{left}}^{-1}(B)[/math] доказывается аналогично на основании теоремы Безу.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved