Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Подобие числовых матриц

Подобие числовых матриц


Квадратные матрицы A и B n-го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица S~(\det{S}\ne0), что


B=S^{-1}\cdot A\cdot S.

Преобразование матрицы A по формуле S^{-1}AS называется преобразованием подобия, а матрица Sпреобразующей.


Свойства подобных матриц


1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: A=E^{-1}AE.


2. Если матрица B подобна матрице A, то и A подобна B:


B=S^{-1}\cdot A\cdot S~~\Leftrightarrow~~A=T^{-1}\cdot B\cdot T при T=S^{-1}.

3. Если матрица A подобна матрице B, а B подобна C, то A подобна C:


\left.{\begin{gathered}A=S^{-1}\cdot B\cdot S\\ B=T^{-1}\cdot C\cdot T\end{gathered}}\right\}~ \Rightarrow~~A=P^{-1}\cdot B\cdot P, где P=T\cdot S.

4. Подобие является частным случаем эквивалентных преобразований.


5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы являются конгруэнтными.


Поясним свойства 4, 5. Напомним, что эквивалентные матрицы связаны соотношением B=SAT, где S и T — невырожденные (элементарные) матрицы. Если T=S^{-1}, то получаем преобразование подобия B=SAS^{-1}\Leftrightarrow A=S^{-1}BS. Если же матрица S ортогональная (S^{-1}=S^T), то подобные матрицы, связанные равенством B=S^{-1}AS, оказываются конгруэнтными, так как B=S^TAS.


Подобные матрицы возникают во многих алгебраических задачах при замене переменных. Например, при решении системы уравнений Ax=b с невырожденной квадратной матрицей A можно сделать линейную замену неизвестных: ввести столбец y — новых неизвестных (x=Sy) и новый столбец свободных членов с (b=Sc), для которых система уравнений будет выглядеть так


A\cdot S\cdot y=S\cdot c или S^{-1}\cdot A\cdot S\cdot y=c.

Матрица S^{-1}AS=\Lambda полученной системы подобна матрице исходной системы. Например, если в результате преобразования подобия полученная матрица \Lambda имеет диагональный вид: \Lambda=\operatorname{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_n), то решение системы \Lambda y=c находится просто: y_1=\frac{c_i}{\lambda_i} i=1,\ldots,n, после чего нетрудно вычислить и решение исходной системы x=Sy.




Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия


Рассмотрим задачу приведения квадратной матрицы A к диагональному виду \Lambda=\operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n) при помощи преобразования подобия.


Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица A n-го порядка приводилась к диагональному виду \Lambda=S^{-1}AS, необходимо и достаточно, чтобы она имела n линейно независимых собственных векторов.


Действительно, запишем равенство \Lambda=S^{-1}AS в виде S\Lambda=AS, т.е.


S\cdot\Lambda=\begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\s_{n1}&\cdots&s_{nn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda_1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots\\ s_{n1}&\cdots&s_{nn}\end{pmatrix}= A\cdot S

или \begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}\! \cdot\Lambda=A\cdot\! \begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n \end{pmatrix}, где s_1,\ldots,s_n — столбцы матрицы S. Отсюда получаем систему уравнений для столбцов s_i матрицы S:


A\cdot s_i=\lambda_i\cdot s_i,\quad i=1,2,\ldots,n.
(7.18)

Поэтому, если матрицу A можно привести преобразованием подобия к диагональному виду \Lambda=S^{-1}AS, то для столбцов матрицы S выполняются равенства (7.18), т.е. столбцы s_i являются собственными векторами матрицы A, причем они линейно независимы, так как матрица S невырожденная. Необходимость доказана. Пусть, наоборот, матрица A имеет n линейно независимых собственных векторов s_i, удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу S, получим для нее равенство S\Lambda=AS, равносильное (7.18). Учитывая, что матрица S невырожденная (из-за линейной независимости ее столбцов), получаем \Lambda=S^{-1}AS, т.е. матрица A подобна диагональной. Достаточность доказана.


Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.


Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.


Следствие 2. Если матрица A приводится к диагональному виду \Lambda=S^{-1}AS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n), то числа \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы A, а столбцы s_1,\ldots,s_n преобразующей матрицы S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix} являются соответствующими собственными векторами матрицы A.


Следствие 3. Если s_1,\ldots,s_n — линейно независимые собственные векторы матрицы A, соответствующие ее собственным значениям \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n (среди которых могут быть равные), то матрица A приводится к диагональному виду \Lambda=S^{-1}AS= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n) при помощи преобразующей матрицы S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}, составленной из собственных векторов.


Чтобы привести квадратную матрицу A (n-го порядка) к диагональному виду при помощи преобразования подобия \Lambda=S^{-1}AS и найти преобразующую матрицу S, нужно выполнить следующие действия.


1. Найти л линейно независимых собственных векторов s_1,\ldots,s_n матрицы A (при этом использовать алгоритм в разд. 7.2.1 с учетом пункта 2 замечаний 7.5).


2. Из собственных векторов s_1,\ldots,s_n составить преобразующую матрицу S=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix} (см. следствие 3 теоремы 7.5).


3. По собственным значениям матрицы A составить матрицу \Lambda= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n) — диагональный вид матрицы A. Иначе матрицу \Lambda можно найти, выполняя преобразование подобия \Lambda=S^{-1}AS.




Пример 7.9. Привести данные матрицы к диагональному виду и найти соответствующие преобразующие матрицы:


A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&8\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix} 1&-4\\1&1 \end{pmatrix}\!,\qquad C=\begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица A. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений \lambda_1=2 и \lambda_2=7 возьмем соответствующие собственные векторы (полагая C_1=1,~C_2=3): s_1=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\!,~ s_2=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. Эти столбцы линейно независимы (по свойству 1 собственных векторов).


2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу S=\begin{pmatrix} s_1&s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&-1\\1&3 \end{pmatrix}.


3. Находим диагональный вид \Lambda матрицы A, выполняя преобразование подобия:


\begin{aligned}\Lambda=S^{-1}AS&= \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&-2\\3&8\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}= \frac{1}{-5}\!\begin{pmatrix}3&1\\-1&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-2\\3&8 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}=\\[2pt] &= -\frac{1}{5}\! \begin{pmatrix} 6&2\\-7&-14\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&-1\\1&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&0\\0&7\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

На главной диагонали (согласно следствию 2 теоремы 7.5) стоят собственные значения матрицы A.


Преобразующую матрицу можно было составить по-другому: S'=\begin{pmatrix}s_2&s_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&1\end{pmatrix}. Тогда в результате преобразования подобия получили бы диагональную матрицу \Lambda'=(S')^{-1}AS'=\operatorname{diag}(7;2).


Матрица B. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений \lambda_1=1+2i и \lambda_2=1-2i возьмем соответствующие собственные векторы (полагая C_1=1,~ C_2=1): s_1=\begin{pmatrix}2i\\1\end{pmatrix}\!,~s_2=\begin{pmatrix}-2i\\1 \end{pmatrix}. Эти столбцы линейно независимы, поэтому матрицу B можно привести к диагональному виду.


2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу S=\begin{pmatrix} s_1&s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2i&-2i\\1&1 \end{pmatrix}. Выполняем преобразование подобия


\begin{aligned}\Lambda=S^{-1}BS&= \begin{pmatrix}2i&-2i\\1&1\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&-4\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2i&-2i\\1&1\end{pmatrix}= \frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}1&2i\\-1&2i\end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}1&-4\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2i&-2i\\ 1&1\end{pmatrix}= \\[2pt] &=\frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}1&2i\\-1&2i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-4+2i&-4-2i\\ 1+2i&1-2i \end{pmatrix}= \frac{1}{4i}\! \begin{pmatrix}-8+4i&0\\0&8+4i\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+2i&0\\0&1-2i\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

На главной диагонали матрицы \Lambda стоят (согласно следствию 2 теоремы 7.5) собственные значения матрицы B.


Матрица C. Найдем собственные векторы матрицы C, используя алгоритм, изложенный в разд.7.2.1.


1. Составляем характеристический многочлен \Delta_{C}(\lambda)= \begin{vmatrix}4-\lambda&4\\-1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2-4 \lambda+4=(\lambda-2)^2.


2. Решаем характеристическое уравнение (\lambda-2)^2=0~\Rightarrow~\lambda=2.


3. Для собственного значения \lambda=2 составляем однородную систему уравнений (C-2E)x=o, которую решаем методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы к упрощенному виду


\begin{pmatrix}C-2E\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\!.

Ранг матрицы равен единице (r=1), количество неизвестных n=2. Поэтому фундаментальная система решений содержит n-r=1 решение. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=-2x_2. Полагая x_2=1, находим решение \varphi_1=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}.


4. Все собственные векторы, соответствующие собственному значению \lambda=2, имеют вид s=C_1\varphi_1=C_1\! \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}, где C_1 — произвольная постоянная. отличная от нуля.


Как видим, матрица C второго порядка имеет только один линейно независимый собственный вектор, поэтому ее нельзя привести к диагональному виду при помощи преобразования подобия.




Пример 7.10. Привести матрицу A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix} к диагональному виду и найти соответствующую преобразующую матрицу. Найти выражение для степени A^m с натуральным показателем m\in\mathbb{N}.


Решение. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Выберем три линейно независимых собственных вектора (см. пример 7.8):


s_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\!,\qquad s_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}\!,\qquad s_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!.

Векторы s_1 и s_2 соответствуют собственному значению \lambda=0, вектор s_3 -собственному значению \lambda=3.


2, 3. Составляем из этих собственных векторов преобразующую матрицу S, при помощи которой матрица A приводится к диагональному виду \Lambda:


\Lambda=S^{-1}\cdot A\cdot S= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}\!.

Найдем m-ю степень матрицы A, учитывая, что A=S\Lambda S^{-1}:


A^m=\begin{pmatrix}S\cdot\Lambda\cdot S^{-1}\end{pmatrix}^m= \underbrace{S\Lambda S^{-1}\cdot S\Lambda S^{-1}\cdot\ldots\cdot S\Lambda S^{-1}}_{m}= S\cdot\Lambda^m\cdot S^{-1}.

Нетрудно получить степень \Lambda^m диагональной матрицы, так как произведение диагональных матриц является диагональной матрицей:


\Lambda^m= \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&3^m \end{pmatrix}\!.
Следовательно,
\begin{aligned}A^m&=S\cdot\Lambda^m\cdot S^{-1}= \begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3^m \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}^{-1}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 0&0&3^m\\0&0&3^m\\ 0&0&3^m\end{pmatrix} \!\cdot\frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}-1&-1&2\\ -1&2&-1\\ -1&-1&-1\end{pmatrix}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}3^m&3^m&3^m\\ 3^m& 3^m&3^m\\ 3^m&3^m&3^m\end{pmatrix}= 3^{m-1}\! \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}



Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц


Получим необходимое и достаточное условие подобия числовых квадратных матриц A и B n-го порядка. Напомним, что с этими числовыми матрицами связаны λ-матрицы (A-\lambda E) и (B-\lambda E), которые называются характеристическими. Две λ-матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Согласно пункту 6 замечаний 7.4, если λ-матрицы A(\lambda) и B(\lambda) эквивалентны, то существуют такие обратимые λ-матрицы S(\lambda) и T(\lambda), что B(\lambda)= S(\lambda)A(\lambda)T(\lambda).




Критерий подобия числовых матриц


Теорема 7.6 (критерий подобия числовых матриц). Для того чтобы числовые матрицы A и B были подобными необходимо и достаточно, чтобы их характеристические λ-матрицы (A-\lambda E) и (B-\lambda E) были эквивалентны.


В самом деле, если числовые матрицы подобны, т.е. B=S^{-1}AS, то


B-\lambda\cdot E=S^{-1}\cdot A\cdot S-\lambda\cdot S^{-1}\cdot E\cdot S=S^{-1}\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S.

Значит, характеристические матрицы эквивалентны, так как числовую матрицу S можно считать частным случаем λ-матрицы, а невырожденная числовая матрица является элементарной (следствие 3 теоремы 3.3). Необходимость доказана.


Для доказательства достаточности запишем условие эквивалентности λ-матриц (A-\lambda E) и (B-\lambda E):


B-\lambda\cdot E=S(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).
Перепишем равенство в виде
S^{-1}(\lambda)\cdot(B-\lambda\cdot E)=(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).
(7.19)

Разделим λ-матрицу S^{-1}(\lambda) слева на (A-\lambda E), а λ-матрицу T(\lambda) справа на (B-\lambda E):


S^{-1}(\lambda)=(A-\lambda E)\cdot S_1(\lambda)+S_0;\quad T(\lambda)=T_1(\lambda)\cdot (B-\lambda E)+T_0.
(7.20)

Здесь остатки S_0 и T_0 — обратимые числовые матрицы, так как S^{-1}(\lambda) и T(\lambda) — обратимые λ-матрицы (см. пункт 3 замечаний 7.3). Подставим выражения (7.20) в (7.19):


\Bigl[(A-\lambda E)\cdot S_1(\lambda)+S_0\Bigr]\cdot(B-\lambda E)= (A-\lambda E)\cdot\Bigl[T_1(\lambda)\cdot(B-\lambda E)+T_0\Bigr].
Преобразуем равенство
(A-\lambda E)\cdot\Bigl[S_1(\lambda)-T_1(\lambda)\Bigr]\cdot(B-\lambda E)= (A-\lambda E)\cdot T_0-S_0\cdot(B-\lambda E).

Отсюда следует, что S_1(\lambda)=T_1(\lambda), в противном случае равенство ложное, так как степень многочлена в левой части не менее второй, а в правой части — не более первой. При S_1(\lambda)=T_1(\lambda) получаем


S_0\cdot(B-\lambda\cdot E)=(A-\lambda\cdot E)\cdot T_0
(7.21)

Сравнивая это равенство с (7.19), делаем вывод, что λ-матрицы S^{-1}(\lambda) и T(\lambda) в (7.19) можно заменить числовыми матрицами S_0 и T_0. Приравнивая в (7.21) коэффициенты при одинаковых степенях \lambda, находим


S_0=T_0,\qquad A\cdot T_0=S_0\cdot B.
(7.22)

Следовательно, B=S_0^{-1}AS_0, т.е. матрицы A и B подобны.


Следствие. Если матрицы A и B подобны, т.е. B=S_0^{-1}AS_0, то в качестве преобразующей матрицы S_0 можно взять матрицу S_0=S_{\text{left}}^{-1}(B)=T_{\text{right}}(B) — левое или правое значения соответствующих λ-матриц из равенства


B-\lambda\cdot E=S(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T(\lambda).
(7.23)

В самом деле, из доказательства теоремы следует, что λ-матрицы в (7.23) можно заменить числовыми матрицами:


B-\lambda\cdot E=S_0^{-1}\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot T_0,

где преобразующая матрица T_0 согласно (7.20) равна правому остатку при делении T(\lambda) на (B-\lambda E), который по теореме Безу равен правому значению T_{\text{right}}(B). Учитывая (7.22), получаем S_0=T_0=T_{\text{right}}(B). Равенство S_0=S_{\text{left}}^{-1}(B) доказывается аналогично на основании теоремы Безу.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved