Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Подгруппы и подкольца

Подгруппы и подкольца


Пусть \mathcal{G}=(G,\ast) — произвольный группоид и H\subseteq G — некоторое подмножество множества G. Рассмотрим свойства бинарной операции \ast группоида \mathcal{G} на подмножестве H.


Говорят, что множество H\subseteq G замкнуто относительно операции \ast, если x\ast y\in H для любых x,y\in H. В этом случае подмножество H с операцией \ast будет группоидом \mathcal{H}=(H,\ast). Его называют подгруппоидом группоида \mathcal{G}.


Если подмножество H замкнуто относительно бинарной операции \ast и эта бинарная операция ассоциативна на множестве G, то легко убедиться, что операция останется ассоциативной и при ее ограничении на подмножество H. Таким образом, если группоид \mathcal{G} является полугруппой, то и всякий его подгруппоид будет полугруппой, называемой подполугруппой полугруппы \mathcal{G}.


Однако в случае, когда группоид является моноидом (группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид является также моноидом (группой). Например, в качестве исходного группоида рассмотрим аддитивную группу целых чисел (\mathbb{Z},+). Выделим в множестве целых чисел подмножество \mathbb{N} натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операции сложения {}+, группоид (\mathbb{N},+) будет подгруппоидом группоида (\mathbb{Z},+). Так как операция сложения чисел ассоциативна, (\mathbb{N},+) будет подполугруппой. Однако в множестве \mathbb{N} отсутствует нейтральный элемент 0 относительно операции сложения. Следовательно, (\mathbb{N},+) даже не моноид.


Пусть \mathcal{M}=(M,\cdot,\bold{1}) — моноид. Если P есть подмножество M, замкнутое относительно бинарной операции \cdot моноида M, и содержащее нейтральный элемент (единицу) \bold{1} этого моноида, то \mathcal{P}=(P,\cdot,\bold{1}) также есть моноид. Его называют подмоноидом моноида \mathcal{M}.


Полагая, по определению, что замкнутость подмножества B\subseteq A относительно нульарной операции a на A равносильна соотношению a\in B, получаем, что моноид \mathcal{P}=(P,\cdot,\bold{1}) есть подмоноид моноида \mathcal{M}=(P,\cdot,\bold{1}) тогда и только тогда, когда множество P замкнуто относительно бинарной операции \cdot моноида \mathcal{M}, а также относительно его нульарной операции \bold{1}.


Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1}) — группа, а H есть подмножество G, замкнутое относительно операции \cdot группы \mathcal{G}, содержащее нейтральный элемент (единицу) \bold{1} этой группы и вместе с каждым элементом x\in H содержащее элемент x^{-1}, обратный к x, т.е. замкнутое относительно унарной операции \overset{-1}{.} взятия обратного, которая здесь включена в сигнатуру группы. Тогда \mathcal{H}=(H,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1}) также есть группа, которую называют подгруппой группы \mathcal{G}.


Пусть \omega — унарная операция на множестве G моноида \mathcal{G}, а \mathcal{H} — некоторый его подмоноид. Естественно подмоноид \mathcal{H} моноида \mathcal{G} назвать замкнутым относительно унарной операции \omega, если для каждого x\in H имеет место \omega(x)\in H. Тогда группа \mathcal{H}= (H,\cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1}) есть подгруппа группы \mathcal{G}= (G, \cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1}) в том и только в том случае, когда множество H замкнуто относительно всех операций \cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1} сигнатуры группы \mathcal{G}.


Замечание 2.4. Подмножество H\subset G, замкнутое относительно группового умножения \cdot группы \mathcal{G} и содержащее вместе с каждым элементом x обратный к нему элемент x^{-1}, будет содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости H относительно операции умножения из x\in H и x^{-1}\in H следует, что


x\cdot x^{-1}= x^{-1}\cdot x=\bold{1}\in H\,.



Используя факт единственности нейтрального элемента (единицы) любого моноида и только что сформулированное определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его подмоноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носитель которого содержит только единицу исходного моноида (P=\{\bold{1}\}), а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида (P=M), называют тривиальным подмоноидом (в частности, тривиальной подгруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетривиальным подмоноидом (в частности, нетривиальной подгруппой). Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) (G,\ast) называют собственным подгруппоидом (подполугруппой, подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) (K,\ast), если его носитель G есть собственное подмножество множества K.


Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу натуральных чисел вместе с нулем (\mathbb{N}_0,+). Подмножество всех положительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полугруппы (\mathbb{N}_0,+). Но аддитивная полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом 0. Тогда построенная выше подполугруппа всех положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида (\mathbb{N}_0,+,0), так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида (\mathbb{N}_0,+,0).


Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число k>1, замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида (\mathbb{N}_0,+,0).


Мультипликативная группа поля рациональных чисел, является подгруппой группы (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot,1) (мультипликативной группы поля действительных чисел). Но алгебра (\mathbb{Z}\setminus\{0\},\cdot,1) не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом т обратного к нему числа \tfrac{1}{m}.




Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1}) — группа. Как следует из теорем 2.5 и 2.6, произведение любых степеней элемента a есть снова некоторая степень элемента a, нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу a^{k} является элемент a^{-k}. Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента a группы \mathcal{G} является подгруппой группы \mathcal{G}.


Определение 2.7. Подгруппу группы \mathcal{G}, заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы \mathcal{G}, порожденной элементом a.


Пример 2.18. В группе \mathbb{Z}_{13}^{\ast} (мультипликативной группе вычетов по модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем:


5^0=1,\quad 5^1=5,\quad 5^2=5\odot_{13}5=12,\quad 5^3=5\odot_{13}12=8,\quad 5^4=5\odot_{13}8=1.

Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12.




Рассмотрим кольцо \mathcal{R}= (R,+,\cdot,\bold{0},\bold{1}). Если множество Q есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца \mathcal{R}, содержащее нуль и единицу кольца \mathcal{R}, а также вместе с каждым x\in Q содержащее противоположный к нему элемент (-x), то \mathcal{Q}= (Q,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1}) также есть кольцо. Его называют подколъцом кольца \mathcal{G}.


Другими словами, кольцо \mathcal{Q}= (Q,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1}) — это подкольцо кольца \mathcal{R}= (R,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1}), если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца \mathcal{R}, а его мультипликативный моноид — подмоноид мультипликативного моноида кольца \mathcal{R}.


Аналогично определяется понятие подполя (какого-либо поля). Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом x содержать обратный к нему по умножению поля элемент x^{-1}. Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точно так же обстоит дело и с понятием подтела.


Пример 2.19. Кольцо целых чисел (\mathbb{Z},+,\cdot,0,1) есть подкольцо кольца действительных чисел (\mathbb{R},+,\cdot,0,1). При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем, поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент.


Поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля комплексных чисел. Алгебра (\mathbb{N}_0,+,\cdot,0,1) на множестве натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных выше колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved