Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Подгруппы и подкольца

Подгруппы и подкольца


Пусть [math]\mathcal{G}=(G,\ast)[/math] — произвольный группоид и [math]H\subseteq G[/math] — некоторое подмножество множества [math]G[/math]. Рассмотрим свойства бинарной операции [math]\ast[/math] группоида [math]\mathcal{G}[/math] на подмножестве [math]H[/math].


Говорят, что множество [math]H\subseteq G[/math] замкнуто относительно операции [math]\ast[/math], если [math]x\ast y\in H[/math] для любых [math]x,y\in H[/math]. В этом случае подмножество [math]H[/math] с операцией [math]\ast[/math] будет группоидом [math]\mathcal{H}=(H,\ast)[/math]. Его называют подгруппоидом группоида [math]\mathcal{G}[/math].


Если подмножество [math]H[/math] замкнуто относительно бинарной операции [math]\ast[/math] и эта бинарная операция ассоциативна на множестве [math]G[/math], то легко убедиться, что операция останется ассоциативной и при ее ограничении на подмножество [math]H[/math]. Таким образом, если группоид [math]\mathcal{G}[/math] является полугруппой, то и всякий его подгруппоид будет полугруппой, называемой подполугруппой полугруппы [math]\mathcal{G}[/math].


Однако в случае, когда группоид является моноидом (группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид является также моноидом (группой). Например, в качестве исходного группоида рассмотрим аддитивную группу целых чисел [math](\mathbb{Z},+)[/math]. Выделим в множестве целых чисел подмножество [math]\mathbb{N}[/math] натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операции сложения [math]{}+[/math], группоид [math](\mathbb{N},+)[/math] будет подгруппоидом группоида [math](\mathbb{Z},+)[/math]. Так как операция сложения чисел ассоциативна, [math](\mathbb{N},+)[/math] будет подполугруппой. Однако в множестве [math]\mathbb{N}[/math] отсутствует нейтральный элемент 0 относительно операции сложения. Следовательно, [math](\mathbb{N},+)[/math] даже не моноид.


Пусть [math]\mathcal{M}=(M,\cdot,\bold{1})[/math] — моноид. Если [math]P[/math] есть подмножество [math]M[/math], замкнутое относительно бинарной операции [math]\cdot[/math] моноида [math]M[/math], и содержащее нейтральный элемент (единицу) [math]\bold{1}[/math] этого моноида, то [math]\mathcal{P}=(P,\cdot,\bold{1})[/math] также есть моноид. Его называют подмоноидом моноида [math]\mathcal{M}[/math].


Полагая, по определению, что замкнутость подмножества [math]B\subseteq A[/math] относительно нульарной операции [math]a[/math] на [math]A[/math] равносильна соотношению [math]a\in B[/math], получаем, что моноид [math]\mathcal{P}=(P,\cdot,\bold{1})[/math] есть подмоноид моноида [math]\mathcal{M}=(P,\cdot,\bold{1})[/math] тогда и только тогда, когда множество [math]P[/math] замкнуто относительно бинарной операции [math]\cdot[/math] моноида [math]\mathcal{M}[/math], а также относительно его нульарной операции [math]\bold{1}[/math].


Пусть [math]\mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1})[/math] — группа, а [math]H[/math] есть подмножество [math]G[/math], замкнутое относительно операции [math]\cdot[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math], содержащее нейтральный элемент (единицу) [math]\bold{1}[/math] этой группы и вместе с каждым элементом [math]x\in H[/math] содержащее элемент [math]x^{-1}[/math], обратный к [math]x[/math], т.е. замкнутое относительно унарной операции [math]\overset{-1}{.}[/math] взятия обратного, которая здесь включена в сигнатуру группы. Тогда [math]\mathcal{H}=(H,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1})[/math] также есть группа, которую называют подгруппой группы [math]\mathcal{G}[/math].


Пусть [math]\omega[/math] — унарная операция на множестве [math]G[/math] моноида [math]\mathcal{G}[/math], а [math]\mathcal{H}[/math] — некоторый его подмоноид. Естественно подмоноид [math]\mathcal{H}[/math] моноида [math]\mathcal{G}[/math] назвать замкнутым относительно унарной операции [math]\omega[/math], если для каждого [math]x\in H[/math] имеет место [math]\omega(x)\in H[/math]. Тогда группа [math]\mathcal{H}= (H,\cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1})[/math] есть подгруппа группы [math]\mathcal{G}= (G, \cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1})[/math] в том и только в том случае, когда множество [math]H[/math] замкнуто относительно всех операций [math]\cdot, \phantom{A}^{-1}, \bold{1}[/math] сигнатуры группы [math]\mathcal{G}[/math].


Замечание 2.4. Подмножество [math]H\subset G[/math], замкнутое относительно группового умножения [math]\cdot[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math] и содержащее вместе с каждым элементом [math]x[/math] обратный к нему элемент [math]x^{-1}[/math], будет содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости [math]H[/math] относительно операции умножения из [math]x\in H[/math] и [math]x^{-1}\in H[/math] следует, что


[math]x\cdot x^{-1}= x^{-1}\cdot x=\bold{1}\in H\,.[/math]



Используя факт единственности нейтрального элемента (единицы) любого моноида и только что сформулированное определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его подмоноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носитель которого содержит только единицу исходного моноида [math](P=\{\bold{1}\})[/math], а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида [math](P=M)[/math], называют тривиальным подмоноидом (в частности, тривиальной подгруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетривиальным подмоноидом (в частности, нетривиальной подгруппой). Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) [math](G,\ast)[/math] называют собственным подгруппоидом (подполугруппой, подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) [math](K,\ast)[/math], если его носитель [math]G[/math] есть собственное подмножество множества [math]K[/math].


Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу натуральных чисел вместе с нулем [math](\mathbb{N}_0,+)[/math]. Подмножество всех положительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полугруппы [math](\mathbb{N}_0,+)[/math]. Но аддитивная полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом 0. Тогда построенная выше подполугруппа всех положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида [math](\mathbb{N}_0,+,0)[/math], так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида [math](\mathbb{N}_0,+,0)[/math].


Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число [math]k>1[/math], замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида [math](\mathbb{N}_0,+,0)[/math].


Мультипликативная группа поля рациональных чисел, является подгруппой группы [math](\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot,1)[/math] (мультипликативной группы поля действительных чисел). Но алгебра [math](\mathbb{Z}\setminus\{0\},\cdot,1)[/math] не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом т обратного к нему числа [math]\tfrac{1}{m}[/math].




Пусть [math]\mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1})[/math] — группа. Как следует из теорем 2.5 и 2.6, произведение любых степеней элемента [math]a[/math] есть снова некоторая степень элемента [math]a[/math], нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу [math]a^{k}[/math] является элемент [math]a^{-k}[/math]. Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента [math]a[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math] является подгруппой группы [math]\mathcal{G}[/math].


Определение 2.7. Подгруппу группы [math]\mathcal{G}[/math], заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы [math]\mathcal{G}[/math], порожденной элементом [math]a[/math].


Пример 2.18. В группе [math]\mathbb{Z}_{13}^{\ast}[/math] (мультипликативной группе вычетов по модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем:


[math]5^0=1,\quad 5^1=5,\quad 5^2=5\odot_{13}5=12,\quad 5^3=5\odot_{13}12=8,\quad 5^4=5\odot_{13}8=1.[/math]

Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12.




Рассмотрим кольцо [math]\mathcal{R}= (R,+,\cdot,\bold{0},\bold{1})[/math]. Если множество [math]Q[/math] есть подмножество множества [math]R[/math], замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца [math]\mathcal{R}[/math], содержащее нуль и единицу кольца [math]\mathcal{R}[/math], а также вместе с каждым [math]x\in Q[/math] содержащее противоположный к нему элемент [math](-x)[/math], то [math]\mathcal{Q}= (Q,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math] также есть кольцо. Его называют подколъцом кольца [math]\mathcal{G}[/math].


Другими словами, кольцо [math]\mathcal{Q}= (Q,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math] — это подкольцо кольца [math]\mathcal{R}= (R,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math], если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца [math]\mathcal{R}[/math], а его мультипликативный моноид — подмоноид мультипликативного моноида кольца [math]\mathcal{R}[/math].


Аналогично определяется понятие подполя (какого-либо поля). Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом [math]x[/math] содержать обратный к нему по умножению поля элемент [math]x^{-1}[/math]. Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точно так же обстоит дело и с понятием подтела.


Пример 2.19. Кольцо целых чисел [math](\mathbb{Z},+,\cdot,0,1)[/math] есть подкольцо кольца действительных чисел [math](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/math]. При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем, поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент.


Поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля комплексных чисел. Алгебра [math](\mathbb{N}_0,+,\cdot,0,1)[/math] на множестве натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных выше колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved