Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Вычисление площадей фигур в различных системах координат


Площадь плоской фигуры в декартовых координатах


Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x). В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.


Теорема 3. Если функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь S выражается формулой


{ S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.}
(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции y=f(x). Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).


Тогда, с одной стороны, имеем:


\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant S\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} M_k\Delta x_k\,,

где \sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k — площадь внутренней ступенчатой фигуры, \sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k —площадь внешней ступенчатой фигуры, m_k=\min_{x\in [x_k;x_{k+1}]}f(x) и M_k=\max_{x\in[x_k;x_{k+1}]}f(x). С другой стороны, по определению интеграла можно записать:


\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,.

Таким образом, числа S и \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx разделяют одни и те же числовые множества: \Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\,\Biggr\}, \Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,\Biggr\}. Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому S=\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx. Теорема доказана.


Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции y=f_1(x), сверху графиком функции y=f_2(x), а слева и справа прямыми x=a,~x=b (рис. 30), то ее площадь выражается формулой


S= \int\limits_{a}^{b}\bigl[f_2(x)-f_1(x)\bigr]dx\,.

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями dx и высотами f(x).


Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции F.


Рассмотрим фигуру \Phi, симметричную фигуре F относительно оси Ox. Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x), которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше


Интегрирование знакопеременной функции
S(\Phi)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx. Но S(\Phi)=S(F).
Значит,
S(F)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx= -\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx дает значение площади криволинейной трапеции F с точностью до знака. Если же функция f меняет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграла \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции y=f(x), отрезками оси Ox и, быть может, отрезками, параллельными оси Oy (рис. 32).




Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=e^x, осью абсцисс и прямыми x=1,~x=2 (рис. 33).


Решение. Имеем: S= \int\limits_{1}^{2} e^x\,dx= \Bigl.{e^x}\Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1) (кв. ед.).


Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y^2=4x и отрезком прямой x=2 (рис. 34).


Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна


S= 2\int_{0}^{2}2\sqrt{x}\,dx= \left.{\frac{4x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{2}= \frac{8}{3}\cdot 2^{3/2}= \frac{16}{3}\sqrt{2}\,.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y^2=9x,~ y=3x (рис. 35).


Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:


S= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{9x}\,dx- \int\limits_{0}^{1} 3x\,dx= \left.{3\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{1}- \left.{3\cdot \frac{x^2}{2} }\right|_{0}^{1}= 2-\frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,.

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми



Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой a(y^2-x^2)+x^3=0.


Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ox. Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.


Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде y^2=\frac{x^2}{a}(a-x), найдем точки пересечения ее с осью Ox, положив y=0\colon\, x_1=0,~ x_2=a. Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:


\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}} \int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx\,.

Воспользовавшись формулой из таблицы при a=-1,~ b=a, получим:


\int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx= \left.{\frac{2(-3x-2a)\sqrt{(a-x)^3}}{15}}\right|_{0}^{a}= \frac{4}{15}\,a^{5/2}\,.

Значит, окончательно имеем:


\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{4}{15}\,a^{5/2}= \frac{4}{15}\,a^2\quad \Leftrightarrow\quad S=\frac{8}{15}\,a^2\,.



Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически


Пусть кривая y=f(x),~ f(x)\geqslant0,~ a\leqslant x\leqslant b задана в параметрической форме


\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} \alpha \leqslant t\leqslant b\,,

где функция x=\varphi(t) монотонна на отрезке [\alpha;\beta], причем \varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b, и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как y=f(x)= f\bigl(\varphi(t)\bigr)= \psi(t), то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:


S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \int\limits_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr) \varphi'(t)\,dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t) \varphi'(t)\,dt\,.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:


S= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\varphi'(t)\,dt\,.
(5)



Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически \begin{cases} x=a\cos{t}\,,\\ y=b\sin{t}\,,\end{cases} 0\leqslant t\leqslant 2\pi\,.


Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке A(a;0) соответствует значение t=0, а точке B(0;b) — значение t=\frac{\pi}{2}. Поэтому


\begin{aligned} S&= 4\int\limits_{0}^{a}y\,dx= -4\int\limits_{0}^{\pi/2}b\sin{t}\cdot(-a\sin{t})\,dt= 4ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^2t\,dt=\\ &= 2ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \bigl(1-\cos2t\bigr)\,dt= \left.{2ab\!\left(t- \frac{1}{2}\sin2t \right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \pi\,ab\,. \end{aligned}



Площадь фигуры, заданной в полярных координатах


Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами \ell и m, выходящими из точки O, и непрерывной кривой \Gamma (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка O. Пусть \rho=\rho(\varphi) — полярное уравнение кривой \Gamma, а \varphi_0 и \Phi — углы между полярной осью и лучами \ell и m соответственно. При этом пусть функция \rho(\varphi) непрерывна на [\varphi_0;\Phi].


Разобьем данный сектор на n частей лучами


\varphi_0< \varphi_1< \varphi_2< \ldots< \varphi_k< \varphi_{k+1}< \ldots< \varphi_n= \Phi

и рассмотрим k-й частичный сектор [\varphi_k; \varphi_{k+1}] (рис. 39). Пусть r_k — наименьшее значение функции \rho(\varphi) в [\varphi_k; \varphi_{k+1}], a R_k — наибольшее значение функции в этом отрезке.


Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами r_k и R_k. Обозначим через \Delta\varphi_k величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов


\frac{1}{2}\cdot r_k^2\cdot \Delta\varphi_k \leqslant S_k\leqslant \frac{1}{2}\cdot R_k^2\cdot \Delta\varphi_k\,.

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.


Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k, а площадь внешней фигуры равна — \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k. Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу s_P и S_P для интеграла \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi. Так как функция \rho(\varphi) непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция \rho^2(\varphi). Поэтому для любого \varepsilon найдется такое разбиение P отрезка [\varphi_0,\Phi], что S_P-s_P<\varepsilon. Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади S выполняются неравенства


Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы
\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant S\leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.
(6)

В то же время по определению определенного интеграла


\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.
(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что


S= \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi\,.
(8)



Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы \rho=a\sin2\varphi (рис. 40).


Решение. Значениям \varphi=0 и \varphi=\frac{\pi}{2} соответствует \rho=0 Поэтому


S= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} a^2\sin^22\varphi\,d\varphi= \frac{a^2}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos4\varphi}{2}\,d\varphi= \left.{\frac{a^2}{4}\! \left(\varphi- \frac{1}{4}\sin4\varphi\right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{a^2}{4}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{2}\,a^2\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved