Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Вычисление площадей фигур в различных системах координат


Площадь плоской фигуры в декартовых координатах


Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми [math]x=a[/math] и [math]x=b[/math] и графиком функции [math]y=f(x)[/math]. В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.


Теорема 3. Если функция [math]y=f(x)[/math] неотрицательна на отрезке [math][a;b][/math] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь [math]S[/math] выражается формулой


[math]{ S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.}[/math]
(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции [math]y=f(x)[/math]. Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).


Тогда, с одной стороны, имеем:


[math]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant S\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} M_k\Delta x_k\,,[/math]

где [math]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k[/math] — площадь внутренней ступенчатой фигуры, [math]\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k[/math] —площадь внешней ступенчатой фигуры, [math]m_k=\min_{x\in [x_k;x_{k+1}]}f(x)[/math] и [math]M_k=\max_{x\in[x_k;x_{k+1}]}f(x)[/math]. С другой стороны, по определению интеграла можно записать:


[math]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,.[/math]

Таким образом, числа [math]S[/math] и [math]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/math] разделяют одни и те же числовые множества: [math]\Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\,\Biggr\},[/math] [math]\Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,\Biggr\}[/math]. Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому [math]S=\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/math]. Теорема доказана.


Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции [math]y=f_1(x)[/math], сверху графиком функции [math]y=f_2(x)[/math], а слева и справа прямыми [math]x=a,~x=b[/math] (рис. 30), то ее площадь выражается формулой


[math]S= \int\limits_{a}^{b}\bigl[f_2(x)-f_1(x)\bigr]dx\,.[/math]

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями [math]dx[/math] и высотами [math]f(x)[/math].


Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции [math]F[/math].


Рассмотрим фигуру [math]\Phi[/math], симметричную фигуре [math]F[/math] относительно оси [math]Ox[/math]. Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [math][a;b][/math] функции [math]y=f(x)[/math], которая на [math][a;b][/math] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше


Интегрирование знакопеременной функции
[math]S(\Phi)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx[/math]. Но [math]S(\Phi)=S(F).[/math]
Значит,
[math]S(F)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx= -\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.[/math]

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл [math]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/math] дает значение площади криволинейной трапеции [math]F[/math] с точностью до знака. Если же функция [math]f[/math] меняет знак на отрезке [math][a;b][/math] в конечном числе точек, то значение интеграла [math]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/math] дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции [math]y=f(x)[/math], отрезками оси [math]Ox[/math] и, быть может, отрезками, параллельными оси [math]Oy[/math] (рис. 32).




Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой [math]y=e^x[/math], осью абсцисс и прямыми [math]x=1,~x=2[/math] (рис. 33).


Решение. Имеем: [math]S= \int\limits_{1}^{2} e^x\,dx= \Bigl.{e^x}\Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1)[/math] (кв. ед.).


Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы [math]y^2=4x[/math] и отрезком прямой [math]x=2[/math] (рис. 34).


Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна


[math]S= 2\int_{0}^{2}2\sqrt{x}\,dx= \left.{\frac{4x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{2}= \frac{8}{3}\cdot 2^{3/2}= \frac{16}{3}\sqrt{2}\,.[/math]

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций [math]y^2=9x,~ y=3x[/math] (рис. 35).


Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника [math]OAB[/math] и прямоугольного треугольника [math]OAB:[/math]


[math]S= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{9x}\,dx- \int\limits_{0}^{1} 3x\,dx= \left.{3\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{1}- \left.{3\cdot \frac{x^2}{2} }\right|_{0}^{1}= 2-\frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,.[/math]

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми



Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой [math]a(y^2-x^2)+x^3=0[/math].


Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси [math]Ox[/math]. Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.


Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде [math]y^2=\frac{x^2}{a}(a-x)[/math], найдем точки пересечения ее с осью [math]Ox[/math], положив [math]y=0\colon\, x_1=0,~ x_2=a[/math]. Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:


[math]\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}} \int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx\,.[/math]

Воспользовавшись формулой из таблицы при [math]a=-1,~ b=a[/math], получим:


[math]\int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx= \left.{\frac{2(-3x-2a)\sqrt{(a-x)^3}}{15}}\right|_{0}^{a}= \frac{4}{15}\,a^{5/2}\,.[/math]

Значит, окончательно имеем:


[math]\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{4}{15}\,a^{5/2}= \frac{4}{15}\,a^2\quad \Leftrightarrow\quad S=\frac{8}{15}\,a^2\,.[/math]



Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически


Пусть кривая [math]y=f(x),~ f(x)\geqslant0,~ a\leqslant x\leqslant b[/math] задана в параметрической форме


[math]\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} \alpha \leqslant t\leqslant b\,,[/math]

где функция [math]x=\varphi(t)[/math] монотонна на отрезке [math][\alpha;\beta][/math], причем [math]\varphi(\alpha)=a,[/math] [math]\varphi(\beta)=b[/math], и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как [math]y=f(x)= f\bigl(\varphi(t)\bigr)= \psi(t)[/math], то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:


[math]S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \int\limits_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr) \varphi'(t)\,dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t) \varphi'(t)\,dt\,.[/math]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:


[math]S= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\varphi'(t)\,dt\,.[/math]
(5)



Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически [math]\begin{cases} x=a\cos{t}\,,\\ y=b\sin{t}\,,\end{cases} 0\leqslant t\leqslant 2\pi\,.[/math]


Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке [math]A(a;0)[/math] соответствует значение [math]t=0[/math], а точке [math]B(0;b)[/math] — значение [math]t=\frac{\pi}{2}[/math]. Поэтому


[math]\begin{aligned} S&= 4\int\limits_{0}^{a}y\,dx= -4\int\limits_{0}^{\pi/2}b\sin{t}\cdot(-a\sin{t})\,dt= 4ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^2t\,dt=\\ &= 2ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \bigl(1-\cos2t\bigr)\,dt= \left.{2ab\!\left(t- \frac{1}{2}\sin2t \right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \pi\,ab\,. \end{aligned}[/math]



Площадь фигуры, заданной в полярных координатах


Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами [math]\ell[/math] и [math]m[/math], выходящими из точки [math]O[/math], и непрерывной кривой [math]\Gamma[/math] (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка [math]O[/math]. Пусть [math]\rho=\rho(\varphi)[/math] — полярное уравнение кривой [math]\Gamma[/math], а [math]\varphi_0[/math] и [math]\Phi[/math] — углы между полярной осью и лучами [math]\ell[/math] и [math]m[/math] соответственно. При этом пусть функция [math]\rho(\varphi)[/math] непрерывна на [math][\varphi_0;\Phi][/math].


Разобьем данный сектор на [math]n[/math] частей лучами


[math]\varphi_0< \varphi_1< \varphi_2< \ldots< \varphi_k< \varphi_{k+1}< \ldots< \varphi_n= \Phi[/math]

и рассмотрим k-й частичный сектор [math][\varphi_k; \varphi_{k+1}][/math] (рис. 39). Пусть [math]r_k[/math] — наименьшее значение функции [math]\rho(\varphi)[/math] в [math][\varphi_k; \varphi_{k+1}][/math], a [math]R_k[/math] — наибольшее значение функции в этом отрезке.


Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами [math]r_k[/math] и [math]R_k[/math]. Обозначим через [math]\Delta\varphi_k[/math] величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов


[math]\frac{1}{2}\cdot r_k^2\cdot \Delta\varphi_k \leqslant S_k\leqslant \frac{1}{2}\cdot R_k^2\cdot \Delta\varphi_k\,.[/math]

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.


Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна [math]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k[/math], а площадь внешней фигуры равна — [math]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k[/math]. Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу [math]s_P[/math] и [math]S_P[/math] для интеграла [math]\frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi[/math]. Так как функция [math]\rho(\varphi)[/math] непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция [math]\rho^2(\varphi)[/math]. Поэтому для любого [math]\varepsilon[/math] найдется такое разбиение [math]P[/math] отрезка [math][\varphi_0,\Phi][/math], что [math]S_P-s_P<\varepsilon[/math]. Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади [math]S[/math] выполняются неравенства


Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы
[math]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant S\leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.[/math]
(6)

В то же время по определению определенного интеграла


[math]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.[/math]
(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что


[math]S= \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi\,.[/math]
(8)



Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы [math]\rho=a\sin2\varphi[/math] (рис. 40).


Решение. Значениям [math]\varphi=0[/math] и [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] соответствует [math]\rho=0[/math] Поэтому


[math]S= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} a^2\sin^22\varphi\,d\varphi= \frac{a^2}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos4\varphi}{2}\,d\varphi= \left.{\frac{a^2}{4}\! \left(\varphi- \frac{1}{4}\sin4\varphi\right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{a^2}{4}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{2}\,a^2\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved