Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Площадь поверхности вращения тела

Площадь поверхности вращения тела


Пусть даны прямая m и кривая \Gamma, лежащая в одной плоскости с m и расположенная по одну сторону от этой прямой. При вращении кривой \Gamma вокруг оси m получается поверхность \lambda, площадь которой мы и хотим сначала определить, а потом вычислить (см. 46).


Начнем со случая, когда \Gamma — отрезок, один конец которого отстоит от m на r, а другой — на R (рис. 58). Тогда, как доказывается в школьном курсе геометрии, площадь поверхности вращения (боковой поверхности усеченного конуса) выражается формулой P(\lambda)=\pi(r+R)\ell. В этом случае при r \leqslant R имеем:


Прямая и кривая, лежащая в одной плоскости с прямой
2\pi\cdot r\cdot \ell \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi\cdot R\cdot \ell\,.
(1)

Таким образом, боковая поверхность конуса заключена между произведением длины образующей на длину наименьшей окружности и произведением длины образующей на длину наибольшей окружности.


То же самое неравенство будет иметь место и при вращении любой ломаной линии, расположенной по одну сторону от оси вращения:


2\pi\cdot r\cdot \ell \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi\cdot R\cdot \ell\,.
(2)

где r и R — наименьшее и наибольшее расстояния точек ломаной от оси m, и \ell — длина ломаной.


Для доказательства достаточно применить неравенство (1) к каждому звену ломаной, сложить полученные результаты и учесть что \Sigma\ell_k=\ell и для любого звена имеем r \leqslant r_k и R_k \leqslant R (здесь r_k и R_k — наименьшее и наибольшее расстояния точек k-ro звена от оси вращения).


Естественно потребовать, чтобы неравенства (2) выполнялись для любой спрямляемой кривой. Кроме того, потребуем, чтобы площадь поверхности вращения обладала свойством аддитивности: при разбиении дуги \Gamma на части \gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_{n-1} должно выполняться равенство


P(\lambda)= \sum_{k=0}^{n-1} P(\omega_k),
(3)

где \lambda — поверхность, полученная при вращении всей дуги \Gamma, а \omega_k — при вращении части \gamma_k.


Если применить к каждой части \omega_k неравенства (2), то получим, что


2\pi\cdot r_k\cdot \ell_k \leqslant P(\omega_k) \leqslant 2\pi\cdot R_k\cdot \ell_k\,,

где \ell_k=\ell(\gamma_k) — длина дуги \gamma_k, а r_k и R_k — наименьшее и наибольшее расстояния точек этой дуги \gamma_k от оси вращения. Складывая эти неравенства и учитывая требование аддитивности, получаем, что


2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k\,.
(4)

Иными словами, площадь поверхности вращения должна разделять множества


\Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k~\Biggr\},\qquad \Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k~\Biggr\}.

Именно это требование мы и примем за определение площади поверхности вращения.


Если \Gamma — плоская спрямляемая кривая, лежащая по одну сторону от оси m, то площадью поверхности \lambda, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси m, называется число P(\lambda), разделяющее множества


\Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k~\Biggr\},\qquad \Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k~\Biggr\},

соответствующие всевозможным разбиениям дуги \Gamma. Здесь r_k,\,R_k и \ell_k имеют указанный выше смысл.


Докажем сейчас, что это число существует и единственно, а затем выведем для него выражение в виде интеграла. Выберем на плоскости систему координат, такую, что ось абсцисс совпадает с осью вращения. Зададим параметризацию кривой \Gamma, выбрав в качестве параметра длину \ell дуги AM, соединяющей в заданном направлении фиксированную точку A кривой \Gamma с произвольной точкой M этой кривой (рис. 59). Тогда r_k и R_k будут наименьшими и наибольшими значениями ординаты для точек части \gamma_k.


Произвольная точка на кривой

Поэтому суммы, стоящие в неравенствах (4) слева и справа, являются не чем иным, как суммами Дарбу для интеграла 2\pi\int\limits_{0}^{L} y(\ell)\,d\ell, где через L обозначена длина всей кривой \Gamma. Поскольку функция y(\ell) непрерывна в силу непрерывности кривой \Gamma, то существование и единственность числа, разделяющего эти суммы Дарбу, вытекают из теоремы существования интеграла от непрерывной функции. При этом мы доказали, что площадь поверхности вращения, т. е. число P(\lambda), разделяющее эти суммы, равняется интегралу:


P(\lambda)= 2\pi\int\limits_{0}^{L} y(\ell)\,d\ell\,.
(5)

Из формулы (5) получаются различные частные случаи в зависимости от того, как задана кривая \Gamma. Если она задана параметрически:


\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} t_0 \leqslant t \leqslant T, то d\ell= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt,

и формула (5) принимает вид:


P(\lambda)= 2\pi \int\limits_{t_0}^{T} \psi(t) \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt
(6)

(когда \ell меняется от 0 до L, переменная { t} меняется от { t_0} до T).


В частности, если кривая \Gamma задана явным уравнением y=f(x),~ a \leqslant x \leqslant b, то


P(\lambda)= 2\pi \int\limits_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx= 2\pi \int\limits_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.
(7)

Если кривая \Gamma задана в полярных координатах уравнением \rho=f(\varphi), где \alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta, а функция f(\varphi) имеет непрерывную производную f'(\varphi) на [\alpha;\beta], то, учитывая, что y= \rho\sin\varphi= f(\varphi)\sin\varphi, a d\ell= \sqrt{\rho_{\varphi}^{\prime2}+ \rho^2}\,d\varphi, получим:


P=2\pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\varphi \sqrt{\rho_{\varphi}^{\prime2}+ \rho^2}\,d\varphi\,.
(8)



Пример 1. Найдем площадь поверхности шара радиуса R.


Решение. Поместим начало координат в центр шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности x^2+y^2=R^2 вокруг оси Ox. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле


P=2\pi \int\limits_{-R}^{R} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.

Так как y=\sqrt{R^2-x^2} — функция четная, то


P=4\pi \int\limits_{0}^{R} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.

Найдя y'= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}} и вычислив сумму 1+(y')^2= 1+\frac{x^2}{R^2-x^2}= \frac{R^2}{R^2-x^2}, получим:


P= 4\pi \int\limits_{0}^{R}\! \sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}= 4\pi R\int\limits_{0}^{R}dx= \Bigl.{4\pi Rx}\Bigr|_{0}^{R}= 4\pi nR^2.



Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг Ox:


\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant 2\pi\,.

Решение. Найдем x'_t=a(1-\cos{t}),~ y'_t=a\sin{t}. Тогда


(x'_t)^2+(y'_t)^2= 2a^2(1-\cos{t})= 4a^2\sin^2\frac{t}{2}\,.

Искомая площадь поверхности вращения равна


\begin{aligned}P&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(1-\cos{t})2a\sin \frac{t}{2}\,dt= 8\pi a^2 \int\limits_{0}^{2\pi}\sin^3 \frac{t}{3}\,dt= 8\pi a^2 \int\limits_{0}^{2\pi}\! \left(1-\cos^2 \frac{t}{2} \right)\! \sin \frac{t}{2}\,dt=\\ &= \left.{8\pi a^2\! \left(-2\cos \frac{t}{2}+ \frac{2}{3}\cos^3 \frac{t}{2}\right)}\right|_{0}^{2\pi}= \frac{64}{3}\,\pi a^2.\end{aligned}



Пример 3. Найдем площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты \rho^2=a^2\cos2\varphi вокруг полярной оси.


Решение. Имеем: \rho= a\sqrt{\cos2\varphi}~ \Rightarrow~ \rho'_{\varphi}= \frac{-a\sin2\varphi}{\sqrt{\cos2\varphi}}. Поэтому


\rho^{2}+\rho_{\varphi}^{\prime2}= a^2\cos2\varphi+ \frac{a^{2} \sin^{2}2\varphi}{\cos2\varphi}= a^2\! \left(\cos2\varphi+ \frac{\sin^{2}2\varphi}{\cos2\varphi}\right)= \frac{a^{2}}{\cos2\varphi}\,.

Пользуясь формулой (8) для вычисления площади поверхности в полярных координатах, найдем сначала половину искомой площади поверхности:


\frac{1}{2}P= 2\pi \int\limits_{0}^{\pi/4} a\sqrt{\cos2\varphi}\, \frac{\sin\varphi\cdot a}{\sqrt{\cos2\varphi}}\, d\varphi= 2\pi a^2 \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\,d\varphi= 2\pi a^2\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2}= \pi a^2\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).

Вся площадь P данной поверхности будет равна P=2\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)\pi a^2.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved