Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Площадь поверхности вращения тела

Площадь поверхности вращения тела


Пусть даны прямая [math]m[/math] и кривая [math]\Gamma[/math], лежащая в одной плоскости с [math]m[/math] и расположенная по одну сторону от этой прямой. При вращении кривой [math]\Gamma[/math] вокруг оси [math]m[/math] получается поверхность [math]\lambda[/math], площадь которой мы и хотим сначала определить, а потом вычислить (см. 46).


Начнем со случая, когда [math]\Gamma[/math] — отрезок, один конец которого отстоит от [math]m[/math] на [math]r[/math], а другой — на [math]R[/math] (рис. 58). Тогда, как доказывается в школьном курсе геометрии, площадь поверхности вращения (боковой поверхности усеченного конуса) выражается формулой [math]P(\lambda)=\pi(r+R)\ell[/math]. В этом случае при [math]r \leqslant R[/math] имеем:


Прямая и кривая, лежащая в одной плоскости с прямой
[math]2\pi\cdot r\cdot \ell \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi\cdot R\cdot \ell\,.[/math]
(1)

Таким образом, боковая поверхность конуса заключена между произведением длины образующей на длину наименьшей окружности и произведением длины образующей на длину наибольшей окружности.


То же самое неравенство будет иметь место и при вращении любой ломаной линии, расположенной по одну сторону от оси вращения:


[math]2\pi\cdot r\cdot \ell \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi\cdot R\cdot \ell\,.[/math]
(2)

где [math]r[/math] и [math]R[/math] — наименьшее и наибольшее расстояния точек ломаной от оси [math]m[/math], и [math]\ell[/math] — длина ломаной.


Для доказательства достаточно применить неравенство (1) к каждому звену ломаной, сложить полученные результаты и учесть что [math]\Sigma\ell_k=\ell[/math] и для любого звена имеем [math]r \leqslant r_k[/math] и [math]R_k \leqslant R[/math] (здесь [math]r_k[/math] и [math]R_k[/math] — наименьшее и наибольшее расстояния точек k-ro звена от оси вращения).


Естественно потребовать, чтобы неравенства (2) выполнялись для любой спрямляемой кривой. Кроме того, потребуем, чтобы площадь поверхности вращения обладала свойством аддитивности: при разбиении дуги [math]\Gamma[/math] на части [math]\gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_{n-1}[/math] должно выполняться равенство


[math]P(\lambda)= \sum_{k=0}^{n-1} P(\omega_k),[/math]
(3)

где [math]\lambda[/math] — поверхность, полученная при вращении всей дуги [math]\Gamma[/math], а [math]\omega_k[/math] — при вращении части [math]\gamma_k[/math].


Если применить к каждой части [math]\omega_k[/math] неравенства (2), то получим, что


[math]2\pi\cdot r_k\cdot \ell_k \leqslant P(\omega_k) \leqslant 2\pi\cdot R_k\cdot \ell_k\,,[/math]

где [math]\ell_k=\ell(\gamma_k)[/math] — длина дуги [math]\gamma_k[/math], а [math]r_k[/math] и [math]R_k[/math] — наименьшее и наибольшее расстояния точек этой дуги [math]\gamma_k[/math] от оси вращения. Складывая эти неравенства и учитывая требование аддитивности, получаем, что


[math]2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k \leqslant P(\lambda) \leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k\,.[/math]
(4)

Иными словами, площадь поверхности вращения должна разделять множества


[math]\Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k~\Biggr\},\qquad \Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k~\Biggr\}.[/math]

Именно это требование мы и примем за определение площади поверхности вращения.


Если [math]\Gamma[/math] — плоская спрямляемая кривая, лежащая по одну сторону от оси [math]m[/math], то площадью поверхности [math]\lambda[/math], получаемой при вращении этой кривой вокруг оси [math]m[/math], называется число [math]P(\lambda)[/math], разделяющее множества


[math]\Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} r_k\ell_k~\Biggr\},\qquad \Biggl\{~2\pi \sum_{k=0}^{n-1} R_k\ell_k~\Biggr\},[/math]

соответствующие всевозможным разбиениям дуги [math]\Gamma[/math]. Здесь [math]r_k,\,R_k[/math] и [math]\ell_k[/math] имеют указанный выше смысл.


Докажем сейчас, что это число существует и единственно, а затем выведем для него выражение в виде интеграла. Выберем на плоскости систему координат, такую, что ось абсцисс совпадает с осью вращения. Зададим параметризацию кривой [math]\Gamma[/math], выбрав в качестве параметра длину [math]\ell[/math] дуги [math]AM[/math], соединяющей в заданном направлении фиксированную точку [math]A[/math] кривой [math]\Gamma[/math] с произвольной точкой [math]M[/math] этой кривой (рис. 59). Тогда [math]r_k[/math] и [math]R_k[/math] будут наименьшими и наибольшими значениями ординаты для точек части [math]\gamma_k[/math].


Произвольная точка на кривой

Поэтому суммы, стоящие в неравенствах (4) слева и справа, являются не чем иным, как суммами Дарбу для интеграла [math]2\pi\int\limits_{0}^{L} y(\ell)\,d\ell[/math], где через [math]L[/math] обозначена длина всей кривой [math]\Gamma[/math]. Поскольку функция [math]y(\ell)[/math] непрерывна в силу непрерывности кривой [math]\Gamma[/math], то существование и единственность числа, разделяющего эти суммы Дарбу, вытекают из теоремы существования интеграла от непрерывной функции. При этом мы доказали, что площадь поверхности вращения, т. е. число [math]P(\lambda)[/math], разделяющее эти суммы, равняется интегралу:


[math]P(\lambda)= 2\pi\int\limits_{0}^{L} y(\ell)\,d\ell\,.[/math]
(5)

Из формулы (5) получаются различные частные случаи в зависимости от того, как задана кривая [math]\Gamma[/math]. Если она задана параметрически:


[math]\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} t_0 \leqslant t \leqslant T[/math], то [math]d\ell= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt[/math],

и формула (5) принимает вид:


[math]P(\lambda)= 2\pi \int\limits_{t_0}^{T} \psi(t) \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt[/math]
(6)

(когда [math]\ell[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]L[/math], переменная [math]{ t}[/math] меняется от [math]{ t_0}[/math] до [math]T[/math]).


В частности, если кривая [math]\Gamma[/math] задана явным уравнением [math]y=f(x),~ a \leqslant x \leqslant b[/math], то


[math]P(\lambda)= 2\pi \int\limits_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx= 2\pi \int\limits_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]
(7)

Если кривая [math]\Gamma[/math] задана в полярных координатах уравнением [math]\rho=f(\varphi)[/math], где [math]\alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta[/math], а функция [math]f(\varphi)[/math] имеет непрерывную производную [math]f'(\varphi)[/math] на [math][\alpha;\beta][/math], то, учитывая, что [math]y= \rho\sin\varphi= f(\varphi)\sin\varphi[/math], a [math]d\ell= \sqrt{\rho'_{\varphi}^2+ \rho^2}\,d\varphi[/math], получим:


[math]P=2\pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\varphi \sqrt{\rho'_{\varphi}^2+ \rho^2}\,d\varphi\,.[/math]
(8)



Пример 1. Найдем площадь поверхности шара радиуса [math]R[/math].


Решение. Поместим начало координат в центр шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности [math]x^2+y^2=R^2[/math] вокруг оси [math]Ox[/math]. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле


[math]P=2\pi \int\limits_{-R}^{R} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]

Так как [math]y=\sqrt{R^2-x^2}[/math] — функция четная, то


[math]P=4\pi \int\limits_{0}^{R} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]

Найдя [math]y'= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}[/math] и вычислив сумму [math]1+(y')^2= 1+\frac{x^2}{R^2-x^2}= \frac{R^2}{R^2-x^2}[/math], получим:


[math]P= 4\pi \int\limits_{0}^{R}\! \sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}= 4\pi R\int\limits_{0}^{R}dx= \Bigl.{4\pi Rx}\Bigr|_{0}^{R}= 4\pi nR^2.[/math]



Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг [math]Ox:[/math]


[math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant 2\pi\,.[/math]

Решение. Найдем [math]x'_t=a(1-\cos{t}),~ y'_t=a\sin{t}[/math]. Тогда


[math](x'_t)^2+(y'_t)^2= 2a^2(1-\cos{t})= 4a^2\sin^2\frac{t}{2}\,.[/math]

Искомая площадь поверхности вращения равна


[math]\begin{aligned}P&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(1-\cos{t})2a\sin \frac{t}{2}\,dt= 8\pi a^2 \int\limits_{0}^{2\pi}\sin^3 \frac{t}{3}\,dt= 8\pi a^2 \int\limits_{0}^{2\pi}\! \left(1-\cos^2 \frac{t}{2} \right)\! \sin \frac{t}{2}\,dt=\\ &= \left.{8\pi a^2\! \left(-2\cos \frac{t}{2}+ \frac{2}{3}\cos^3 \frac{t}{2}\right)}\right|_{0}^{2\pi}= \frac{64}{3}\,\pi a^2.\end{aligned}[/math]



Пример 3. Найдем площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты [math]\rho^2=a^2\cos2\varphi[/math] вокруг полярной оси.


Решение. Имеем: [math]\rho= a\sqrt{\cos2\varphi}~ \Rightarrow~ \rho'_{\varphi}= \frac{-a\sin2\varphi}{\sqrt{\cos2\varphi}}[/math]. Поэтому


[math]\rho^{2}+\rho'_{\varphi}^{2}= a^2\cos2\varphi+ \frac{a^{2} \sin^{2}2\varphi}{\cos2\varphi}= a^2\! \left(\cos2\varphi+ \frac{\sin^{2}2\varphi}{\cos2\varphi}\right)= \frac{a^{2}}{\cos2\varphi}\,.[/math]

Пользуясь формулой (8) для вычисления площади поверхности в полярных координатах, найдем сначала половину искомой площади поверхности:


[math]\frac{1}{2}P= 2\pi \int\limits_{0}^{\pi/4} a\sqrt{\cos2\varphi}\, \frac{\sin\varphi\cdot a}{\sqrt{\cos2\varphi}}\, d\varphi= 2\pi a^2 \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\,d\varphi= 2\pi a^2\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2}= \pi a^2\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).[/math]

Вся площадь [math]P[/math] данной поверхности будет равна [math]P=2\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)\pi a^2[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved