Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства


Пусть [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] — подпространства линейного пространства [math]V[/math].


Пересечением подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] называется множество [math]L_1\cap L_2[/math] векторов, каждый из которых принадлежит [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.


Алгебраической суммой подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] называется множество векторов вида [math]\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~\mathbf{v}_2\in L_2[/math]. Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается [math]L_1+L_2:[/math]


[math]L_1+L_2= \Bigl\{\mathbf{v}\in V\colon\, \mathbf{v}= \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2,~~ \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2\Bigr\}.[/math]

Представление вектора [math]\mathbf{v}\in (L_1+L_2)[/math] в виде [math]\mathbf{v}= \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math], называется разложением вектора [math]\mathbf{v}[/math] no подпространствам [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math].




Замечания 8.8


1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.


2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.


Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве [math]L_1+L_2[/math]. Пусть два вектора [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] принадлежат сумме [math]L_1+L_2[/math], т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:


[math]\mathbf{u}= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\quad \mathbf{u}_1\in L_2,~ \mathbf{u}_2\in L_2;\qquad \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}_1\in L_2,~ \mathbf{v}_2\in L_2.[/math]

Найдем сумму: [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}= (\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)+ (\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)= (\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1)+( \mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2)[/math]. Так как [math]\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1\in L_1[/math], а [math]\mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2\in L_2[/math], то [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}\in L_1+L_2[/math]. Следовательно, множество [math]L_1+L_2[/math] замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: [math]\lambda \mathbf{v}= \lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda \mathbf{v}_1+\lambda \mathbf{v}_2[/math]. Так как [math]\lambda \mathbf{v}_1\in L_1[/math], a [math]\lambda \mathbf{v}_2\in L_2[/math], то [math]\lambda \mathbf{v}\in L_1+L_2[/math]. Следовательно, множество [math]L_1+L_2[/math] замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, [math]L_1+L_2[/math] — линейное подпространство.


3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства [math]V[/math]. Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении [math]L_1\cap L_2\cap\ldots\cap L_k\ldots[/math] — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.


4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество [math]M[/math] конечномерного линейного пространства [math]V[/math], называется пересечение всех подпространств [math]L\triangleleft V[/math], содержащих [math]M[/math], т.е. [math]\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L[/math]. Если [math]M=\varnothing[/math], то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством [math]\{\mathbf{o}\}[/math], поскольку оно содержится в любом из подпространств [math]L\triangleleft V[/math]. Если [math]M[/math] — линейное подпространство [math]V~(M\triangleleft V)[/math], то указанное пересечение совпадает с [math]M[/math], поскольку [math]M[/math] содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: [math]M\subset M\triangleleft V[/math]).


Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка [math]\operatorname{Lin}(M)[/math] любого подмножества [math]M[/math] конечномерного линейного пространства [math]V[/math] является минимальным линейным подпространством, содержащим [math]M[/math], т.е. [math]\operatorname{Lin}(M)= \bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L[/math].


Действительно, обозначим [math]\Pi=\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L[/math]. Надо доказать равенство двух множеств: [math]\operatorname{Lin}=\Pi[/math]. Так как [math]M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V[/math] (см. пункт 6 замечаний 8.7), то [math]\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)[/math]. Докажем включение [math]\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi[/math]. Произвольный элемент [math]\mathbf{v}\in \operatorname{Lin}(M)[/math] имеет вид [math]\mathbf{v}= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i[/math], где [math]\mathbf{v}_i\in M,[/math] [math]i=1,\ldots,k[/math]. Пусть [math]L[/math] — любое подпространство, содержащее [math]M~(M\subset L\triangleleft V)[/math]. Оно содержит все векторы [math]\mathbf{v}_i,~i=1,\ldots,k[/math] и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор [math]\mathbf{v}[/math]. Поэтому вектор [math]\mathbf{v}[/math] принадлежит любому подпространству [math]L[/math], содержащему [math]M[/math]. Значит, [math]\mathbf{v}[/math] принадлежит пересечению [math]\Pi[/math] таких подпространств. Таким образом, [math]\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi[/math]. Из двух включений [math]\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)[/math] и [math]\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi[/math] следует равенство [math]\operatorname{Lin}(M)=\Pi[/math].


5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства [math]V[/math]. Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах [math]L_1+L_2+\ldots+L_k[/math] конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.


6. Можно определить объединение [math]L_1\cup L_2[/math] подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству [math]L_1[/math] или пространству [math]L_2[/math] (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии [math]L_1\subset L_2[/math] или [math]L_2\subset L_1[/math]).


7. Сумма подпространств [math]L_1+L_2[/math] совпадает с линейной оболочкой их объединения [math]L_1+L_2= \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)[/math]. Действительно, включение [math]L_1+L_2\subset \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)[/math] следует из определения. Любой элемент множества [math]L_1+L_2[/math] имеет вид [math]\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества [math]L_1\cup L_2[/math]. Докажем противоположное включение [math]\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2[/math]. Любой элемент [math]\mathbf{w}\in \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)[/math] имеет вид [math]\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i[/math], где [math]\mathbf{v}_i\in L_1\cup L_2[/math]. Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые [math]\lambda_i\mathbf{v}_i[/math], у которых [math]\mathbf{v}_i\in L_1[/math]. Остальные слагаемые составят вторую сумму:


[math]\mathbf{w}=\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\in L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i+\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\notin L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i= \mathbf{w}_1+ \mathbf{w}_2.[/math]

Первая сумма — это некоторый вектор [math]\mathbf{w}_1\in L_1[/math], вторая сумма — это некоторый вектор [math]\mathbf{w}_2\in L_2[/math]. Следовательно, [math]\mathbf{w}= \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\in L_1+L_2[/math]. Значит, [math]\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2[/math]. Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.




Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] подпространства конечномерного линейного пространства [math]V[/math], то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):


[math]\dim(L_1+L_2)= \dim{L_1}+\dim{L_2}-\dim(L_1\cap L_2).[/math]
(8.13)

В самом деле, пусть [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s)[/math] — базис пересечения [math]L_1\cap L_2[/math] [math](\dim(L_1\cap L_2)=s)[/math]. Дополним его упорядоченным набором [math](\mathbf{e}')=(\mathbf{e}'_{s+1},\ldots,\mathbf{e}'_{m_1})[/math] векторов до базиса [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')[/math] подпространства [math]L_1~(\dim{L_1}= m_1)[/math] и упорядоченным набором [math](\mathbf{e}'')= (\mathbf{e}''_{s+1},\ldots, \mathbf{e}''_{m_2})[/math] векторов до базиса [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')[/math] подпространства [math]L_2[/math] [math](\dim{L_2}=m_2)[/math]. Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')[/math] векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства [math]L_1+L_2[/math]. Действительно, любой вектор [math]\mathbf{v}[/math] этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')\colon[/math]


[math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2= \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1}\alpha'_i \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{v}_1}\,+ \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2}\beta''_i \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{v}_2}.[/math]

Следовательно, [math]L_1+L_2= \operatorname{Lin}[(\mathbf{e}), (\mathbf{e}'), (\mathbf{e}'')][/math]. Докажем, что образующие [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\, (\mathbf{e}'')[/math] линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства [math]L_1+L_2[/math]. Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:


[math]\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s} \alpha_i\,\mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1} \beta_i\, \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{w}_1}\,+ \underbrace{ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\, \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{w}_2}= \mathbf{o}.[/math]
(8.14)

Первые две суммы обозначим [math]\mathbf{w}_1[/math] — это некоторый вектор из [math]L_1[/math], последнюю сумму обозначим [math]\mathbf{w}_2[/math] — это некоторый вектор из [math]L_2[/math]. Равенство (8.14): [math]\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2=\mathbf{o}[/math] означает, что вектор [math]\mathbf{w}_2=-\mathbf{w}_1[/math] принадлежит также и пространству [math]L_1[/math]. Значит, [math]\mathbf{w}_2\in L_1\cap L_2[/math]. Раскладывая этот вектор по базису [math](\mathbf{e})[/math], находим [math]\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\mathbf{e}_i[/math]. Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем


[math]\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i= \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i- \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i=\mathbf{o}.[/math]

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')[/math] подпространства [math]L_2[/math]. Все коэффициенты такого разложения нулевые: [math]\delta_1=\ldots=\delta_s=0[/math] и [math]\gamma_{s+1}=\ldots= \gamma_{m_2}[/math]. Подставляя [math]\gamma_i=0[/math] в (8.14), получаем [math]\sum_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum_{i=s+1}^{m_1}\beta_i \mathbf{e}'_i= \mathbf{o}[/math]. Это возможно только в тривиальном случае [math]\alpha_1=\ldots= \alpha_{s}=0[/math] и [math]\beta_{s+1}=\ldots+\beta_{m_2}=0[/math], так как система векторов [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')[/math] линейно независима (это базис подпространства [math]L_1[/math]). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')[/math] линейно независима, т.е. является базисом пространства [math]L_1+L_2[/math]. Подсчитаем размерность суммы подпространств:


[math]\dim(L_1+L_2)= s+(m_1-s)+(m_2-s)= m_1+m_2-s= \dim{L_1}+\dim{L_2}- \dim(L_1\cap L_2),[/math]
что и требовалось доказать.



Пример 8.6. В пространстве [math]V_3[/math] радиус-векторов с общим началом в точке [math]O[/math] заданы подпространства: [math]L_0,~L_1[/math] и [math]L_2[/math] — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке [math]O[/math] прямым [math]\ell_0,~\ell_1[/math] и [math]\ell_2[/math] соответственно; [math]\Pi_1[/math] и [math]\Pi_2[/math] — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям [math]\pi_1[/math] и [math]\pi_2[/math] соответственно; прямая [math]\ell_1[/math], при надлежит плоскости [math]\pi_1[/math], прямая [math]\ell_2[/math] принадлежит плоскости [math]\pi_2[/math], плоскости [math]\pi_1[/math] и [math]\pi_2[/math] пересекаются по прямой [math]\ell_0[/math] (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.


Решение. Найдем сумму [math]L_0+L_1[/math]. Складывая два вектора, принадлежащих [math]L_0[/math] и [math]L_1[/math] соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости [math]\Pi_1[/math]. На оборот, любой вектор [math]\vec{v}[/math] (см. рис.8.2), принадлежащий [math]\Pi_1[/math], можно представить в виде [math]\vec{v}_0+\vec{v}_1[/math], построив проекции [math]\vec{v}_0[/math] и [math]\vec{v}_1[/math] вектора [math]\vec{v}[/math] на прямые [math]\ell_0[/math] и [math]\ell_1[/math] соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости [math]\Pi_1[/math] раскладывается по подпространствам [math]L_0[/math] и [math]L_1[/math], т.е. [math]L_0+L_1=\Pi_1[/math]. Аналогично получаем, что [math]L_0+L_2=\Pi_2[/math], а [math]L_1+L_2[/math] — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые [math]\ell_1[/math] и [math]\ell_2[/math].


Найдем сумму [math]\Pi_1+L_2[/math]. Любой вектор [math]{\vec{w}}[/math] пространства [math]V_3[/math] можно разложить по подпространствам [math]L_2[/math] и [math]\Pi_1[/math]. В самом деле, через конец радиус-вектора [math]{\vec{w}}[/math] проводим прямую, параллельную прямой [math]\ell_2[/math] (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию [math]\vec{u}[/math] вектора [math]{\vec{w}}[/math] на плоскость [math]\Pi_1[/math]. Затем на [math]L_2[/math] откладываем вектор [math]\vec{v}_2[/math] так, чтобы [math]\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}_2[/math]. Следовательно, [math]\Pi_1+L_2=V_3[/math]. Так как [math]L_2\triangleleft\Pi_2[/math], то [math]\Pi_1+\Pi_2=V_3[/math]. Аналогично получаем, что [math]L_1+\Pi_2=V_3[/math]. Остальные суммы находятся просто: [math]L_0+\Pi_1=L_1+\Pi_1=Pi_1,[/math] [math]L_0+\Pi_2= L_2+\Pi_2=\Pi_2[/math]. Заметим, что [math]L_0+L_1+L_2=V_3[/math].


Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство [math]\Pi_1+\Pi_2=V_3[/math] по размерности. Подставляя [math]\dim\Pi_1=\dim\Pi_2=2[/math] и [math]\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)= \dim{L_0}=1[/math] в формулу Грассмана, получаем [math]\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=2+2-1=3[/math], что и следовало ожидать, так как [math]\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=\dim{V_3}=3[/math].


Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:


[math]\begin{gathered}L_0\cap L_1=L_0\cap L_2= L_1\cap L_2= L_1\cap \Pi_2= L_2\cap\Pi_1= \{\vec{o}\},\\[5pt] L_0\cap\Pi_1=L_0,\quad L_0\cap\Pi_2=L_0,\quad L_1\cap\Pi_1=L_1,\quad L_2\cap\Pi_2=L_2,\quad \Pi_1\cap\Pi_2=L_0,\end{gathered}[/math]

где [math]\vec{o}[/math] — нулевой радиус-вектор [math]\overrightarrow{OO}[/math].




Прямая сумма подпространств


Алгебраическая сумма подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] линейного пространства [math]V[/math] называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается [math]L_1\oplus L_2[/math] и обладает следующим свойством: если [math]V=L_1\oplus L_2[/math], то для каждого вектора [math]\mathbf{v}\in V[/math] существует единственное представление в виде [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math].


Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2\in L_2,[/math] [math]\mathbf{v}_1\ne \mathbf{w}_1[/math], то получим противоречие: из равенства [math]\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1=\mathbf{w}_2-\mathbf{v}_2[/math] следует, что ненулевой вектор [math]\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1\ne \mathbf{o}[/math] принадлежит обоим подпространствам [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.




Признаки прямых сумм подпространств


Сумма [math]V=L_1+L_2[/math] является прямой суммой, если:


– существует вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math], который однозначно представляется в виде [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_1\in L_2[/math];


– базис пространства [math]V[/math] является объединением базисов подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math];


– справедливо равенство [math]\dim{V}=\dim{L_1}+\dim{L_2}[/math].


Замечания 8.9


1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма [math]V=L_1\oplus L_2\oplus\ldots\oplus L_k[/math] называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:


[math]L_1\cap(L_1+\ldots+L_{i-1}+L_{i+1}+\ldots+L_k)=\{\mathbf{o}\}.[/math]

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис пространства [math]V[/math], то [math]V=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1)\oplus \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_2)\oplus\ldots \oplus\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_n)[/math].




Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?


Решение. Так как [math]L_0\cap L_1=\vec{o}[/math], то сумма [math]L_0\oplus L_1[/math] — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы


[math]L_0\oplus L_2,\quad L_1\oplus L_2,\quad \Pi_1\oplus L_2,\quad L_1\oplus\Pi_2,\quad L_0\oplus L_1\oplus L_2[/math] — прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:


[math]L_0+\Pi_1,\quad L_0+\Pi_2,\quad L_1+\Pi_1,\quad L_2+\Pi_2,\quad \Pi_1+\Pi_2,[/math]

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение [math]\Pi_1\cap\Pi_2=L_0\ne\{\vec{o}\}[/math].




Алгебраические дополнения подпространств


Пусть [math]L[/math] — подпространство конечномерного линейного пространства [math]V[/math]. Подпространство [math]L^{+}\triangleleft V[/math] называется алгебраическим дополнением подпространства [math]L[/math] в пространстве [math]V[/math], если [math]V=L\oplus L^{+}[/math]. Говорят, что [math]L^{+}[/math] дополняет (алгебраически) подпространство [math]L[/math] до [math]V[/math].


Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.


1. Для любого подпространства [math]L\triangleleft V[/math] существует алгебраическое дополнение [math]L^{+}\triangleleft V[/math].


Действительно, если [math]L=\{\mathbf{o}\}[/math], то [math]L^{+}\triangleleft V[/math]. Если [math]L=V[/math], то [math]L^{+}=\{\mathbf{o}\}[/math]. В остальных случаях базис [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_s[/math] подпространства [math]L[/math] можно дополнить по теореме 8.2 до базиса [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s, \mathbf{e}_{s+1},\ldots, \mathbf{e}_n[/math] пространства [math]V[/math]. Тогда [math]L^{+}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_{s+1},\ldots,\mathbf{e}_{n})[/math]. В примере 8.7 получено равенство [math]V_3=L_1\oplus\Pi_2[/math], т.е. подпространства [math]L_1[/math] и [math]\Pi_2[/math] дополняют друг друга до всего пространства.


2. Базис любого подпространства [math]L\triangleleft V[/math] дополняется базисом алгебраического дополнения [math]L^{+}\triangleleft V[/math] до базиса всего пространства.


3. Алгебраическое дополнение [math]L^{+}[/math] подпространства [math]L\triangleleft V[/math], кроме случаев [math]L=\{\mathbf{o}\}[/math] или [math]L=V[/math], определяется неоднозначно.


В примере 8.7 дополнением плоскости [math]\Pi_2[/math] в пространстве [math]V_3[/math] служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость [math]\Pi_2[/math] в точке [math]O[/math], в частности, подпространство [math]L_1[/math].


4. Для любого подпространства [math]L\triangleleft V\colon\,L^{+}\oplus (L^{+})^{+}=V[/math].


Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство [math]L=(L^{+})^{+}[/math] в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.


5. Если [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] — подпространства пространства [math]V[/math], то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:


[math](L_1+L_2)\oplus(L_1^{+}\cap L_2^{+})=V,\qquad (L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+L_2^{+})=V.[/math]
(8.15)

Заметим, что равенства [math](L_1+L_2)^{+}=L_1^{+}\cap L_2^{+}[/math] и [math](L_1\cap L_2)^{+}=L_1^{+}+L_2^{+}[/math] в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.


Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов [math](\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')[/math] векторов: [math]L_1+L_2=\operatorname{Lin}[(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')][/math]. Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами [math](\mathbf{f})=(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_k)[/math] до базиса [math](\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}''),(\mathbf{f})[/math] пространства [math]V[/math]. Так как [math](\mathbf{e}),(\mathbf{e}')[/math] базис [math]L_1[/math], то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что [math](\mathbf{e}''),(\mathbf{f})[/math] — базис [math]L_1^{+}[/math]. Аналогично получаем, что [math](\mathbf{e}'),(\mathbf{f})[/math] — базис [math]L_2^{+}[/math]. Следовательно, [math](\mathbf{f})[/math] — базис пересечения [math]L_1^{+}\cap L_2^{+}[/math]. Таким образом, базис всего пространства [math]V[/math] получается объединением базиса суммы [math]L_1+L_2[/math] и базиса пересечения [math]L_1^{+}\cap L_2^{+}:[/math] [math]\underbrace{(\mathbf{e}) (\mathbf{e}')(\mathbf{e}'')}_{L_1+L_2} \underbrace{(\mathbf{f})}_{L_1^{+}\cap L_2^{+}}[/math]. Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем [math](L_1+L_2)\oplus (L_1^{+}\cap L_2^{+})=V[/math]. Равенство [math](L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+ L_2^{+})=V[/math] следует аналогично из структуры [math]\underbrace{(\mathbf{e})}_{L_1\cap L_2} \underbrace{(\mathbf{e}') (\mathbf{e}'') (\mathbf{f})}_{L_1^{+}+L_2^{+}}[/math] базиса пространства [math]V[/math].




Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством


Говорят, что система векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] пространства [math]V[/math] линейно зависима над подпространством [math]L\triangleleft V[/math], если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству [math]L[/math], т.е. найдутся такие числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math], неравные нулю одновременно, что


[math]\alpha_1\cdot \mathbf{v}_1+ \alpha_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\cdot \mathbf{v}_k\in L.[/math]

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при [math]\alpha_1= \alpha_2=\ldots=\alpha_k=0[/math], то векторы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k[/math] называют линейно независимы ми над подпространством [math]L[/math].


Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства [math]L\triangleleft V[/math] взять нулевое [math]L=\{\mathbf{o}\}[/math].


Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.


1. Если пространство [math]V[/math] представлено в виде прямой суммы подпространств [math]V=L_1\oplus L_2[/math], то любая линейно независимая система векторов подпространства [math]L_1[/math] будет линейно независимой над подпространством [math]L_2[/math].


2. Базисом алгебраического дополнения [math]L^{+}[/math] подпространства [math]L\triangleleft V[/math] является максимальная совокупность векторов пространства [math]V[/math], линейно независимая над подпространством [math]L[/math] (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).


Пусть имеется цепочка подпространств [math]L\triangleleft M\triangleleft V[/math]. Подпространство [math]L^{+}\cap M[/math] называется алгебраическим дополнением подпространства [math]L[/math] относительно подпространства [math]M[/math] (или относительным дополнением [math]L[/math] до подпространства [math]M[/math]). Базисом относительного дополнения [math]L^{+}\cap M[/math] служит максимальная система векторов [math]M[/math], линейно независимая над [math]L[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved