Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Пересечение и сумма подпространств линейного пространства Пусть $L_1$ и $L_2$ — подпространства линейного пространства $V$ . Пересечением подпространств $L_1$ и $L_2$ называется множество $L_1\cap L_2$ векторов, каждый из которых принадлежит $L_1$ и $L_2$ одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств. Алгебраической суммой подпространств $L_1$ и $L_2$ называется множество векторов вида $\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~\mathbf{v}_2\in L_2$ . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается $L_1+L_2:$ $L_1+L_2= \Bigl\{\mathbf{v}\in V\colon\, \mathbf{v}= \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2,~~ \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2\Bigr\}.$ Представление вектора $\mathbf{v}\in (L_1+L_2)$ в виде $\mathbf{v}= \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2$ , называется разложением вектора $\mathbf{v}$ no подпространствам $L_1$ и $L_2$ . Замечания 8.8 1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям. 2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам. Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве $L_1+L_2$ . Пусть два вектора $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ принадлежат сумме $L_1+L_2$ , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам: $\mathbf{u}= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\quad \mathbf{u}_1\in L_1,~ \mathbf{u}_2\in L_2;\qquad \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2.$ Найдем сумму: $\mathbf{u}+\mathbf{v}= (\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)+ (\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)= (\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1)+( \mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2)$ . Так как $\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1\in L_1$ , а $\mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2\in L_2$ , то $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in L_1+L_2$ . Следовательно, множество $L_1+L_2$ замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: $\lambda \mathbf{v}= \lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda \mathbf{v}_1+\lambda \mathbf{v}_2$ . Так как $\lambda \mathbf{v}_1\in L_1$ , a $\lambda \mathbf{v}_2\in L_2$ , то $\lambda \mathbf{v}\in L_1+L_2$ . Следовательно, множество $L_1+L_2$ замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, $L_1+L_2$ — линейное подпространство. 3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства $V$ . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении $L_1\cap L_2\cap\ldots\cap L_k\ldots$ — можно расставлять произвольно или вообще не ставить. 4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество $M$ конечномерного линейного пространства $V$ , называется пересечение всех подпространств $L\triangleleft V$ , содержащих $M$ , т.е. $\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ . Если $M=\varnothing$ , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством $\{\mathbf{o}\}$ , поскольку оно содержится в любом из подпространств $L\triangleleft V$ . Если $M$ — линейное подпространство $V~(M\triangleleft V)$ , то указанное пересечение совпадает с $M$ , поскольку $M$ содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: $M\subset M\triangleleft V$ ). Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка $\operatorname{Lin}(M)$ любого подмножества $M$ конечномерного линейного пространства $V$ является минимальным линейным подпространством, содержащим $M$ , т.е. $\operatorname{Lin}(M)= \bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ . Действительно, обозначим $\Pi=\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ . Надо доказать равенство двух множеств: $\operatorname{Lin}=\Pi$ . Так как $M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V$ (см. пункт 6 замечаний 8.7), то $\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)$ . Докажем включение $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ . Произвольный элемент $\mathbf{v}\in \operatorname{Lin}(M)$ имеет вид $\mathbf{v}= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i$ , где $\mathbf{v}_i\in M,$ $i=1,\ldots,k$ . Пусть $L$ — любое подпространство, содержащее $M~(M\subset L\triangleleft V)$ . Оно содержит все векторы $\mathbf{v}_i,~i=1,\ldots,k$ и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор $\mathbf{v}$ . Поэтому вектор $\mathbf{v}$ принадлежит любому подпространству $L$ , содержащему $M$ . Значит, $\mathbf{v}$ принадлежит пересечению $\Pi$ таких подпространств. Таким образом, $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ . Из двух включений $\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)$ и $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ следует равенство $\operatorname{Lin}(M)=\Pi$ . 5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства $V$ . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах $L_1+L_2+\ldots+L_k$ конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить. 6. Можно определить объединение $L_1\cup L_2$ подпространств $L_1$ и $L_2$ как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству $L_1$ или пространству $L_2$ (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии $L_1\subset L_2$ или $L_2\subset L_1$ ). 7. Сумма подпространств $L_1+L_2$ совпадает с линейной оболочкой их объединения $L_1+L_2= \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ . Действительно, включение $L_1+L_2\subset \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ следует из определения. Любой элемент множества $L_1+L_2$ имеет вид $\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества $L_1\cup L_2$ . Докажем противоположное включение $\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2$ . Любой элемент $\mathbf{w}\in \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ имеет вид $\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i$ , где $\mathbf{v}_i\in L_1\cup L_2$ . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые $\lambda_i\mathbf{v}_i$ , у которых $\mathbf{v}_i\in L_1$ . Остальные слагаемые составят вторую сумму: $\mathbf{w}=\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\in L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i+\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\notin L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i= \mathbf{w}_1+ \mathbf{w}_2.$ Первая сумма — это некоторый вектор $\mathbf{w}_1\in L_1$ , вторая сумма — это некоторый вектор $\mathbf{w}_2\in L_2$ . Следовательно, $\mathbf{w}= \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\in L_1+L_2$ . Значит, $\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2$ . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств. Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если $L_1$ и $L_2$ подпространства конечномерного линейного пространства $V$ , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана): $\dim(L_1+L_2)= \dim{L_1}+\dim{L_2}-\dim(L_1\cap L_2).$ (8.13) В самом деле, пусть $(\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s)$ — базис пересечения $L_1\cap L_2$ $(\dim(L_1\cap L_2)=s)$ . Дополним его упорядоченным набором $(\mathbf{e}')=(\mathbf{e}'_{s+1},\ldots,\mathbf{e}'_{m_1})$ векторов до базиса $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')$ подпространства $L_1~(\dim{L_1}= m_1)$ и упорядоченным набором $(\mathbf{e}'')= (\mathbf{e}''_{s+1},\ldots, \mathbf{e}''_{m_2})$ векторов до базиса $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')$ подпространства $L_2$ $(\dim{L_2}=m_2)$ . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')$ векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства $L_1+L_2$ . Действительно, любой вектор $\mathbf{v}$ этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')\colon$ $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2= \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1}\alpha'_i \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{v}_1}\,+ \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2}\beta''_i \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{v}_2}.$ Следовательно, $L_1+L_2= \operatorname{Lin}[(\mathbf{e}), (\mathbf{e}'), (\mathbf{e}'')]$ . Докажем, что образующие $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\, (\mathbf{e}'')$ линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства $L_1+L_2$ . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору: $\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s} \alpha_i\,\mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1} \beta_i\, \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{w}_1}\,+ \underbrace{ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\, \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{w}_2}= \mathbf{o}.$ (8.14) Первые две суммы обозначим $\mathbf{w}_1$ — это некоторый вектор из $L_1$ , последнюю сумму обозначим $\mathbf{w}_2$ — это некоторый вектор из $L_2$ . Равенство (8.14): $\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2=\mathbf{o}$ означает, что вектор $\mathbf{w}_2=-\mathbf{w}_1$ принадлежит также и пространству $L_1$ . Значит, $\mathbf{w}_2\in L_1\cap L_2$ . Раскладывая этот вектор по базису $(\mathbf{e})$ , находим $\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\mathbf{e}_i$ . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем $\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i= \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i- \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i=\mathbf{o}.$ Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')$ подпространства $L_2$ . Все коэффициенты такого разложения нулевые: $\delta_1=\ldots=\delta_s=0$ и $\gamma_{s+1}=\ldots= \gamma_{m_2}$ . Подставляя $\gamma_i=0$ в (8.14), получаем $\sum_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum_{i=s+1}^{m_1}\beta_i \mathbf{e}'_i= \mathbf{o}$ . Это возможно только в тривиальном случае $\alpha_1=\ldots= \alpha_{s}=0$ и $\beta_{s+1}=\ldots+\beta_{m_2}=0$ , так как система векторов $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')$ линейно независима (это базис подпространства $L_1$ ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')$ линейно независима, т.е. является базисом пространства $L_1+L_2$ . Подсчитаем размерность суммы подпространств: $\dim(L_1+L_2)= s+(m_1-s)+(m_2-s)= m_1+m_2-s= \dim{L_1}+\dim{L_2}- \dim(L_1\cap L_2),$ что и требовалось доказать. Пример 8.6. В пространстве $V_3$ радиус-векторов с общим началом в точке $O$ заданы подпространства: $L_0,~L_1$ и $L_2$ — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке $O$ прямым $\ell_0,~\ell_1$ и $\ell_2$ соответственно; $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям $\pi_1$ и $\pi_2$ соответственно; прямая $\ell_1$ , при надлежит плоскости $\pi_1$ , прямая $\ell_2$ принадлежит плоскости $\pi_2$ , плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются по прямой $\ell_0$ (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств. Решение. Найдем сумму $L_0+L_1$ . Складывая два вектора, принадлежащих $L_0$ и $L_1$ соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости $\Pi_1$ . На оборот, любой вектор $\vec{v}$ (см. рис.8.2), принадлежащий $\Pi_1$ , можно представить в виде $\vec{v}_0+\vec{v}_1$ , построив проекции $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_1$ вектора $\vec{v}$ на прямые $\ell_0$ и $\ell_1$ соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости $\Pi_1$ раскладывается по подпространствам $L_0$ и $L_1$ , т.е. $L_0+L_1=\Pi_1$ . Аналогично получаем, что $L_0+L_2=\Pi_2$ , а $L_1+L_2$ — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ . Найдем сумму $\Pi_1+L_2$ . Любой вектор ${\vec{w}}$ пространства $V_3$ можно разложить по подпространствам $L_2$ и $\Pi_1$ . В самом деле, через конец радиус-вектора ${\vec{w}}$ проводим прямую, параллельную прямой $\ell_2$ (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию $\vec{u}$ вектора ${\vec{w}}$ на плоскость $\Pi_1$ . Затем на $L_2$ откладываем вектор $\vec{v}_2$ так, чтобы $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}_2$ . Следовательно, $\Pi_1+L_2=V_3$ . Так как $L_2\triangleleft\Pi_2$ , то $\Pi_1+\Pi_2=V_3$ . Аналогично получаем, что $L_1+\Pi_2=V_3$ . Остальные суммы находятся просто: $L_0+\Pi_1=L_1+\Pi_1=Pi_1,$ $L_0+\Pi_2= L_2+\Pi_2=\Pi_2$ . Заметим, что $L_0+L_1+L_2=V_3$ . Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство $\Pi_1+\Pi_2=V_3$ по размерности. Подставляя $\dim\Pi_1=\dim\Pi_2=2$ и $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)= \dim{L_0}=1$ в формулу Грассмана, получаем $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=2+2-1=3$ , что и следовало ожидать, так как $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=\dim{V_3}=3$ . Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур: $\begin{gathered}L_0\cap L_1=L_0\cap L_2= L_1\cap L_2= L_1\cap \Pi_2= L_2\cap\Pi_1= \{\vec{o}\},\\[5pt] L_0\cap\Pi_1=L_0,\quad L_0\cap\Pi_2=L_0,\quad L_1\cap\Pi_1=L_1,\quad L_2\cap\Pi_2=L_2,\quad \Pi_1\cap\Pi_2=L_0,\end{gathered}$ где $\vec{o}$ — нулевой радиус-вектор $\overrightarrow{OO}$ . Прямая сумма подпространств Алгебраическая сумма подпространств $L_1$ и $L_2$ линейного пространства $V$ называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается $L_1\oplus L_2$ и обладает следующим свойством: если $V=L_1\oplus L_2$ , то для каждого вектора $\mathbf{v}\in V$ существует единственное представление в виде $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2$ . Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ , где $\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2\in L_2,$ $\mathbf{v}_1\ne \mathbf{w}_1$ , то получим противоречие: из равенства $\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1=\mathbf{w}_2-\mathbf{v}_2$ следует, что ненулевой вектор $\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1\ne \mathbf{o}$ принадлежит обоим подпространствам $L_1$ и $L_2$ одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора. Признаки прямых сумм подпространств Сумма $V=L_1+L_2$ является прямой суммой, если: – существует вектор $\mathbf{v}\in V$ , который однозначно представляется в виде $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_1\in L_2$ ; – базис пространства $V$ является объединением базисов подпространств $L_1$ и $L_2$ ; – справедливо равенство $\dim{V}=\dim{L_1}+\dim{L_2}$ . Замечания 8.9 1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма $V=L_1\oplus L_2\oplus\ldots\oplus L_k$ называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору: $L_1\cap(L_1+\ldots+L_{i-1}+L_{i+1}+\ldots+L_k)=\{\mathbf{o}\}.$ 2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n$ — базис пространства $V$ , то $V=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1)\oplus \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_2)\oplus\ldots \oplus\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_n)$ . Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми? Решение. Так как $L_0\cap L_1=\vec{o}$ , то сумма $L_0\oplus L_1$ — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы $L_0\oplus L_2,\quad L_1\oplus L_2,\quad \Pi_1\oplus L_2,\quad L_1\oplus\Pi_2,\quad L_0\oplus L_1\oplus L_2$ — прямые. Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми: $L_0+\Pi_1,\quad L_0+\Pi_2,\quad L_1+\Pi_1,\quad L_2+\Pi_2,\quad \Pi_1+\Pi_2,$ поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение $\Pi_1\cap\Pi_2=L_0\ne\{\vec{o}\}$ . Алгебраические дополнения подпространств Пусть $L$ — подпространство конечномерного линейного пространства $V$ . Подпространство $L^{+}\triangleleft V$ называется алгебраическим дополнением подпространства $L$ в пространстве $V$ , если $V=L\oplus L^{+}$ . Говорят, что $L^{+}$ дополняет (алгебраически) подпространство $L$ до $V$ . Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств. 1. Для любого подпространства $L\triangleleft V$ существует алгебраическое дополнение $L^{+}\triangleleft V$ . Действительно, если $L=\{\mathbf{o}\}$ , то $L^{+}\triangleleft V$ . Если $L=V$ , то $L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ . В остальных случаях базис $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_s$ подпространства $L$ можно дополнить по теореме 8.2 до базиса $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s, \mathbf{e}_{s+1},\ldots, \mathbf{e}_n$ пространства $V$ . Тогда $L^{+}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_{s+1},\ldots,\mathbf{e}_{n})$ . В примере 8.7 получено равенство $V_3=L_1\oplus\Pi_2$ , т.е. подпространства $L_1$ и $\Pi_2$ дополняют друг друга до всего пространства. 2. Базис любого подпространства $L\triangleleft V$ дополняется базисом алгебраического дополнения $L^{+}\triangleleft V$ до базиса всего пространства. 3. Алгебраическое дополнение $L^{+}$ подпространства $L\triangleleft V$ , кроме случаев $L=\{\mathbf{o}\}$ или $L=V$ , определяется неоднозначно. В примере 8.7 дополнением плоскости $\Pi_2$ в пространстве $V_3$ служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость $\Pi_2$ в точке $O$ , в частности, подпространство $L_1$ . 4. Для любого подпространства $L\triangleleft V\colon\,L^{+}\oplus (L^{+})^{+}=V$ . Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство $L=(L^{+})^{+}$ в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо. 5. Если $L_1$ и $L_2$ — подпространства пространства $V$ , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств: $(L_1+L_2)\oplus(L_1^{+}\cap L_2^{+})=V,\qquad (L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+L_2^{+})=V.$ (8.15) Заметим, что равенства $(L_1+L_2)^{+}=L_1^{+}\cap L_2^{+}$ и $(L_1\cap L_2)^{+}=L_1^{+}+L_2^{+}$ в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы. Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')$ векторов: $L_1+L_2=\operatorname{Lin}[(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')]$ . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами $(\mathbf{f})=(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_k)$ до базиса $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}''),(\mathbf{f})$ пространства $V$ . Так как $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}')$ базис $L_1$ , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что $(\mathbf{e}''),(\mathbf{f})$ — базис $L_1^{+}$ . Аналогично получаем, что $(\mathbf{e}'),(\mathbf{f})$ — базис $L_2^{+}$ . Следовательно, $(\mathbf{f})$ — базис пересечения $L_1^{+}\cap L_2^{+}$ . Таким образом, базис всего пространства $V$ получается объединением базиса суммы $L_1+L_2$ и базиса пересечения $L_1^{+}\cap L_2^{+}:$ $\underbrace{(\mathbf{e}) (\mathbf{e}')(\mathbf{e}'')}_{L_1+L_2} \underbrace{(\mathbf{f})}_{L_1^{+}\cap L_2^{+}}$ . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем $(L_1+L_2)\oplus (L_1^{+}\cap L_2^{+})=V$ . Равенство $(L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+ L_2^{+})=V$ следует аналогично из структуры $\underbrace{(\mathbf{e})}_{L_1\cap L_2} \underbrace{(\mathbf{e}') (\mathbf{e}'') (\mathbf{f})}_{L_1^{+}+L_2^{+}}$ базиса пространства $V$ . Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством Говорят, что система векторов $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ пространства $V$ линейно зависима над подпространством $L\triangleleft V$ , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству $L$ , т.е. найдутся такие числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ , неравные нулю одновременно, что $\alpha_1\cdot \mathbf{v}_1+ \alpha_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\cdot \mathbf{v}_k\in L.$ Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при $\alpha_1= \alpha_2=\ldots=\alpha_k=0$ , то векторы $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ называют линейно независимы ми над подпространством $L$ . Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства $L\triangleleft V$ взять нулевое $L=\{\mathbf{o}\}$ . Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством. 1. Если пространство $V$ представлено в виде прямой суммы подпространств $V=L_1\oplus L_2$ , то любая линейно независимая система векторов подпространства $L_1$ будет линейно независимой над подпространством $L_2$ . 2. Базисом алгебраического дополнения $L^{+}$ подпространства $L\triangleleft V$ является максимальная совокупность векторов пространства $V$ , линейно независимая над подпространством $L$ (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств). Пусть имеется цепочка подпространств $L\triangleleft M\triangleleft V$ . Подпространство $L^{+}\cap M$ называется алгебраическим дополнением подпространства $L$ относительно подпространства $M$ (или относительным дополнением $L$ до подпространства $M$ ). Базисом относительного дополнения $L^{+}\cap M$ служит максимальная система векторов $M$ , линейно независимая над $L$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть $L_1$ и $L_2$ — подпространства линейного пространства $V$ .

Пересечением подпространств $L_1$ и $L_2$ называется множество $L_1\cap L_2$ векторов, каждый из которых принадлежит $L_1$ и $L_2$ одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.

Алгебраической суммой подпространств $L_1$ и $L_2$ называется множество векторов вида $\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~\mathbf{v}_2\in L_2$ . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается $L_1+L_2:$

$L_1+L_2= \Bigl\{\mathbf{v}\in V\colon\, \mathbf{v}= \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2,~~ \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2\Bigr\}.$

Представление вектора $\mathbf{v}\in (L_1+L_2)$ в виде $\mathbf{v}= \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2$ , называется разложением вектора $\mathbf{v}$ no подпространствам $L_1$ и $L_2$ .

Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве $L_1+L_2$ . Пусть два вектора $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ принадлежат сумме $L_1+L_2$ , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

$\mathbf{u}= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\quad \mathbf{u}_1\in L_1,~ \mathbf{u}_2\in L_2;\qquad \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2.$

Найдем сумму: $\mathbf{u}+\mathbf{v}= (\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)+ (\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)= (\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1)+( \mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2)$ . Так как $\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1\in L_1$ , а $\mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2\in L_2$ , то $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in L_1+L_2$ . Следовательно, множество $L_1+L_2$ замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: $\lambda \mathbf{v}= \lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda \mathbf{v}_1+\lambda \mathbf{v}_2$ . Так как $\lambda \mathbf{v}_1\in L_1$ , a $\lambda \mathbf{v}_2\in L_2$ , то $\lambda \mathbf{v}\in L_1+L_2$ . Следовательно, множество $L_1+L_2$ замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, $L_1+L_2$ — линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства $V$ . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении $L_1\cap L_2\cap\ldots\cap L_k\ldots$ — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество $M$ конечномерного линейного пространства $V$ , называется пересечение всех подпространств $L\triangleleft V$ , содержащих $M$ , т.е. $\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ . Если $M=\varnothing$ , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством $\{\mathbf{o}\}$ , поскольку оно содержится в любом из подпространств $L\triangleleft V$ . Если $M$ — линейное подпространство $V~(M\triangleleft V)$ , то указанное пересечение совпадает с $M$ , поскольку $M$ содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: $M\subset M\triangleleft V$ ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка $\operatorname{Lin}(M)$ любого подмножества $M$ конечномерного линейного пространства $V$ является минимальным линейным подпространством, содержащим $M$ , т.е. $\operatorname{Lin}(M)= \bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ .

Действительно, обозначим $\Pi=\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L$ . Надо доказать равенство двух множеств: $\operatorname{Lin}=\Pi$ . Так как $M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V$ (см. пункт 6 замечаний 8.7), то $\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)$ . Докажем включение $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ . Произвольный элемент $\mathbf{v}\in \operatorname{Lin}(M)$ имеет вид $\mathbf{v}= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i$ , где $\mathbf{v}_i\in M,$ $i=1,\ldots,k$ . Пусть $L$ — любое подпространство, содержащее $M~(M\subset L\triangleleft V)$ . Оно содержит все векторы $\mathbf{v}_i,~i=1,\ldots,k$ и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор $\mathbf{v}$ . Поэтому вектор $\mathbf{v}$ принадлежит любому подпространству $L$ , содержащему $M$ . Значит, $\mathbf{v}$ принадлежит пересечению $\Pi$ таких подпространств. Таким образом, $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ . Из двух включений $\Pi\subset \operatorname{Lin}(M)$ и $\operatorname{Lin}(M)\subset\Pi$ следует равенство $\operatorname{Lin}(M)=\Pi$ .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства $V$ . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах $L_1+L_2+\ldots+L_k$ конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение $L_1\cup L_2$ подпространств $L_1$ и $L_2$ как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству $L_1$ или пространству $L_2$ (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии $L_1\subset L_2$ или $L_2\subset L_1$ ).

7. Сумма подпространств $L_1+L_2$ совпадает с линейной оболочкой их объединения $L_1+L_2= \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ . Действительно, включение $L_1+L_2\subset \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ следует из определения. Любой элемент множества $L_1+L_2$ имеет вид $\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества $L_1\cup L_2$ . Докажем противоположное включение $\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2$ . Любой элемент $\mathbf{w}\in \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)$ имеет вид $\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i$ , где $\mathbf{v}_i\in L_1\cup L_2$ . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые $\lambda_i\mathbf{v}_i$ , у которых $\mathbf{v}_i\in L_1$ . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

$\mathbf{w}=\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\in L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i+\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\notin L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i= \mathbf{w}_1+ \mathbf{w}_2.$

Первая сумма — это некоторый вектор $\mathbf{w}_1\in L_1$ , вторая сумма — это некоторый вектор $\mathbf{w}_2\in L_2$ . Следовательно, $\mathbf{w}= \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\in L_1+L_2$ . Значит, $\operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2$ . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если $L_1$ и $L_2$ подпространства конечномерного линейного пространства $V$ , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

$\dim(L_1+L_2)= \dim{L_1}+\dim{L_2}-\dim(L_1\cap L_2).$

(8.13)

В самом деле, пусть $(\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s)$ — базис пересечения $L_1\cap L_2$ $(\dim(L_1\cap L_2)=s)$ . Дополним его упорядоченным набором $(\mathbf{e}')=(\mathbf{e}'_{s+1},\ldots,\mathbf{e}'_{m_1})$ векторов до базиса $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')$ подпространства $L_1~(\dim{L_1}= m_1)$ и упорядоченным набором $(\mathbf{e}'')= (\mathbf{e}''_{s+1},\ldots, \mathbf{e}''_{m_2})$ векторов до базиса $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')$ подпространства $L_2$ $(\dim{L_2}=m_2)$ . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')$ векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства $L_1+L_2$ . Действительно, любой вектор $\mathbf{v}$ этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')\colon$

$\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2= \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1}\alpha'_i \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{v}_1}\,+ \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2}\beta''_i \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{v}_2}.$

Следовательно, $L_1+L_2= \operatorname{Lin}[(\mathbf{e}), (\mathbf{e}'), (\mathbf{e}'')]$ . Докажем, что образующие $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\, (\mathbf{e}'')$ линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства $L_1+L_2$ . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

$\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s} \alpha_i\,\mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1} \beta_i\, \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{w}_1}\,+ \underbrace{ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\, \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{w}_2}= \mathbf{o}.$

(8.14)

Первые две суммы обозначим $\mathbf{w}_1$ — это некоторый вектор из $L_1$ , последнюю сумму обозначим $\mathbf{w}_2$ — это некоторый вектор из $L_2$ . Равенство (8.14): $\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2=\mathbf{o}$ означает, что вектор $\mathbf{w}_2=-\mathbf{w}_1$ принадлежит также и пространству $L_1$ . Значит, $\mathbf{w}_2\in L_1\cap L_2$ . Раскладывая этот вектор по базису $(\mathbf{e})$ , находим $\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\mathbf{e}_i$ . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

$\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i= \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i- \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i=\mathbf{o}.$

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'')$ подпространства $L_2$ . Все коэффициенты такого разложения нулевые: $\delta_1=\ldots=\delta_s=0$ и $\gamma_{s+1}=\ldots= \gamma_{m_2}$ . Подставляя $\gamma_i=0$ в (8.14), получаем $\sum_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum_{i=s+1}^{m_1}\beta_i \mathbf{e}'_i= \mathbf{o}$ . Это возможно только в тривиальном случае $\alpha_1=\ldots= \alpha_{s}=0$ и $\beta_{s+1}=\ldots+\beta_{m_2}=0$ , так как система векторов $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}')$ линейно независима (это базис подпространства $L_1$ ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')$ линейно независима, т.е. является базисом пространства $L_1+L_2$ . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

$\dim(L_1+L_2)= s+(m_1-s)+(m_2-s)= m_1+m_2-s= \dim{L_1}+\dim{L_2}- \dim(L_1\cap L_2),$

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве $V_3$ радиус-векторов с общим началом в точке $O$ заданы подпространства: $L_0,~L_1$ и $L_2$ — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке $O$ прямым $\ell_0,~\ell_1$ и $\ell_2$ соответственно; $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям $\pi_1$ и $\pi_2$ соответственно; прямая $\ell_1$ , при надлежит плоскости $\pi_1$ , прямая $\ell_2$ принадлежит плоскости $\pi_2$ , плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются по прямой $\ell_0$ (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму $L_0+L_1$ . Складывая два вектора, принадлежащих $L_0$ и $L_1$ соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости $\Pi_1$ . На оборот, любой вектор $\vec{v}$ (см. рис.8.2), принадлежащий $\Pi_1$ , можно представить в виде $\vec{v}_0+\vec{v}_1$ , построив проекции $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_1$ вектора $\vec{v}$ на прямые $\ell_0$ и $\ell_1$ соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости $\Pi_1$ раскладывается по подпространствам $L_0$ и $L_1$ , т.е. $L_0+L_1=\Pi_1$ . Аналогично получаем, что $L_0+L_2=\Pi_2$ , а $L_1+L_2$ — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ .

Найдем сумму $\Pi_1+L_2$ . Любой вектор ${\vec{w}}$ пространства $V_3$ можно разложить по подпространствам $L_2$ и $\Pi_1$ . В самом деле, через конец радиус-вектора ${\vec{w}}$ проводим прямую, параллельную прямой $\ell_2$ (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию $\vec{u}$ вектора ${\vec{w}}$ на плоскость $\Pi_1$ . Затем на $L_2$ откладываем вектор $\vec{v}_2$ так, чтобы $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}_2$ . Следовательно, $\Pi_1+L_2=V_3$ . Так как $L_2\triangleleft\Pi_2$ , то $\Pi_1+\Pi_2=V_3$ . Аналогично получаем, что $L_1+\Pi_2=V_3$ . Остальные суммы находятся просто: $L_0+\Pi_1=L_1+\Pi_1=Pi_1,$ $L_0+\Pi_2= L_2+\Pi_2=\Pi_2$ . Заметим, что $L_0+L_1+L_2=V_3$ .

Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство $\Pi_1+\Pi_2=V_3$ по размерности. Подставляя $\dim\Pi_1=\dim\Pi_2=2$ и $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)= \dim{L_0}=1$ в формулу Грассмана, получаем $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=2+2-1=3$ , что и следовало ожидать, так как $\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=\dim{V_3}=3$ .

Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:

$\begin{gathered}L_0\cap L_1=L_0\cap L_2= L_1\cap L_2= L_1\cap \Pi_2= L_2\cap\Pi_1= \{\vec{o}\},\\[5pt] L_0\cap\Pi_1=L_0,\quad L_0\cap\Pi_2=L_0,\quad L_1\cap\Pi_1=L_1,\quad L_2\cap\Pi_2=L_2,\quad \Pi_1\cap\Pi_2=L_0,\end{gathered}$

где $\vec{o}$ — нулевой радиус-вектор $\overrightarrow{OO}$ .

Прямая сумма подпространств

Алгебраическая сумма подпространств $L_1$ и $L_2$ линейного пространства $V$ называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается $L_1\oplus L_2$ и обладает следующим свойством: если $V=L_1\oplus L_2$ , то для каждого вектора $\mathbf{v}\in V$ существует единственное представление в виде $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2$ .

Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ , где $\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2\in L_2,$ $\mathbf{v}_1\ne \mathbf{w}_1$ , то получим противоречие: из равенства $\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1=\mathbf{w}_2-\mathbf{v}_2$ следует, что ненулевой вектор $\mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1\ne \mathbf{o}$ принадлежит обоим подпространствам $L_1$ и $L_2$ одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма $V=L_1+L_2$ является прямой суммой, если:

– существует вектор $\mathbf{v}\in V$ , который однозначно представляется в виде $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ , где $\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_1\in L_2$ ;

– базис пространства $V$ является объединением базисов подпространств $L_1$ и $L_2$ ;

– справедливо равенство $\dim{V}=\dim{L_1}+\dim{L_2}$ .

Замечания 8.9

1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма $V=L_1\oplus L_2\oplus\ldots\oplus L_k$ называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:

$L_1\cap(L_1+\ldots+L_{i-1}+L_{i+1}+\ldots+L_k)=\{\mathbf{o}\}.$

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n$ — базис пространства $V$ , то $V=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1)\oplus \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_2)\oplus\ldots \oplus\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_n)$ .

Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?

Решение. Так как $L_0\cap L_1=\vec{o}$ , то сумма $L_0\oplus L_1$ — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

$L_0\oplus L_2,\quad L_1\oplus L_2,\quad \Pi_1\oplus L_2,\quad L_1\oplus\Pi_2,\quad L_0\oplus L_1\oplus L_2$ — прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:

$L_0+\Pi_1,\quad L_0+\Pi_2,\quad L_1+\Pi_1,\quad L_2+\Pi_2,\quad \Pi_1+\Pi_2,$

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение $\Pi_1\cap\Pi_2=L_0\ne\{\vec{o}\}$ .

Алгебраические дополнения подпространств

Пусть $L$ — подпространство конечномерного линейного пространства $V$ . Подпространство $L^{+}\triangleleft V$ называется алгебраическим дополнением подпространства $L$ в пространстве $V$ , если $V=L\oplus L^{+}$ . Говорят, что $L^{+}$ дополняет (алгебраически) подпространство $L$ до $V$ .

Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.

1. Для любого подпространства $L\triangleleft V$ существует алгебраическое дополнение $L^{+}\triangleleft V$ .

Действительно, если $L=\{\mathbf{o}\}$ , то $L^{+}\triangleleft V$ . Если $L=V$ , то $L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ . В остальных случаях базис $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_s$ подпространства $L$ можно дополнить по теореме 8.2 до базиса $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s, \mathbf{e}_{s+1},\ldots, \mathbf{e}_n$ пространства $V$ . Тогда $L^{+}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_{s+1},\ldots,\mathbf{e}_{n})$ . В примере 8.7 получено равенство $V_3=L_1\oplus\Pi_2$ , т.е. подпространства $L_1$ и $\Pi_2$ дополняют друг друга до всего пространства.

2. Базис любого подпространства $L\triangleleft V$ дополняется базисом алгебраического дополнения $L^{+}\triangleleft V$ до базиса всего пространства.

3. Алгебраическое дополнение $L^{+}$ подпространства $L\triangleleft V$ , кроме случаев $L=\{\mathbf{o}\}$ или $L=V$ , определяется неоднозначно.

В примере 8.7 дополнением плоскости $\Pi_2$ в пространстве $V_3$ служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость $\Pi_2$ в точке $O$ , в частности, подпространство $L_1$ .

4. Для любого подпространства $L\triangleleft V\colon\,L^{+}\oplus (L^{+})^{+}=V$ .

Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство $L=(L^{+})^{+}$ в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.

5. Если $L_1$ и $L_2$ — подпространства пространства $V$ , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:

$(L_1+L_2)\oplus(L_1^{+}\cap L_2^{+})=V,\qquad (L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+L_2^{+})=V.$

(8.15)

Заметим, что равенства $(L_1+L_2)^{+}=L_1^{+}\cap L_2^{+}$ и $(L_1\cap L_2)^{+}=L_1^{+}+L_2^{+}$ в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.

Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')$ векторов: $L_1+L_2=\operatorname{Lin}[(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')]$ . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами $(\mathbf{f})=(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_k)$ до базиса $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}''),(\mathbf{f})$ пространства $V$ . Так как $(\mathbf{e}),(\mathbf{e}')$ базис $L_1$ , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что $(\mathbf{e}''),(\mathbf{f})$ — базис $L_1^{+}$ . Аналогично получаем, что $(\mathbf{e}'),(\mathbf{f})$ — базис $L_2^{+}$ . Следовательно, $(\mathbf{f})$ — базис пересечения $L_1^{+}\cap L_2^{+}$ . Таким образом, базис всего пространства $V$ получается объединением базиса суммы $L_1+L_2$ и базиса пересечения $L_1^{+}\cap L_2^{+}:$ $\underbrace{(\mathbf{e}) (\mathbf{e}')(\mathbf{e}'')}_{L_1+L_2} \underbrace{(\mathbf{f})}_{L_1^{+}\cap L_2^{+}}$ . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем $(L_1+L_2)\oplus (L_1^{+}\cap L_2^{+})=V$ . Равенство $(L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+ L_2^{+})=V$ следует аналогично из структуры $\underbrace{(\mathbf{e})}_{L_1\cap L_2} \underbrace{(\mathbf{e}') (\mathbf{e}'') (\mathbf{f})}_{L_1^{+}+L_2^{+}}$ базиса пространства $V$ .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством

Говорят, что система векторов $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ пространства $V$ линейно зависима над подпространством $L\triangleleft V$ , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству $L$ , т.е. найдутся такие числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ , неравные нулю одновременно, что

$\alpha_1\cdot \mathbf{v}_1+ \alpha_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\cdot \mathbf{v}_k\in L.$

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при $\alpha_1= \alpha_2=\ldots=\alpha_k=0$ , то векторы $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ называют линейно независимы ми над подпространством $L$ .

Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства $L\triangleleft V$ взять нулевое $L=\{\mathbf{o}\}$ .

Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.

1. Если пространство $V$ представлено в виде прямой суммы подпространств $V=L_1\oplus L_2$ , то любая линейно независимая система векторов подпространства $L_1$ будет линейно независимой над подпространством $L_2$ .

2. Базисом алгебраического дополнения $L^{+}$ подпространства $L\triangleleft V$ является максимальная совокупность векторов пространства $V$ , линейно независимая над подпространством $L$ (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).

Пусть имеется цепочка подпространств $L\triangleleft M\triangleleft V$ . Подпространство $L^{+}\cap M$ называется алгебраическим дополнением подпространства $L$ относительно подпространства $M$ (или относительным дополнением $L$ до подпространства $M$ ). Базисом относительного дополнения $L^{+}\cap M$ служит максимальная система векторов $M$ , линейно независимая над $L$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]