Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства


Пусть L_1 и L_2 — подпространства линейного пространства V.


Пересечением подпространств L_1 и L_2 называется множество L_1\cap L_2 векторов, каждый из которых принадлежит L_1 и L_2 одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.


Алгебраической суммой подпространств L_1 и L_2 называется множество векторов вида \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, где \mathbf{v}_1\in L_1,~\mathbf{v}_2\in L_2. Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается L_1+L_2:


L_1+L_2= \Bigl\{\mathbf{v}\in V\colon\, \mathbf{v}= \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2,~~ \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2\Bigr\}.

Представление вектора \mathbf{v}\in (L_1+L_2) в виде \mathbf{v}= \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, где \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2, называется разложением вектора \mathbf{v} no подпространствам L_1 и L_2.




Замечания 8.8


1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.


2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.


Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве L_1+L_2. Пусть два вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} принадлежат сумме L_1+L_2, т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:


\mathbf{u}= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\quad \mathbf{u}_1\in L_1,~ \mathbf{u}_2\in L_2;\qquad \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\quad \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2.

Найдем сумму: \mathbf{u}+\mathbf{v}= (\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)+ (\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)= (\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1)+( \mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2). Так как \mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1\in L_1, а \mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2\in L_2, то \mathbf{u}+\mathbf{v}\in L_1+L_2. Следовательно, множество L_1+L_2 замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: \lambda \mathbf{v}= \lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda \mathbf{v}_1+\lambda \mathbf{v}_2. Так как \lambda \mathbf{v}_1\in L_1, a \lambda \mathbf{v}_2\in L_2, то \lambda \mathbf{v}\in L_1+L_2. Следовательно, множество L_1+L_2 замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, L_1+L_2 — линейное подпространство.


3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства V. Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении L_1\cap L_2\cap\ldots\cap L_k\ldots — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.


4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество M конечномерного линейного пространства V, называется пересечение всех подпространств L\triangleleft V, содержащих M, т.е. \bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L. Если M=\varnothing, то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством \{\mathbf{o}\}, поскольку оно содержится в любом из подпространств L\triangleleft V. Если M — линейное подпространство V~(M\triangleleft V), то указанное пересечение совпадает с M, поскольку M содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: M\subset M\triangleleft V).


Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка \operatorname{Lin}(M) любого подмножества M конечномерного линейного пространства V является минимальным линейным подпространством, содержащим M, т.е. \operatorname{Lin}(M)= \bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L.


Действительно, обозначим \Pi=\bigcap\limits_{M\subset L\triangleleft V}L. Надо доказать равенство двух множеств: \operatorname{Lin}=\Pi. Так как M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V (см. пункт 6 замечаний 8.7), то \Pi\subset \operatorname{Lin}(M). Докажем включение \operatorname{Lin}(M)\subset\Pi. Произвольный элемент \mathbf{v}\in \operatorname{Lin}(M) имеет вид \mathbf{v}= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i, где \mathbf{v}_i\in M, i=1,\ldots,k. Пусть L — любое подпространство, содержащее M~(M\subset L\triangleleft V). Оно содержит все векторы \mathbf{v}_i,~i=1,\ldots,k и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор \mathbf{v}. Поэтому вектор \mathbf{v} принадлежит любому подпространству L, содержащему M. Значит, \mathbf{v} принадлежит пересечению \Pi таких подпространств. Таким образом, \operatorname{Lin}(M)\subset\Pi. Из двух включений \Pi\subset \operatorname{Lin}(M) и \operatorname{Lin}(M)\subset\Pi следует равенство \operatorname{Lin}(M)=\Pi.


5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства V. Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах L_1+L_2+\ldots+L_k конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.


6. Можно определить объединение L_1\cup L_2 подпространств L_1 и L_2 как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству L_1 или пространству L_2 (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии L_1\subset L_2 или L_2\subset L_1).


7. Сумма подпространств L_1+L_2 совпадает с линейной оболочкой их объединения L_1+L_2= \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2). Действительно, включение L_1+L_2\subset \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2) следует из определения. Любой элемент множества L_1+L_2 имеет вид \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества L_1\cup L_2. Докажем противоположное включение \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2. Любой элемент \mathbf{w}\in \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2) имеет вид \mathbf{w}=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i, где \mathbf{v}_i\in L_1\cup L_2. Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые \lambda_i\mathbf{v}_i, у которых \mathbf{v}_i\in L_1. Остальные слагаемые составят вторую сумму:


\mathbf{w}=\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\in L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i+\mathop{\sum_{\substack{i=1\\ \mathbf{v}_i\notin L_1}}}\limits^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i= \mathbf{w}_1+ \mathbf{w}_2.

Первая сумма — это некоторый вектор \mathbf{w}_1\in L_1, вторая сумма — это некоторый вектор \mathbf{w}_2\in L_2. Следовательно, \mathbf{w}= \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\in L_1+L_2. Значит, \operatorname{Lin}(L_1\cup L_2)\subset L_1+L_2. Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.




Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если L_1 и L_2 подпространства конечномерного линейного пространства V, то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):


\dim(L_1+L_2)= \dim{L_1}+\dim{L_2}-\dim(L_1\cap L_2).
(8.13)

В самом деле, пусть (\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s) — базис пересечения L_1\cap L_2 (\dim(L_1\cap L_2)=s). Дополним его упорядоченным набором (\mathbf{e}')=(\mathbf{e}'_{s+1},\ldots,\mathbf{e}'_{m_1}) векторов до базиса (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}') подпространства L_1~(\dim{L_1}= m_1) и упорядоченным набором (\mathbf{e}'')= (\mathbf{e}''_{s+1},\ldots, \mathbf{e}''_{m_2}) векторов до базиса (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'') подпространства L_2 (\dim{L_2}=m_2). Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'') векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства L_1+L_2. Действительно, любой вектор \mathbf{v} этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'')\colon


\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2= \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1}\alpha'_i \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{v}_1}\,+ \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2}\beta''_i \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{v}_2}.

Следовательно, L_1+L_2= \operatorname{Lin}[(\mathbf{e}), (\mathbf{e}'), (\mathbf{e}'')]. Докажем, что образующие (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\, (\mathbf{e}'') линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства L_1+L_2. Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:


\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{s} \alpha_i\,\mathbf{e}_i+ \sum\limits_{i=s+1}^{m_1} \beta_i\, \mathbf{e}'_i}_{\mathbf{w}_1}\,+ \underbrace{ \sum\limits_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\, \mathbf{e}''_i}_{\mathbf{w}_2}= \mathbf{o}.
(8.14)

Первые две суммы обозначим \mathbf{w}_1 — это некоторый вектор из L_1, последнюю сумму обозначим \mathbf{w}_2 — это некоторый вектор из L_2. Равенство (8.14): \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2=\mathbf{o} означает, что вектор \mathbf{w}_2=-\mathbf{w}_1 принадлежит также и пространству L_1. Значит, \mathbf{w}_2\in L_1\cap L_2. Раскладывая этот вектор по базису (\mathbf{e}), находим \mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\mathbf{e}_i. Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем


\mathbf{w}_2= \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i= \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{s}\delta_i\,\mathbf{e}_i- \sum_{i=s+1}^{m_2} \gamma_i\,\mathbf{e}''_i=\mathbf{o}.

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'') подпространства L_2. Все коэффициенты такого разложения нулевые: \delta_1=\ldots=\delta_s=0 и \gamma_{s+1}=\ldots= \gamma_{m_2}. Подставляя \gamma_i=0 в (8.14), получаем \sum_{i=1}^{s}\alpha_i \mathbf{e}_i+ \sum_{i=s+1}^{m_1}\beta_i \mathbf{e}'_i= \mathbf{o}. Это возможно только в тривиальном случае \alpha_1=\ldots= \alpha_{s}=0 и \beta_{s+1}=\ldots+\beta_{m_2}=0, так как система векторов (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}') линейно независима (это базис подпространства L_1). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов (\mathbf{e}),\,(\mathbf{e}'),\,(\mathbf{e}'') линейно независима, т.е. является базисом пространства L_1+L_2. Подсчитаем размерность суммы подпространств:


\dim(L_1+L_2)= s+(m_1-s)+(m_2-s)= m_1+m_2-s= \dim{L_1}+\dim{L_2}- \dim(L_1\cap L_2),

что и требовалось доказать.




Пример 8.6. В пространстве V_3 радиус-векторов с общим началом в точке O заданы подпространства: L_0,~L_1 и L_2 — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке O прямым \ell_0,~\ell_1 и \ell_2 соответственно; \Pi_1 и \Pi_2 — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям \pi_1 и \pi_2 соответственно; прямая \ell_1, при надлежит плоскости \pi_1, прямая \ell_2 принадлежит плоскости \pi_2, плоскости \pi_1 и \pi_2 пересекаются по прямой \ell_0 (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.


Суммы и пересечения подпространств

Решение. Найдем сумму L_0+L_1. Складывая два вектора, принадлежащих L_0 и L_1 соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости \Pi_1. На оборот, любой вектор \vec{v} (см. рис.8.2), принадлежащий \Pi_1, можно представить в виде \vec{v}_0+\vec{v}_1, построив проекции \vec{v}_0 и \vec{v}_1 вектора \vec{v} на прямые \ell_0 и \ell_1 соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости \Pi_1 раскладывается по подпространствам L_0 и L_1, т.е. L_0+L_1=\Pi_1. Аналогично получаем, что L_0+L_2=\Pi_2, а L_1+L_2 — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые \ell_1 и \ell_2.


Найдем сумму \Pi_1+L_2. Любой вектор {\vec{w}} пространства V_3 можно разложить по подпространствам L_2 и \Pi_1. В самом деле, через конец радиус-вектора {\vec{w}} проводим прямую, параллельную прямой \ell_2 (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию \vec{u} вектора {\vec{w}} на плоскость \Pi_1. Затем на L_2 откладываем вектор \vec{v}_2 так, чтобы \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}_2. Следовательно, \Pi_1+L_2=V_3. Так как L_2\triangleleft\Pi_2, то \Pi_1+\Pi_2=V_3. Аналогично получаем, что L_1+\Pi_2=V_3. Остальные суммы находятся просто: L_0+\Pi_1=L_1+\Pi_1=Pi_1, L_0+\Pi_2= L_2+\Pi_2=\Pi_2. Заметим, что L_0+L_1+L_2=V_3.


Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство \Pi_1+\Pi_2=V_3 по размерности. Подставляя \dim\Pi_1=\dim\Pi_2=2 и \dim(\Pi_1\cap\Pi_2)= \dim{L_0}=1 в формулу Грассмана, получаем \dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=2+2-1=3, что и следовало ожидать, так как \dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=\dim{V_3}=3.


Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:


\begin{gathered}L_0\cap L_1=L_0\cap L_2= L_1\cap L_2= L_1\cap \Pi_2= L_2\cap\Pi_1= \{\vec{o}\},\\[5pt] L_0\cap\Pi_1=L_0,\quad L_0\cap\Pi_2=L_0,\quad L_1\cap\Pi_1=L_1,\quad L_2\cap\Pi_2=L_2,\quad \Pi_1\cap\Pi_2=L_0,\end{gathered}

где \vec{o} — нулевой радиус-вектор \overrightarrow{OO}.




Прямая сумма подпространств


Алгебраическая сумма подпространств L_1 и L_2 линейного пространства V называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается L_1\oplus L_2 и обладает следующим свойством: если V=L_1\oplus L_2, то для каждого вектора \mathbf{v}\in V существует единственное представление в виде \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, где \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2.


Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2, где \mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2\in L_2, \mathbf{v}_1\ne \mathbf{w}_1, то получим противоречие: из равенства \mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1=\mathbf{w}_2-\mathbf{v}_2 следует, что ненулевой вектор \mathbf{v}_1-\mathbf{w}_1\ne \mathbf{o} принадлежит обоим подпространствам L_1 и L_2 одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.




Признаки прямых сумм подпространств


Сумма V=L_1+L_2 является прямой суммой, если:


– существует вектор \mathbf{v}\in V, который однозначно представляется в виде \mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, где \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_1\in L_2;


– базис пространства V является объединением базисов подпространств L_1 и L_2;


– справедливо равенство \dim{V}=\dim{L_1}+\dim{L_2}.


Замечания 8.9


1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма V=L_1\oplus L_2\oplus\ldots\oplus L_k называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:


L_1\cap(L_1+\ldots+L_{i-1}+L_{i+1}+\ldots+L_k)=\{\mathbf{o}\}.

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис пространства V, то V=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1)\oplus \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_2)\oplus\ldots \oplus\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_n).




Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?


Решение. Так как L_0\cap L_1=\vec{o}, то сумма L_0\oplus L_1 — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы


L_0\oplus L_2,\quad L_1\oplus L_2,\quad \Pi_1\oplus L_2,\quad L_1\oplus\Pi_2,\quad L_0\oplus L_1\oplus L_2 — прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:


L_0+\Pi_1,\quad L_0+\Pi_2,\quad L_1+\Pi_1,\quad L_2+\Pi_2,\quad \Pi_1+\Pi_2,

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение \Pi_1\cap\Pi_2=L_0\ne\{\vec{o}\}.




Алгебраические дополнения подпространств


Пусть L — подпространство конечномерного линейного пространства V. Подпространство L^{+}\triangleleft V называется алгебраическим дополнением подпространства L в пространстве V, если V=L\oplus L^{+}. Говорят, что L^{+} дополняет (алгебраически) подпространство L до V.


Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.


1. Для любого подпространства L\triangleleft V существует алгебраическое дополнение L^{+}\triangleleft V.


Действительно, если L=\{\mathbf{o}\}, то L^{+}\triangleleft V. Если L=V, то L^{+}=\{\mathbf{o}\}. В остальных случаях базис \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_s подпространства L можно дополнить по теореме 8.2 до базиса \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_s, \mathbf{e}_{s+1},\ldots, \mathbf{e}_n пространства V. Тогда L^{+}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_{s+1},\ldots,\mathbf{e}_{n}). В примере 8.7 получено равенство V_3=L_1\oplus\Pi_2, т.е. подпространства L_1 и \Pi_2 дополняют друг друга до всего пространства.


2. Базис любого подпространства L\triangleleft V дополняется базисом алгебраического дополнения L^{+}\triangleleft V до базиса всего пространства.


3. Алгебраическое дополнение L^{+} подпространства L\triangleleft V, кроме случаев L=\{\mathbf{o}\} или L=V, определяется неоднозначно.


В примере 8.7 дополнением плоскости \Pi_2 в пространстве V_3 служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость \Pi_2 в точке O, в частности, подпространство L_1.


4. Для любого подпространства L\triangleleft V\colon\,L^{+}\oplus (L^{+})^{+}=V.


Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство L=(L^{+})^{+} в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.


5. Если L_1 и L_2 — подпространства пространства V, то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:


(L_1+L_2)\oplus(L_1^{+}\cap L_2^{+})=V,\qquad (L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+L_2^{+})=V.
(8.15)

Заметим, что равенства (L_1+L_2)^{+}=L_1^{+}\cap L_2^{+} и (L_1\cap L_2)^{+}=L_1^{+}+L_2^{+} в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.


Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов (\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'') векторов: L_1+L_2=\operatorname{Lin}[(\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}'')]. Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами (\mathbf{f})=(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_k) до базиса (\mathbf{e}),(\mathbf{e}'),(\mathbf{e}''),(\mathbf{f}) пространства V. Так как (\mathbf{e}),(\mathbf{e}') базис L_1, то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что (\mathbf{e}''),(\mathbf{f}) — базис L_1^{+}. Аналогично получаем, что (\mathbf{e}'),(\mathbf{f}) — базис L_2^{+}. Следовательно, (\mathbf{f}) — базис пересечения L_1^{+}\cap L_2^{+}. Таким образом, базис всего пространства V получается объединением базиса суммы L_1+L_2 и базиса пересечения L_1^{+}\cap L_2^{+}: \underbrace{(\mathbf{e}) (\mathbf{e}')(\mathbf{e}'')}_{L_1+L_2} \underbrace{(\mathbf{f})}_{L_1^{+}\cap L_2^{+}}. Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем (L_1+L_2)\oplus (L_1^{+}\cap L_2^{+})=V. Равенство (L_1\cap L_2)\oplus (L_1^{+}+ L_2^{+})=V следует аналогично из структуры \underbrace{(\mathbf{e})}_{L_1\cap L_2} \underbrace{(\mathbf{e}') (\mathbf{e}'') (\mathbf{f})}_{L_1^{+}+L_2^{+}} базиса пространства V.




Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством


Говорят, что система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k пространства V линейно зависима над подпространством L\triangleleft V, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству L, т.е. найдутся такие числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k, неравные нулю одновременно, что


\alpha_1\cdot \mathbf{v}_1+ \alpha_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\cdot \mathbf{v}_k\in L.

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при \alpha_1= \alpha_2=\ldots=\alpha_k=0, то векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k называют линейно независимы ми над подпространством L.


Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства L\triangleleft V взять нулевое L=\{\mathbf{o}\}.


Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.


1. Если пространство V представлено в виде прямой суммы подпространств V=L_1\oplus L_2, то любая линейно независимая система векторов подпространства L_1 будет линейно независимой над подпространством L_2.


2. Базисом алгебраического дополнения L^{+} подпространства L\triangleleft V является максимальная совокупность векторов пространства V, линейно независимая над подпространством L (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).


Пусть имеется цепочка подпространств L\triangleleft M\triangleleft V. Подпространство L^{+}\cap M называется алгебраическим дополнением подпространства L относительно подпространства M (или относительным дополнением L до подпространства M). Базисом относительного дополнения L^{+}\cap M служит максимальная система векторов M, линейно независимая над L.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved