Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Парадокс Рассела

Парадокс Рассела


Задавая с помощью коллективизирующих свойств множества, следует иметь в виду, что не каждое высказывание определяет коллективизирующее свойство. Попробуем определить множество [math]Y=\{X\colon\,X\times X\}[/math] — множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя. Это множество не пусто. Те "нормальные" множества, с которыми мы привыкли иметь дело, например числовые, как раз не являются элементами самих себя: множество [math]\mathbb{R}[/math] всех действительных чисел не есть действительное число! Однако попытка определить множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя, приводит к противоречию. В самом деле, пусть [math]Y[/math] не является элементом самого себя, т.е. [math]Y\notin Y[/math]. Тогда, поскольку [math]Y[/math] есть множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя, [math]Y\in Y[/math]. В то же время, если [math]Y\in Y[/math], оно должно обладать свойством, которое указано в определении [math]Y[/math] как коллективизирующее, т.е. должно выполняться [math]Y\notin Y[/math]. Следовательно, мы доказали, что [math]Y\notin Y\Leftrightarrow Y\in Y[/math]! Это противоречие показывает, что высказывание о множествах [math]X\notin X[/math] не задает коллективизирующее свойство.


Указанный парадокс, называемый парадоксом Рассела, приводится иногда в такой "сказочно-шутливой" редакции: "В некоторой деревне живет брадобрей, который по долгу службы должен брить тех и только тех, кто не бреет себя сам". Брадобрей оказывается в незавидном положении: если он не будет себя брить, то тотчас окажется, что он должен себя брить, а следуя неумолимой инструкции, он немедленно должен прекратить бриться, ибо он будет брить себя сам, что запрещено.


Парадокс Рассела показывает, что интуитивное понимание множества и коллективизирующего свойства позволяет трактовать идею множества настолько широко и расплывчато, что может привести к противоречиям.


Замечание 1.8. Не следует путать высказывание, определяющее пустое множество (например, "[math]x[/math] есть четное число, не делящееся на два"), и высказывание, не задающее коллективизирующего свойства. Первое коллективизирует, определяя пустое множество, а второе приводит к противоречию, не определяя никакого множества, в том числе и пустого.


Обсуждение возможных путей выхода из противоречий, подобных парадоксу Рассела, не является предметом данной лекции. Мы же только заметим, что ввиду парадокса Рассела мы не можем мыслить конструкции, подобные множеству всех множеств, которые не являются элементами самих себя, в законченном виде, т.е. считать, что нам сразу, одновременно представлены в наличии все мыслимые множества указанного вида. Вместо этого следует представлять себе процесс (обратим внимание на это слово!) порождения новых множеств (назовем их допустимыми), исходя из определенного набора "исходных" допустимых множеств. К ним, в частности, можно отнести известные числовые множества, все конечные множества. Важно понимать также, что указанный выше процесс никак не влияет на "объем" уже имеющихся допустимых множеств: все они жестко зафиксированы и "состав" их элементов никак не меняется. Всякое уже имеющееся допустимое множество всегда "равно самому себе". Но совокупность всех допустимых множеств меняется при порождении новых допустимых множеств из уже имеющихся, и именно поэтому она не может считаться множеством, ибо состав ее элементов не зафиксирован.


Считая, что исходные допустимые множества как-то заданы, мы должны регламентировать операции, которые позволяют из уже имеющихся допустимых множеств строить новые допустимые множества.


Такими операциями являются рассмотренные в 1-й лекции операции над множествами, в частности образование неупорядоченной и упорядоченной пары, булеана и фактор-множества.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved