Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Параболоиды

Параболоиды


Определение параболоида


Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z.[/math]
(4.51)

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z.[/math]
(4.52)

В уравнениях (4.51) и (4.52) [math]a[/math] и [math]b[/math] — положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида [math]a\geqslant b[/math].


Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((4.50) или (4.51)).




Плоские сечения эллиптического параболоида


Плоскость [math]Oxz[/math] пересекает эллиптический параболоид (4.51) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение [math]\frac{x^2}{a^2}=2z[/math], которое равносильно уравнению [math]x^2=2pz[/math] параболы с фокальным параметром [math]p=a^2[/math]. Сечение параболоида плоскостью [math]Oyz[/math] получаем, подставляя [math]x=0[/math] в уравнение (4.51): [math]\frac{y^2}{b^2}=2z[/math]. Это уравнение равносильно уравнению [math]y^2=2qz[/math] параболы с фокальным параметром [math]q=b^2[/math]. Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида (4.51).


Рассмотрим теперь сечение эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.51), получаем


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2\cdot h.[/math]

При [math]h<0[/math] уравнение не имеет действительных решений, т.е. плоскость [math]z=h[/math] при [math]h<0[/math] не пересекает параболоид (4.51). При [math]h=0[/math] уравнению (4.51) удовлетворяет одна вещественная точка [math]O[/math] — вершина параболоида. При [math]h>0[/math] уравнение определяет эллипс [math]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] с полуосями [math]a'=a\sqrt{2h},[/math] [math]b'=b\sqrt{2h}[/math]. Следовательно, сечение эллиптического параболоида плоскостью [math]z=h[/math] (при [math]h>0[/math]) представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных параболах.


Таким образом, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.46,а).


Сечения эллиптического параболоида и Параболоид вращения



Параболоид вращения


Эллиптический параболоид, у которого [math]a=b[/math], называется параболоидом вращения. Такой параболоид является поверхностью вращения. Сечения параболоида вращения плоскостями [math]z=h[/math] (при [math]h>0[/math]), представляют собой окружности с центрами на оси аппликат (рис.4.46,б). Его можно получить, вращая вокруг оси [math]Oz[/math] параболу [math]y^2=2qz[/math], где [math]q=a^2=b^2[/math].


Плоские сечения гиперболического параболоида


Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями [math]Oxz[/math] и [math]Oyz[/math] представляют собой параболы (главные параболы) [math]x^2=2pz[/math] или [math]y^2=-2qz[/math] с параметрами [math]p=a^2[/math] или [math]q=b^2[/math] соответственно. Поскольку оси симметрии главных парабол направлены в противоположные стороны, гиперболический параболоид называют седловой поверхностью.


Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.52), получаем [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2h[/math] При [math]h>0[/math] уравнение равносильно уравнению гиперболы [math]\frac{x^2}{(a')^2}-\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] полуосями [math]a'=a\sqrt{2h},[/math] [math]b'=b\sqrt{2h}[/math], то есть сечение гиперболического параболоида плоскостью [math]z=h[/math] при [math]h>0[/math] представляет собой гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе [math]x^2=2pz[/math]. При [math]h<0[/math] получаем уравнение сопряженной гиперболы [math]-\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] с полуосями [math]a'=a\sqrt{-2h},[/math] [math]b'=b\sqrt{-2h}[/math], т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью [math]z=h[/math] при [math]h<0[/math] представляет собой сопряженную гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе [math]y^2=-2qh[/math]. При [math]h=0[/math] получаем уравнение пересекающихся прямых [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0[/math], т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью [math]z=0[/math] представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых.


Таким образом, гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованную гиперболами (включая и "крест" из их асимптот), вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.47,а).


Сечение параболоида плоскостью [math]x=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная, представляет собой параболу


[math]\frac{h^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z \quad \Leftrightarrow \quad y^2=-2\cdot q\cdot\!\left(z-\frac{h^2}{2\cdot a^2}\right)\!.[/math]

равную главной параболе [math]y^2=-2qz[/math] с параметром [math]q=b^2[/math], вершина которой лежит на другой главной параболе [math]x^2=2pz[/math] с параметром [math]p=a^2[/math]. Поэтому гиперболический параболоид можно представить как поверхность, получающуюся при перемещении одной главной параболы так, чтобы ее вершина "скользила" по другой главной параболе (рис.4.47,б).

Сечения гиперболического параболоида и его образующие



Замечания 4.11.


1. Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (рис.4.47,в).


2. Ось аппликат канонической системы координат является осью симметрии параболоида, а координатные плоскости [math]Oyz,~Oxz[/math] — плоскостями симметрии параболоида.


В самом деле, если точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит параболоиду (эллиптическому или гиперболическому), то точки с координатами [math](\pm x,\pm y,\pm z)[/math] при любом выборе знаков также принадлежат параболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.51) или (4.52) соответственно. Поэтому параболоид симметричен относительно координатных плоскостей [math]Oyz,[/math] [math]Oxz[/math] и координатной оси [math]Oz[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved