Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Парабола: определение, свойства, построение

Парабола: определение, свойства, построение


Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки [math]F[/math] и заданной прямой [math]d[/math], не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.


Директориальное свойство параболы


Точка [math]F[/math] называется фокусом параболы, прямая [math]d[/math] — директрисой параболы, середина [math]O[/math] перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние [math]p[/math] от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние [math]\frac{p}{2}[/math] от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок [math]FM[/math], соединяющий произвольную точку [math]M[/math] параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки [math]M[/math]. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.


Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице [math](e=1)[/math].


Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:


[math]y^2=2\cdot p\cdot x,[/math]
(3.51)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину [math]O[/math] параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки [math]O[/math] к точке [math]F[/math]); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат [math]Oxy[/math] оказалась правой).


Парабола, её фокус и фокусное расстояние, радиус, параметр, директрисса, эксцентриситет параболы

Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса [math]F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right)[/math] и уравнение директрисы [math]x=-\frac{p}{2}[/math]. Для произвольной точки [math]M(x,y)[/math], принадлежащей параболе, имеем:


[math]FM=MM_d,[/math]

где [math]M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right)[/math] — ортогональная проекция точки [math]M(x,y)[/math] на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:


[math]\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}.[/math]

Возводим обе части уравнения в квадрат: [math]{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}[/math]. Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы


[math]y^2=2\cdot p\cdot x,[/math] т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.




Уравнение параболы в полярной системе координат


Уравнение параболы в полярной системе координат [math]Fr\varphi[/math] (рис.3.45,в) имеет вид


[math]r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},[/math] где [math]p[/math] — параметр параболы, а [math]e=1[/math] — её эксцентриситет.

В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус [math]F[/math] параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке [math]F[/math], перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки [math]M(r,\varphi)[/math], принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем [math]MM_d=r[/math]. Поскольку [math]MM_d=p+r\cos\varphi[/math], получаем уравнение параболы в координатной форме:


[math]p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi},[/math]

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ([math]0\leqslant e<1[/math] для эллипса, [math]e=1[/math] для параболы, [math]e>1[/math] для гиперболы).




Геометрический смысл параметра в уравнении параболы


Поясним геометрический смысл параметра [math]p[/math] в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) [math]x=\frac{p}{2}[/math], получаем [math]y^2=p^2[/math], т.е. [math]y=\pm p[/math] . Следовательно, параметр [math]p[/math] — это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.


Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] получаем [math]r=p[/math], т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.




Геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы

Замечания 3.11.


1. Параметр [math]p[/math] параболы характеризует её форму. Чем больше [math]p[/math], тем шире ветви параболы, чем ближе [math]p[/math] к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).


2. Уравнение [math]y^2=-2px[/math] (при [math]p>0[/math]) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат [math]Oxy[/math] и каноническая [math]Ox'y'[/math].


3. Уравнение [math](y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0[/math] определяет параболу с вершиной [math]O'(x_0,y_0)[/math], ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).


Уравнение [math](x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0[/math], также определяет параболу с вершиной [math]O'(x_0,y_0)[/math], ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат [math]Oxy[/math] и канонические системы координат [math]Ox'y'[/math].


Параллельный перенос параболы

4. График квадратного трехчлена [math]y=ax^2+bx+c,~a\ne0[/math] является параболой с вершиной в точке [math]O'\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)[/math], ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при [math]a>0[/math]) или вниз (при [math]a<0[/math]). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение


[math]y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!,[/math]

которое приводится к каноническому виду [math](y')^2=2px'[/math], где [math]p=\left|\frac{1}{2a}\right|[/math], при помощи замены [math]y'=x+\frac{b}{2a}[/math] и [math]x'=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)[/math].


График квадратного трехчлена

Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента [math]a[/math]. Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с [math]x_0=-\frac{b}{2a}[/math] и [math]y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a}[/math], переименования координатных осей (3.38), а в случае [math]a<0[/math] еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат [math]Oxy[/math] и канонические системы координат [math]O'x'y'[/math] для случаев [math]a>0[/math] и [math]a<0[/math] соответственно.


5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной [math]y[/math] на [math]-y[/math] не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки [math]M(x,y)[/math], принадлежащей параболе, и координаты точки [math]M'(x,-y)[/math], симметричной точке [math]M[/math] относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.




Построение параболы в канонической системе координат

Пример 3.22. Изобразить параболу [math]y^2=2x[/math] в канонической системе координат [math]Oxy[/math]. Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.


Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя [math]x=2[/math] в уравнение параболы, получаем [math]y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2[/math]. Следовательно, точки с координатами [math](2;2),\,(2;-2)[/math] принадлежат параболе.


Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: [math]p=1[/math]. Координаты фокуса [math]x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0[/math], т.е. [math]F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right)[/math]. Составляем уравнение директрисы [math]x=-\frac{p}{2}[/math], т.е. [math]x=-\frac{1}{2}[/math].




Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы


Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы

1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки [math]F[/math] (фокуса) к расстоянию до заданной прямой [math]d[/math] (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету [math]e[/math], называется:


а) эллипсом, если [math]0\leqslant e<1[/math];

б) гиперболой, если [math]e>1[/math];

в) параболой, если [math]e=1[/math].


2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.


3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке [math]K[/math] понимается предельное положение секущей [math]KM[/math], когда точка [math]M[/math], оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке [math]K[/math]. Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.


Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке [math]K[/math] является биссектрисой внешнего угла треугольника [math]F_1KF_2[/math] (а нормаль — биссектрисой внутреннего угла [math]F_1KF_2[/math] треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника [math]F_1KF_2[/math] (а нормаль — биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника [math]FKK_d[/math] (а нормаль — биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.


Биссекториальное свойство касательных и нормалей к эллипсу, гиперболе и параболе

4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы, поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:


– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);

– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);

– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).


Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:


середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы);

середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы.


Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы), сопряженным к этим хордам.


Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).


Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.


Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы

Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке [math]K[/math] можно определить как предельное положение параллельных секущих [math]M_1M_2[/math], когда точки [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке [math]K[/math]. Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.


6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра [math]F[/math] притяжения.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved