Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Оценка фактора риска инвестиционного проекта Вероятность получения либо отрицательного, либо положительного результата при реализации инвестиционного проекта называется риском отдельного проекта. На уровень инвестиционного риска влияют неполнота или неточность исходных данных об условиях реализации инвестиционного проекта, возникновение в ходе осуществления инвестиционного проекта непредвиденных ситуаций, резкое изменение конъюнктуры рынка. К группе инвестиционных рисков относятся следующие риски: процентный, капитальный, селективный, риск ликвидности, инфляционный, операционный. Цель анализа риска — дать потенциальным инвесторам необходимые данные для принятия решения о целесообразности участия в проекте и предусмотреть меры по защите от возможных финансовых потерь. Для учета инвестиционного риска существуют специальные методы, сущность которых заключается в том, что с ростом риска либо уменьшают денежный поток, либо увеличивают ставку дисконтирования. Существуют различные методы оценки риска инвестиционного проекта: – анализ чувствительности проекта — предполагает определение значений показателя доходности проекта при варьировании одной из критических переменных; – оценка риска, основанная на распределении вероятностей и расчете стандартного отклонения текущей стоимости денежных потоков; – методы имитационного моделирования — предполагают построение модели системы, в которой можно произвольно менять переменные для изучения реакции внешней среды на различные события; – анализ "дерева решений" — целесообразно применять для оценки проектов, в течение реализации которых необходимо принимать последовательные решения о возможности дополнительных инвестиций, об отказе от проектов либо их расширении. После того как риск и доходность уже определены, менеджеру необходимо принимать решение. Существуют следующие основные принципы принятия решений с учетом риска проектов: – профессиональное суждение — специалист использует свое профессиональное суждение о принятии или отказе от проекта, формальные стандарты, которым должен соответствовать инвестиционный проект, отсутствуют; – арбитражная оценка — исходит из предпосылки, что два проекта с идентичными потоками денежных средств и равным риском должны иметь одинаковую стоимость; – корректировка ставки дисконтирования — предусматривает изменение этой ставки в зависимости от рисковости денежного потока. Для проектов средней степени риска ставка дисконта равна средневзвешенной цене капитала (WACC) фирмы; – безрисковый эквивалент — ожидаемые денежные потоки каждого года корректируются таким образом, чтобы по возможности отразить риск проекта. Элементы чистого денежного потока несколько занижаются и чем более рисковый поток, тем ниже значения безрисковых эквивалентов. Метод безрискового эквивалента (Certainty Equivalent, СЕ) Метод безрискового эквивалента логически связан с теорией полезности. Безрисковый эквивалент — это денежная сумма, которая, если ее дисконтировать по безрисковой ставке, будет достаточной для того, чтобы инвестор отказался от участия в рисковом проекте. В обобщенном виде формулу безрискового эквивалента для дохода, который предполагается получить в t-м периоде, можно представить следующим образом: $CE_t=CF_t\cdot{\left(\frac{1+r_f}{1+r}\right)\!}^t$ (1.28) где $r_f$ — безрисковая ставка дисконтирования; $r$ — цена капитала. Например, ожидается, что инвестиционный проект либо принесет инвестору 2000 тыс. руб. через 5 лет, либо не принесет никакого дохода. Предположим, что безрисковая ставка дисконтирования равна 5 %, а обычно для оценки денежных потоков используется ставка, равная цене капитала для проектов с аналогичным уровнем риска 10 %. Безрисковый эквивалент $CE_t$ рассчитывается следующим образом: $\frac{2000}{(1+0,\!1)^5}=\frac{CE_t}{(1+0,\!05)^5}$ , отсюда $CE_t=2000\cdot\frac{1,\!05^5}{1,\!1^5}=1585$ тыс. руб. Это означает, что если инвестору безразлично, получить 1585 тыс. руб. сейчас или участвовать в рисковом проекте, который может принести ему 2000 тыс. руб. через пять лет, то 1585 тыс. руб. представляют для него безрисковый эквивалент. В соответствии с методом CE лицо, принимающее решение, должно сначала оценить риск денежного потока, а затем определить, какая гарантированная сумма денег потребовалась бы ему для того, чтобы индифферентно отнестись к выбору между этой безрисковой суммой и рисковой ожидаемой величиной денежного потока. Понятие безрискового эквивалента иллюстрирует рис. 1.10. Например, точка $A$ представляет капиталовложение с некоторой степенью риска $\beta_A$ и ожидаемым доходом в 4000 руб. Одинаково приемлем любой из следующих вариантов: 2000 руб., получаемые наверняка; 4000 руб., получаемые с риском $\beta_A$ ; 6000 руб., получаемые с риском $\beta_B$ . Последовательность расчета $NPV$ с применением безрискового эквивалента можно представить следующим образом. 1. По каждому году оценивается степень риска элемента денежного потока и его безрисковый эквивалент $CE_t$ . 2. Рассчитывается $NPV$ эквивалентного безрискового денежного потока по безрисковой ставке дисконта: $NPV=\sum\frac{CE_t}{(1+r)^t}-I,$ (1.29) Ожидаемый чистый денежный поток проекта $A$ приведен в табл. 1.8. Допустим, что по оценке аналитика, формирующего бюджет капиталовложений, все денежные поступления в годах с первого по четвертый имеют средний риск, безрисковая ставка равна 5 %, а соответствующий безрисковый эквивалент составляет 1400 руб. Величина инвестиций 4000 руб. зафиксирована контрактом. Коэффициент NPV проекта с применением безрискового эквивалента составляет: $NPV=-4000+1400\cdot(0,\!9524+0,\!907+0,\!8368+0,\!8227)=964,\!26$ тыс. руб. Поскольку значение $NPV$ с учетом риска положительно, проект следует принять. Метод безрискового эквивалента прост и легко согласуется с дифференциацией риска по годам, однако имеет следующие недостатки: – отсутствие практического способа расчета безрискового эквивалента рискового денежного потока; – безрисковые эквиваленты должны отражать рисковые предпочтения акционеров, а не руководства. Метод скорректированной на риск ставки дисконта (Risk-Adjusted Discount Rate, RADR) Метод скорректированной на риск ставки дисконта не предполагает корректировку денежного потока; поправке на риск подвергается ставка дисконта. Для проектов с более высоким уровнем риска компания использует более высокую ставку дисконтирования. В то же время ставка дисконтирования, применяемая для учета риска, зависит от типа проекта: – инвестиции, направленные на снижение затрат, оцениваются с применением наименьшей ставки дисконтирования; – проекты, направленные на увеличение объемов производства, относят к средней степени риска; денежные потоки таких проектов зависят от спроса на продукцию, соответственно для оценки таких проектов используется средняя цена капитала; – наиболее рискованными являются технологически новые производства, поэтому к таким проектам применяется более высокая ставка дисконтирования. Предположим, что фирма, оценивающая проект А (табл. 1.8), имеет средневзвешенную стоимость капитала (WACC) 15 %. Таким образом, все проекты средней степени риска, финансируемые при соблюдении целевой структуры капитала фирмы, оцениваются со ставкой дисконта 15 %. Теперь допустим, что по некоторым соображениям проект А отнесен к классу рисковых проектов, и потому для него установлена субъективная дисконтная ставка 20 %. $NPV_A=-4000+1400\cdot(0,\!8333+0,\!6944+0,\!5787+0,\!4823)=-375,\!82$ тыс. руб. Результаты анализа показывают, что проект следует отвергнуть, поскольку значение NPV с учетом риска отрицательно. Сравнение методов принятия инвестиционного решения в условиях риска Метод RADR чаще используется на практике, потому что рассчитать на основании текущих рыночных данных соответствующие ставки дисконта гораздо проще, чем установить безрисковые эквиваленты денежных потоков. Метод RADR объединяет показатель временной ценности денег в виде безрисковой ставки и премию за риск RP: $r=r_f+RP.$ (1.30) Напротив, метод безрискового эквивалента разделяет риск и временную ценность денег. Это разделение дает безрисковым эквивалентам теоретическое преимущество. Дисконтированная величина элемента денежного потока в году $t$ имеет следующий вид: по методу СЕ: $PV_t=CE_t:(1+t)^t;$ (1.31) по методу RADR: $PV_t=CF_t:(1+r_f)^t.$ (1.32) Для того чтобы оба метода привели к одному и тому же значению NPV и, следовательно, были эквивалентны, дисконтированные элементы потока должны быть равны: $CE_t:(1+r)^t=CF_t:(1+r_f)^t$ (1.33) Тогда отношение безрискового эквивалента к исходному элементу ожидаемого денежного потока $CE_t:CF_t(1+r_f)^t:(1+t)^t$ (1.34) Допустим, анализ риска инвестиционных проектов $A$ и $B$ дает возможность предположить, что для $A$ требуемая доходность равна 5 %, поскольку это безрисковый проект $(r_f=5\%)$ , а для $B$ — $10\%$ $(r=r_f+RP=5\%+5\%=10\%)$ . Поскольку безрисковая ставка равна 5 %, премия за риск для проекта $A$ равна нулю, а для проекта $B$ — 5 %. Однако если принять во внимание тот факт, что в обоих случаях $r=RADR=10\%$ , степень предполагаемого риска для элементов $CF_5$ и $CF_{10}$ неодинакова. Это обстоятельство вытекает из допущений, неразрывно связанных со ставкой дисконта, учитывающей риск. В условиях рассматриваемой задачи при $t=4$ имеем $\frac{CE_4}{CF_4}= \frac{(1+0,\!05)^4}{(1+1,\!1)^4}= \frac{1,\!2155}{1,\!4641}= 0,\!83.$ Таким образом, получено единственное значение отношения, согласующееся с заданными условиями: $r_f=5\%,$ $RP=5\%$ и $t=4$ . Следовательно, если ожидаемый денежный поток в четвертом году составит 1000 тыс. руб., его безрисковый эквивалент должен быть равным 0,83×1000 тыс. руб. = 830 тыс. руб. В противном случае эти два метода не дадут одинаковых $PV$ . При неизменных значениях $r_f,\,RP$ и $r$ риск с течением времени возрастает, что отражается в уменьшении безрискового эквивалента ожидаемого денежного потока, поскольку премия за риск, включенная в ставку дисконта, входит в формулу сложных процентов и, следовательно, воздействие заданной $RP$ с течением времени возрастает (рис. 1.11). Последовательность расчета безрискового эквивалента денежного потока величиной 1000 дол. в год представлена в табл. 1.9. Безрисковый эквивалент рассчитывается дисконтированием исходного потока с учетом безрисковой ставки 5 % и премии за риск 10 %. Ожидаемый денежный поток постоянен во времени, в то время как поток безрисковых эквивалентов убывает со временем. Это говорит о том, что риск потока возрастает с течением времени. В расчетах использована постоянная рисковая ставка 10 %. Таким образом, использование постоянной ставки RADR означает возрастание риска с течением времени. Взаимосвязь коэффициента $r$ и степени риска (рис. 1.12) предполагает ряд условий: – постоянное значение $r$ подразумевает возрастающий риск (рис. 1.12,а); – если степень риска для отдаленных во времени доходов не выше, чем для ближайших, тогда отдаленные доходы следует дисконтировать по более низкому $r$ , чем ближайшие (рис. 1.12,6). При использовании постоянной безрисковой ставки $r$ , исходят из того, что риск со временем увеличивается. Отсюда следует, что при существовании альтернативных путей выполнения определенной задачи предпочтение отдается вариантам с быстрой отдачей по сравнению с вариантами, отдача от которых наступает через более длительный период. Проекты со средней степенью риска дисконтируют по WACC фирмы, проекты с риском выше либо ниже среднего уровня дисконтируются по более высокой (низкой) ставке. Многие компании для определения учитывающих риск ставок дисконта пользуются при формировании бюджета трехэтапной процедурой: 1) каждому крупному самостоятельному хозяйственному подразделению устанавливается дивизиональная цена капитала (divisional costs of capital) на базе предварительной оценки риска и его заемного потенциала; 2) в каждом подразделении все проекты классифицируются по трем категориям — высокой, средней и низкой степени риска; 3) каждое подразделение использует свою базовую WACC в качестве ставки дисконта для проектов среднего риска, уменьшает WACC на 1 или 2 процентных пункта при оценке проектов с низким риском и повышает WACC на несколько процентных пунктов для проектов с высоким риском. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Оценка фактора риска инвестиционного проекта

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Оценка фактора риска инвестиционного проекта

Вероятность получения либо отрицательного, либо положительного результата при реализации инвестиционного проекта называется риском отдельного проекта. На уровень инвестиционного риска влияют неполнота или неточность исходных данных об условиях реализации инвестиционного проекта, возникновение в ходе осуществления инвестиционного проекта непредвиденных ситуаций, резкое изменение конъюнктуры рынка.

К группе инвестиционных рисков относятся следующие риски: процентный, капитальный, селективный, риск ликвидности, инфляционный, операционный.

Цель анализа риска — дать потенциальным инвесторам необходимые данные для принятия решения о целесообразности участия в проекте и предусмотреть меры по защите от возможных финансовых потерь.

Для учета инвестиционного риска существуют специальные методы, сущность которых заключается в том, что с ростом риска либо уменьшают денежный поток, либо увеличивают ставку дисконтирования.

Существуют различные методы оценки риска инвестиционного проекта:

– анализ чувствительности проекта — предполагает определение значений показателя доходности проекта при варьировании одной из критических переменных;

– оценка риска, основанная на распределении вероятностей и расчете стандартного отклонения текущей стоимости денежных потоков;

– методы имитационного моделирования — предполагают построение модели системы, в которой можно произвольно менять переменные для изучения реакции внешней среды на различные события;

– анализ "дерева решений" — целесообразно применять для оценки проектов, в течение реализации которых необходимо принимать последовательные решения о возможности дополнительных инвестиций, об отказе от проектов либо их расширении.

После того как риск и доходность уже определены, менеджеру необходимо принимать решение. Существуют следующие основные принципы принятия решений с учетом риска проектов:

– профессиональное суждение — специалист использует свое профессиональное суждение о принятии или отказе от проекта, формальные стандарты, которым должен соответствовать инвестиционный проект, отсутствуют;

– арбитражная оценка — исходит из предпосылки, что два проекта с идентичными потоками денежных средств и равным риском должны иметь одинаковую стоимость;

– корректировка ставки дисконтирования — предусматривает изменение этой ставки в зависимости от рисковости денежного потока. Для проектов средней степени риска ставка дисконта равна средневзвешенной цене капитала (WACC) фирмы;

– безрисковый эквивалент — ожидаемые денежные потоки каждого года корректируются таким образом, чтобы по возможности отразить риск проекта. Элементы чистого денежного потока несколько занижаются и чем более рисковый поток, тем ниже значения безрисковых эквивалентов.

Метод безрискового эквивалента (Certainty Equivalent, СЕ)

Метод безрискового эквивалента логически связан с теорией полезности. Безрисковый эквивалент — это денежная сумма, которая, если ее дисконтировать по безрисковой ставке, будет достаточной для того, чтобы инвестор отказался от участия в рисковом проекте.

В обобщенном виде формулу безрискового эквивалента для дохода, который предполагается получить в t-м периоде, можно представить следующим образом:

$CE_t=CF_t\cdot{\left(\frac{1+r_f}{1+r}\right)\!}^t$

(1.28)

где $r_f$ — безрисковая ставка дисконтирования; $r$ — цена капитала.

Например, ожидается, что инвестиционный проект либо принесет инвестору 2000 тыс. руб. через 5 лет, либо не принесет никакого дохода. Предположим, что безрисковая ставка дисконтирования равна 5 %, а обычно для оценки денежных потоков используется ставка, равная цене капитала для проектов с аналогичным уровнем риска 10 %.

Безрисковый эквивалент $CE_t$ рассчитывается следующим образом:

$\frac{2000}{(1+0,\!1)^5}=\frac{CE_t}{(1+0,\!05)^5}$ , отсюда $CE_t=2000\cdot\frac{1,\!05^5}{1,\!1^5}=1585$ тыс. руб.

Это означает, что если инвестору безразлично, получить 1585 тыс. руб. сейчас или участвовать в рисковом проекте, который может принести ему 2000 тыс. руб. через пять лет, то 1585 тыс. руб. представляют для него безрисковый эквивалент.

В соответствии с методом CE лицо, принимающее решение, должно сначала оценить риск денежного потока, а затем определить, какая гарантированная сумма денег потребовалась бы ему для того, чтобы индифферентно отнестись к выбору между этой безрисковой суммой и рисковой ожидаемой величиной денежного потока. Понятие безрискового эквивалента иллюстрирует рис. 1.10. Например, точка $A$ представляет капиталовложение с некоторой степенью риска $\beta_A$ и ожидаемым доходом в 4000 руб. Одинаково приемлем любой из следующих вариантов: 2000 руб., получаемые наверняка; 4000 руб., получаемые с риском $\beta_A$ ; 6000 руб., получаемые с риском $\beta_B$ .

Последовательность расчета $NPV$ с применением безрискового эквивалента можно представить следующим образом.

1. По каждому году оценивается степень риска элемента денежного потока и его безрисковый эквивалент $CE_t$ .

2. Рассчитывается $NPV$ эквивалентного безрискового денежного потока по безрисковой ставке дисконта:

$NPV=\sum\frac{CE_t}{(1+r)^t}-I,$

(1.29)

Ожидаемый чистый денежный поток проекта $A$ приведен в табл. 1.8. Допустим, что по оценке аналитика, формирующего бюджет капиталовложений, все денежные поступления в годах с первого по четвертый имеют средний риск, безрисковая ставка равна 5 %, а соответствующий безрисковый эквивалент составляет 1400 руб. Величина инвестиций 4000 руб. зафиксирована контрактом.

Анализ безрискового эквивалента проекта А

Коэффициент NPV проекта с применением безрискового эквивалента составляет:

$NPV=-4000+1400\cdot(0,\!9524+0,\!907+0,\!8368+0,\!8227)=964,\!26$ тыс. руб.

Поскольку значение $NPV$ с учетом риска положительно, проект следует принять.

Метод безрискового эквивалента прост и легко согласуется с дифференциацией риска по годам, однако имеет следующие недостатки:

– отсутствие практического способа расчета безрискового эквивалента рискового денежного потока;

– безрисковые эквиваленты должны отражать рисковые предпочтения акционеров, а не руководства.

Метод скорректированной на риск ставки дисконта (Risk-Adjusted Discount Rate, RADR)

Метод скорректированной на риск ставки дисконта не предполагает корректировку денежного потока; поправке на риск подвергается ставка дисконта. Для проектов с более высоким уровнем риска компания использует более высокую ставку дисконтирования. В то же время ставка дисконтирования, применяемая для учета риска, зависит от типа проекта:

– инвестиции, направленные на снижение затрат, оцениваются с применением наименьшей ставки дисконтирования;

– проекты, направленные на увеличение объемов производства, относят к средней степени риска; денежные потоки таких проектов зависят от спроса на продукцию, соответственно для оценки таких проектов используется средняя цена капитала;

– наиболее рискованными являются технологически новые производства, поэтому к таким проектам применяется более высокая ставка дисконтирования.

Предположим, что фирма, оценивающая проект А (табл. 1.8), имеет средневзвешенную стоимость капитала (WACC) 15 %. Таким образом, все проекты средней степени риска, финансируемые при соблюдении целевой структуры капитала фирмы, оцениваются со ставкой дисконта 15 %. Теперь допустим, что по некоторым соображениям проект А отнесен к классу рисковых проектов, и потому для него установлена субъективная дисконтная ставка 20 %.

$NPV_A=-4000+1400\cdot(0,\!8333+0,\!6944+0,\!5787+0,\!4823)=-375,\!82$ тыс. руб.

Результаты анализа показывают, что проект следует отвергнуть, поскольку значение NPV с учетом риска отрицательно.

Сравнение методов принятия инвестиционного решения в условиях риска

Метод RADR чаще используется на практике, потому что рассчитать на основании текущих рыночных данных соответствующие ставки дисконта гораздо проще, чем установить безрисковые эквиваленты денежных потоков.

Метод RADR объединяет показатель временной ценности денег в виде безрисковой ставки и премию за риск RP:

$r=r_f+RP.$

(1.30)

Напротив, метод безрискового эквивалента разделяет риск и временную ценность денег. Это разделение дает безрисковым эквивалентам теоретическое преимущество.

Дисконтированная величина элемента денежного потока в году $t$ имеет следующий вид:

по методу СЕ:

$PV_t=CE_t:(1+t)^t;$

(1.31)

по методу RADR:

$PV_t=CF_t:(1+r_f)^t.$

(1.32)

Для того чтобы оба метода привели к одному и тому же значению NPV и, следовательно, были эквивалентны, дисконтированные элементы потока должны быть равны:

$CE_t:(1+r)^t=CF_t:(1+r_f)^t$

(1.33)

Тогда отношение безрискового эквивалента к исходному элементу ожидаемого денежного потока

$CE_t:CF_t(1+r_f)^t:(1+t)^t$

(1.34)

Допустим, анализ риска инвестиционных проектов $A$ и $B$ дает возможность предположить, что для $A$ требуемая доходность равна 5 %, поскольку это безрисковый проект $(r_f=5\%)$ , а для $B$ — $10\%$ $(r=r_f+RP=5\%+5\%=10\%)$ . Поскольку безрисковая ставка равна 5 %, премия за риск для проекта $A$ равна нулю, а для проекта $B$ — 5 %. Однако если принять во внимание тот факт, что в обоих случаях $r=RADR=10\%$ , степень предполагаемого риска для элементов $CF_5$ и $CF_{10}$ неодинакова. Это обстоятельство вытекает из допущений, неразрывно связанных со ставкой дисконта, учитывающей риск.

В условиях рассматриваемой задачи при $t=4$ имеем

$\frac{CE_4}{CF_4}= \frac{(1+0,\!05)^4}{(1+1,\!1)^4}= \frac{1,\!2155}{1,\!4641}= 0,\!83.$

Изменение предполагаемого риска с течением времени

Таким образом, получено единственное значение отношения, согласующееся с заданными условиями: $r_f=5\%,$ $RP=5\%$ и $t=4$ . Следовательно, если ожидаемый денежный поток в четвертом году составит 1000 тыс. руб., его безрисковый эквивалент должен быть равным 0,83×1000 тыс. руб. = 830 тыс. руб. В противном случае эти два метода не дадут одинаковых $PV$ .

При неизменных значениях $r_f,\,RP$ и $r$ риск с течением времени возрастает, что отражается в уменьшении безрискового эквивалента ожидаемого денежного потока, поскольку премия за риск, включенная в ставку дисконта, входит в формулу сложных процентов и, следовательно, воздействие заданной $RP$ с течением времени возрастает (рис. 1.11).

Последовательность расчета безрискового эквивалента денежного потока величиной 1000 дол. в год представлена в табл. 1.9. Безрисковый эквивалент рассчитывается дисконтированием исходного потока с учетом безрисковой ставки 5 % и премии за риск 10 %.

Ожидаемый денежный поток постоянен во времени, в то время как поток безрисковых эквивалентов убывает со временем. Это говорит о том, что риск потока возрастает с течением времени.

В расчетах использована постоянная рисковая ставка 10 %. Таким образом, использование постоянной ставки RADR означает возрастание риска с течением времени.

Взаимосвязь коэффициента $r$ и степени риска (рис. 1.12) предполагает ряд условий:

Изменение риска во времени: а — возрастающий риск; б — постоянный риск

– постоянное значение $r$ подразумевает возрастающий риск (рис. 1.12,а);

– если степень риска для отдаленных во времени доходов не выше, чем для ближайших, тогда отдаленные доходы следует дисконтировать по более низкому $r$ , чем ближайшие (рис. 1.12,6).

При использовании постоянной безрисковой ставки $r$ , исходят из того, что риск со временем увеличивается. Отсюда следует, что при существовании альтернативных путей выполнения определенной задачи предпочтение отдается вариантам с быстрой отдачей по сравнению с вариантами, отдача от которых наступает через более длительный период.

Проекты со средней степенью риска дисконтируют по WACC фирмы, проекты с риском выше либо ниже среднего уровня дисконтируются по более высокой (низкой) ставке.

Многие компании для определения учитывающих риск ставок дисконта пользуются при формировании бюджета трехэтапной процедурой:

1) каждому крупному самостоятельному хозяйственному подразделению устанавливается дивизиональная цена капитала (divisional costs of capital) на базе предварительной оценки риска и его заемного потенциала;

2) в каждом подразделении все проекты классифицируются по трем категориям — высокой, средней и низкой степени риска;

3) каждое подразделение использует свою базовую WACC в качестве ставки дисконта для проектов среднего риска, уменьшает WACC на 1 или 2 процентных пункта при оценке проектов с низким риском и повышает WACC на несколько процентных пунктов для проектов с высоким риском.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]