Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Отношение коллинеарных векторов

Отношение коллинеарных векторов


В данном разделе рассматриваются векторы, коллинеарные заданной прямой, т.е. принадлежащие или параллельные ей.


Согласно определению (см. разд. 1.1.2), при умножении данного вектора на число получаем вектор, коллинеарныи данному. Можно определить и "обратную" операцию — "деление коллинеарных векторов".


Отношением коллинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math] называется действительное число, равное по модулю отношению длин этих векторов, положительное, если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] одинаково направленные, и отрицательное, если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] противоположно направленные:


[math]\vec{a}:\vec{b}=\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\begin{cases}\phantom{-}|\vec{a}|:|\vec{b}|,&\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b},\\-|\vec{a}|:|\vec{b}|,&\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}.\end{cases}[/math]

По определению равенство [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda[/math] эквивалентно равенству [math]\vec{a}=\lambda\vec{b}[/math] для любых коллинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math].


Например, найдем отношения коллинеарных векторов, изображенных на рис. 1.6:


[math]\overrightarrow{AN}:\overrightarrow{ML}=1;\quad \overrightarrow{AN}:\overrightarrow{BN}=-1;\quad \frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AC}}= \frac{\overrightarrow{NL}}{\overrightarrow{AC}}= \frac{1}{2};\quad \overrightarrow{CL}:\overrightarrow{BL}=-1.[/math]



Свойства отношений коллинеарных векторов


Для любых коллинеарных векторов справедливы следующие свойства:


1. Отношение [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}[/math] любых коллинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math] определено однозначно.


2. Арифметические действия с отношениями коллинеарных векторов аналогичны действиям с числовыми дробями, а именно для любых коллинеарных векторов справедливы равенства


[math]\begin{array}{*{20}{l}}1)~\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{\vec{c}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}+\dfrac{\vec{b}}{\vec{c}}~(\vec{c}\ne\vec{o});&\quad2)~\dfrac{\lambda\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda\cdot\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o});\\\\3)~~\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}\cdot\dfrac{\vec{c}}{\vec{b}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o},\vec{c}\ne\vec{o});&\quad4)~\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}:\dfrac{\vec{b}}{\vec{c}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o},\vec{c}\ne\vec{o}).\end{array}[/math]



Докажем первое свойство. Предположим противное. Пусть [math]\vec{a}:\vec{b}=\lambda[/math] и [math]\vec{a}:\vec{b}=\mu[/math], причем [math]\lambda\ne\mu[/math]. Тогда [math]\vec{a}=\lambda\vec{b}[/math] и [math]\vec{a}=\mu\vec{b}[/math], т.е. [math]\lambda\vec{b}=\mu\vec{b}[/math], и следовательно, [math](\lambda-\mu)\vec{b}=\vec{o}[/math]. Разделив обе части равенства на число [math]\lambda-\mu\ne0[/math], получим [math]\vec{b}=\vec{o}[/math], что противоречит условию [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math].


Докажем, например, последнее равенство (свойство 2,г). Пусть [math]\frac{\vec{a}}{\vec{c}}=\lambda[/math] и [math]\frac{\vec{b}}{\vec{c}}=\mu[/math], тогда [math]\vec{a}=\lambda\vec{c}[/math] и [math]\vec{b}=\lambda\vec{c}[/math]. Надо доказать, что [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}[/math]. Найдем отношение длин векторов [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{|\lambda|\cdot|\vec{c}|}{|\mu|\cdot|\vec{c}|}=\left|\frac{\lambda}{\mu}\right|[/math]. По определению получаем [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\pm\frac{\lambda}{\mu}[/math], где знак плюс берется, если [math]\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}[/math], а минус — при [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}[/math].


Если все векторы одинаково направлены, то [math]\lambda>0,~\mu>0[/math], поэтому [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}[/math].


Если [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{c}[/math] и [math]\vec{b}\uparrow\downarrow\vec{c}[/math], то [math]\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}[/math] и [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=+\frac{(-\lambda)}{(-\mu)}=\frac{\lambda}{\mu}[/math], так как [math]\lambda<0,~\mu<0[/math].


Если [math]\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{c}[/math] и [math]\vec{b}\uparrow\downarrow\vec{c}[/math], то [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}[/math] и [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=-\frac{\lambda}{(-\mu)}=\frac{\lambda}{\mu}[/math].


Если [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{c}[/math] и [math]\vec{b}\uparrow\uparrow\vec{c}[/math], то [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}[/math] и [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=-\frac{(-\lambda)}{\mu}=\frac{\lambda}{\mu}[/math].


Таким образом, во всех случаях получаем [math]\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}[/math], что и требовалось доказать.




Трапеция, построенная на векторах

Пример 1.4. Диагонали трапеции [math]ABCD[/math] высекают на её средней линии [math]MN[/math] отрезок [math]KL[/math] (рис. 1.12). Найти отношения векторов


[math]\overrightarrow{KL}:\overrightarrow{AB};~~ \overrightarrow{KL}: \overrightarrow{CD};~~ \overrightarrow{MN}: \overrightarrow{KL}[/math], если [math]\overrightarrow{CD}: \overrightarrow{AB}= \lambda\,.[/math]

Решение. По свойствам средних линий треугольника и трапеции находим отношения коллинеарных векторов:


[math]\overrightarrow{KN}:\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}[/math] (так как [math]\overrightarrow{KN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AB}[/math]);


[math]\overrightarrow{LN}:\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}[/math] (так как [math]\overrightarrow{LN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD}[/math]);


[math]\overrightarrow{MK}:\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}[/math] (так как [math]\overrightarrow{MK}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD}[/math]).


Отсюда следуют соотношения


[math]\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN}=-\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB};\qquad \overrightarrow{KL}= \overrightarrow{KN}- \overrightarrow{LN}= \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}+ \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{CD}[/math]

Теперь, используя свойства отношений коллинеарных векторов, получаем


[math]\begin{gathered}\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{AB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}+\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}\right)=\dfrac{1+\lambda}{2};\\[3pt]\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{AB}}:\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{1+\lambda}{2}\cdot\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1+\lambda}{2\lambda};\\[3pt]\dfrac{\overrightarrow{MN}}{\overrightarrow{KL}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}-\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}}{\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}+\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}}=\dfrac{1+\lambda}{1-\lambda}.\end{gathered}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved