Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Отношение коллинеарных векторов

Отношение коллинеарных векторов


В данном разделе рассматриваются векторы, коллинеарные заданной прямой, т.е. принадлежащие или параллельные ей.


Согласно определению (см. разд. 1.1.2), при умножении данного вектора на число получаем вектор, коллинеарныи данному. Можно определить и "обратную" операцию — "деление коллинеарных векторов".


Треугольник, построенный на векторах

Отношением коллинеарных векторов \vec{a} и \vec{b}\ne\vec{o} называется действительное число, равное по модулю отношению длин этих векторов, положительное, если векторы \vec{a} и \vec{b} одинаково направленные, и отрицательное, если векторы \vec{a} и \vec{b} противоположно направленные:


\vec{a}:\vec{b}=\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\begin{cases}\phantom{-}|\vec{a}|:|\vec{b}|,&\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b},\\-|\vec{a}|:|\vec{b}|,&\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}.\end{cases}

По определению равенство \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda эквивалентно равенству \vec{a}=\lambda\vec{b} для любых коллинеарных векторов \vec{a} и \vec{b}\ne\vec{o}.


Например, найдем отношения коллинеарных векторов, изображенных на рис. 1.6:


\overrightarrow{AN}:\overrightarrow{ML}=1;\quad \overrightarrow{AN}:\overrightarrow{BN}=-1;\quad \frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AC}}= \frac{\overrightarrow{NL}}{\overrightarrow{AC}}= \frac{1}{2};\quad \overrightarrow{CL}:\overrightarrow{BL}=-1.



Свойства отношений коллинеарных векторов


Для любых коллинеарных векторов справедливы следующие свойства:


1. Отношение \frac{\vec{a}}{\vec{b}} любых коллинеарных векторов \vec{a} и \vec{b}\ne\vec{o} определено однозначно.


2. Арифметические действия с отношениями коллинеарных векторов аналогичны действиям с числовыми дробями, а именно для любых коллинеарных векторов справедливы равенства


\begin{array}{*{20}{l}}1)~\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{\vec{c}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}+\dfrac{\vec{b}}{\vec{c}}~(\vec{c}\ne\vec{o});&\quad2)~\dfrac{\lambda\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda\cdot\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o});\\\\3)~~\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}\cdot\dfrac{\vec{c}}{\vec{b}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o},\vec{c}\ne\vec{o});&\quad4)~\dfrac{\vec{a}}{\vec{c}}:\dfrac{\vec{b}}{\vec{c}}=\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}~(\vec{b}\ne\vec{o},\vec{c}\ne\vec{o}).\end{array}



Докажем первое свойство. Предположим противное. Пусть \vec{a}:\vec{b}=\lambda и \vec{a}:\vec{b}=\mu, причем \lambda\ne\mu. Тогда \vec{a}=\lambda\vec{b} и \vec{a}=\mu\vec{b}, т.е. \lambda\vec{b}=\mu\vec{b}, и следовательно, (\lambda-\mu)\vec{b}=\vec{o}. Разделив обе части равенства на число \lambda-\mu\ne0, получим \vec{b}=\vec{o}, что противоречит условию \vec{b}\ne\vec{o}.


Докажем, например, последнее равенство (свойство 2,г). Пусть \frac{\vec{a}}{\vec{c}}=\lambda и \frac{\vec{b}}{\vec{c}}=\mu, тогда \vec{a}=\lambda\vec{c} и \vec{b}=\lambda\vec{c}. Надо доказать, что \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}. Найдем отношение длин векторов \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{|\lambda|\cdot|\vec{c}|}{|\mu|\cdot|\vec{c}|}=\left|\frac{\lambda}{\mu}\right|. По определению получаем \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\pm\frac{\lambda}{\mu}, где знак плюс берется, если \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}, а минус — при \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}.


Если все векторы одинаково направлены, то \lambda>0,~\mu>0, поэтому \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}.


Если \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{c} и \vec{b}\uparrow\downarrow\vec{c}, то \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b} и \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=+\frac{(-\lambda)}{(-\mu)}=\frac{\lambda}{\mu}, так как \lambda<0,~\mu<0.


Если \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{c} и \vec{b}\uparrow\downarrow\vec{c}, то \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b} и \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=-\frac{\lambda}{(-\mu)}=\frac{\lambda}{\mu}.


Если \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{c} и \vec{b}\uparrow\uparrow\vec{c}, то \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b} и \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=-\frac{(-\lambda)}{\mu}=\frac{\lambda}{\mu}.


Таким образом, во всех случаях получаем \frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\frac{\lambda}{\mu}, что и требовалось доказать.




Трапеция, построенная на векторах

Пример 1.4. Диагонали трапеции ABCD высекают на её средней линии MN отрезок KL (рис. 1.12). Найти отношения векторов


\overrightarrow{KL}:\overrightarrow{AB};~~ \overrightarrow{KL}: \overrightarrow{CD};~~ \overrightarrow{MN}: \overrightarrow{KL}, если \overrightarrow{CD}: \overrightarrow{AB}= \lambda\,.

Решение. По свойствам средних линий треугольника и трапеции находим отношения коллинеарных векторов:


\overrightarrow{KN}:\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} (так как \overrightarrow{KN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AB});


\overrightarrow{LN}:\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2} (так как \overrightarrow{LN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD});


\overrightarrow{MK}:\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2} (так как \overrightarrow{MK}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD}).


Отсюда следуют соотношения


\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN}=-\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB};\qquad \overrightarrow{KL}= \overrightarrow{KN}- \overrightarrow{LN}= \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}+ \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{CD}

Теперь, используя свойства отношений коллинеарных векторов, получаем


\begin{gathered}\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{AB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}+\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}\right)=\dfrac{1+\lambda}{2};\\[3pt]\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{AB}}:\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{1+\lambda}{2}\cdot\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1+\lambda}{2\lambda};\\[3pt]\dfrac{\overrightarrow{MN}}{\overrightarrow{KL}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}-\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}}{\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}+\dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{AB}}}=\dfrac{1+\lambda}{1-\lambda}.\end{gathered}
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved