Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Изолированные особые точки функций и полюсы
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Изолированные особые точки функций и полюсы Содержание 1. Классификация особых точек 2. Типы особых точек функции 3. Теоремы Сохоцкого и Пикара 4. Ряд Лорана в окрестности особой точки 5. Правила определения порядка полюса 6. Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке 7. Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций Классификация особых точек Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена. Исследование функции в особой точке $z_0$ определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ . Очевидно, имеют место три возможности: а) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует; б) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ существует и равен конечному числу; в) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ равен бесконечности. Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная $z$ стремится к $z_0~(z\to z_0)$ по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$ . Будем рассматривать $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ , где $z_0$ — особая точка. Пример 4.1. Исследовать существование $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z},~ \lim\limits_{z\to0} \exp \frac{1}{z^2}$ в случаях a) $z=x\in\mathbb{R}$ ; б) $z\in\mathbb{C}$ . Решение a) В действительной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$ не существует, так как не равны односторонние пределы $\lim\limits_{x\to0+0}\exp \frac{1}{x}=\infty,~ \lim\limits_{x\to0-0}\exp \frac{1}{x}=0$ , но существует предел второй функции: $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ . б) В комплексной области, очевидно, $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$ не существует, так как он не существует в частном случае $z=x$ . Но для второй функции полученного выше результата $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям. Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. $z=iy,~ y\to0\colon$ $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{(iy)^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{-1}{y^2}=0.$ Сравнивая этот результат с полученным выше $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ , заключаем, что в комплексной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}$ не существует. Аналогично можно показать, что не существует $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}$ , хотя $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}=\infty$ для случаев $z=x$ и $z=iy$ (по действительной и мнимой осям). Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд. Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках. Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции. В частности, конечная особая точка $z_0\in\mathbb{C}$ является изолированной особой точкой функции $f(z)$ , если существует число $r>0$ , такое, что в круге $\|z-z_0\|<r$ эта точка- единственная особая точка $f(z)$ , а в проколотой окрестности, т.е. в $0<\|z-z_0\|<r$ функция $f(z)$ аналитическая. Бесконечно удаленная особая точка $z_0=\infty$ является изолированной особой точкой функции $f(z)$ , если существует число $R>0$ , такое, что в области $\|z\|>R$ эта точка — единственная особая точка $f(z)$ , а в кольце $R<\|z\|<\infty$ функция $f(z)$ — аналитическая. Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций. Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки $z=0$ функций: а) $\frac{\sin z}{z}$ ; б) $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$ ; в) $\exp \frac{1}{z}$ . Решение Так как особая точка $z=0$ — конечная особая точка, то в разложениях в ряд Лорана этих функций главную часть ряда образует совокупность членов с отрицательными степенями, а правильную — с неотрицательными. Пределы для первых двух функций рассмотрены в примере 3.36, а для третьей — в примере 4.1. а) Особенностью ряда для функции $\frac{\sin z}{z}$ является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки $z=0$ — особой точки этой функции; особенностью поведения функции в этой точке — существование конечного предела $\lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z}=1$ . б) Для функции $\frac{\sin z}{z^2}$ в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, $\lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z^2}=\infty$ . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$ по степеням $z$ содержит конечное число слагаемых: $\frac{\sin z}{z^n}= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{3!\cdot z^{n-3}}+\ldots+ \frac{(-1)^{n+1}z^{n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$ и функция может быть записана в виде $\frac{\sin z}{z^n}= \frac{1-z^2 \varphi(z)}{z^{n-1}}$ , а поэтому $\lim\limits_{z\to0}\frac{\sin z}{z^n}=\infty,~n>1$ . в) Разложение функции $\exp \frac{1}{z^2}$ , как и $\exp \frac{1}{z}$ , в окрестности точки $z=0$ содержит бесконечное множество членов в главной части. Пределы этих функций в точке $z=0$ не существуют (пример 4.1). Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке $z_0$ соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку $z=\infty$ , например, для функций $\exp \frac{1}{z},~ z^2+\frac{1}{z}$ и $e^z$ . Типы особых точек функции В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход. Изолированная особая точка $z_0\in \overline{C}$ функции $f(z)$ называется: – устранимой особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ существует и конечен (4.1); – полюсом, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ (4.2); – существенно особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует (4.3). Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки $z_0$ положить $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ , то $f(z)$ будет аналитической в $O_{\delta}(z_0)$ и точку $z_0$ можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке $z_0$ устранена особенность. Пример 4.3. Определить тип особой точки $z=0$ для функций $\frac{\sin z}{z};~~\frac{\sin z}{z^n},~n>1;~~\exp \frac{1}{z},~~ \exp \frac{1}{z^2}$ . Решение На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что $z=0$ является устранимой особой точкой функции $\frac{\sin z}{z}$ ; полюсом для $\frac{\sin z}{z^n}$ при любом $n>1$ ; существенно особой точкой для функций $\exp \frac{1}{z}$ и $\exp \frac{1}{z^2}$ . Пример 4.4. Определить тип особой точки $z=\infty$ для функций $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$ и $f_2(z)=e^z$ . Решение Рассмотрим $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ . Для удобства введем обозначение $\frac{1}{z}=\xi$ . Для функции $f_1(z)$ получим $\lim\limits_{z\to\infty}f_1(z)= \lim\limits_{\xi\to0} \frac{\sin\xi}{\xi^n}=\infty~(n>1)$ (см. пример 4.2), поэтому $z=\infty$ является полюсом функции $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$ . Для функции $f_2(z)=e^z$ точка $z=\infty$ является существенно особой, так как $\lim\limits_{z\to\infty}e^z= \lim\limits_{\xi\to0}\exp \frac{1}{\xi}$ не существует (см. пример 4.1). Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=\frac{\sin z}{z^4+1}$ б) $f_2(z)= \frac{\sin z}{\sin z^{-1}}$ и определить их тип. Решение Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя. а) Так как числитель и знаменатель функции $f_1(z)$ — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения $z^4+1=0$ . Это четыре точки $z_k=\exp \frac{(\pi+2k\pi)i}{4},~k=0,1,2,3$ , или в алгебраической форме: $z_{1,2}= \frac{\pm1+i}{\sqrt{2}},~ z_{3,4}= \frac{\pm1-i}{\sqrt{2}}$ . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса $R=1$ с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= \overline{z}_1$ . Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_1(z)=\infty$ для любой точки $z_k,~k=1,2,3,4$ . б) Особыми точками функции $f_2(z)$ являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $\frac{1}{z_k}=k\pi$ или $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ , а также $z=0$ — особая точка знаменателя. Точки $z_k$ являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_2(z)=\infty$ . Точка $z=0$ — неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности $\|z\|<r$ ( $r$ — любое число, $r>0$ ), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ . Точку $z=0$ в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=\frac{1}{k\pi}$ , так как $\lim\limits_{k\to\infty}z_k=0$ . Теоремы Сохоцкого и Пикара Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы. Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если $r_0$ — существенно особая точка функции $f(z)$ , то для любого $A\in \overline{\mathbb{C}}$ существует последовательность $\{z_n\}$ , сходящаяся к точке $z_0$ , такая, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=A$ . Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция $f(z)$ принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного. Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара: a) $f_1(z)=\exp \frac{1}{z},~ f_2(z)= \exp \frac{1}{z^2},~ z_0=0$ ; б) $f_3(z)=e^z,~ z_0=\infty$ . Решение В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки $z_0=0$ и $z_0=\infty$ являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций. а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем $A=0$ и $A=\infty$ . Используя результат примера 4.1, имеем $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=0$ , если $z=x<0$ , и $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=\infty$ , если $z=x>0$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$ для последовательности $z_n=x_n$ , такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и $x_n<0$ , и $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$ для последовательности $z_n=x_n$ , такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и $x_n>0$ . Аналогично исследуем функцию $f_2(z)$ . Для числа $A=0$ выбираем $z_n=iy_n$ , где $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0$ и тогда $\lim\limits_{n\to\infty}f_2(z_n)=0$ , а для $A=\infty$ выбираем $z_n= x_n$ , где $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и тогда $\lim\limits_{n\to\infty} f_2(z_n)=\infty$ . Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $\exp \frac{1}{z}=A,~ \exp \frac{1}{z^2}=A$ , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого $A\in \mathbb{C},~ A\ne0$ . Например, для функции $f_1(z)= \exp\frac{1}{z}$ имеем $\exp\frac{1}{z}=A$ . Отсюда получаем $\frac{1}{z}= \operatorname{Ln}A,\quad \frac{1}{z}= \ln\|A\|+i(\arg A+2k\pi),\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ или $z_k=\frac{1}{\ln\|A\|+i(\arg A+2k\pi)}$ . В частности, функция $\exp \frac{1}{z}$ в любой окрестности точки $z_0=0$ принимает значение $A=1$ бесконечное множество раз: в точках $z_k=\frac{-i}{2k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ (рис. 4.1). б) Точка $z=\infty$ является существенно особой точкой функции $e^z$ (пример 4.4). Обозначив $z=\frac{1}{\xi}$ , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $\exp\frac{1}{\xi}$ и точки $\xi=0$ . Ряд Лорана в окрестности особой точки В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений. Утверждение 4.1 1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если $z_0$ — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции $f(z)$ имеет вид $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<\|z-z_0\|<r$ (4.4) для $z_0$ — конечной точки $z_0\in\mathbb{C}$ , и (для $z_0=\infty$ ) $f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<\|z\|<\infty.$ (4.5) 2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции $f(z)$ в случае $z_0$ полюса имеет вид $f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty} c_k(z-z_0)^k,\quad 0<\|z-z_0\|<r,$ (4.6) если $z_0\in\mathbb{C}$ , и (если $z_0=\infty$ ) $f(z)=\sum_{k=-\infty}^{n}c_kz^k,\quad R<\|z\|<\infty,$ (4.7) 3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции $f(z)$ в случае $z_0$ — существенно особой точки имеет вид $f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<\|z-z_0\|<r,$ (4.8) если $z_0\in\mathbb{C}$ , и (если $z_0=\infty$ ) $f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n,\quad R<\|z\|<\infty.$ (4.9) Замечания 4.2 1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса. Так, точка $z_0\in\mathbb{C}$ является полюсом порядка $n$ $(\Pi(n))$ функции $f(z)$ , если в разложении (4.6) $c_{-n}\ne0,~ c_k=0$ при $k<-n$ . Точка $z_0=\infty$ является полюсом порядка $n$ $(\Pi(n))$ функции $f(z)$ , если в разложении (4.7) $c_n\ne0,~ c_k=0$ при $k>n$ . 2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом: а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$ в виде $\sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$ , или $\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$ , или, подробнее: $\frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ \ldots+ \frac{c_{-1}}{z-z_0},\quad c_{-n}\ne0\,;$ (4.10) б) в случае $z_0=\infty$ в виде $\sum_{k=1}^{n}c_nz^k$ , или $\sum_{k=-n}^{-1} \frac{c_{-k}}{z^k}$ (см. (4.7)), или, подробнее: $c_n\cdot z^n+ c_{n-1}\cdot z^{n-1}+\ldots+c_1\cdot z,\quad c_n\ne0.$ (4.11) 3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так: а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$ в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ , или $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ (см.(4.8)), или, подробнее: $\frac{c_{-1}}{z-z_0}+ \frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ \ldots+ \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\ldots;$ (4.12) б) в случае $z_0=\infty$ в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{c_{-n}}{z^n}$ или $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$ (см.(4.9)), или, подробнее: $c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots+c_n\cdot z^n+\ldots$ (4.13) Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f_2(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ . Решение Особыми точками функций являются $z_1=-1,~z_2=3,~z_3=\infty$ . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34. a) $f_1(z)= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<\|z+1\|<4$ . В главной части разложения — один член ряда: $\frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}$ , здесь $c_{-1}=\frac{-1}{4}\ne0$ , все $c_n=0$ для $n<-1$ . Следовательно, в точке $z=-1$ — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции $f_1(z)$ . Аналогично из разложения $f_1(z)= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<\|z-3\|<4$ получим такой же результат: точка $z=3$ — простой полюс функции $f_1(z)$ . Разложение $f_1(z)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},~ \|z\|>3$ . Функции в окрестности $z=\infty$ не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка $z=\infty$ — устранимая особая точка функции $f_1(z)$ . б) Из разложения $f_2(z)= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<\|z-3\|<4$ следует, что $z=3$ — простой полюс функции $f_2(z)$ . Из разложения $f_2(z)= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{(z+1)^2}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<\|z+1\|<4$ , где $c_{-2}=\frac{-1}{4}\ne0$ и все $c_n=0$ для $n<-2$ , получаем, что $z=-1$ — полюс второго порядка функции $f_2(z)$ . Разложение $f_2(z)$ в окрестности $z=\infty$ и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому $z=\infty$ — устранимая особая точка функции $f_2(z)$ . Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций: а) $\exp \frac{1}{z-a},~ \sin \frac{1}{z-a},~ \cos \frac{1}{z-a}$ ; б) $\frac{\sin z}{z^n},~ \frac{1-\cos z}{z^3}$ . Решение а) Используем разложения функций по степеням $(z-a)\colon$ $\begin{gathered}\exp \frac{1}{z-a}= 1+\frac{1}{z-a}+ \frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots;\qquad \sin\frac{1}{z-a}= \frac{1}{z-a}- \frac{1}{3!(z-a)^3}+\ldots;\\ \cos\frac{1}{z-a}= 1-\frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots \end{gathered}$ Убеждаемся, что для всех указанных функций точка $z=a$ является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1). б) Запишем разложения функций по степеням $z\colon$ $\begin{aligned}\frac{\sin z}{z^n}&= \frac{1}{z^n}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{z^{n-3}\cdot3!}+\ldots;\\ \frac{1-\cos z}{z^3}&= \frac{1}{z^3}\! \left(1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\ldots\right)\right)= \frac{1}{2!z}-\frac{z}{4!}+\ldots \end{aligned}$ Для первой функции при $n=1$ в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка $z=0$ для $\frac{\sin z}{z}$ является устранимой особой точкой. При $n>1$ главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка $z=0$ для $\frac{\sin z}{z^n}$ является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при $n>1$ в разложении старшая отрицательная степень равна $(n-1)$ , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что $z=0$ для $\frac{\sin z}{z^n}$ при $n>1$ является полюсом порядка $(n-1)$ . Рассуждая аналогично, получаем, что $z=0$ является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$ . Сравнивая разложения функций по степеням $z$ в окрестности $z_0=0$ (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при $z_0=0$ ) и $z=\infty$ (формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение. Утверждение 4.2 1. Чтобы $z=\infty$ была устранимой особой точкой функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была устранимой (или не особой) для $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ . 2. Чтобы $z=\infty$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была полюсом порядка $n$ функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ . 3. Чтобы $z=\infty$ была существенно особой точкой функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была существенно особой точкой функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ . Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки $z_0$ , в которой функция не определена, но $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$ (см. утверждение 3.5) , так и для $z=0$ в случае $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , устранимую особую точку $z=\infty$ можно считать нулем функции $f(z)$ . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции $\varphi(\xi)$ в точке $\xi=0$ . Пример 4.9. Исследовать точку $z=\infty$ для функций: a) $f(z)=\frac{1}{z^2(z-2)}$ ; б) $f(z)=\frac{z^2+1}{3z^2-2}$ ; в) $f(z)= z\sin\frac{1}{z}$ . Решение Для определения типа особой точки рассмотрим пределы $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ . а) Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , то точка $z=\infty$ — устранимая особая точка функции. Доопределяя ее $f(\infty)=0$ , получим, что $z=\infty$ — нуль функции. Определим порядок нуля. Сделаем замену $\xi=\frac{1}{z}$ и рассмотрим функцию $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\xi^2}{\frac{1}{\xi}-2}$ , то есть $\varphi(\xi)= \frac{\xi^3}{1-2\xi}$ . Так как $\xi=0$ является нулем третьего порядка функции $\varphi(\xi)$ , то $z=\infty$ — нуль третьего порядка для $f(z)$ . б) Точка $z=\infty$ является устранимой особой точкой, так как $\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z^2+1}{3z^2-2}= \frac{1}{3}$ . Заметим, что для функции $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\frac{1}{\xi^2}+1}{\frac{3}{\xi^2}-2}$ точка $\xi=0$ не является особой. в) Точка $z=\infty$ является устранимой особой точкой и для этой ; функции, так как $\xi=0$ — устранимая для $\varphi(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}$ . Правила определения порядка полюса Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае. Пусть $z_0~(z_0\in \mathbb{C})$ — полюс порядка $n~(\Pi(n))$ функции $f(z)$ . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом: $f(z)=\frac{1}{(z-z_0)^n}\bigl[c_{-n}+c_{-n+1}\cdot (z-z_0)+ \ldots+c_0(z-z_0)+ \ldots\bigr]$ или $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ , где $\varphi(z)$ — функция, аналитическая в точке $z_0$ , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и $\varphi(z_0)=c_{-n}\ne0$ . Далее рассмотрим функцию $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ , то есть $F(z)=\frac{(z-z_0)^n}{\varphi(z)}$ или $F(z)=(z-z_0)^n \varphi_1(z)$ , где $\varphi_1(z)$ — аналитическая в точке $z_0$ и $\varphi_1(z_0)\ne0$ . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что $z_0$ является нулем порядка $n$ функции $F(z)$ . Можно доказать и обратное утверждение. А именно, если функция представлена в виде $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ , где $\varphi(z)$ — функция, аналитическая в точке $z_0$ , и $\varphi(z_0)\ne0$ , то $z_0$ — полюс порядка $n$ функции $f(z)$ , а также, если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $F(z)$ , то для функции $f(z)=\frac{1}{F(z)}$ эта точка является полюсом порядка $n$ . Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где точка $z_0$ является нулем порядка $k$ для функции $f_1(z)$ и нулем порядка $m$ для функции $f_2(z)$ , то есть $f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}$ . При $m>k$ получаем $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$ , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что $z_0$ — полюс порядка $(m-k)$ . Заметим, что при $m=k$ точка $z_0$ — устранимая особая точка; случай $m<k$ рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения. Утверждение 4.3 1. Для того чтобы точка $z_0$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n},\quad \varphi(z_0)\ne0.$ (4.14) 2. Для того чтобы точка $z_0$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка $n$ функции $\frac{1}{f(z)}$ (связь нулей с полюсами). 3. Если точка $z_0$ является нулем порядка $k$ функции $f_1(z)$ и нулем порядка $m$ функции $f_2(z)~(m>k)$ , то она — полюс порядка $(m-k)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8. Решение а) Функцию $f_1(z)$ запишем в виде $f_1(z)= \frac{1}{z-3}\cdot \frac{z+2}{z+1}$ и $f_1(z)= \frac{1}{z+1}\cdot \frac{z+2}{z-3}$ , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки $z=3$ и $z=-1$ — простые полюсы. Для функции $f_2(z)$ из $f_2(z)= \frac{1}{(z+1)^2}\cdot \frac{z+2}{z-3}$ находим, что $z=-1$ — полюс второго порядка, а из $f_2(z)= \frac{1}{z-3}\cdot \frac{z+2}{(z+1)^2}$ следует: $z=3$ — простои полюс. б) Для функции $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ , и $\frac{1-\cos z}{z^3}$ формула (4.14) не применима, так как $\varphi(0)=0$ . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ , точка $z=0$ является нулем первого порядка для числителя и нулем порядка $n$ для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка $(n-1)$ для дроби $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ . Для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$ точка $z=0$ — простой полюс, так как она нуль второго порядка для числителя и нуль третьего порядка для знаменателя. Замечания 4.4 1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби $\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции. 2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_m(z)}$ , где $\varphi(z)$ — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки $z_0$ — нуля порядка $k~[0(k)]$ знаменателя: а) $z_0$ — полюс порядка $k$ функции $f(z)$ , если $\varphi(z_0)\ne0$ ; б) $z_0$ — полюс порядка $(k-n)$ , если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $\varphi(z)$ и $k>n$ ; в) $z_0$ — устранимая особая точка функции $f(z)$ , если $z_0$ — нуль порядка $k$ функции $\varphi(z)$ ; г) $z_0$ — нуль порядка $(n-k)$ функции $f(z)$ , если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $\varphi(z)$ и $n>k$ ; при этом полагаем $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$ . ▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип: а) $f(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$ ; б) $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}$ . Решение Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3. Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя. а) Особые точки функции $z_1=1,~ z_2=-2$ . Для точки $z_2=-2$ можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z+2)^2}$ , где $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$ и $\varphi(-2)\ne0$ , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки $z_1=1$ формула (4.14) не применима, так как из $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$ имеем $\varphi(1)=0$ . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию $f(z)= \frac{(z-1)(z-3)}{(z-1)^3(z+2)^2}= \frac{z-3}{(z-1)^2(z+2)^2}= \frac{\varphi(z)}{(z-1)^2},\quad \varphi(1)\ne0.$ Получаем, что $z=1$ — полюс второго порядка для $f(z)$ . б) Особые точки функции — корни уравнения $z^3+8i=0$ , то есть $z=\sqrt[\LARGE{3}]{-8i}$ или $z_k= \exp \left[\left(-\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3}\right)\!i\right],~ k=0,1,2$ . Все эти точки: $z_{1,3}=2\! \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\!,~ z_2=2i$ — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции $f(z)$ . Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип: а) $f(z)= \frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$ ; б) $f(z)= \frac{z-2i}{z^3+8i}$ . Решение Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае "б" в отличие от предыдущего примера особая точка $z=2i$ является нулем числителя. а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию $f(z)= \frac{(z^2+1)(z^4-1)}{(z-1)^2(z-3)^2}$ . Получаем: $z_1=1$ — простой полюс функции $f(z)$ ; $z_2=3$ — полюс второго порядка. б) Конечные особые точки функции: $z_1=\sqrt{3}-i,~ z_2=2i,~ z_3=-\sqrt{3}-i$ ; функцию записываем в виде $f(z)= \frac{z-2i}{(z-z_1)(z-2i)(z-z_3)}$ . Получаем: $z=2i$ — устранимая особая точка, так как $\lim\limits_{z\to2i} f(z)\ne\infty$ , а точки $z_1$ и $z_2$ — простые полюсы. Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип: а) $f(z)=\frac{\cos\pi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$ ; б) $f(z)=\frac{\sin\pi z}{z^4-1}$ . Решение Конечными особыми точками этих функций вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$ , где $\varphi(z)$ — аналитическая функция, являются только нули знаменателя. а) Особые точки функции: $z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$ . Точки $z_3$ и $z_4$ — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ — точка $z_3$ или $z_4$ . В точках $z=\pm\frac{1}{2}$ числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде $\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ — точка $z_1$ или $z_2$ . Тогда для функции $f(z)$ получаем $f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$ Так как $\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$ для $z_0=z_1=\frac{1}{2}$ или $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$ , то эти точки — устранимые особые точки функции $f(z)$ . б) Особые точки функции: $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$ . Точки $z_3=i$ и $z_4=-i$ — простые полюсы. Для точек $z_1=1$ и $z_2=-1$ проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки $f(z)$ . Пример 4.14. Определить тип особой точки $z=0$ для следующих функций: а) $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$ ; б) $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$ . Решение. В точке $z=0$ и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4. а) Из разложений по степеням $z$ функций $\begin{gathered} e^z-1-z&= \left(1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots\right)-1-z= \frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots\\ e^{z^5}-1&= \left(1+z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots\right)-1= z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots \end{gathered}$ находим, что $z=0$ — нуль второго порядка для числителя $(0(2))$ и нуль пятого порядка для знаменателя $(0(5))$ . Следовательно, $z=0$ — полюс третьего порядка для функции $f(z)$ . б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням $z$ , находим, что $z=0$ является $0(2)$ для числителя и $0(7)$ для знаменателя. Следовательно, $z=0$ -полюс пятого порядка для $f(z)$ . Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип: а) $f(z)= \frac{e^{2+2i}}{z^4-16}$ ; б) $f(z)= \frac{(z+\pi) \sin \frac{\pi z}{2}}{z\sin^2z}$ . Решение Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя. а) Особые точки функции — корни уравнения $z^4-16=0$ , или $(z^2-4)(z^2+4)=0$ , то есть $z_{1,2}=\pm2,~ z_{3,4}=\pm2i$ . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль $(e^z\ne0)$ , то все они — простые полюсы функции. б) Особые точки функции: $z_0=0$ и $z_k=k\pi,~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ . Точка $z_0=0$ является нулем третьего порядка знаменателя, a $z_k=k\pi,~k\ne0$ — нули второго порядка. Так как в точках $z_k=k\pi,~k\ne0,~k\ne-1$ числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для $f(z)$ . Точки $z_0=0$ и $z=-\pi$ являются простыми нулями числителя, поэтому $z=0-\Pi(2),~ z=-\pi-\Pi(1)$ для функции $f(z)$ . Пример 4.16. Определить тип особой точки $z=0$ для следующих функций: а) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1-\dfrac{z^2}{2}}$ ; б) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1-\dfrac{z^2}{2}}$ ; в) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1+\dfrac{z^2}{2}}$ ; г) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1+\dfrac{z^2}{2}}$ . Решение Точка $z=0$ является нулем и знаменателя, и числителя для каждой из функций. Определим порядок нуля в каждом случае, используя правило определения порядка нуля (утверждение 3.5), в частности, раскладывая соответствующую функцию по степеням $z$ . а) Из разложений $\begin{aligned}\sin z-z&= \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)-z=-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+\ldots\\ \cos z-1-\frac{z^2}{2}= \left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}-\ldots\right)-1-\frac{z^2}{2}=-z^2+\frac{z^4}{4!}-\ldots \end{aligned}$ находим, что $z=0$ является $0(3)$ для числителя и $0(2)$ — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как $\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{z^3\! \left(-\frac{1}{3}+ \frac{z^2}{5!}+ \ldots\right)}{z^2\! \left(-1+\frac{z^2}{4!}-\ldots\right)}=0,$ то, полагая $f(0)=0$ , можно считать, что $z=0$ — нуль для $f(z)$ , причем $0(1)$ (см. замечания 4.4). б) Из разложений $\sin z+z=2z-\frac{z^3}{3!}+\ldots$ и $\operatorname{ch}z-1-\frac{z^2}{2}= \left(1+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}+\ldots\right)-1-\frac{z^2}{2}= \frac{z^4}{4!}+ \frac{z^6}{6!}+\ldots$ находим, что $z=0$ является $0(1)$ для числителя и $0(4)$ — для знаменателя. Поэтому $z=0$ — полюс третьего порядка для $f(z)$ . в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что $z=0$ является $0(3)$ для числителя и $0(4)$ — для знаменателя. Поэтому $z=0$ — простой полюс для $f(z)$ . г) Точка $z=0$ является простым нулем числителя, нулем второго порядка для знаменателя. Следовательно, это простой полюс для $f(z)$ . Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки $\xi=0\,\left(\frac{1}{z}= \xi\right)$ (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса. Практически удобное правило определения порядка полюса $z=\infty$ можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть $z=\infty-\Pi(n)$ для функции $f(z)$ , тогда $\xi=0-\Pi(n)$ для $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)$ и можно записать $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{F(\xi)}{\xi^n},~ F(\xi)\ne0$ (см. (4.14)). Поэтому, обозначив $f\! \left(\frac{1}{z}\right)= \varphi(z)$ , для $f(z)$ получим $f(z)=z^n\cdot \varphi(z),\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne0,\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne\infty.$ (4.15) Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка $n$ функции $f(z)$ в точке $z=\infty$ . Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если $z=\infty-\Pi(m)$ для $f_1(z)$ и $\Pi(k)$ для $f_2(z)$ , то $z=\infty$ — полюс порядка $(m-k)$ для функции $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Пример 4.17. Определить тип особой точки $z=\infty$ для функций: а) $f(z)= z^2(z-2)$ ; б) $f(z)=\frac{z^5+z^2+1}{z^3-2z}$ . Решение Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=\infty$ в обоих случаях, то $z=\infty$ для данных функций — полюс. Определим порядок полюса. а) Точка $z=\infty$ является полюсом третьего порядка, в чем можно убедиться любым из следующих способов. Первый способ. Разложение функции по степеням $z$ имеет вид $f(z)=z^3-2z,~c_3\ne0$ , все $c_n=0,~n>3$ , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что $z=\infty-\Pi(3)$ . Второй способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ , получим функцию $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1-2\xi}{\xi^3}$ , для которой $\xi=0-\Pi(3)$ . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка $z=\infty-\Pi(3)$ для $f(z)$ . Третий способ. Запишем функцию в виде $f(z)=z^3\! \left(1-\frac{2}{z}\right)$ и, так как функция $\varphi(z)=\left(1-\frac{2}{z}\right)$ — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что $z=\infty-\Pi(3)$ для $f(z)$ . б) Разложение функции в ряд по степеням $z$ представляет некоторые трудности. Используем другие способы. Первый способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ , получим $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{(\xi^5+\xi^3+1)\cdot\xi^3}{\xi^5\cdot(1-2\xi^2)}$ , или $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\xi^5+\xi^3+1}{\xi^2\cdot(1-2\xi^2)}$ . Поэтому $\xi=0$ является $\Pi(2)$ для $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ и, следовательно, $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ . Второй способ. Представим функцию в виде $f(z)= \frac{z^5\cdot \left(1+ \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{z^2}\right)}{z^3\cdot \left(1-\dfrac{2}{z^2}\right)}$ или $f(z)= z^2\cdot \varphi(z)$ , где $\lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1$ , и, согласно формуле (4.15), $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ . Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса $z=\infty$ для дроби $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, $z=\infty-\Pi(5)$ для числителя и $\Pi(3)$ — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ . Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке $z=\infty$ для следующих функций: а) $f(z)= \frac{z^3}{z-1}$ ; б) $f(z)=z^2+1+\frac{1}{z^2-1}$ . Решение Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням $z\colon$ а) $f(z)= z^3\cdot \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \left(1+\frac{1}{z}+ \ldots\right)= z^2+z+1+\ldots,\quad \|z\|>1$ ; б) $f(z)= z^2+1+\frac{1}{z^2}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}= z^2+1+ \frac{1}{z^2}\cdot \left(1+\frac{1}{z^2}+\ldots\right)= z^2+1+\frac{1}{z^2}+\ldots,\quad \|z\|>1$ . Из разложений следует, что $z=\infty-\Pi(2)$ для каждой из заданных функций. Второй способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ и определим порядок полюса функции $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ в точке $\xi=0\colon$ а) $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1}{\xi^2\cdot (1-\xi)}$ ; б) $f(z)=\frac{z^4}{z^2-1},~~ f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\xi^2\cdot (1-\xi^2)}$ . В каждом случае получаем представление функции в виде $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\varphi(\xi)}{\xi^2}$ , следовательно, $\xi=0-\Pi(2)$ для $f\!\left( \frac{1}{\xi}\right)$ . Поэтому $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ . Третий способ. Представим функции в виде (4.15): а) $f(z)= z^3\cdot \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z)= \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}$ ; б) $f(z)= \frac{z^4}{z^2-1}= z^2\cdot \frac{z^2}{z^2-1}$ или $f(z)= z^2\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}= z^2\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z)= \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}$ . Так как $\varphi(z)$ удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для $f(z)$ . Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке $z= \infty$ для числителя и знаменателя дробей $f(z)=\frac{z^3}{z-1}$ и $f(z)= \frac{z^4}{z^2-1}$ . Для первой функции $z=\infty-\Pi(3)$ для числителя и $\Pi(1)$ для знаменателя; для второй $z=\infty-\Pi(4)$ для числителя и $\Pi(2)$ для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций $z=\infty-\Pi(2)$ . Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций Пусть $z_0$ — особая точка функций $f_1(z)$ и $f_2(z)$ и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Рассмотрим следующие случаи. Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка $m~(\Pi(m))$ для функции $f_1(z)$ и полюсом порядка $k~(\Pi(k))$ для функции $f_2(z)$ . а) При исследовании суммы $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде $f_1(z)=\frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^m},~~ f_2(z)=\frac{\varphi_2(z)}{(z-z_0)^k}$ , где $\varphi_1(z_0)\ne0,~\varphi_2(z_0)\ne0$ . При $k=m$ для суммы $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ получаем $f(z)= \frac{\varphi_1(z)+\varphi_2(z)}{(z-z_0)^m}$ или $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^m}$ , где $\varphi(z)= \varphi_1(z)+ \varphi_2(z)$ . Если $\varphi(z_0)\ne0$ , то $z_0-\Pi(m)$ для функции $f(z)$ . Однако для функций $f_1(z),\, f_2(z)$ может выполняться условие $\varphi_1(z_0)+ \varphi_2(z_0)=0$ и' следовательно, $\varphi(z_0)=0$ . В этом случае формула (4.14) не применима и точка $z_0$ не будет полюсом порядка $m$ для $f(z)$ . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем $m$ , и равен $(m-p)$ в случае $m>p$ , где $p$ — порядок нуля функции $\varphi(z)$ . Если $p=m$ , то $z_0$ — устранимая особая точка для $f(z)$ . Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых. б) Для исследования произведения $f_1(z)\cdot f_2(z)$ воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции $F_1(z)= \frac{1}{f_1(z)},~ F_2(z)= \frac{1}{f_2(z)}$ . Для первой из этих функций $z_0-0(m)$ , для второй соответственно $z_0-0(k)$ . а поэтому для $F(z)= F_1(z)\cdot F_2(z)$ она будет $0(m+k)$ . Согласно п.2 утверждения 4.3, $z_0$ является $\Pi(m+k)$ для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$ . в) Аналогичные рассуждения для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ приводят к результату: при $m>k$ точка $z_0$ является $\Pi(m-k)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Второй случай. Пусть точка $z_0$ является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для $f_1(z)$ и существенно особой для $f_2(z)$ . Так как $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)$ не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Следовательно, для каждой из них $z_0$ — существенно особая точка. Заметим, что для функции $\frac{1}{f_2(z)}$ эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции $\frac{1}{\sin z^{-1}}$ . Третий случай. Пусть $z_0$ — полюс порядка $n$ для $f_1(z)$ и устранимая особая точка для $f_2(z)$ . Разложения этих функций в ряд в окрестности $z_0$ имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно. а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции $f_1(z)$ . Следовательно, для $f(z)= f_1(z)\pm f_2(z)$ точка $z_0$ — полюс порядка $n$ . б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ . Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $z_0-0(p),~ p<n$ для функции $f_2(z)$ , то из равенства $f_1(z)\cdot f_2(z)= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n}\cdot \varphi_2(z)\cdot (z-z_0)^p= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n-p}}$ заключаем, что $z_0-\Pi(n-p)$ . в) Для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ при условии $\lim\limits_{z\to z_0} f_2(z)\ne0$ из равенства $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n f_2(z)}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ заключаем, что $z_0-\Pi(n)$ для $f(z)$ . Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $z_0-0(p)$ для $f_2(z)$ , то, используя условие кратного нуля, из равенства $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n \varphi_2(z) (z-z_0)^p}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n+p}}$ заключаем, что $z_0$ является $\Pi(n+p)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где $n$ — порядок полюса функции $f_1(z),~p$ — порядок нуля функции $f_2(z)$ в точке $z_0$ . Подводя итог, запишем следующее утверждение. Утверждение 4.4 1. Пусть точка $z_0$ является $\Pi(m)$ для функции $f_1(z)$ и $\Pi(k)$ для функции $f_2(z)$ . Тогда: а) для $f_1(z)\pm f_2(z)$ она будет $\Pi(n),~ n \leqslant \max(m,k)$ , а при $n=0$ — устранимой особой точкой; б) для $f_1(z)\cdot f_2(z)$ она является $\Pi(n),~ n=m+k$ ; в) для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет $\Pi(n),~ n=m-k$ . 2. Пусть $z_0$ — существенно особая точка для функции $f_2(z)$ и устранимая особая точка или полюс для функции $f_1(z)$ . Тогда $z_0$ — существенно особая точка для $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . 3. Пусть точка $z_0$ является $\Pi(n)$ для функции $f_1(z)$ и устранимой особой точкой для функции $f_2(z)$ . Тогда: а) для $f_1(z)\pm f_2(z)$ она будет $\Pi(n)$ ; б) для $f_1(z)\cdot f_2(z)$ она является $\Pi(n)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ , и $\Pi(n-p)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $p$ — порядок нуля $f_2(z)$ в точке $z_0$ ; в) для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет $\Pi(n)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ , и $\Pi(n+p)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $p$ — порядок нуля $f_2(z)$ в точке $z_0$ ; 4. Если точка $z_0-\Pi(n)$ для $\varphi(z)$ , то она существенно особая точка для сложной функции $f(\varphi(z))$ . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для $\varphi(z)$ и $f(\varphi(z))$ в окрестности $z_0$ . Пример 4.19. Определить тип особой точки $z=0$ для функции $f(z)$ , если $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ , где $f_1(z)= \frac{1}{z^2}$ , а функция $f_2(z)$ определяется следующим образом: а) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}$ ; б) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}$ ; в) $f_2(z)=1-\frac{1}{z}$ . Решение Очевидно, точка $z=0$ является $\Pi(2)$ для $f_1(z)$ и для $f_2(z)$ в первых двух случаях; в последнем случае $z=0-\Pi(1)$ для $f_2(z)$ . Для каждого из указанных случаев задания $f_2(z)$ записываем разложение функции $f(z)$ по степеням $z$ , из которого определяем тип точки $z=0$ для $f(z)\colon$ a) $f(z)= \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}=-\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z};\quad z=0-\Pi(2)$ для $f(z)$ ; б) $f(z)= \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}=\frac{1}{z};\quad z=0-\Pi(1)$ для $f(z)$ ; в) $f(z)= \frac{1}{z^2}+1- \frac{1}{z} =\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z}+1;\quad z=0-\Pi(2)$ для $f(z)$ . Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4. Пример 4.20. Найти особые точки функции $f(z)= \frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}$ . Определить их тип. Решение Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого $z=2k\pi i,~ k\in\mathbb{Z}$ , особая точка второго слагаемого $z=0$ входит в это множество. Точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$ являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$ -простые полюсы $f(z)$ (см. п. 3 "а" утверждения 4.4). Точка $z=0$ — простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для $f(z)$ — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 "а" утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: $f(z)= \frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}$ . Точка $z=0$ является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это — устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, т.е. находя $\lim\limits_{z\to0}f(z)$ . Действительно, $\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots+z+ 1}{\left(-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots-1 \right)\!z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-\dfrac{z^2}{2!}-\dfrac{z^3}{3!}-\ldots}{z^2\! \left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-z^2\! \left(\dfrac{1}{2!}+ \dfrac{z}{3!}+\ldots\right)}{ z^2\!\left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}=-\frac{1}{2}\,.$ Точка $z=\infty$ для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности $\|z\|>R$ содержится бесконечное множество особых точек вида $z_k=2k\pi i$ . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка. Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип: а) $f(z)= \frac{z-\pi}{\sin^2z}\cos \frac{1}{z-2i}+ \frac{1}{z^6+1}$ ; б) $f(z)= \frac{1}{z^2-1} \sin \frac{\pi z}{2z+1}+ \frac{1}{e^z+i}$ . Решение Обозначим $f_1(z)$ — первое слагаемое, $f_2(z)$ — второе слагаемое функции $f(z)$ , т.е. имеем $f(z)=f_1(z)+f_2(z)$ . а) Для $f_1(z)$ точка $z=2i$ является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для $\cos \frac{1}{z-2i}$ множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для $f(z)$ (п. 2 утверждения 4.4). Точки $z_k=k\pi,~k\ne1$ — полюсы второго порядка функции $f_1(z)$ , так как ее можно записать в виде $f_1(z)=\frac{\varphi(z)}{\sin^2z}$ , где $\varphi(z_k)\ne0$ , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для $f_2(z)$ эти точки не особые, то $z_k=k\pi,~z\ne\pi$ — полюсы второго порядка для $f(z)$ (п. 3 утверждения 4.4). С помощью аналогичных рассуждений получаем, что $z=\pi$ — простой полюс для $f(z)$ . Особыми точками $f_2(z)$ являются корни уравнения $z^6+1=0$ , то есть $z_k=\exp \frac{(-\pi+2k\pi)i}{6},~ k=0,1,\ldots,5$ . Все они — простые нули знаменателя- функции $F(z)$ , а потому — простые полюсы для $f_2(z)= \frac{1}{F(z)}$ . Так как эти точки не являются особыми для $f_1(z)$ , то для $f(z)$ — это простые полюсы. Точка $z=\infty$ — неизолированная особая точка $f(z)$ . б) Точка $z=\frac{-1}{2}$ — полюс дроби $\frac{\pi z}{2z+1}$ является существенно особой точкой для $\sin\frac{\pi z}{2z+1}$ (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для $f_1(z)$ и, следовательно, для $f(z)$ . Точка $z=1$ — простой полюс для $f_1(z)$ , так как можно записать $f_2(z)= \frac{\varphi(z)}{z-1},~ \varphi(z)\ne0$ . Поскольку $z=1$ не является особой точкой для $f_2(z)$ , то она — простой полюс для $f(z)$ . Точка $z=-1$ — устранимая особая точка для $f_1(z)$ , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби $\frac{\sin\dfrac{\pi z}{2z+1}}{z^2-1}$ . Так как $z=-1$ не является особой точкой для $f_2(z)$ , то она — устранимая особая точка для $f(z)$ . Особыми точками $f_2(z)$ являются простые нули знаменателя — корни уравнения $e^z+i=0$ , или $e^z=-i$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-i)$ . Все точки $z_k=\ln\|-i\|+i\bigl(\arg(-i)+2k\pi\bigr)$ , или $z_k=i\! \left(2k\pi-\frac{\pi}{2}\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}$ являются простыми полюсами для $f_2(z)$ и, следовательно, простыми полюсами для $f(z)$ . Точка $z=\infty$ — неизолированная особая точка $f(z)$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Изолированные особые точки функций и полюсы

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке $z_0$ определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ . Очевидно, имеют место три возможности:

а) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует;
б) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ существует и равен конечному числу;
в) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная $z$ стремится к $z_0~(z\to z_0)$ по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$ .

Будем рассматривать $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ , где $z_0$ — особая точка.

Пример 4.1. Исследовать существование $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z},~ \lim\limits_{z\to0} \exp \frac{1}{z^2}$ в случаях a) $z=x\in\mathbb{R}$ ; б) $z\in\mathbb{C}$ .

Решение

a) В действительной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$ не существует, так как не равны односторонние пределы $\lim\limits_{x\to0+0}\exp \frac{1}{x}=\infty,~ \lim\limits_{x\to0-0}\exp \frac{1}{x}=0$ , но существует предел второй функции: $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ .

б) В комплексной области, очевидно, $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$ не существует, так как он не существует в частном случае $z=x$ .

Но для второй функции полученного выше результата $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. $z=iy,~ y\to0\colon$

$\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{(iy)^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{-1}{y^2}=0.$

Сравнивая этот результат с полученным выше $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$ , заключаем, что в комплексной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}$ не существует.

Аналогично можно показать, что не существует $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}$ , хотя $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}=\infty$ для случаев $z=x$ и $z=iy$ (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка $z_0\in\mathbb{C}$ является изолированной особой точкой функции $f(z)$ , если существует число $r>0$ , такое, что в круге $|z-z_0|<r$ эта точка- единственная особая точка $f(z)$ , а в проколотой окрестности, т.е. в $0<|z-z_0|<r$ функция $f(z)$ аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка $z_0=\infty$ является изолированной особой точкой функции $f(z)$ , если существует число $R>0$ , такое, что в области $|z|>R$ эта точка — единственная особая точка $f(z)$ , а в кольце $R<|z|<\infty$ функция $f(z)$ — аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки $z=0$ функций:

а) $\frac{\sin z}{z}$ ; б) $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$ ; в) $\exp \frac{1}{z}$ .

Решение

Так как особая точка $z=0$ — конечная особая точка, то в разложениях в ряд Лорана этих функций главную часть ряда образует совокупность членов с отрицательными степенями, а правильную — с неотрицательными. Пределы для первых двух функций рассмотрены в примере 3.36, а для третьей — в примере 4.1.

а) Особенностью ряда для функции $\frac{\sin z}{z}$ является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки $z=0$ — особой точки этой функции; особенностью поведения функции в этой точке — существование конечного предела $\lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z}=1$ .

б) Для функции $\frac{\sin z}{z^2}$ в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, $\lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z^2}=\infty$ . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$ по степеням $z$ содержит конечное число слагаемых:

$\frac{\sin z}{z^n}= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{3!\cdot z^{n-3}}+\ldots+ \frac{(-1)^{n+1}z^{n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$

и функция может быть записана в виде $\frac{\sin z}{z^n}= \frac{1-z^2 \varphi(z)}{z^{n-1}}$ , а поэтому $\lim\limits_{z\to0}\frac{\sin z}{z^n}=\infty,~n>1$ .

в) Разложение функции $\exp \frac{1}{z^2}$ , как и $\exp \frac{1}{z}$ , в окрестности точки $z=0$ содержит бесконечное множество членов в главной части. Пределы этих функций в точке $z=0$ не существуют (пример 4.1).

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке $z_0$ соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку $z=\infty$ , например, для функций $\exp \frac{1}{z},~ z^2+\frac{1}{z}$ и $e^z$ .

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка $z_0\in \overline{C}$ функции $f(z)$ называется:

– устранимой особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ существует и конечен (4.1);
– полюсом, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ (4.2);
– существенно особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует (4.3).

Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки $z_0$ положить $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ , то $f(z)$ будет аналитической в $O_{\delta}(z_0)$ и точку $z_0$ можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке $z_0$ устранена особенность.

Пример 4.3. Определить тип особой точки $z=0$ для функций $\frac{\sin z}{z};~~\frac{\sin z}{z^n},~n>1;~~\exp \frac{1}{z},~~ \exp \frac{1}{z^2}$ .

Решение

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что $z=0$ является устранимой особой точкой функции $\frac{\sin z}{z}$ ; полюсом для $\frac{\sin z}{z^n}$ при любом $n>1$ ; существенно особой точкой для функций $\exp \frac{1}{z}$ и $\exp \frac{1}{z^2}$ .

Пример 4.4. Определить тип особой точки $z=\infty$ для функций $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$ и $f_2(z)=e^z$ .

Решение

Рассмотрим $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ . Для удобства введем обозначение $\frac{1}{z}=\xi$ . Для функции $f_1(z)$ получим $\lim\limits_{z\to\infty}f_1(z)= \lim\limits_{\xi\to0} \frac{\sin\xi}{\xi^n}=\infty~(n>1)$ (см. пример 4.2), поэтому $z=\infty$ является полюсом функции $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$ . Для функции $f_2(z)=e^z$ точка $z=\infty$ является существенно особой, так как $\lim\limits_{z\to\infty}e^z= \lim\limits_{\xi\to0}\exp \frac{1}{\xi}$ не существует (см. пример 4.1).

Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=\frac{\sin z}{z^4+1}$ б) $f_2(z)= \frac{\sin z}{\sin z^{-1}}$ и определить их тип.

Решение

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции $f_1(z)$ — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения $z^4+1=0$ . Это четыре точки $z_k=\exp \frac{(\pi+2k\pi)i}{4},~k=0,1,2,3$ , или в алгебраической форме: $z_{1,2}= \frac{\pm1+i}{\sqrt{2}},~ z_{3,4}= \frac{\pm1-i}{\sqrt{2}}$ . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса $R=1$ с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= \overline{z}_1$ .

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_1(z)=\infty$ для любой точки $z_k,~k=1,2,3,4$ .

б) Особыми точками функции $f_2(z)$ являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $\frac{1}{z_k}=k\pi$ или $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ , а также $z=0$ — особая точка знаменателя. Точки $z_k$ являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_2(z)=\infty$ . Точка $z=0$ — неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности $|z|<r$ ( $r$ — любое число, $r>0$ ), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ . Точку $z=0$ в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=\frac{1}{k\pi}$ , так как $\lim\limits_{k\to\infty}z_k=0$ .

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если $r_0$ — существенно особая точка функции $f(z)$ , то для любого $A\in \overline{\mathbb{C}}$ существует последовательность $\{z_n\}$ , сходящаяся к точке $z_0$ , такая, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=A$ .

Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция $f(z)$ принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) $f_1(z)=\exp \frac{1}{z},~ f_2(z)= \exp \frac{1}{z^2},~ z_0=0$ ; б) $f_3(z)=e^z,~ z_0=\infty$ .

Решение

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки $z_0=0$ и $z_0=\infty$ являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем $A=0$ и $A=\infty$ . Используя результат примера 4.1, имеем $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=0$ , если $z=x<0$ , и $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=\infty$ , если $z=x>0$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$ для последовательности $z_n=x_n$ , такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и $x_n<0$ , и $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$ для последовательности $z_n=x_n$ , такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и $x_n>0$ .

Аналогично исследуем функцию $f_2(z)$ . Для числа $A=0$ выбираем $z_n=iy_n$ , где $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0$ и тогда $\lim\limits_{n\to\infty}f_2(z_n)=0$ , а для $A=\infty$ выбираем $z_n= x_n$ , где $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ и тогда $\lim\limits_{n\to\infty} f_2(z_n)=\infty$ .

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $\exp \frac{1}{z}=A,~ \exp \frac{1}{z^2}=A$ , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого $A\in \mathbb{C},~ A\ne0$ .

Например, для функции $f_1(z)= \exp\frac{1}{z}$ имеем $\exp\frac{1}{z}=A$ . Отсюда получаем

$\frac{1}{z}= \operatorname{Ln}A,\quad \frac{1}{z}= \ln|A|+i(\arg A+2k\pi),\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ или $z_k=\frac{1}{\ln|A|+i(\arg A+2k\pi)}$ .

В частности, функция $\exp \frac{1}{z}$ в любой окрестности точки $z_0=0$ принимает значение $A=1$ бесконечное множество раз: в точках $z_k=\frac{-i}{2k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ (рис. 4.1).

б) Точка $z=\infty$ является существенно особой точкой функции $e^z$ (пример 4.4). Обозначив $z=\frac{1}{\xi}$ , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $\exp\frac{1}{\xi}$ и точки $\xi=0$ .

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Утверждение 4.1

1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если $z_0$ — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции $f(z)$ имеет вид

$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r$

(4.4)

для $z_0$ — конечной точки $z_0\in\mathbb{C}$ , и (для $z_0=\infty$ )

$f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<|z|<\infty.$

(4.5)

2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции $f(z)$ в случае $z_0$ полюса имеет вид

$f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty} c_k(z-z_0)^k,\quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.6)

если $z_0\in\mathbb{C}$ , и (если $z_0=\infty$ )

$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{n}c_kz^k,\quad R<|z|<\infty,$

(4.7)

3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции $f(z)$ в случае $z_0$ — существенно особой точки имеет вид

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.8)

если $z_0\in\mathbb{C}$ , и (если $z_0=\infty$ )

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n,\quad R<|z|<\infty.$

(4.9)

Замечания 4.2

1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка $z_0\in\mathbb{C}$ является полюсом порядка $n$ $(\Pi(n))$ функции $f(z)$ , если в разложении (4.6) $c_{-n}\ne0,~ c_k=0$ при $k<-n$ . Точка $z_0=\infty$ является полюсом порядка $n$ $(\Pi(n))$ функции $f(z)$ , если в разложении (4.7) $c_n\ne0,~ c_k=0$ при $k>n$ .

2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$ в виде $\sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$ , или $\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$ , или, подробнее:

$\frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ \ldots+ \frac{c_{-1}}{z-z_0},\quad c_{-n}\ne0\,;$

(4.10)

б) в случае $z_0=\infty$ в виде $\sum_{k=1}^{n}c_nz^k$ , или $\sum_{k=-n}^{-1} \frac{c_{-k}}{z^k}$ (см. (4.7)), или, подробнее:

$c_n\cdot z^n+ c_{n-1}\cdot z^{n-1}+\ldots+c_1\cdot z,\quad c_n\ne0.$

(4.11)

3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$ в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ , или $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ (см.(4.8)), или, подробнее:

$\frac{c_{-1}}{z-z_0}+ \frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ \ldots+ \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\ldots;$

(4.12)

б) в случае $z_0=\infty$ в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{c_{-n}}{z^n}$ или $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$ (см.(4.9)), или, подробнее:

$c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots+c_n\cdot z^n+\ldots$

(4.13)

Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f_2(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ .

Решение

Особыми точками функций являются $z_1=-1,~z_2=3,~z_3=\infty$ . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) $f_1(z)= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$ . В главной части разложения — один член ряда: $\frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}$ , здесь $c_{-1}=\frac{-1}{4}\ne0$ , все $c_n=0$ для $n<-1$ . Следовательно, в точке $z=-1$ — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции $f_1(z)$ .

Аналогично из разложения $f_1(z)= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ получим такой же результат: точка $z=3$ — простой полюс функции $f_1(z)$ .

Разложение $f_1(z)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},~ |z|>3$ . Функции в окрестности $z=\infty$ не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка $z=\infty$ — устранимая особая точка функции $f_1(z)$ .

б) Из разложения $f_2(z)= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ следует, что $z=3$ — простой полюс функции $f_2(z)$ .

Из разложения $f_2(z)= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{(z+1)^2}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<|z+1|<4$ , где $c_{-2}=\frac{-1}{4}\ne0$ и все $c_n=0$ для $n<-2$ , получаем, что $z=-1$ — полюс второго порядка функции $f_2(z)$ .

Разложение $f_2(z)$ в окрестности $z=\infty$ и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому $z=\infty$ — устранимая особая точка функции $f_2(z)$ .

Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

а) $\exp \frac{1}{z-a},~ \sin \frac{1}{z-a},~ \cos \frac{1}{z-a}$ ; б) $\frac{\sin z}{z^n},~ \frac{1-\cos z}{z^3}$ .

Решение

а) Используем разложения функций по степеням $(z-a)\colon$

$\begin{gathered}\exp \frac{1}{z-a}= 1+\frac{1}{z-a}+ \frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots;\qquad \sin\frac{1}{z-a}= \frac{1}{z-a}- \frac{1}{3!(z-a)^3}+\ldots;\\ \cos\frac{1}{z-a}= 1-\frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots \end{gathered}$

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка $z=a$ является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1).

б) Запишем разложения функций по степеням $z\colon$

$\begin{aligned}\frac{\sin z}{z^n}&= \frac{1}{z^n}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{z^{n-3}\cdot3!}+\ldots;\\ \frac{1-\cos z}{z^3}&= \frac{1}{z^3}\! \left(1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\ldots\right)\right)= \frac{1}{2!z}-\frac{z}{4!}+\ldots \end{aligned}$

Для первой функции при $n=1$ в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка $z=0$ для $\frac{\sin z}{z}$ является устранимой особой точкой.

При $n>1$ главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка $z=0$ для $\frac{\sin z}{z^n}$ является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при $n>1$ в разложении старшая отрицательная степень равна $(n-1)$ , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что $z=0$ для $\frac{\sin z}{z^n}$ при $n>1$ является полюсом порядка $(n-1)$ . Рассуждая аналогично, получаем, что $z=0$ является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$ .

Сравнивая разложения функций по степеням $z$ в окрестности $z_0=0$ (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при $z_0=0$ ) и $z=\infty$ (формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Утверждение 4.2

1. Чтобы $z=\infty$ была устранимой особой точкой функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была устранимой (или не особой) для $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ .

2. Чтобы $z=\infty$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была полюсом порядка $n$ функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ .

3. Чтобы $z=\infty$ была существенно особой точкой функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$ была существенно особой точкой функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ .

Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки $z_0$ , в которой функция не определена, но $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$ (см. утверждение 3.5) , так и для $z=0$ в случае $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , устранимую особую точку $z=\infty$ можно считать нулем функции $f(z)$ . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции $\varphi(\xi)$ в точке $\xi=0$ .

Пример 4.9. Исследовать точку $z=\infty$ для функций: a) $f(z)=\frac{1}{z^2(z-2)}$ ; б) $f(z)=\frac{z^2+1}{3z^2-2}$ ; в) $f(z)= z\sin\frac{1}{z}$ .

Решение

Для определения типа особой точки рассмотрим пределы $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ .

а) Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , то точка $z=\infty$ — устранимая особая точка функции. Доопределяя ее $f(\infty)=0$ , получим, что $z=\infty$ — нуль функции. Определим порядок нуля. Сделаем замену $\xi=\frac{1}{z}$ и рассмотрим функцию $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\xi^2}{\frac{1}{\xi}-2}$ , то есть $\varphi(\xi)= \frac{\xi^3}{1-2\xi}$ . Так как $\xi=0$ является нулем третьего порядка функции $\varphi(\xi)$ , то $z=\infty$ — нуль третьего порядка для $f(z)$ .

б) Точка $z=\infty$ является устранимой особой точкой, так как $\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z^2+1}{3z^2-2}= \frac{1}{3}$ . Заметим, что для функции $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\frac{1}{\xi^2}+1}{\frac{3}{\xi^2}-2}$ точка $\xi=0$ не является особой.

в) Точка $z=\infty$ является устранимой особой точкой и для этой ; функции, так как $\xi=0$ — устранимая для $\varphi(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}$ .

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть $z_0~(z_0\in \mathbb{C})$ — полюс порядка $n~(\Pi(n))$ функции $f(z)$ . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

$f(z)=\frac{1}{(z-z_0)^n}\bigl[c_{-n}+c_{-n+1}\cdot (z-z_0)+ \ldots+c_0(z-z_0)+ \ldots\bigr]$ или $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ ,

где $\varphi(z)$ — функция, аналитическая в точке $z_0$ , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и $\varphi(z_0)=c_{-n}\ne0$ .

Далее рассмотрим функцию $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ , то есть $F(z)=\frac{(z-z_0)^n}{\varphi(z)}$ или $F(z)=(z-z_0)^n \varphi_1(z)$ , где $\varphi_1(z)$ — аналитическая в точке $z_0$ и $\varphi_1(z_0)\ne0$ . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что $z_0$ является нулем порядка $n$ функции $F(z)$ . Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ , где $\varphi(z)$ — функция, аналитическая в точке $z_0$ , и $\varphi(z_0)\ne0$ , то $z_0$ — полюс порядка $n$ функции $f(z)$ , а также, если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $F(z)$ , то для функции $f(z)=\frac{1}{F(z)}$ эта точка является полюсом порядка $n$ .

Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где точка $z_0$ является нулем порядка $k$ для функции $f_1(z)$ и нулем порядка $m$ для функции $f_2(z)$ , то есть $f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}$ . При $m>k$ получаем $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$ , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что $z_0$ — полюс порядка $(m-k)$ . Заметим, что при $m=k$ точка $z_0$ — устранимая особая точка; случай $m<k$ рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Утверждение 4.3

1. Для того чтобы точка $z_0$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n},\quad \varphi(z_0)\ne0.$

(4.14)

2. Для того чтобы точка $z_0$ была полюсом порядка $n$ функции $f(z)$ , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка $n$ функции $\frac{1}{f(z)}$ (связь нулей с полюсами).

3. Если точка $z_0$ является нулем порядка $k$ функции $f_1(z)$ и нулем порядка $m$ функции $f_2(z)~(m>k)$ , то она — полюс порядка $(m-k)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Решение

а) Функцию $f_1(z)$ запишем в виде $f_1(z)= \frac{1}{z-3}\cdot \frac{z+2}{z+1}$ и $f_1(z)= \frac{1}{z+1}\cdot \frac{z+2}{z-3}$ , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки $z=3$ и $z=-1$ — простые полюсы.

Для функции $f_2(z)$ из $f_2(z)= \frac{1}{(z+1)^2}\cdot \frac{z+2}{z-3}$ находим, что $z=-1$ — полюс второго порядка, а из $f_2(z)= \frac{1}{z-3}\cdot \frac{z+2}{(z+1)^2}$ следует: $z=3$ — простои полюс.

б) Для функции $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ , и $\frac{1-\cos z}{z^3}$ формула (4.14) не применима, так как $\varphi(0)=0$ . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ , точка $z=0$ является нулем первого порядка для числителя и нулем порядка $n$ для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка $(n-1)$ для дроби $\frac{\sin z}{z^n},~ n>1$ . Для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$ точка $z=0$ — простой полюс, так как она нуль второго порядка для числителя и нуль третьего порядка для знаменателя.

Замечания 4.4

1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби $\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_m(z)}$ , где $\varphi(z)$ — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки $z_0$ — нуля порядка $k~[0(k)]$ знаменателя:

а) $z_0$ — полюс порядка $k$ функции $f(z)$ , если $\varphi(z_0)\ne0$ ;
б) $z_0$ — полюс порядка $(k-n)$ , если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $\varphi(z)$ и $k>n$ ;
в) $z_0$ — устранимая особая точка функции $f(z)$ , если $z_0$ — нуль порядка $k$ функции $\varphi(z)$ ;

г) $z_0$ — нуль порядка $(n-k)$ функции $f(z)$ , если $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $\varphi(z)$ и $n>k$ ; при этом полагаем $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$ .

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$ ; б) $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции $z_1=1,~ z_2=-2$ . Для точки $z_2=-2$ можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z+2)^2}$ , где $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$ и $\varphi(-2)\ne0$ , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки $z_1=1$ формула (4.14) не применима, так как из $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$ имеем $\varphi(1)=0$ . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

$f(z)= \frac{(z-1)(z-3)}{(z-1)^3(z+2)^2}= \frac{z-3}{(z-1)^2(z+2)^2}= \frac{\varphi(z)}{(z-1)^2},\quad \varphi(1)\ne0.$

Получаем, что $z=1$ — полюс второго порядка для $f(z)$ .

б) Особые точки функции — корни уравнения $z^3+8i=0$ , то есть $z=\sqrt[\LARGE{3}]{-8i}$ или $z_k= \exp \left[\left(-\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3}\right)\!i\right],~ k=0,1,2$ . Все эти точки: $z_{1,3}=2\! \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\!,~ z_2=2i$ — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции $f(z)$ .

Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$ ; б) $f(z)= \frac{z-2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае "б" в отличие от предыдущего примера особая точка $z=2i$ является нулем числителя.

а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию $f(z)= \frac{(z^2+1)(z^4-1)}{(z-1)^2(z-3)^2}$ . Получаем: $z_1=1$ — простой полюс функции $f(z)$ ; $z_2=3$ — полюс второго порядка.

б) Конечные особые точки функции: $z_1=\sqrt{3}-i,~ z_2=2i,~ z_3=-\sqrt{3}-i$ ; функцию записываем в виде $f(z)= \frac{z-2i}{(z-z_1)(z-2i)(z-z_3)}$ . Получаем: $z=2i$ — устранимая особая точка, так как $\lim\limits_{z\to2i} f(z)\ne\infty$ , а точки $z_1$ и $z_2$ — простые полюсы.

Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

а) $f(z)=\frac{\cos\pi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$ ; б) $f(z)=\frac{\sin\pi z}{z^4-1}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих функций вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$ , где $\varphi(z)$ — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции: $z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$ . Точки $z_3$ и $z_4$ — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ — точка $z_3$ или $z_4$ . В точках $z=\pm\frac{1}{2}$ числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде $\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ — точка $z_1$ или $z_2$ . Тогда для функции $f(z)$ получаем

$f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$

Так как $\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$ для $z_0=z_1=\frac{1}{2}$ или $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$ , то эти точки — устранимые особые точки функции $f(z)$ .

б) Особые точки функции: $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$ . Точки $z_3=i$ и $z_4=-i$ — простые полюсы.

Для точек $z_1=1$ и $z_2=-1$ проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки $f(z)$ .

Пример 4.14. Определить тип особой точки $z=0$ для следующих функций: а) $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$ ; б) $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$ .

Решение. В точке $z=0$ и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4.

а) Из разложений по степеням $z$ функций

$\begin{gathered} e^z-1-z&= \left(1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots\right)-1-z= \frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots\\ e^{z^5}-1&= \left(1+z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots\right)-1= z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots \end{gathered}$

находим, что $z=0$ — нуль второго порядка для числителя $(0(2))$ и нуль пятого порядка для знаменателя $(0(5))$ . Следовательно, $z=0$ — полюс третьего порядка для функции $f(z)$ .

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням $z$ , находим, что $z=0$ является $0(2)$ для числителя и $0(7)$ для знаменателя. Следовательно, $z=0$ -полюс пятого порядка для $f(z)$ .

Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{e^{2+2i}}{z^4-16}$ ; б) $f(z)= \frac{(z+\pi) \sin \frac{\pi z}{2}}{z\sin^2z}$ .

Решение

Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя.

а) Особые точки функции — корни уравнения $z^4-16=0$ , или $(z^2-4)(z^2+4)=0$ , то есть $z_{1,2}=\pm2,~ z_{3,4}=\pm2i$ . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль $(e^z\ne0)$ , то все они — простые полюсы функции.

б) Особые точки функции: $z_0=0$ и $z_k=k\pi,~ k=\pm1,\pm2,\ldots$ . Точка $z_0=0$ является нулем третьего порядка знаменателя, a $z_k=k\pi,~k\ne0$ — нули второго порядка. Так как в точках $z_k=k\pi,~k\ne0,~k\ne-1$ числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для $f(z)$ . Точки $z_0=0$ и $z=-\pi$ являются простыми нулями числителя, поэтому $z=0-\Pi(2),~ z=-\pi-\Pi(1)$ для функции $f(z)$ .

Пример 4.16. Определить тип особой точки $z=0$ для следующих функций:

а) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1-\dfrac{z^2}{2}}$ ; б) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1-\dfrac{z^2}{2}}$ ; в) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1+\dfrac{z^2}{2}}$ ; г) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1+\dfrac{z^2}{2}}$ .

Решение

Точка $z=0$ является нулем и знаменателя, и числителя для каждой из функций. Определим порядок нуля в каждом случае, используя правило определения порядка нуля (утверждение 3.5), в частности, раскладывая соответствующую функцию по степеням $z$ .

а) Из разложений

$\begin{aligned}\sin z-z&= \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)-z=-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+\ldots\\ \cos z-1-\frac{z^2}{2}= \left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}-\ldots\right)-1-\frac{z^2}{2}=-z^2+\frac{z^4}{4!}-\ldots \end{aligned}$

находим, что $z=0$ является $0(3)$ для числителя и $0(2)$ — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

$\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{z^3\! \left(-\frac{1}{3}+ \frac{z^2}{5!}+ \ldots\right)}{z^2\! \left(-1+\frac{z^2}{4!}-\ldots\right)}=0,$

то, полагая $f(0)=0$ , можно считать, что $z=0$ — нуль для $f(z)$ , причем $0(1)$ (см. замечания 4.4).

б) Из разложений

$\sin z+z=2z-\frac{z^3}{3!}+\ldots$ и $\operatorname{ch}z-1-\frac{z^2}{2}= \left(1+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}+\ldots\right)-1-\frac{z^2}{2}= \frac{z^4}{4!}+ \frac{z^6}{6!}+\ldots$

находим, что $z=0$ является $0(1)$ для числителя и $0(4)$ — для знаменателя. Поэтому $z=0$ — полюс третьего порядка для $f(z)$ .

в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что $z=0$ является $0(3)$ для числителя и $0(4)$ — для знаменателя. Поэтому $z=0$ — простой полюс для $f(z)$ .

г) Точка $z=0$ является простым нулем числителя, нулем второго порядка для знаменателя. Следовательно, это простой полюс для $f(z)$ .

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки $\xi=0\,\left(\frac{1}{z}= \xi\right)$ (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса $z=\infty$ можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть $z=\infty-\Pi(n)$ для функции $f(z)$ , тогда $\xi=0-\Pi(n)$ для $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)$ и можно записать $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{F(\xi)}{\xi^n},~ F(\xi)\ne0$ (см. (4.14)). Поэтому, обозначив $f\! \left(\frac{1}{z}\right)= \varphi(z)$ , для $f(z)$ получим

$f(z)=z^n\cdot \varphi(z),\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne0,\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne\infty.$

(4.15)

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка $n$ функции $f(z)$ в точке $z=\infty$ .

Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если $z=\infty-\Pi(m)$ для $f_1(z)$ и $\Pi(k)$ для $f_2(z)$ , то $z=\infty$ — полюс порядка $(m-k)$ для функции $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.17. Определить тип особой точки $z=\infty$ для функций: а) $f(z)= z^2(z-2)$ ; б) $f(z)=\frac{z^5+z^2+1}{z^3-2z}$ .

Решение

Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=\infty$ в обоих случаях, то $z=\infty$ для данных функций — полюс. Определим порядок полюса.

а) Точка $z=\infty$ является полюсом третьего порядка, в чем можно убедиться любым из следующих способов.

Первый способ. Разложение функции по степеням $z$ имеет вид $f(z)=z^3-2z,~c_3\ne0$ , все $c_n=0,~n>3$ , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что $z=\infty-\Pi(3)$ .

Второй способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ , получим функцию $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1-2\xi}{\xi^3}$ , для которой $\xi=0-\Pi(3)$ . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка $z=\infty-\Pi(3)$ для $f(z)$ .

Третий способ. Запишем функцию в виде $f(z)=z^3\! \left(1-\frac{2}{z}\right)$ и, так как функция $\varphi(z)=\left(1-\frac{2}{z}\right)$ — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что $z=\infty-\Pi(3)$ для $f(z)$ .

б) Разложение функции в ряд по степеням $z$ представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

Первый способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ , получим $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{(\xi^5+\xi^3+1)\cdot\xi^3}{\xi^5\cdot(1-2\xi^2)}$ , или $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\xi^5+\xi^3+1}{\xi^2\cdot(1-2\xi^2)}$ .

Поэтому $\xi=0$ является $\Pi(2)$ для $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ и, следовательно, $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ .

Второй способ. Представим функцию в виде $f(z)= \frac{z^5\cdot \left(1+ \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{z^2}\right)}{z^3\cdot \left(1-\dfrac{2}{z^2}\right)}$ или $f(z)= z^2\cdot \varphi(z)$ , где $\lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1$ , и, согласно формуле (4.15), $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ .

Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса $z=\infty$ для дроби $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, $z=\infty-\Pi(5)$ для числителя и $\Pi(3)$ — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ .

Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке $z=\infty$ для следующих функций: а) $f(z)= \frac{z^3}{z-1}$ ; б) $f(z)=z^2+1+\frac{1}{z^2-1}$ .

Решение

Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням $z\colon$

а) $f(z)= z^3\cdot \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \left(1+\frac{1}{z}+ \ldots\right)= z^2+z+1+\ldots,\quad |z|>1$ ;

б) $f(z)= z^2+1+\frac{1}{z^2}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}= z^2+1+ \frac{1}{z^2}\cdot \left(1+\frac{1}{z^2}+\ldots\right)= z^2+1+\frac{1}{z^2}+\ldots,\quad |z|>1$ .

Из разложений следует, что $z=\infty-\Pi(2)$ для каждой из заданных функций.

Второй способ. Обозначим $z=\frac{1}{\xi}$ и определим порядок полюса функции $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$ в точке $\xi=0\colon$

а) $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1}{\xi^2\cdot (1-\xi)}$ ;

б) $f(z)=\frac{z^4}{z^2-1},~~ f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\xi^2\cdot (1-\xi^2)}$ .

В каждом случае получаем представление функции в виде $f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{\varphi(\xi)}{\xi^2}$ , следовательно, $\xi=0-\Pi(2)$ для $f\!\left( \frac{1}{\xi}\right)$ . Поэтому $z=\infty-\Pi(2)$ для $f(z)$ .

Третий способ. Представим функции в виде (4.15):

а) $f(z)= z^3\cdot \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}= z^2\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z)= \frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}$ ;

б) $f(z)= \frac{z^4}{z^2-1}= z^2\cdot \frac{z^2}{z^2-1}$ или $f(z)= z^2\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}= z^2\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z)= \frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}$ .

Так как $\varphi(z)$ удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для $f(z)$ .

Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке $z= \infty$ для числителя и знаменателя дробей $f(z)=\frac{z^3}{z-1}$ и $f(z)= \frac{z^4}{z^2-1}$ . Для первой функции $z=\infty-\Pi(3)$ для числителя и $\Pi(1)$ для знаменателя; для второй $z=\infty-\Pi(4)$ для числителя и $\Pi(2)$ для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций $z=\infty-\Pi(2)$ .

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть $z_0$ — особая точка функций $f_1(z)$ и $f_2(z)$ и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка $m~(\Pi(m))$ для функции $f_1(z)$ и полюсом порядка $k~(\Pi(k))$ для функции $f_2(z)$ .

а) При исследовании суммы $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

$f_1(z)=\frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^m},~~ f_2(z)=\frac{\varphi_2(z)}{(z-z_0)^k}$ , где $\varphi_1(z_0)\ne0,~\varphi_2(z_0)\ne0$ .

При $k=m$ для суммы $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ получаем $f(z)= \frac{\varphi_1(z)+\varphi_2(z)}{(z-z_0)^m}$ или $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^m}$ , где $\varphi(z)= \varphi_1(z)+ \varphi_2(z)$ . Если $\varphi(z_0)\ne0$ , то $z_0-\Pi(m)$ для функции $f(z)$ . Однако для функций $f_1(z),\, f_2(z)$ может выполняться условие $\varphi_1(z_0)+ \varphi_2(z_0)=0$ и' следовательно, $\varphi(z_0)=0$ . В этом случае формула (4.14) не применима и точка $z_0$ не будет полюсом порядка $m$ для $f(z)$ . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем $m$ , и равен $(m-p)$ в случае $m>p$ , где $p$ — порядок нуля функции $\varphi(z)$ . Если $p=m$ , то $z_0$ — устранимая особая точка для $f(z)$ .

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения $f_1(z)\cdot f_2(z)$ воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции $F_1(z)= \frac{1}{f_1(z)},~ F_2(z)= \frac{1}{f_2(z)}$ . Для первой из этих функций $z_0-0(m)$ , для второй соответственно $z_0-0(k)$ . а поэтому для $F(z)= F_1(z)\cdot F_2(z)$ она будет $0(m+k)$ . Согласно п.2 утверждения 4.3, $z_0$ является $\Pi(m+k)$ для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$ .

в) Аналогичные рассуждения для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ приводят к результату: при $m>k$ точка $z_0$ является $\Pi(m-k)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Второй случай. Пусть точка $z_0$ является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для $f_1(z)$ и существенно особой для $f_2(z)$ . Так как $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)$ не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Следовательно, для каждой из них $z_0$ — существенно особая точка. Заметим, что для функции $\frac{1}{f_2(z)}$ эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции $\frac{1}{\sin z^{-1}}$ .

Третий случай. Пусть $z_0$ — полюс порядка $n$ для $f_1(z)$ и устранимая особая точка для $f_2(z)$ . Разложения этих функций в ряд в окрестности $z_0$ имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции $f_1(z)$ . Следовательно, для $f(z)= f_1(z)\pm f_2(z)$ точка $z_0$ — полюс порядка $n$ .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ .

Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $z_0-0(p),~ p<n$ для функции $f_2(z)$ , то из равенства

$f_1(z)\cdot f_2(z)= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n}\cdot \varphi_2(z)\cdot (z-z_0)^p= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n-p}}$ заключаем, что $z_0-\Pi(n-p)$ .

в) Для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ при условии $\lim\limits_{z\to z_0} f_2(z)\ne0$ из равенства $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n f_2(z)}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ заключаем, что $z_0-\Pi(n)$ для $f(z)$ .

Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $z_0-0(p)$ для $f_2(z)$ , то, используя условие кратного нуля, из равенства

$f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n \varphi_2(z) (z-z_0)^p}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n+p}}$

заключаем, что $z_0$ является $\Pi(n+p)$ для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где $n$ — порядок полюса функции $f_1(z),~p$ — порядок нуля функции $f_2(z)$ в точке $z_0$ .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4

1. Пусть точка $z_0$ является $\Pi(m)$ для функции $f_1(z)$ и $\Pi(k)$ для функции $f_2(z)$ . Тогда:

а) для $f_1(z)\pm f_2(z)$ она будет $\Pi(n),~ n \leqslant \max(m,k)$ , а при $n=0$ — устранимой особой точкой;

б) для $f_1(z)\cdot f_2(z)$ она является $\Pi(n),~ n=m+k$ ;

в) для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет $\Pi(n),~ n=m-k$ .

2. Пусть $z_0$ — существенно особая точка для функции $f_2(z)$ и устранимая особая точка или полюс для функции $f_1(z)$ . Тогда $z_0$ — существенно особая точка для $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

3. Пусть точка $z_0$ является $\Pi(n)$ для функции $f_1(z)$ и устранимой особой точкой для функции $f_2(z)$ . Тогда:

а) для $f_1(z)\pm f_2(z)$ она будет $\Pi(n)$ ;

б) для $f_1(z)\cdot f_2(z)$ она является $\Pi(n)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ , и $\Pi(n-p)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $p$ — порядок нуля $f_2(z)$ в точке $z_0$ ;

в) для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет $\Pi(n)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$ , и $\Pi(n+p)$ , если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$ и $p$ — порядок нуля $f_2(z)$ в точке $z_0$ ;

4. Если точка $z_0-\Pi(n)$ для $\varphi(z)$ , то она существенно особая точка для сложной функции $f(\varphi(z))$ . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для $\varphi(z)$ и $f(\varphi(z))$ в окрестности $z_0$ .

Пример 4.19. Определить тип особой точки $z=0$ для функции $f(z)$ , если $f(z)= f_1(z)+ f_2(z)$ , где $f_1(z)= \frac{1}{z^2}$ , а функция $f_2(z)$ определяется следующим образом:

а) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}$ ; б) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}$ ; в) $f_2(z)=1-\frac{1}{z}$ .

Решение

Очевидно, точка $z=0$ является $\Pi(2)$ для $f_1(z)$ и для $f_2(z)$ в первых двух случаях; в последнем случае $z=0-\Pi(1)$ для $f_2(z)$ .

Для каждого из указанных случаев задания $f_2(z)$ записываем разложение функции $f(z)$ по степеням $z$ , из которого определяем тип точки $z=0$ для $f(z)\colon$

a) $f(z)= \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}=-\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z};\quad z=0-\Pi(2)$ для $f(z)$ ;

б) $f(z)= \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}=\frac{1}{z};\quad z=0-\Pi(1)$ для $f(z)$ ;

в) $f(z)= \frac{1}{z^2}+1- \frac{1}{z} =\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z}+1;\quad z=0-\Pi(2)$ для $f(z)$ .

Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4.

Пример 4.20. Найти особые точки функции $f(z)= \frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}$ . Определить их тип.

Решение

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого $z=2k\pi i,~ k\in\mathbb{Z}$ , особая точка второго слагаемого $z=0$ входит в это множество. Точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$ являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$ -простые полюсы $f(z)$ (см. п. 3 "а" утверждения 4.4).

Точка $z=0$ — простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для $f(z)$ — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 "а" утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: $f(z)= \frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}$ . Точка $z=0$ является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это — устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, т.е. находя $\lim\limits_{z\to0}f(z)$ . Действительно,

$\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots+z+ 1}{\left(-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots-1 \right)\!z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-\dfrac{z^2}{2!}-\dfrac{z^3}{3!}-\ldots}{z^2\! \left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-z^2\! \left(\dfrac{1}{2!}+ \dfrac{z}{3!}+\ldots\right)}{ z^2\!\left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}=-\frac{1}{2}\,.$

Точка $z=\infty$ для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности $|z|>R$ содержится бесконечное множество особых точек вида $z_k=2k\pi i$ . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z-\pi}{\sin^2z}\cos \frac{1}{z-2i}+ \frac{1}{z^6+1}$ ; б) $f(z)= \frac{1}{z^2-1} \sin \frac{\pi z}{2z+1}+ \frac{1}{e^z+i}$ .

Решение

Обозначим $f_1(z)$ — первое слагаемое, $f_2(z)$ — второе слагаемое функции $f(z)$ , т.е. имеем $f(z)=f_1(z)+f_2(z)$ .

а) Для $f_1(z)$ точка $z=2i$ является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для $\cos \frac{1}{z-2i}$ множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для $f(z)$ (п. 2 утверждения 4.4).

Точки $z_k=k\pi,~k\ne1$ — полюсы второго порядка функции $f_1(z)$ , так как ее можно записать в виде $f_1(z)=\frac{\varphi(z)}{\sin^2z}$ , где $\varphi(z_k)\ne0$ , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для $f_2(z)$ эти точки не особые, то $z_k=k\pi,~z\ne\pi$ — полюсы второго порядка для $f(z)$ (п. 3 утверждения 4.4).

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что $z=\pi$ — простой полюс для $f(z)$ .

Особыми точками $f_2(z)$ являются корни уравнения $z^6+1=0$ , то есть $z_k=\exp \frac{(-\pi+2k\pi)i}{6},~ k=0,1,\ldots,5$ . Все они — простые нули знаменателя- функции $F(z)$ , а потому — простые полюсы для $f_2(z)= \frac{1}{F(z)}$ . Так как эти точки не являются особыми для $f_1(z)$ , то для $f(z)$ — это простые полюсы.

Точка $z=\infty$ — неизолированная особая точка $f(z)$ .

б) Точка $z=\frac{-1}{2}$ — полюс дроби $\frac{\pi z}{2z+1}$ является существенно особой точкой для $\sin\frac{\pi z}{2z+1}$ (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для $f_1(z)$ и, следовательно, для $f(z)$ .

Точка $z=1$ — простой полюс для $f_1(z)$ , так как можно записать $f_2(z)= \frac{\varphi(z)}{z-1},~ \varphi(z)\ne0$ . Поскольку $z=1$ не является особой точкой для $f_2(z)$ , то она — простой полюс для $f(z)$ .

Точка $z=-1$ — устранимая особая точка для $f_1(z)$ , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби $\frac{\sin\dfrac{\pi z}{2z+1}}{z^2-1}$ . Так как $z=-1$ не является особой точкой для $f_2(z)$ , то она — устранимая особая точка для $f(z)$ .

Особыми точками $f_2(z)$ являются простые нули знаменателя — корни уравнения $e^z+i=0$ , или $e^z=-i$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-i)$ . Все точки

$z_k=\ln|-i|+i\bigl(\arg(-i)+2k\pi\bigr)$ , или $z_k=i\! \left(2k\pi-\frac{\pi}{2}\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}$

являются простыми полюсами для $f_2(z)$ и, следовательно, простыми полюсами для $f(z)$ .

Точка $z=\infty$ — неизолированная особая точка $f(z)$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]