Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Особые решения дифференциальных уравнений

Особые решения дифференциальных уравнений


Решение y=\varphi(x) дифференциального уравнения


F(x,y,y')=0
(1)

называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку (x_0,y_0) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке (x_0,y_0) ту же касательную, что и решение y=\varphi(x), но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности (x_0,y_0). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция F(x,y,y') и ее частные производные \frac{\partial F}{\partial y} и \frac{\partial F}{\partial y'} непрерывны по всем аргументам x,\,y,\,y' , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению


\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')=0.
(2)

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить y' из уравнений (1) и (2).


Полученное после исключения y' из (1) и (2) уравнение


\psi(x,y)=0
(3)

называется p-дискриминантом уравнения (1), а кривая, определяемая уравнением (3), называется p-дискриминантной кривой (коротко \mathsf{PDK}).

Часто бывает так, что \mathsf{PDK} распадается на несколько ветвей. Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.




Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения


xy'+(y')^2-y=0.
(4)

Решение.


а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае F(x,y,y')\equiv xy'+(y')^2-y и условие (2) принимает вид \frac{\partial F}{\partial y'}\equiv x+2y'=0, отсюда y'=-\frac{x}{2}. Подставляя это выражение для y' в уравнение (4), получаем


y=-\frac{x^2}{4}
(5)

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.


б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что y=-\frac{x^2}{4} есть решение уравнения (4).


в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде y=xy'+(y')^2. Это уравнение Клеро. Его общее решение


y=Cx+C^2
(6)

Выпишем условие касания двух кривых y=y_1(x) и y=y_2(x) в точке с абсциссой x=x_0:


y_1(x_0)=y_2(x_0), \quad y'_1(x_0)=y'_2(x_0).
(7)

Огибающая семейства прямых как особое решение дифференциального уравнения

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой x-x_0.


Полагая y_1(x)=-\frac{x^2}{4},~y_2(x)=Cx+C^2, находим, что условия (7) принимают вид


-\frac{x_0^2}{4}=Cx_0+C^2, \quad -\frac{x_0}{2}=C.
(8)

Подставляя C=-\frac{x_0}{2} в первое из равенств (8), получаем -\frac{x_0^2}{4}=-\frac{x_0^2}{2}+\frac{x_0^2}{4} или -\frac{x_0^2}{4}=-\frac{x_0^2}{4}\,, т.е. при C=-\frac{x_0}{2} первое равенство выполняется тождественно, так как x_0 есть абсцисса произвольной точки.


Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой C=-\frac{x_0}{2}. Значит, y=-\frac{x^2}{4} есть особое решение уравнения (4).


г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).




Огибающей семейства кривых


\Phi(x,y,C)=0
(9)

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые \Gamma_1 и \Gamma_2 касаются в точке M_0, если они имеют в этой точке общую касательную.


Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения x,\,y,\,y' совпадают со значениями x,\,y,\,y' для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке огибающей значения x,\,y,\,y' удовлетворяют уравнению F(x,y,y')=0, т.е. огибающая является интегральной кривой.


Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.


Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений


\begin{cases}\Phi(x,y,C)&=0,\\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial C}\Phi(x,y,C)&=0.\end{cases}
(10)

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:


1) существуют ограниченные по модулю частные производные


\left|\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right|\leqslant M, \quad \left|\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right|\leqslant N,
(11)

где M и N — постоянные;


2) \frac{\partial\Phi}{\partial x}\ne0 \quad \text{or} \quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne0.


Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.




Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения


x(y')^2-2yy'+4x=0, \quad x>0,
(13)
зная его общий интеграл
x^2=C(y-C).
(14)

Решение.


а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем \Phi(x,y,C)\equiv C(y-C)-x^2, так что \frac{\partial\Phi}{\partial C}\equiv y-2C\,, отсюда C=\frac{y}{2}. Подставляя это значение C в (14), получаем x^2=\frac{y}{2}\!\left(y-\frac{y}{2}\right)\!, откуда


(y-2x)(y+2x)=0 \quad \Rightarrow \quad y=\pm2x.
(15)

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых y=2x и y=-2x.


б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).


в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как \frac{\partial\Phi}{\partial x}=-2x и \frac{\partial\Phi}{\partial y}=C, то на каждой ветви СДК имеем \left|\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right|=|-2x|\leqslant2b (предполагаем, что решение y(x) уравнения (13) рассматривается на отрезке 0<a\leqslant x\leqslant b).


\left|\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right|=|C|\leqslant N, здесь N=\max_{C\in G}|C|,

где G — область допустимых значений C.


Заметим, что на любой из ветвей СДК \frac{\partial\Phi}{\partial x}=-2x\ne0 в области x>0, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).


Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.




В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:


\mathsf{PDK\equiv O\cdot Z\cdot P^2=0,}
(16)

\mathsf{CDK\equiv O\cdot Y^2\cdot Z^3=0.}
(17)

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:


1) \mathsf{O=0} — уравнение огибающей;

2) \mathsf{Z=0} — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) \mathsf{P=0} — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель \mathsf{P} входит в \mathsf{PDK} в квадрате.


Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:


1) \mathsf{O=0} — уравнение огибающей;

2) \mathsf{Y=0} — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель \mathsf{Y} входит в \mathsf{CDK} в квадрате;

3) \mathsf{Z=0} — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель \mathsf{Z} входит в \mathsf{CDK} в кубе.


Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части \mathsf{PDK} и \mathsf{CDK} фигурировали в соотношениях (16) и (17).


Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.


В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в \mathsf{PDK} в квадрате (и совсем не входит в \mathsf{CDK}) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в \mathsf{CDK} в квадрате (и совсем не входит в \mathsf{PDK}), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в \mathsf{PDK} в первой степени, а в \mathsf{CDK} — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.




Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения


2y(y'+2)-x(y')^2=0.
(18)

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой


\left\{\!\!\!\begin{array}{r}2y(y'+2)-x(y')^2=0,\\2y-2xy'=0,\end{array}\right.
(19)

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по y'. Исключив y', получим p-дискриминантную кривую y^2+2xy=0, которая распадается на две ветви


y=0,
(20)
y=-4x.
(21)

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).


Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства


Cy-(C-x)^2=0,
(22)

являющегося общим интегралом для (18).


Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой \begin{cases}Cy-(C-x)^2=0,\\y-2(C-x)=0,\end{cases} откуда, исключая C, получаем y^2+4xy=0, или y=0 и y=-4x, что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии y=0 и y=-4x являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.


Интегральные кривые (22) суть параболы y=\frac{(C-x)^2}{C}, а линии y=0,~y=-4x - огибающие этого семейства парабол (рис. 20).


Огибающие семейства парабол



Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения


(y')^2=4x^2.
(23)

Решение. Дифференцируем (23) по y':


2y'=0.
(24)

Исключая y' из (23) и (24), получим x^2=0. Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.


Решениями уравнения (23) являются параболы y=x^2+C,~y=-x^2+C и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).


Из чертежа видно, что прямая x=0 действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).




Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения


(y')^2(2-3y)^2=4(1-y).
(25)

Решение. Найдем \mathsf{PDK}. Исключая y' из системы уравнений \begin{cases}(y')^2(2-3y)^2-4(1-y)=0,\\y'(2-3y)^2=0,\end{cases} получаем


(2-3y)^2(1-y)=0.
(26)

Преобразовав уравнение (25) к виду \frac{dx}{dy}=\pm\frac{2-3y}{2\sqrt{1-y}}, находим его общий интеграл y^2(1-y)=(x-C)^2.


Найдем \mathsf{CDK}. Исключая C из системы уравнений \begin{cases}y^2(1-y)-(x-C)^2=0,\\2(x-C)=0,\end{cases} будем иметь


y^2(1-y)=0.
(27)

Итак, из (26) и (27) имеем


\mathsf{PDK}\equiv(1-y)(2-3y)^2=0, \quad \mathsf{CDK}\equiv(1-y)y^2=0.

Множитель 1-y входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция y=1 есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что y=1 действительно удовлетворяет уравнению.


Уравнение 2-3y=0, входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения (\mathsf{P^2}).


Наконец, уравнение y=0, входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (\mathsf{Y^2}) (рис.22).


Особые решения дифференциального уравнения



Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения


3y=2xy'-\frac{2}{x}(y')^2.
(28)

Решение.


а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по y', получаем 0=2x-\frac{4}{x}y', откуда


y'=\frac{x^2}{2}\,.
(29)

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение \mathsf{PDK}:


\mathsf{PDK}\equiv6y-x^3=0.
(30)

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у' через р, перепишем (28) в виде


3y=2xp-\frac{2}{x}p^2.
(31)

Дифференцируя обе части (28) по x и учитывая, что y'=p, будем иметь


px^2-2p^2=(2x^3-4px)\frac{dp}{dx}\,, откуда (x^2-2p)\!\left(p-2x\frac{dp}{dx}\right)=0.

Огибающая семейства полукубических парабол

Приравнивая нулю первый множитель x^2-2p=0, получаем (29), а соотношение p-2x\frac{dp}{dx}=0 дает


Cx=p^2.
(32)

Исключая параметр p из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):


(3y+2C)^2=4Cx^3.
(33)

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь


2C=x^3-3y.
(34)

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение \mathsf{CDK}\equiv(6y-x^3)x^3=0.


Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что 6y-x^3=0есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а x=0 есть геометрическое место точек заострения (множитель x входит в уравнение \mathsf{CDK} в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что y=x^3\slash6 есть решение, а x=0 решением не является (при x=0 уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение y=x^3\slash6 есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved