Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Особые решения дифференциальных уравнений

Особые решения дифференциальных уравнений


Решение [math]y=\varphi(x)[/math] дифференциального уравнения


[math]F(x,y,y')=0[/math]
(1)

называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку [math](x_0,y_0)[/math] кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке [math](x_0,y_0)[/math] ту же касательную, что и решение [math]y=\varphi(x)[/math], но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности [math](x_0,y_0)[/math]. График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция [math]F(x,y,y')[/math] и ее частные производные [math]\frac{\partial F}{\partial y}[/math] и [math]\frac{\partial F}{\partial y'}[/math] непрерывны по всем аргументам [math]x,\,y,\,y'[/math] , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению


[math]\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')=0.[/math]
(2)

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить [math]y'[/math] из уравнений (1) и (2).


Полученное после исключения [math]y'[/math] из (1) и (2) уравнение


[math]\psi(x,y)=0[/math]
(3)

называется p-дискриминантом уравнения (1), а кривая, определяемая уравнением (3), называется p-дискриминантной кривой (коротко [math]\mathsf{PDK}[/math]).

Часто бывает так, что [math]\mathsf{PDK}[/math] распадается на несколько ветвей. Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.




Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения


[math]xy'+(y')^2-y=0.[/math]
(4)

Решение.


а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае [math]F(x,y,y')\equiv xy'+(y')^2-y[/math] и условие (2) принимает вид [math]\frac{\partial F}{\partial y'}\equiv x+2y'=0[/math], отсюда [math]y'=-\frac{x}{2}[/math]. Подставляя это выражение для [math]y'[/math] в уравнение (4), получаем


[math]y=-\frac{x^2}{4}[/math]
(5)

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.


б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что [math]y=-\frac{x^2}{4}[/math] есть решение уравнения (4).


в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде [math]y=xy'+(y')^2[/math]. Это уравнение Клеро. Его общее решение


[math]y=Cx+C^2[/math]
(6)

Выпишем условие касания двух кривых [math]y=y_1(x)[/math] и [math]y=y_2(x)[/math] в точке с абсциссой [math]x=x_0[/math]:


[math]y_1(x_0)=y_2(x_0), \quad y'_1(x_0)=y'_2(x_0).[/math]
(7)

Огибающая семейства прямых как особое решение дифференциального уравнения

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой [math]x-x_0[/math].


Полагая [math]y_1(x)=-\frac{x^2}{4},~y_2(x)=Cx+C^2[/math], находим, что условия (7) принимают вид


[math]-\frac{x_0^2}{4}=Cx_0+C^2, \quad -\frac{x_0}{2}=C.[/math]
(8)

Подставляя [math]C=-\frac{x_0}{2}[/math] в первое из равенств (8), получаем [math]-\frac{x_0^2}{4}=-\frac{x_0^2}{2}+\frac{x_0^2}{4}[/math] или [math]-\frac{x_0^2}{4}=-\frac{x_0^2}{4}\,,[/math] т.е. при [math]C=-\frac{x_0}{2}[/math] первое равенство выполняется тождественно, так как [math]x_0[/math] есть абсцисса произвольной точки.


Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой [math]C=-\frac{x_0}{2}[/math]. Значит, [math]y=-\frac{x^2}{4}[/math] есть особое решение уравнения (4).


г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).




Огибающей семейства кривых


[math]\Phi(x,y,C)=0[/math]
(9)

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma_2[/math] касаются в точке [math]M_0[/math], если они имеют в этой точке общую касательную.


Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения [math]x,\,y,\,y'[/math] совпадают со значениями [math]x,\,y,\,y'[/math] для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке [math](x,y)[/math], и, следовательно, в каждой точке огибающей значения [math]x,\,y,\,y'[/math] удовлетворяют уравнению [math]F(x,y,y')=0[/math], т.е. огибающая является интегральной кривой.


Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.


Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений


[math]\begin{cases}\Phi(x,y,C)&=0,\\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial C}\Phi(x,y,C)&=0.\end{cases}[/math]
(10)

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:


1) существуют ограниченные по модулю частные производные


[math]\left|\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right|\leqslant M, \quad \left|\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right|\leqslant N,[/math]
(11)

где [math]M[/math] и [math]N[/math] — постоянные;


2) [math]\frac{\partial\Phi}{\partial x}\ne0 \quad \text{or} \quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne0.[/math]


Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.




Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения


[math]x(y')^2-2yy'+4x=0, \quad x>0,[/math]
(13)
зная его общий интеграл
[math]x^2=C(y-C).[/math]
(14)

Решение.


а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем [math]\Phi(x,y,C)\equiv C(y-C)-x^2[/math], так что [math]\frac{\partial\Phi}{\partial C}\equiv y-2C\,,[/math] отсюда [math]C=\frac{y}{2}[/math]. Подставляя это значение [math]C[/math] в (14), получаем [math]x^2=\frac{y}{2}\!\left(y-\frac{y}{2}\right)\!,[/math] откуда


[math](y-2x)(y+2x)=0 \quad \Rightarrow \quad y=\pm2x.[/math]
(15)

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых [math]y=2x[/math] и [math]y=-2x[/math].


б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).


в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как [math]\frac{\partial\Phi}{\partial x}=-2x[/math] и [math]\frac{\partial\Phi}{\partial y}=C[/math], то на каждой ветви СДК имеем [math]\left|\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right|=|-2x|\leqslant2b[/math] (предполагаем, что решение [math]y(x)[/math] уравнения (13) рассматривается на отрезке [math]0<a\leqslant x\leqslant b[/math]).


[math]\left|\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right|=|C|\leqslant N,[/math] здесь [math]N=\max_{C\in G}|C|,[/math]

где [math]G[/math] — область допустимых значений [math]C[/math].


Заметим, что на любой из ветвей СДК [math]\frac{\partial\Phi}{\partial x}=-2x\ne0[/math] в области [math]x>0[/math], так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).


Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.




В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:


[math]\mathsf{PDK\equiv O\cdot Z\cdot P^2=0,}[/math]
(16)

[math]\mathsf{CDK\equiv O\cdot Y^2\cdot Z^3=0.}[/math]
(17)

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:


1) [math]\mathsf{O=0}[/math] — уравнение огибающей;

2) [math]\mathsf{Z=0}[/math] — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) [math]\mathsf{P=0}[/math] — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель [math]\mathsf{P}[/math] входит в [math]\mathsf{PDK}[/math] в квадрате.


Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:


1) [math]\mathsf{O=0}[/math] — уравнение огибающей;

2) [math]\mathsf{Y=0}[/math] — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель [math]\mathsf{Y}[/math] входит в [math]\mathsf{CDK}[/math] в квадрате;

3) [math]\mathsf{Z=0}[/math] — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель [math]\mathsf{Z}[/math] входит в [math]\mathsf{CDK}[/math] в кубе.


Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части [math]\mathsf{PDK}[/math] и [math]\mathsf{CDK}[/math] фигурировали в соотношениях (16) и (17).


Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.


В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в [math]\mathsf{PDK}[/math] в квадрате (и совсем не входит в [math]\mathsf{CDK}[/math]) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в [math]\mathsf{CDK}[/math] в квадрате (и совсем не входит в [math]\mathsf{PDK}[/math]), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в [math]\mathsf{PDK}[/math] в первой степени, а в [math]\mathsf{CDK}[/math] — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.




Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения


[math]2y(y'+2)-x(y')^2=0.[/math]
(18)

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой


[math]\left\{\!\!\!\begin{array}{r}2y(y'+2)-x(y')^2=0,\\2y-2xy'=0,\end{array}\right.[/math]
(19)

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по [math]y'[/math]. Исключив [math]y'[/math], получим p-дискриминантную кривую [math]y^2+2xy=0[/math], которая распадается на две ветви


[math]y=0,[/math]
(20)
[math]y=-4x.[/math]
(21)

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).


Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства


[math]Cy-(C-x)^2=0,[/math]
(22)

являющегося общим интегралом для (18).


Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой [math]\begin{cases}Cy-(C-x)^2=0,\\y-2(C-x)=0,\end{cases}[/math] откуда, исключая [math]C[/math], получаем [math]y^2+4xy=0[/math], или [math]y=0[/math] и [math]y=-4x[/math], что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии [math]y=0[/math] и [math]y=-4x[/math] являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.


Интегральные кривые (22) суть параболы [math]y=\frac{(C-x)^2}{C}[/math], а линии [math]y=0,~y=-4x[/math] - огибающие этого семейства парабол (рис. 20).


Огибающие семейства парабол



Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения


[math](y')^2=4x^2.[/math]
(23)

Решение. Дифференцируем (23) по [math]y':[/math]


[math]2y'=0.[/math]
(24)

Исключая [math]y'[/math] из (23) и (24), получим [math]x^2=0[/math]. Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.


Решениями уравнения (23) являются параболы [math]y=x^2+C,~y=-x^2+C[/math] и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).


Из чертежа видно, что прямая [math]x=0[/math] действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).




Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения


[math](y')^2(2-3y)^2=4(1-y).[/math]
(25)

Решение. Найдем [math]\mathsf{PDK}[/math]. Исключая [math]y'[/math] из системы уравнений [math]\begin{cases}(y')^2(2-3y)^2-4(1-y)=0,\\y'(2-3y)^2=0,\end{cases}[/math] получаем


[math](2-3y)^2(1-y)=0.[/math]
(26)

Преобразовав уравнение (25) к виду [math]\frac{dx}{dy}=\pm\frac{2-3y}{2\sqrt{1-y}}[/math], находим его общий интеграл [math]y^2(1-y)=(x-C)^2[/math].


Найдем [math]\mathsf{CDK}[/math]. Исключая [math]C[/math] из системы уравнений [math]\begin{cases}y^2(1-y)-(x-C)^2=0,\\2(x-C)=0,\end{cases}[/math] будем иметь


[math]y^2(1-y)=0.[/math]
(27)

Итак, из (26) и (27) имеем


[math]\mathsf{PDK}\equiv(1-y)(2-3y)^2=0, \quad \mathsf{CDK}\equiv(1-y)y^2=0.[/math]

Множитель [math]1-y[/math] входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция [math]y=1[/math] есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что [math]y=1[/math] действительно удовлетворяет уравнению.


Уравнение [math]2-3y=0[/math], входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения [math](\mathsf{P^2})[/math].


Наконец, уравнение [math]y=0[/math], входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек [math](\mathsf{Y^2})[/math] (рис.22).


Особые решения дифференциального уравнения



Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения


[math]3y=2xy'-\frac{2}{x}(y')^2.[/math]
(28)

Решение.


а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по [math]y'[/math], получаем [math]0=2x-\frac{4}{x}y'[/math], откуда


[math]y'=\frac{x^2}{2}\,.[/math]
(29)

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение [math]\mathsf{PDK}:[/math]


[math]\mathsf{PDK}\equiv6y-x^3=0.[/math]
(30)

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у' через р, перепишем (28) в виде


[math]3y=2xp-\frac{2}{x}p^2.[/math]
(31)

Дифференцируя обе части (28) по [math]x[/math] и учитывая, что [math]y'=p[/math], будем иметь


[math]px^2-2p^2=(2x^3-4px)\frac{dp}{dx}\,,[/math] откуда [math](x^2-2p)\!\left(p-2x\frac{dp}{dx}\right)=0.[/math]

Огибающая семейства полукубических парабол

Приравнивая нулю первый множитель [math]x^2-2p=0[/math], получаем (29), а соотношение [math]p-2x\frac{dp}{dx}=0[/math] дает


[math]Cx=p^2.[/math]
(32)

Исключая параметр [math]p[/math] из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):


[math](3y+2C)^2=4Cx^3.[/math]
(33)

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь


[math]2C=x^3-3y.[/math]
(34)

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение [math]\mathsf{CDK}\equiv(6y-x^3)x^3=0[/math].


Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что [math]6y-x^3=0[/math]есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а [math]x=0[/math] есть геометрическое место точек заострения (множитель [math]x[/math] входит в уравнение [math]\mathsf{CDK}[/math] в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что [math]y=\frac{x^3}{6}[/math] есть решение, а [math]x=0[/math] решением не является (при [math]x=0[/math] уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение [math]y=\frac{x^3}{6}[/math] есть особое (огибающая семейства интегральных линий).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved