Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основные законы распределения целочисленных случайных величин

Основные законы распределения целочисленных случайных величин


Определение целочисленной случайной величины. Производящая функции и её свойства. Биномиальный, пуассоновский, геометрический и равномерный законы распределения, производящие функции для этих законов распределения и их числовые характеристики. Гипергеометрический закон распределения.

Производящие функции


Среди дискретных случайных величин особенно важны величины, принимающие только целые значения 0, 1, 2, … Такие случайные величины называются целочисленными. Для изучения таких величин вводится понятие производящей функции. Пусть [math]X[/math]– целочисленная случайная величина с распределением вероятности [math]P\{X=j\}=p_j,j=0,1,2,\ldots[/math]


Функция комплексного аргумента [math]s[/math]


[math]P(s)=p_0+p_1s+p_2s^2+p_3s^3+\cdots=\sum\limits_{k=0}^{n}p_ks^k~~~~~~~(7.1)[/math]

называется производящей функцией данного распределения. Ряд (7.1) сходится по крайней мере в единичном круге [math]|s|<1[/math]. Укажем основные свойства производящей функции.

Свойство 1. [math]P(1)=p_0+p_1+p_2+\cdots=1[/math].


Свойство 2. Математическое ожидание случайной величины выражается формулой


[math]M(X)=P'(1).[/math]

Свойство 3. Дисперсия случайной величины выражается формулой


[math]D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^2(1).[/math]

Таким образом, производящую функцию можно использовать для нахождения числовых характеристик целочисленных случайных величин. Более того, она полностью задаёт закон распределения этих величин.


Рассмотрим наиболее часто встречающиеся законы распределения целочисленных случайных величин.




Биномиальный закон (распределение Бернулли)


В общей форме биномиальный закон описывает осуществление признака в [math]n[/math] испытаниях с возвратом. Наглядной схемой таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей [math]m_1[/math] белых и [math]m_2[/math] чёрных шаров. Если [math]X[/math] — число появления белых шаров в выборке из [math]n\leqslant{m_1+m_2}[/math] шаров, то


[math]P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=C_n^kp^kq^{n-k},~k=0,1,2,\ldots,n,~~~~~~~(7.2)[/math]

где [math]p,q[/math] — вероятность появления при одном извлечении соответственно белого и чёрного,

[math]p=\frac{m_1}{m_1+m_2};~~q=1-p.[/math]

Производящая функция биномиального распределения задаётся формулой


[math]\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k(ps)^kq^{n-k}=(q+sp)^n.[/math]

Основные характеристики биномиального распределения (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=np;~~~~~D[X]=npq.[/math]



Пример 1. Вероятность получения бракованного изделия равна 0,01. Какова вероятность того, что среди 100 изделий окажется не более 3 бракованных?


Решение. Пусть [math]p=0,\!01;~q=0,\!99[/math]. Согласно биномиальному закону и закону сложения имеем


[math]{P=C_{100}^0(0,\!01)^0(0,\!99)^{100}+C_{100}^1(0,\!01)^1(0,\!99)^{99}+C_{100}^2(0,\!01)^2(0,\!99)^{98}+C_{100}^3(0,\!01)^3(0,\!99)^{97}=0,\!9816.}[/math]

Подробнее о распределении Бернулли см. часть 3.




Закон распределения Пуассона (закон редких событий)


Случайная величина [math]X[/math] называется распределённой по закону Пуассона с параметром [math]\lambda>0[/math], если


[math]P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k},~~k=0,1,2,\ldots~~~~~~~(7.3)[/math]

Производящая функции распределения Пуассона задаётся формулой


[math]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{s})^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda+\lambda{s}}.[/math]

Характерной особенностью распределения Пуассона являются совпадения математического ожидания и дисперсии, причём


[math]M(X)=D[X]=\lambda.[/math]

Распределение Пуассона можно получить из биномиального распределения путёмпредельного перехода при [math]n\to\infty,~p\to0[/math] при условии [math]np=\lambda=\text{const}[/math] и в этом случае интерпретируется как закон “редких” явлений. Если [math]n[/math] достаточно велико, a [math]p[/math] мало, то формулу Пуассона (7.3) часто используют в качестве приближения вместо точных биномиальных формул для вероятностей [math]k[/math] успехов в [math]n[/math] испытаниях (подробнее см. часть 3).




Пример 2. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что первое сентября является днём рождения одновременно для [math]k[/math] студентов данного факультета? Вычислить указанную вероятность для значений [math]k=0,1,2,3[/math].


Решение. Так как [math]n=500\geqslant1[/math] и вероятность родиться первого сентября любому из студентов факультета [math]p=\frac{1}{365}\leqslant1,[/math] то можно считать, что случайное число студентов [math]X,[/math] родившихся первого сентября, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром [math]\lambda=np=\frac{500}{365}\approx1,\!36986.[/math] Поэтому, по формуле (7.3), имеем


[math]p_0=P\{X=0\}=e^{-\lambda}\approx0,\!2541.[/math]

Далее рекуррентно находим

[math]\begin{aligned}p_1&=P\{X=1\}=\frac{\lambda}{1!}\cdot e^{-\lambda}=\lambda\cdot p_0\approx0,\!3481;\\[2pt] p_2&=P\{X=2\}=\frac{\lambda^2}{2!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{\lambda}{2}\cdot p_1\approx0,\!2385;\\[2pt] p_3&=P\{X=3\}=\frac{\lambda^3}{3!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{\lambda}{3}\cdot p_2\approx0,\!1089.\end{aligned}[/math]



К случайным величинам, подчинённым закону Пуассона, приводит большое количество задач, относящих к вопросам массового обслуживания. В качестве примера рассмотрим работу телефонной станции. Можно доказать, что при выполнении некоторых условий вероятность [math]k[/math] вызовов за промежуток времени [math]t[/math] определяется формулой


[math]P\{X=k\}=\frac{(at)^k}{k!}e^{-at},[/math] где [math]X[/math] — количество вызовов.

Если положить [math]at=\lambda,[/math] то последняя формула означает, что случайная величина распределена по закону Пуассона.




Геометрический закон распределения


Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого события [math]A[/math], вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна [math]p[/math]. Тогда число [math]X[/math] произведённых испытаний есть дискретная случайная величина с геометрическим распределением вероятности. Примером может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и сохраняет постоянное значение [math]p[/math]. Число [math]X[/math] произведённых выстрелов будет случайной величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа. Геометрический закон распределения задаётся формулой


[math]P\{X=k\}=q^{k-1}p,~k=1,2,\ldots,[/math] где [math]q=1-p.[/math]

Характеристическая функция геометрического закона распределения задаётся формулой


[math]\frac{p}{q}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(qs)^k=\frac{ps}{1-qs}.[/math]

Основные характеристики геометрического закона распределения (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=\frac{1}{p};~~~~~D[X]=\frac{q}{p^2}.[/math]



Равномерный закон распределения


Равномерное распределение задаётся следующим законом:


[math]P\{X=k\}=\frac{1}{n},~~~k=1,2,\ldots,n.[/math]

Этот закон имеет место в случае, когда [math]n[/math] возможных исходов испытания равновероятны. Примером целочисленной случайной величины, распределённой по равномерному закону, может служить число очков, выпадающих при бросании симметричной кости (любое из значений [math]k=1,2,\ldots,6[/math] выпадает с одинаковой вероятностью [math]\frac{1}{6}[/math]). Характеристическая функция равномерного закона задаётся формулой


[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{s^k}{n}=\frac{s(1-s^n)}{1-s}.[/math]

Числовые характеристики геометрического закона распределения (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=\frac{n+1}{2};~~~~~D[X]=\frac{n^2-1}{12}.[/math]



Гипергеометрический закон распределения


Случайная величина [math]X[/math] имеет гипергеометрическое распределение с параметрами [math]n_1,n_2[/math] и [math]n\leqslant{n_1+n_2}[/math] ([math]n,n_1,n_2[/math] — натуральные числа), если она принимает конечное множество натуральных значений [math]\{k_1,k_1+1,\ldots,k_2\}[/math] соответственно с вероятностями


[math]P\{X=k\}=\frac{C_{n_1}^{k}C_{n_2}^{n-k}}{C_{n_1+n_2}^{n}},~~~k_1\leqslant{k}\leqslant{k_2}.~~~~~~~(7.4)[/math]

причём [math]k_1=\max\{0,n-n_2\};~k_2=\min\{n_1,n\}[/math].

Гипергеометрическое распределение возникает в экспериментах по выбору без возвращения [math]n[/math] шаров из урны, содержащей [math]n_1+n_2[/math] шаров, из которых [math]n_1[/math] белых и [math]n_2[/math] чёрных. Таким образом, это распределение описывает осуществление признака в выборке без возврата (в отличии от биномиального распределения). На практике к гипергеометрическому распределению приводят задачи, где изделия из партии отбирают случайно (обеспечивая для каждого изделия равную возможность быть отобранным), но отобранные изделия не возвращают в партию. Такой отбор особенно важен в тех задачах, где проверка изделия связана с его разрушением (например, проверка изделия на срок службы).


Числовые характеристики гипергеометрического распределения (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=\frac{nn_1}{n_1+n_2}; \quad D[X]=\frac{nn_1n_2}{(n_1+n_2)^2}\cdot\frac{n_1+n_2-n}{n_1+n_2-1}.[/math]

Следует заметить, что если [math]n_1+n_2[/math] очень велико по сравнению с [math]n[/math], то не имеет существенного значения, возвращаются шары обратно или нет, и формула (7.4) может быть приближённо заменена формулой (7.1) биномиального распределения.




Перейти к следующему разделу
Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved