Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Основные законы распределения непрерывных случайных величин


Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция


Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция. Характеристической функцией случайной величины [math]X[/math] называется математическое ожидание комплексной случайной величины [math]e^{isX}[/math], рассматриваемое как функции параметра [math]s[/math] (здесь и далее в этой части [math]i[/math]– мнимая единица). Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины [math]X[/math] задаётся формулой


[math]g(s)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{isx}f(x)\,dx[/math], где [math]f(x)[/math]– плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:


1) при любом действительном значении [math]s[/math] характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть


[math]|g(s)|\leqslant1,~s\in\mathbb{R}\,;[/math]

2) характеристическая функция равна единицы при [math]s=0[/math], то есть [math]g(0)=1[/math].


Плотность вероятности случайной величины [math]X[/math] можно выразить через её характеристическую функцию:


[math]f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{isx}g(s)\,ds.[/math]

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой. Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины. Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:


[math]M(X)=-ig'(0);\quad D[X]=g'(0)-g''(0).[/math]



Нормальный закон распределения (закон Гаусса)


Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины [math]X[/math] выражается формулой


[math]f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right).[/math]
(8.1)

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки [math]x=a[/math] (точка максимума). При уменьшении [math]\sigma[/math] ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).


Кривые распределения нормального закона (закон Гусса)

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=a;\qquad D[X]=\sigma^2.[/math]

Таким образом, параметры [math]a[/math] и [math]\sigma[/math] в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:


[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{D[X]}}}\exp\!\left(-\frac{(x-M(X))^2}{2D[X]}\right).[/math]

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.


Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой


[math]g(s)=\exp\!\left(ias-\frac{1}{2}\sigma^2s^2\right).[/math]



Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина [math]X[/math] удовлетворяет неравенству [math]\alpha<X<\beta[/math].


Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности (см. раздел 4, часть 4), получаем


[math]{P\{\alpha<X<\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\exp\!\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)\!dx.}[/math]

Положим [math]\frac{x-a}{\sigma}=t[/math], тогда
[math]{P\{\alpha<X<\beta\}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\tfrac{\beta-a}{\sigma}}^{\tfrac{\alpha-a}{\sigma}}\sigma\exp\!\left(-\frac{t^2}{2}\right)\!dt=\Phi\!\left(\frac{\beta-a}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{\alpha-a}{\sigma}\right).}[/math]

где [math]\Phi(x)[/math] — функция Лапласа ([url]см. приложение 2[/url]).
График плотности вероятности стандартизированной нормальной величины

Выполним некоторые числовые расчёты. Если положить [math]\alpha=a-3\sigma;~\beta=a+3\sigma[/math] в условии примера 1, то


[math]{P\{a-3\sigma <X<a+3\sigma\}=2\Phi(3)=0,\!9973.}[/math]

Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице (0,9973), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за пределы интервала [math](a-3\sigma;a+3\sigma)[/math]. Это утверждение называют правилом трёх сигм.


Наконец, если [math]a=0,~\sigma=1[/math], то случайная величина, распределённая по нормальному закону с такими параметрами, называется стандартизированной нормальной величиной. На рис. 18 изображён график плотности вероятности этой величины


[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{2}\right).[/math]

Примеры с использованием нормального закона распределения приведены также в части 9.




Логарифмически нормальное распределение


Говорят, что случайная величина [math]Y[/math] имеет логарифмически нормальное распределение (сокращённо логнормальное распределение), если её логарифм [math]\ln{Y}=X[/math] распределён нормально, то есть если


[math]Y=e^X,[/math]

где величина [math]X[/math] имеет нормальное распределение с параметрами [math]a,\sigma.[/math]


Плотность логнормального распределения задаётся формулой


[math]f(y)=\frac{1}{y\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(\ln{y}-a)^2}{2\sigma^2}\right),~~~y>0.[/math]

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам


[math]M(Y)=\exp\!\left(a+\frac{\sigma^2}{2}\right); \quad D[Y]=e^{2(2\sigma^2+a)^2-a^2}-e^{2a+\sigma^2}.[/math]

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.


График кривой логнормального распределения

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д. Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:


[math]\ln{Y}=X=X_1+X_2+\cdots+X_n=\sum\limits_{k=1}^{n}X_k,[/math] то есть [math]Y=\prod\limits_{k=1}^{n}e^{X_k}[/math], где [math]e^{X_k}[/math] независимы.



Гамма-распределение


Говорят, что случайная величина [math]X[/math] имеет гамма-распределение с параметрами [math]a>0[/math] и [math]b>0[/math], если её плотность распределения вероятностей имеет вид


[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\dfrac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx},&x>0.\end{cases}[/math] где [math]\Gamma(a)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,dt[/math] — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра [math]a>1[/math] и [math]a<1[/math] (при [math]a=1[/math] получаем экспоненциальное распределение).


График кривых гамма-распределения вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами


[math]M(X)=\frac{a}{b};\qquad D[X]=\frac{a}{b^2}.[/math]

Отметим, что при [math]a>1[/math] гамма-распределение имеет моду


[math]M_o=\frac{a-1}{b}[/math]

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума [math]x=M_o[/math], рис. 20).




Экспоненциальный закон распределения


Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами [math]a=1;~b=\lambda>0[/math], то есть то есть плотность вероятности в этом случае


[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\lambda{e^{-\lambda{x}}},&x>0.\end{cases}[/math]

Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения [math]F(x)[/math] экспоненциального закона:


[math]F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\1-e^{-\lambda{x}},&x\geqslant0.\end{cases}[/math]

Основные характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины [math]X[/math], распределённой по экспоненциальному, имеют вид


[math]M(X)=\frac{1}{\lambda};~~~~~D[X]=\frac{1}{\lambda^2}.[/math]

Характеристическая функция экспоненциального распределения задаётся формулой


[math]g(s)=\frac{\lambda}{\lambda-is}.[/math]

Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис. 21,а, а график функции распределения [math]F(x)[/math] — на рис. 21,б.


Графики плотности и функции экспоненциального распределения

Статистический смысл параметра [math]\lambda[/math] состоит в следующем: [math]\lambda[/math] есть среднее число событий на единицу времени, то есть [math]\frac{1}{\lambda}[/math] есть средний промежуток времени между двумя последовательными событиями.


Экспоненциальное (показательное) распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, [math]X[/math] — время ожидания при техническом обслуживании или [math]X[/math] — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например, [math]X[/math] — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).




Пример 2. Случайная величина [math]X[/math] — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.


Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины [math]X[/math] равно 400 ч, следовательно, [math]\lambda=\frac{1}{400}[/math]. Искомая вероятность есть


[math]{P\{X\geqslant600\}=1-P\{X<600\}=1-F(600)=1-\Bigl(1-\exp\frac{-600}{400}\Bigl)=e^{-1.5}\approx0,\!2231.}[/math]



Распределение Вейбула


Случайная величина [math]X[/math] подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами [math]n\in\mathbb{N},~a\in\mathbb{R},~b>0[/math], если её плотность распределения вероятностей записывается в виде


График плотности распределения Вейбула
[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant{a};\\\dfrac{n}{b}\!\left(\dfrac{x-a}{b}\right)^{n-1}\exp\!\left[-\!\left(\dfrac{x-a}{b}\right)^n\right],&x>a.\end{cases}[/math]

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:


[math]M(X)=a+b\Gamma\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!;\qquad M_0=a+\sqrt[n]{\frac{n-1}{n}}.[/math]

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.


Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.




Равномерный закон распределения


Случайная величина [math]X[/math] называется распределённой равномерно на отрезке [math][a;b][/math], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:


[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\notin[a;b],\\\dfrac{1}{b-a},&x\in[a;b].\end{cases}[/math]

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке [math][a;b][/math] ([math]X[/math] — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной [math]X[/math], которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.


Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины


[math]M(X)=\frac{a+b}{2};\qquad D[X]=\frac{(b-a)^2}{12}.[/math]

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой


[math]g(s)=\frac{1}{is(b-a)}(e^{isb}-e^{isa}).[/math]

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.


Графическая иллюстрация вероятности попадания случайной величины в заданную область



Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [math][a;b][/math], на участок [math](\alpha;\beta)[/math], представляющий собой часть отрезка [math][a;b][/math].


Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем


[math]P\{\alpha<X<\beta\}=\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{b-a}=\frac{\beta-\alpha}{b-a}.[/math]

Графически вероятность [math]P\{\alpha<X<\beta\}[/math] представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника на рис. 24.




Распределение хи-квадрат [math]\chi^2[/math]


Частный случай гамма-распределения с параметрами [math]a=\frac{n}{2},~n\in\mathbb{N}[/math] и [math]b=\frac{1}{2}[/math] называется распределением хи-квадрат с [math]n[/math] степенями свободы (пишут [math]\chi^2(n)[/math]). Если случайная величина [math]X[/math] подчиняется закону [math]\chi^2(n)[/math], то её плотность распределения вероятностей есть


[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)}x^{n/2-1}e^{-x/2},&x>0.\end{cases}[/math]

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):


[math]M(X)=n;\qquad D[X]=2n.[/math]

Кривые распределения (для различных значений [math]n[/math]) изображены на рис. 25.


График плотности распределения хи-квадрат

Случайная величина [math]X=\chi^2(n)[/math], подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов [math]n[/math] независимых случайных величин [math]U_j,~j\in\mathbb{N}[/math], каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть


[math]\chi^2(n)=U_1^2+U_2^2+\cdots+U_n^2.[/math]

Пусть [math]\chi^2(n_1)[/math] и [math]\chi^2(n_2)[/math] — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math]. Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с [math]n_1+n_2[/math] степенями свободы:


[math]\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2)=\chi^2(n_1+n_2).[/math]

Заметим, что распределение [math]\chi^2(n)[/math] при больших значениях [math]n~(n>30)[/math] с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием [math]n[/math] и дисперсией [math]2n[/math]. Поэтому при больших значениях [math]n[/math] вероятности рассчитываются по нормальному закону.


Распределение [math]\chi^2(n)[/math] играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].




Распределение Стьюдента


Распределение хи-квадрат Случайная величина [math]T(n)[/math] есть отношение двух независимых случайных величин [math]U[/math] и [math]\sqrt{\frac{\chi^2(n)}{n}}[/math], то есть

[math]T(n)=U\cdot\!\left(\frac{\chi^2(n)}{n}\right)^{-1/2}.[/math]

Распределение случайной величины [math]T(n)[/math] называется распределением Стьюдента с [math]n[/math] степенями свободы. Его плотность задаётся формулой


[math]f(x)=\frac{\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi{n}}\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)}\!\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\tfrac{n+1}{2}}.[/math]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента [math]X=T(n)[/math], есть


[math]M(X)=0;\qquad D[X]=\frac{n}{n-2}.[/math]

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений [math]n[/math]) изображены на рис. 26.


График плотности распределения Стьюдента

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении [math]n[/math] распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.




Распределение Фишера


Пусть случайная величина [math]F(n_1;n_2)[/math] равна отношению двух независимых случайных величин [math]\frac{\chi^2(n_1)}{n_1}[/math] и [math]\frac{\chi^2(n_2)}{n_2}[/math], то есть

[math]F(n_1;n_2)=\frac{\chi^2(n_1)/n_1}{\chi^2(n_2)/n_2}.[/math]

Распределение случайной величины [math]F(n_1;n_2)[/math] называется распределением Фишера с [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math] степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности


[math]f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\dfrac{\Gamma\!\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n_1}{2}\right)\!\Gamma\!\left(\frac{n_2}{2}\right)}\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}\!\dfrac{x^{\frac{n_1}{2}-1}}{\left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}}},&x>0.\end{cases}[/math]

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, [math]X=F(n_1;n_2)[/math] определяется по формуле


[math]M(X)=\frac{n_2}{n_2-2},~~n_2>2.[/math]

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений [math]n_1,n_2[/math]) изображены на рис. 27.


Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения


[math]T^2(n)=F(1;n),\quad F(n;\infty)=\frac{\chi^2(n)}{n},\quad \chi^2(1)=U^2.[/math]



Перейти к следующему разделу
Предельные теоремы теории вероятностей

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved