Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и её производные y',y'',\ldots,y^{(n)}, т. е. уравнение вида


F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0.

Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x, дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,


\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y''+y'+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t), то уравнение вида


F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0

называется уравнением в частных производных. Здесь k,l — неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m; например


\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y'+xy=e^x — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y''+p(x)y=0, где p(x) — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy''=x^2 — уравнение 9-го порядка.


Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x), определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b). Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y''+y=0 на интервале (-\infty,+\infty). В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь


y'=\cos{x}-\sin{x}, \quad y''=-\sin{x}-\cos{x}.

Подставляя выражения y'' и y в дифференциальное уравнение, получим тождество


-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.


Общий вид уравнения первого порядка


F(x,y,y')=0.
(1)

Интегральная кривая, проходящая через заданную точку

Если уравнение (1) удается разрешить относительно y', то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.


y'=f(x,y).
(2)

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0).


Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).




Теорема существования и единственности решения задачи Коши


Пусть дано дифференциальное уравнение y'=f(x,y), где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy, содержащей точку (x_0,y_0). Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям


а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D;


б) f(x,y) имеет частную производную \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, ограниченную в области D, то найдется интервал (x_0-h,x_0+h), на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0.


Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y'=f(x,y), но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0, хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.


Рассмотрим примеры.


1. y'=\frac{1}{y^2}. Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3}. В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt[\LARGE{3}]{3(x-x_0)} (рис. 2).


2. y'=xy+e^{-y}. Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y} и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y} непрерывны по x и y во всех точках плоскости xOy. В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy.


Задача Коши и интегральные кривые

3. y'=\frac{3}{2}\sqrt[\LARGE{3}]{y^2}. Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt[\LARGE{3}]{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy. Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt[\LARGE{3}]{y}} обращается в бесконечность при y=0, т.е. на оси Ox, так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция y=\frac{(x+c)^3}{8} есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0. Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).


Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox, например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.




Условие Липшица


Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}\slash\partial{y}, фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица.


Говорят, что функция f(x,y), определенная в некоторой области D, удовлетворяет в D условию Липшица по y, если существует такая постоянная L (постоянная Липшица), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство


|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}}; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y'=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}, но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,


{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}

поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2.




Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D, то задача Коши


\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.

имеет единственное решение.


Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение


\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}

Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,


f(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).

Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то


|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0), так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0.


Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.


Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция


y=\varphi(x,C),
(3)

зависящая от одной произвольной постоянной C, и такая, что


1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие


\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,
(4)

можно подобрать такое значение C_0 постоянной C, что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.


Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C.




Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y'=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0. Дать геометрическое истолкование результата.


Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C. В самом деле, y'=(x+C)'=1.


Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0. Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C, найдем, что C=y_0-x_0. Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0. Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0, получим y=x_0+y_0-x_0=y_0. Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.


В частности, полагая x_0=0 и y_0=0, получим частное решение y=x.


Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C, определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1. Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0. Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).




Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y'-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1..


Интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение. Имеем y=Ce^x,~y'=Ce^x. Подставляя в данное уравнение выражения y и y', получаем Ce^x-Ce^x\equiv0, т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C.


Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0. Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x, будем иметь y_0=Ce^{x_0}, откуда C=y_0e^{-x_0}. Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0, получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0. Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.


При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1}.


С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).


Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.


Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C, называется частным интегралом дифференциального уравнения.


Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.


Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)}.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved