Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную [math]x[/math], искомую функцию [math]y=f(x)[/math] и её производные [math]y',y'',\ldots,y^{(n)}[/math], т. е. уравнение вида


[math]F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0.[/math]

Если искомая функция [math]y=y(x)[/math] есть функция одной независимой переменной [math]x[/math], дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,


[math]\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y''+y'+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.[/math]

Когда искомая функция [math]y[/math] есть функция двух и более независимых переменных, например, если [math]y=y(x,t)[/math], то уравнение вида


[math]F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0[/math]

называется уравнением в частных производных. Здесь [math]k,l[/math] — неотрицательные целые числа, такие, что [math]k+l=m[/math]; например

[math]\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.[/math]

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение [math]y'+xy=e^x[/math] — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение [math]y''+p(x)y=0[/math], где [math]p(x)[/math] — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение [math]y^{(9)}-xy''=x^2[/math] — уравнение 9-го порядка.


Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале [math](a,b)[/math] называется функция [math]y=\varphi(x)[/math], определенная на интервале [math](a,b)[/math] вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции [math]y=\varphi(x)[/math] в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по [math]x[/math] на [math](a,b)[/math]. Например, функция [math]y=\sin{x}+\cos{x}[/math] является решением уравнения [math]y''+y=0[/math] на интервале [math](-\infty,+\infty)[/math]. В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь


[math]y'=\cos{x}-\sin{x}, \quad y''=-\sin{x}-\cos{x}.[/math]

Подставляя выражения [math]y''[/math] и [math]y[/math] в дифференциальное уравнение, получим тождество


[math]-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0[/math]

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.


Общий вид уравнения первого порядка


[math]F(x,y,y')=0.[/math]
(1)

Если уравнение (1) удается разрешить относительно [math]y'[/math], то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.


[math]y'=f(x,y).[/math]
(2)

Задачей Коши называют задачу нахождения решения [math]y=y(x)[/math] уравнения [math]y'=f(x,y)[/math], удовлетворяющего начальному условию [math]y(x_0)=y_0[/math] (другая запись [math]y|_{x=x_0}=y_0[/math]).


Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math] плоскости [math]xOy[/math] (рис. 1).




Теорема существования и единственности решения задачи Коши


Пусть дано дифференциальное уравнение [math]y'=f(x,y)[/math], где функция [math]f(x,y)[/math] определена в некоторой области [math]D[/math] плоскости [math]xOy[/math], содержащей точку [math](x_0,y_0)[/math]. Если функция [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условиям


а) [math]f(x,y)[/math] есть непрерывная функция двух переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] в области [math]D[/math];


б) [math]f(x,y)[/math] имеет частную производную [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}[/math], ограниченную в области [math]D[/math], то найдется интервал [math](x_0-h,x_0+h)[/math], на котором существует единственное решение [math]y=\varphi(x)[/math] данного уравнения, удовлетворяющее условию [math]y(x_0)=y_0[/math].


Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения [math]y'=f(x,y)[/math], но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения [math]y'=f(x,y)[/math], удовлетворяющее условию [math]y(x_0)=y_0[/math], хотя в точке [math](x_0,y_0)[/math] не выполняются условия а) или б) или оба вместе.


Рассмотрим примеры.


1. [math]y'=\frac{1}{y^2}[/math]. Здесь [math]f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3}[/math]. В точках [math](x_0,0)[/math] оси [math]Ox[/math] условия а) и б) не выполняются (функция [math]f(x,y)[/math] и её частная производная [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}[/math] разрывны на оси [math]Ox[/math] и неограниченны при [math]y\to0[/math]), но через каждую точку оси [math]Ox[/math] проходит единственная интегральная кривая [math]y=\sqrt[3]{3(x-x_0)}[/math] (рис. 2).


2. [math]y'=xy+e^{-y}[/math]. Правая часть уравнения [math]f(x,y)=xy+e^{-y}[/math] и ее частная производная [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y}[/math] непрерывны по [math]x[/math] и [math]y[/math] во всех точках плоскости [math]xOy[/math]. В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость [math]xOy[/math].


Задача Коши и интегральные кривые

3. [math]y'=\frac{3}{2}\sqrt[3]{y^2}[/math]. Правая часть уравнения [math]f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt[3]{y^2}[/math] определена и непрерывна во всех точках плоскости [math]xOy[/math]. Частная производная [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt[3]{y}}[/math] обращается в бесконечность при [math]y=0[/math], т.е. на оси [math]Ox[/math], так что при [math]y=0[/math] нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси [math]Ox[/math] возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция [math]y=\frac{(x+c)^3}{8}[/math] есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение [math]y\equiv0[/math]. Таким образом, через каждую точку оси [math]Ox[/math] проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).


Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол [math]y=\frac{(x+c)^3}{8}[/math] и отрезков оси [math]Ox[/math], например, [math]ABOC_1,[/math] [math]ABB_2C_2,[/math] [math]A_2B_2x[/math] и др., так что через каждую точку оси [math]Ox[/math] проходит бесконечное множество интегральных линий.




Условие Липшица


Замечание. Условие ограниченности производной [math]\partial{f}/\partial{y}[/math], фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица.


Говорят, что функция [math]f(x,y)[/math], определенная в некоторой области [math]D[/math], удовлетворяет в [math]D[/math] условию Липшица по [math]y[/math], если существует такая постоянная [math]L[/math] (постоянная Липшица), что для любых [math]y_1,y_2[/math] из [math]D[/math] и любого [math]x[/math] из [math]D[/math] справедливо неравенство


[math]|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.[/math]

Существование в области [math]D[/math] ограниченной производной [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}[/math] достаточно для того, чтобы функция [math]f(x,y)[/math] удовлетворяла в [math]D[/math] условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности [math]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}[/math]; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения [math]y'=2|y|\cos{x}[/math] функция [math]f(x,y)=2|y|\cos{x}[/math] не дифференцируема по [math]y[/math] в точке [math](x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}[/math], но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,


[math]{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}[/math]

поскольку [math]|\cos{x}|\leqslant1,[/math] а [math]||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|[/math]. Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной [math]L=2[/math].




Теорема. Если функция [math]f(x,y)[/math] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по [math]y[/math] в области [math]D[/math], то задача Коши


[math]\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.[/math]

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение


[math]\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}[/math]

Нетрудно видеть, что функция [math]f(x,y)[/math] непрерывна; с другой стороны,


[math]f(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).[/math]

Если [math]y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2,[/math] то


[math]|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,[/math]

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат [math]O(0,0)[/math], так как множитель при [math]|Y-y|[/math] оказывается неограниченным при [math]x\to0[/math].

Данное дифференциальное уравнение допускает решение [math]y=C^2-\sqrt{x^4+C^4},[/math] где [math]C[/math] — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию [math]y(0)=0.[/math]


Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция


[math]y=\varphi(x,C),[/math]
(3)

зависящая от одной произвольной постоянной [math]C[/math], и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной [math]C;[/math]

2) каково бы ни было начальное условие


[math]\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,[/math]
(4)

можно подобрать такое значение [math]C_0[/math] постоянной [math]C[/math], что решение [math]y=\varphi(x,C_0)[/math] будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка [math](x_0,y_0)[/math] принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной [math]C[/math].




Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Пример 1. Проверить, что функция [math]y=x+C[/math] есть общее решение дифференциального уравнения [math]y'=1[/math] и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию [math]y|_{x=0}=0[/math]. Дать геометрическое истолкование результата.


Решение. Функция [math]y=x+C[/math] удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной [math]C[/math]. В самом деле, [math]y'=(x+C)'=1.[/math]


Зададим произвольное начальное условие [math]y|_{x=x_0}=y_0[/math]. Полагая [math]x=x_0[/math] и [math]y=y_0[/math] в равенстве [math]y=x+C[/math], найдем, что [math]C=y_0-x_0[/math]. Подставив это значение [math]C[/math] в данную функцию, будем иметь [math]y=x+y_0-x_0[/math]. Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив [math]x=x_0[/math], получим [math]y=x_0+y_0-x_0=y_0[/math]. Итак, функция [math]y=x+C[/math] является общим решением данного уравнения.


В частности, полагая [math]x_0=0[/math] и [math]y_0=0[/math], получим частное решение [math]y=x[/math].


Общее решение данного уравнения, т.е. функция [math]y=x+C[/math], определяет в плоскости [math]xOy[/math] семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом [math]k=1[/math]. Через каждую точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math] плоскости [math]xOy[/math] проходит единственная интегральная линия [math]y=x+y_0-x_0[/math]. Частное решение [math]y=x[/math] определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).




Пример 2. Проверить, что функция [math]y=Ce^x[/math] есть общее решение уравнения [math]y'-y=0[/math] и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию [math]y|_{x=1}=-1.[/math].


Интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение. Имеем [math]y=Ce^x,~y'=Ce^x[/math]. Подставляя в данное уравнение выражения [math]y[/math] и [math]y'[/math], получаем [math]Ce^x-Ce^x\equiv0[/math], т. е. функция [math]y=Ce^x[/math] удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной [math]C[/math].


Зададим произвольное начальное условие [math]y|_{x=x_0}=y_0[/math]. Подставив [math]x_0[/math] и [math]y_0[/math] вместо [math]x[/math] и [math]y[/math] в функцию [math]y=Ce^x[/math], будем иметь [math]y_0=Ce^{x_0}[/math], откуда [math]C=y_0e^{-x_0}[/math]. Функция [math]y=y_0e^{x-x_0}[/math] удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая [math]x=x_0[/math], получим [math]y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0[/math]. Функция [math]y=Ce^x[/math] есть общее решение данного уравнения.


При [math]x_0=1[/math] и [math]y_0=-1[/math] получим частное решение [math]y=-e^{x-1}[/math].


С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку [math]M_0(1;-1)[/math] (рис.5).


Соотношение вида [math]\Phi(x,y,C)=0[/math], неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.


Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной [math]C[/math], называется частным интегралом дифференциального уравнения.


Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.


Так как с геометрической точки зрения координаты [math]x[/math] и [math]y[/math] равноправны, то наряду с уравнением [math]\frac{dx}{dy}=f(x,y)[/math] мы будем рассматривать уравнение [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved