Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основные метрические понятия и аксиомы геометрии

Основные метрические понятия и аксиомы геометрии


Любая система аксиом геометрии подводит к основным метрическим понятиям — длине отрезка и величине угла. Как правило, в школьных учебниках эти измеряемые величины определяются либо их свойствами, либо аксиомами меры, например, в аксиоматике А.В. Погорелова. В любом случае считаются известными понятие множества действительных чисел и их основные свойства.


Для любых двух точек [math]A[/math] и [math]B[/math] пространства однозначно определено неотрицательное действительное число [math]\rho(A,B)[/math], называемое расстоянием между точками [math]A[/math] и [math]B[/math]. Функция [math]\rho[/math] расстояния удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):


1. [math]\rho(A,B)=0[/math] тогда и только тогда, когда [math]A=B[/math], т.е. точки [math]A[/math] и [math]B[/math] совпадают.


2. [math]\rho(A,B)=\rho(B,A)[/math] для любых точек [math]A[/math] и [math]B[/math] (аксиома симметрии).


3. [math]\rho(A,C)\leqslant\rho(A,B)+\rho(B,C)[/math] для любых точек [math]A,B,C[/math] (неравенство треугольника), причем это равенство означает, что точка [math]B[/math] принадлежит отрезку [math]AC[/math].


Длиной отрезка [math]AB[/math] называется расстояние между его концами [math]A[/math] и [math]B[/math] . Обычно отрезок [math]AB[/math] и его длину [math]\rho(A,B)[/math] обозначают одинаково: [math]AB=\rho(A,B)[/math]. Расстояния между точками (или длины отрезков) измеряются по отношению к выбранной единице измерения, а именно предполагается, что выбран некоторый масштабный отрезок [math]A_1B_1[/math], длина которого принята за единицу: [math]A_1B_1=1[/math]. Этот отрезок называют единичным.


Аналогично определяется мера углов. Для любого угла [math]AOB[/math] однозначно определено положительное действительное число [math]\varphi(\angle AOB)[/math], называемое мерой (или величиной) угла. Функция [math]\varphi[/math] меры угла удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):


1) [math]\varphi(\angle AOB)=\varphi(\angle BOA)[/math] для любого угла [math]AOB[/math];


2) [math]\varphi(\angle AOC)=\varphi(\angle AOB)+\varphi(\angle BOC)[/math] для любого угла [math]AOC[/math] и любой точки [math]B[/math] внутри него (рис.В.1,а).


В качестве "единичного" угла, выбирается развернутый угол, величина которого принимается за [math]\pi[/math] (радиан) или за [math]180^\circ[/math] (градусов).


В дальнейшем мы будем использовать следующие две теоремы, которые, так или иначе, доказываются при любой принятой системе аксиом.


Теорема В.1 (об откладывании отрезка). На каждом луче от его начала можно отложить отрезок любой данной длины и притом только один.


Теорема В.2 (об откладывании угла). От каждого луча по данную сторону от него можно отложить угол заданной величины и притом только один.


Вместе с определением расстояния теорема В.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством неотрицательных действительных чисел и множеством точек луча. Если отрицательным действительным числам поставить в соответствие точки дополнительного луча (дополняющего данный луч до прямой), то получим числовую прямую (рис.В.1,б).


Изображение



Замечания В.1.


1. Понятие непрерывности множества действительных чисел, т.е. взаимно однозначного соответствия действительных чисел и точек числовой прямой, вводится и обосновывается в курсе математического анализа. В геометрии непрерывность прямой вводится, как правило, аксиоматически. Например, в аксиоматике Д. Гильберта непрерывность прямой следует из аксиомы о вложенных отрезках (аксиомы Архимеда) и аксиомы полноты.


2. Вопросы о соизмеримости отрезков, т.е. о возможности измерить отрезок при помощи заданного единичного отрезка, рассматривались еще древнегреческими геометрами. Например, задача о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Напомним, что два отрезка считаются соизмеримыми, если отношение их длин является рациональным числом. Процедура измерения, определяющая понятие соизмеримых отрезков, следующая. При помощи циркуля и линейки несложно, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на любое натуральное число равных частей. Для этого достаточно на вспомогательном луче [math]AC[/math] отложить и равных отрезков [math]AA_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n[/math], затем соединить конец [math]A_n[/math] последнего отрезка с точкой [math]B[/math], и, наконец, через каждую из точек [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math] провести прямую, параллельную прямой [math]BA_n[/math] (рис.В.1,в). Поэтому, выбрав масштабный отрезок единичной длины, можно построить отрезок длиной [math]\frac{1}{n}[/math] для любого натурального числа [math]n[/math]. Откладывая на прямой или от начала луча [math]m[/math] раз такие отрезки последовательно (без наложения и без промежутков), можно получить отрезок длины [math]\frac{m}{n}[/math] (для любых натуральных [math]m[/math] и [math]n[/math]). Таким образом, при помощи циркуля и линейки в результате конечного числа операций можно построить такой отрезок, длина которого будет выражаться любым заданным положительным рациональным числом. Поскольку диагональ квадрата со стороной, равной единице, выражается иррациональным числом [math]\sqrt{2}[/math], то она не является соизмеримой со стороной квадрата.


3. Из пункта 2 следует, что процедура измерения отрезков должна быть дополнена предельным переходом, позволяющим получать последовательности отрезков, рациональные длины которых образуют сходящиеся числовые последовательности. Пополняя множество рациональных чисел пределами таких последовательностей, приходим к понятиям действительного числа и отрезка, имеющего длину, задаваемую положительным действительным числом.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved