Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Основное свойство суперпозиции КС-языков
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Основное свойство суперпозиции КС-языков Основное свойство суперпозиции применительно к КС-языкам выражает следующая важная теорема. Теорема 8.9. Если языки $L_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , контекстно-свободные, язык $L$ также контекстно-свободный, то суперпозиция $\mathcal{S}(L, L_{a_1}, \ldots,L_{a_n})$ есть КС-язык. Пусть $V=\{a_1,\ldots,a_n\}$ и каждый язык $L_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , задается КС-грамматикой $G_{a_i}=(V_{a_i},N_{a_i},S_{a_i},P_{a_i})$ , а язык $L$ задается КС-грамматикой $G=(V,N,S,P)$ . Без ограничения общности можно предполагать, что нетерминальные алфавиты всех указанных грамматик попарно не пересекаются (так как всегда можно провести процедуру переименования нетерминалов любой грамматики). Построим следующую грамматику: $G'=(V',N',S,P')$ , где $\begin{gathered}V'=V_{a_1}\cup\ldots\cup V_{a_n},\qquad N'=N\cup N_{a_1}\cup \ldots\cup N_{a_n},\\ P'=P_{a_1}\cup\ldots\cup P_{a_n}\cup \{A\to\alpha'\colon\, \forall A\to\alpha\in P\}.\end{gathered}$ Здесь цепочка $\alpha'$ получается из цепочки $\alpha$ следующим образом: все нетерминалы в $\alpha$ остаются без изменений, а каждое вхождение каждого терминала $b\in V$ , то есть $b=a_i$ для некоторого $i= \overline{1,n}$ , заменяется аксиомой $S_b$ грамматики $G_b$ (заметим, что, согласно этим правилам замены, для любых цепочек $\alpha,\beta$ в объединенном алфавите грамматики $G$ имеем $(\alpha\beta)'=\alpha'\beta'$ и $\lambda'=\lambda$ ). Неформально система правил $P'$ получается объединением всех множеств правил грамматик $G_{a_i}$ и добавлением "перекрашенных" правил грамматики $G$ . "Перекрашивание" выражается в том, что каждый терминал $a_i$ грамматики $G$ заменяется аксиомой $S_{a_i}$ грамматики $G_{a_i}$ , а, нетерминалы остаются в неприкосновенности. В частности, для любой цепочки $\beta\in N^{\ast}$ имеет место $\beta'=\beta$ . Докажем теперь, что грамматика $G'$ , контекстно-свободная по построению, является искомой, т.е. она порождает суперпозицию $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ . Прежде всего докажем, что для произвольных нетерминала $A\in N$ и цепочки $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ из $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ следует $A\vdash_{G'}^{\ast}\gamma'$ , т.е. если в грамматике $G$ из нетерминала $A$ выводится цепочка $\gamma$ в объединенном алфавите, то в грамматике $G'$ из того же нетерминала $A$ выводится "двойник" цепочки $\gamma$ получаемый из последней заменой каждого ее терминального символа $b$ аксиомой соответствующей грамматики $G_b=G_{a_i}$ для некоторого $i=\overline{1,n}$ . Доказательство проведем индукцией по длине $l$ вывода цепочки $\gamma$ из нетерминала $A$ . Для вывода нулевой длины утверждение тривиально, так как $A\vdash^{0}A=A'$ . Пусть утверждение доказано при всех $l\leqslant m-1$ , и пусть $A\vdash_G^m\gamma$ . Тогда существует цепочка $\xi$ , такая, что $A\vdash_{G}^{m-1}\xi\vdash_{G}\gamma$ . Согласно предположению индукции, отсюда следует, что $A\vdash_{G'}^{\ast}\xi'$ , а так как $\xi\vdash_{G}\gamma$ , то существует такое правило вывода $B\to\beta$ в множестве $P$ , что $\xi=\xi_1B\xi_2$ (для некоторых $\xi_1,\xi_2\in(V\cup N)^{\ast}$ ) и $\gamma=\xi_1\beta\xi_2$ . Следовательно, $\xi'=\xi'_1B\xi'_2$ , а так как в множестве правил вывода $P'$ есть правило $B\to\beta'$ , то $\xi'\vdash_{G'}\xi'_1\beta'\xi'_2=\gamma'$ . Итак, окончательно получаем $A\vdash_{G'}^{\ast}\xi'\vdash_{G'}\gamma'$ . Из доказанного следует, что для любой цепочки $x\in L=L(G)$ , т.е. такой цепочки $x$ , что $S\vdash_{G}^{\ast}x$ , выполняется $S\vdash_{G'}^{\ast}x'$ . Если $x=\lambda$ , то тогда из $\lambda\in L$ следует, что $\lambda\in L(G')$ . Если $x\ne\lambda$ , тогда для некоторого $k>0$ имеем $x=x(1)\ldots x(k)$ и $x'=S_{x(1)}\ldots S_{x(k)}$ , а так как для каждого $j=\overline{1,k}$ выполняется $S_{x(j)}\vdash_{G'}^{\ast}y_j$ , какова бы ни была цепочка $y_j\in L_{x(j)}$ , то $x'\vdash_{G'}^{\ast}y_1\ldots y_k$ . Но последняя цепочка есть произвольная цепочка суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ (не считая пустой цепочки, непосредственно выводимой из аксиомы $S$ ), так как она получена из произвольной непустой цепочки $x$ языка $L$ путем замены в ней каждого символа $x(j)$ произвольной цепочкой языка $L_{x(j)}$ . Поскольку из $S\vdash_{G}\lambda$ следует $S\vdash_{G'}\lambda$ любая цепочка суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ порождается грамматикой $G'$ . Докажем теперь, что если цепочка $w$ в алфавите $V'$ (терминальном алфавите грамматики $G'$ ) выводится из аксиомы $S$ в грамматике $G'$ , то она принадлежит суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1}, \ldots, L_{a_n})$ . Для этого сначала докажем, что для любых нетерминала $A\in N$ и цепочки $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ из $A\vdash_{G'}^{\ast}\gamma'$ следует $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ . Опять воспользуемся индукцией по длине вывода, но на этот раз вывода цепочки $\gamma'$ из нетерминала $A$ в грамматике $G'$ . Случай вывода нулевой длины, как и выше, тривиален. Пусть для некоторого $m>0$ выполняется $A\vdash_{G'}^{m}\gamma'$ . Тогда существует такая цепочка $\mu$ , что $A\vdash_{G'}^{m-1}\mu\vdash_{G'}\gamma'$ . Каждый символ цепочки $\gamma'$ есть либо одна из аксиом $S_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , либо нетерминал из $N$ . Так как КС-грамматики $G$ и $G_{a_i},~ i=\overline{1,n}$ , в силу результатов, полученных в 8.2, можно считать заданными в приведенной форме, то правые части правил вывода каждой из рассматриваемых грамматик не содержат аксиомы. Кроме того, нетерминальные алфавиты $N$ и $N_{a_i}$ всех этих грамматик попарно не пересекаются. Отсюда следует, что цепочка $\gamma'$ не может быть непосредственно выведена из цепочки $\mu$ применением какого-либо правила из множества $P_{a_i}$ , т.е. какого-либо правила вывода грамматики $G_{a_i}$ , а выводится из $\mu$ применением некоторого правила вида $B\to\beta'$ , построенного, как указано в определении грамматики $G'$ , по правилу $B\to\beta$ системы правил грамматики $G$ . Тогда мы можем написать: $\gamma'=\gamma'_1 \beta' \gamma'_2$ (для некоторых цепочек $\gamma_1$ и $\gamma_2$ в алфавите $V\cup N$ ), $\mu=\gamma'_1B \gamma'_2= (\gamma_1B \gamma_2)'$ . Это значит, что $\mu=\xi'$ при $\xi=\gamma_1B \gamma_2$ , то есть $A\vdash_{G'}^{m-1}\xi'$ . Согласно предположению индукции, отсюда следует, что $A\vdash_{G}^{\ast}\xi$ , а так как $\xi=\gamma_1B \gamma_2$ и в множестве правил вывода грамматики $G$ содержится правило $B\to\beta$ , то $\xi\vdash_{G}\gamma_1\beta\gamma_2=\gamma$ и окончательно $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ . В частности, отсюда следует, что для произвольной цепочки $x\in V^{\ast}$ , такой, что $S\vdash_{G'}^{\ast}\xi'$ , имеет место $S\vdash_{G}^{\ast}\xi$ , то есть $x\in L$ . Теперь докажем, что произвольная цепочка $\alpha$ , выводимая в грамматике $G'$ из аксиомы $S$ , имеет вид $\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m~ (m\geqslant1)$ , где для каждого $j=\overline{1,m}$ цепочка $\alpha_j$ либо пуста, либо для некоторого символа $b_j\in V$ выводится из аксиомы $S_{b_j}$ . грамматики $G_{b_j}$ , то есть $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\alpha_j$ , либо является некоторой цепочкой нетерминалов из $N$ . Действительно, сама аксиома $S$ удовлетворяет этому требованию. Далее, пусть доказываемое справедливо для любой цепочки, выводимой в $G'$ за любое число шагов, не превышающее $l-1$ для некоторого $l>1$ . Предположим, что $S\vdash_{G'}^{l}\alpha$ . Тогда, как это мы уже делали в аналогичных ситуациях, рассмотрим последний шаг этого вывода, т.е. для некоторой цепочки $\gamma$ будем иметь $S\vdash_{G'}^{l-1}\gamma\vdash_{G'}\alpha\,.$ Согласно предположению индукции, цепочка j представима в виде $\gamma=\gamma_1 \gamma_2\ldots\gamma_m$ , где $\gamma_j=\lambda,~ j=\overline{1,m}$ , или $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\gamma_j$ для некоторого $b_j\in V$ , или $\gamma\in N^{\ast}$ . Так как к цепочке $\gamma$ применяется некоторое правило грамматики $G'$ (на последнем шаге вывода цепочки $\alpha$ из аксиомы $S$ ), то в $\gamma$ входит по крайней мере один нетерминал грамматики $G'$ . Если это есть некоторый символ $A\in N$ , то он может входить только в одну из таких подцепочек $\gamma_j$ , которая состоит из нетерминалов алфавита $N$ . После замены $A$ посредством некоторого правила вида $A\to\beta'$ , соответствующего правилу $A\to\beta$ грамматики $G$ , получится цепочка, в которую могут входить только нетерминалы множества $N$ и аксиомы $S_b$ грамматик $G_b$ для каких-либо $b\in N$ . Следовательно, если цепочка $\alpha$ на последнем шаге ее вывода из аксиомы получена применением некоторого правила $A\to\beta'$ , то она также может быть представлена соединением цепочек такого же вида, что и цепочки $\gamma_j$ . Если же $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\gamma_j$ для некоторого $b_j\in V$ и на указанном шаге применяется правило из множества $P_{b_j}$ , то оно, ввиду того что все множества $N$ и $N_b$ (для различных $b\in N$ ) попарно не пересекаются, может быть применено только к такой подцепочке $\gamma_j$ , которая выводится из аксиомы $S_{b_j}$ , и тогда в цепочке а получим подцепочку, опять-таки выводимую из $S_{b_j}$ , т.е. и в этом случае* цепочка $\alpha$ образуется соединением подцепочек того же вида, что и цепочки $\gamma_j$ . *Заметим, что в приведенном выше доказательстве существенно используется тот факт, что нетерминальные алфавиты $N,N_{a_1},\ldots,N_{a_n}$ попарно не пересекаются. Бели бы это было не так, то в некоторой подцепочке $\gamma_j$ , выводимой из аксиомы $S_{b_j}$ для некоторого $b_j\in V$ , мы могли бы заменить вхождение нетерминала из $N_{b_j}$ применив правило вывода "чужой" грамматики $G_{a_k},~a_k\ne b_j$ и получить в составе цепочки а подцепочку, не выводимую ни из одной "дочерней" аксиомы $S_b,~b\in V$ . Пусть теперь цепочка $w\in V^{\prime\ast}$ такова, что $S\vdash_{G'}^{\ast}w$ . Если $w=\lambda$ и $S\vdash_{G'}\lambda$ , то это означает наличие правила вывода $S\to\lambda$ в множестве $P'$ и, следовательно, в множестве $P$ , то есть $\lambda\in L$ и $\mathcal{S}(L,L_{a_1}, \ldots, L_{a_n})$ . Таким образом в этом случае пустая цепочка, порождаемая грамматикой $G'$ , действительно принадлежит указанной суперпозиции. Иначе в силу доказанного выше свойства любой цепочки, выводимой в грамматике $G'$ из аксиомы, цепочка $w$ , не содержащая по условию вхождений нетерминалов из $N$ , допускает представление в виде $w_1w_2\ldots w_k$ , где для каждого $j=\overline{1,k}$ имеет место выводимость $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast} w_j$ (возможно для некоторых $j$ , что $w_j=\lambda$ ; в частности, может оказаться, что и $w=\lambda$ ). Таким образом, $S\vdash_{G'}^{\ast}S_{b_1}S_{b_2}\ldots S_{b_k}\vdash_{G'}^{\ast} w_1w_2\ldots w_k,$ где для каждого $j=\overline{1,k}$ цепочка $w_j$ принадлежит языку $L_{b_j}$ . Так как при этом $S\vdash_{G}^{\ast}b_1b_2\ldots b_k$ , то есть $b_1b_2\ldots b_k\in L$ , то $w\in\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots, L_{a_n})$ . Итак, доказав, что любая цепочка $w$ в терминальном алфавите $V'$ грамматики $G'$ , выводимая из аксиомы, есть элемент суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ , мы тем самым завершили доказательство теоремы. Следствие 8.3. Семейство КС-языков замкнуто относительно операций объединения, соединения, итерации и позитивной итерации. Доказательство получается немедленно из приведенных выше определений операций объединения, соединения, итерации и позитивной итерации как частных случаев суперпозиции. Заметим, что объединение бесконечного семейства КС-языков не является, вообще говоря, КС-языком. Так, язык $\{a^nb^nc^n\colon n\geqslant0\}$ , не являющийся КС-языком, может быть представлен в виде объединения счетного семейства, каждый элемент которого есть язык $\{a^nb^nc^n\}$ для фиксированного натурального $n$ , т.е. язык, состоящий из одной цепочки, а следовательно, регулярный и контекстно-свободный. Замечание 8.12. Вывод цепочки w из суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots, L_{a_n})$ (если она не является пустой цепочкой, непосредственно выводимой из аксиомы $S$ ) в грамматике $G'$ , построенной в доказательстве теоремы 8.9, можно провести по "двухуровневой" схеме, приведенной на рис. 8.34. Сначала порождаем, используя "перекрашенные" правила грамматики $G$ , т.е. правила вида $A\to j'$ для $A\in N$ и $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ , "двойника" произвольной цепочки $x\in L$ , т.е. цепочку $S_{x(1)}\ldots S_{x(k)}$ . Из нее затем, используя правила "дочерних" грамматик, порождаем саму цепочку w, из каждой аксиомы $S_{x(j)}$ выводя некоторую цепочку $y_j$ так, что $w=y_1\ldots y_k$ . Пример 8.20. Рассмотрим конструкцию из доказательства теоремы 8.9 на конкретном примере. Язык $L$ определим как язык, порождаемый грамматикой $G$ со следующим множеством правил вывода: $S\to ab\mid aSb\mid SS$ . Языки $L_a$ и $L_b$ определим так: $L_a=\{0^n1^n\colon n\geqslant0\},\qquad L_b=\{x\colon x\in\{a,b\},~ x=x^R\}$ (т.е. $L_b$ есть язык палиндромов в алфавите $\{a,b\}$ ). Запишем множества правил вывода грамматик $G_a$ и $G_b$ , порождающих языки $L_a$ и $L_b$ соответственно: $S\to 0S1\mid 01\mid\lambda$ (грамматика $G_a$ ) и $S\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid\lambda$ (грамматика $G_b$ ). Преобразуя грамматики $G,\,G_a$ и $G_b$ к приведенной форме (убирая аксиому из правых частей правил вывода) и переименовывая нетерминалы так, чтобы множества $N,\,N_a$ и $N_b$ попарно не пересекались, построим, как описано в доказательстве теоремы 8.9, множество $P'$ правил вывода грамматики $G'=\bigl(\{0,1,a,b\}, \{S,T,S_a,T_a,S_b,T_b\}, S,P'\bigr),$ порождающей суперпозицию $\mathcal{S}(L,L_a,L_b)\colon$ $\begin{cases}S\to S_aS_b\mid S_aTS_b\mid TT,\\ T\to S_aS_b\mid S_aTS_b\mid TT,\\ S_a\to 0T_a1\mid 01\mid\lambda,\\ T_a\to 0T_a1\mid 01,\\ S_b\to aT_ba\mid bT_bb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid 0\mid\lambda,\\ T_b\to aT_ba\mid bT_bb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid 0.\end{cases}$ (8.19) Рассмотрим дерево вывода цепочки $010011abab$ , изображенное на рис. 8.35. Если при порождении этой цепочки использовать "двухуровневую" схему, описанную в замечании 8.12, то получим такой вывод: $\begin{aligned}S&\vdash S_aTS_b\vdash S_aS_aS_bS_b\vdash 01S_aS_bS_b\vdash 010T_a1S_bS_b\vdash 010011S_bS_b\vdash\\ &\vdash 010011aT_baS_b\vdash 010011abaS_b\vdash 010011abab.\end{aligned}$ Сначала порождается "двойник" цепочки $abab\in L$ , а затем на место первого символа (замененного аксиомой $S_a$ "дочерней" грамматики $G_a$ ) подставляется цепочка 01, на место второго символа — цепочка 0011, на место третьего — $aba$ , на место четвертого — цепочка $b$ . Заметим, что в общем случае построения вывода в грамматике $G'$ (если не обязательно придерживаться "двухуровневой" стратегии) "дочерняя" грамматика может начать "работать", как только в выводе появляется ее аксиома. Так, по изображенному на рис. 8.35 дереву вывода может быть построен следующий левый вывод: $\begin{aligned}S&\vdash S_aTS_b\vdash 01S_aS_bS_b\vdash 010T_a1S_bS_b\vdash 010011S_bS_b\vdash\\ &\vdash 010011aT_baS_b\vdash 010011abaS_b\vdash 010011abab.\end{aligned}$ Но если мы пренебрежем требованием, чтобы нетерминальные алфавиты грамматик $G,\,G_a$ и $G_b$ попарно не пересекались, и отождествим, скажем, нетерминалы $T_a,\,T_b$ и $T$ , положив $T_a=T_b=T$ , то сможем вывести цепочку, не принадлежащую суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_a,L_b)$ . Например, $S\vdash S_aTS_b\vdash 01TS_b\vdash 01bbS_b\vdash 01bba\|$ В самом деле, цепочка 01 может быть получена применением либо правила $S_a\to01$ , либо правила $T_a\to01$ ; цепочка $bb$ — применением правила $T_b\to bb$ или $S_b\to bb$ , цепочка $a$ — применением правила $S_b\to a$ или $T_b\to a$ . Можно легко убедиться в том, что в этом случае единственная цепочка, состоящая из аксиом "дочерних" грамматик, т.е. символов $S_a,\,S_b$ , из которой может быть выведена цепочка $01bba$ , равна $S_aS_bS_b$ . Но эта цепочка не выводима из аксиомы $S$ . Если же мы, анализируя цепочку $01bba$ , стали бы рассматривать в качестве правой части правила вывода не цепочку $bb$ , а цепочку $b$ , то получили бы подцепочку $ba$ , не являющуюся правой частью ни одного правила вывода, и тогда имели бы $S_aS_bba$ — цепочку, не выводимую из аксиомы $S$ . Мы вывели "плохую" цепочку здесь потому, что "перепутав" нетерминалы грамматик, позволили "вклиниться" "дочерней" грамматике $G_b$ в работу грамматики "верхнего уровня". Аналогично можно построить пример, когда разные "дочерние" грамматики "мешают" друг другу. Итак, требование, согласно которому нетерминальные алфавиты грамматик $G$ и всех $G_{a_i}$ попарно не пересекаются, является существенным. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Основное свойство суперпозиции КС-языков

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Основное свойство суперпозиции КС-языков

Основное свойство суперпозиции применительно к КС-языкам выражает следующая важная теорема.

Теорема 8.9. Если языки $L_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , контекстно-свободные, язык $L$ также контекстно-свободный, то суперпозиция $\mathcal{S}(L, L_{a_1}, \ldots,L_{a_n})$ есть КС-язык.

Пусть $V=\{a_1,\ldots,a_n\}$ и каждый язык $L_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , задается КС-грамматикой $G_{a_i}=(V_{a_i},N_{a_i},S_{a_i},P_{a_i})$ , а язык $L$ задается КС-грамматикой $G=(V,N,S,P)$ . Без ограничения общности можно предполагать, что нетерминальные алфавиты всех указанных грамматик попарно не пересекаются (так как всегда можно провести процедуру переименования нетерминалов любой грамматики).

Построим следующую грамматику: $G'=(V',N',S,P')$ , где

$\begin{gathered}V'=V_{a_1}\cup\ldots\cup V_{a_n},\qquad N'=N\cup N_{a_1}\cup \ldots\cup N_{a_n},\\ P'=P_{a_1}\cup\ldots\cup P_{a_n}\cup \{A\to\alpha'\colon\, \forall A\to\alpha\in P\}.\end{gathered}$

Здесь цепочка $\alpha'$ получается из цепочки $\alpha$ следующим образом: все нетерминалы в $\alpha$ остаются без изменений, а каждое вхождение каждого терминала $b\in V$ , то есть $b=a_i$ для некоторого $i= \overline{1,n}$ , заменяется аксиомой $S_b$ грамматики $G_b$ (заметим, что, согласно этим правилам замены, для любых цепочек $\alpha,\beta$ в объединенном алфавите грамматики $G$ имеем $(\alpha\beta)'=\alpha'\beta'$ и $\lambda'=\lambda$ ).

Неформально система правил $P'$ получается объединением всех множеств правил грамматик $G_{a_i}$ и добавлением "перекрашенных" правил грамматики $G$ . "Перекрашивание" выражается в том, что каждый терминал $a_i$ грамматики $G$ заменяется аксиомой $S_{a_i}$ грамматики $G_{a_i}$ , а, нетерминалы остаются в неприкосновенности. В частности, для любой цепочки $\beta\in N^{\ast}$ имеет место $\beta'=\beta$ .

Докажем теперь, что грамматика $G'$ , контекстно-свободная по построению, является искомой, т.е. она порождает суперпозицию $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ .

Прежде всего докажем, что для произвольных нетерминала $A\in N$ и цепочки $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ из $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ следует $A\vdash_{G'}^{\ast}\gamma'$ , т.е. если в грамматике $G$ из нетерминала $A$ выводится цепочка $\gamma$ в объединенном алфавите, то в грамматике $G'$ из того же нетерминала $A$ выводится "двойник" цепочки $\gamma$ получаемый из последней заменой каждого ее терминального символа $b$ аксиомой соответствующей грамматики $G_b=G_{a_i}$ для некоторого $i=\overline{1,n}$ .

Доказательство проведем индукцией по длине $l$ вывода цепочки $\gamma$ из нетерминала $A$ . Для вывода нулевой длины утверждение тривиально, так как $A\vdash^{0}A=A'$ . Пусть утверждение доказано при всех $l\leqslant m-1$ , и пусть $A\vdash_G^m\gamma$ . Тогда существует цепочка $\xi$ , такая, что $A\vdash_{G}^{m-1}\xi\vdash_{G}\gamma$ . Согласно предположению индукции, отсюда следует, что $A\vdash_{G'}^{\ast}\xi'$ , а так как $\xi\vdash_{G}\gamma$ , то существует такое правило вывода $B\to\beta$ в множестве $P$ , что $\xi=\xi_1B\xi_2$ (для некоторых $\xi_1,\xi_2\in(V\cup N)^{\ast}$ ) и $\gamma=\xi_1\beta\xi_2$ . Следовательно, $\xi'=\xi'_1B\xi'_2$ , а так как в множестве правил вывода $P'$ есть правило $B\to\beta'$ , то $\xi'\vdash_{G'}\xi'_1\beta'\xi'_2=\gamma'$ . Итак, окончательно получаем $A\vdash_{G'}^{\ast}\xi'\vdash_{G'}\gamma'$ .

Из доказанного следует, что для любой цепочки $x\in L=L(G)$ , т.е. такой цепочки $x$ , что $S\vdash_{G}^{\ast}x$ , выполняется $S\vdash_{G'}^{\ast}x'$ . Если $x=\lambda$ , то тогда из $\lambda\in L$ следует, что $\lambda\in L(G')$ . Если $x\ne\lambda$ , тогда для некоторого $k>0$ имеем $x=x(1)\ldots x(k)$ и $x'=S_{x(1)}\ldots S_{x(k)}$ , а так как для каждого $j=\overline{1,k}$ выполняется $S_{x(j)}\vdash_{G'}^{\ast}y_j$ , какова бы ни была цепочка $y_j\in L_{x(j)}$ , то $x'\vdash_{G'}^{\ast}y_1\ldots y_k$ . Но последняя цепочка есть произвольная цепочка суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ (не считая пустой цепочки, непосредственно выводимой из аксиомы $S$ ), так как она получена из произвольной непустой цепочки $x$ языка $L$ путем замены в ней каждого символа $x(j)$ произвольной цепочкой языка $L_{x(j)}$ . Поскольку из $S\vdash_{G}\lambda$ следует $S\vdash_{G'}\lambda$ любая цепочка суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ порождается грамматикой $G'$ .

Докажем теперь, что если цепочка $w$ в алфавите $V'$ (терминальном алфавите грамматики $G'$ ) выводится из аксиомы $S$ в грамматике $G'$ , то она принадлежит суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1}, \ldots, L_{a_n})$ . Для этого сначала докажем, что для любых нетерминала $A\in N$ и цепочки $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ из $A\vdash_{G'}^{\ast}\gamma'$ следует $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ .

Опять воспользуемся индукцией по длине вывода, но на этот раз вывода цепочки $\gamma'$ из нетерминала $A$ в грамматике $G'$ . Случай вывода нулевой длины, как и выше, тривиален. Пусть для некоторого $m>0$ выполняется $A\vdash_{G'}^{m}\gamma'$ . Тогда существует такая цепочка $\mu$ , что $A\vdash_{G'}^{m-1}\mu\vdash_{G'}\gamma'$ . Каждый символ цепочки $\gamma'$ есть либо одна из аксиом $S_{a_i},~i=\overline{1,n}$ , либо нетерминал из $N$ . Так как КС-грамматики $G$ и $G_{a_i},~ i=\overline{1,n}$ , в силу результатов, полученных в 8.2, можно считать заданными в приведенной форме, то правые части правил вывода каждой из рассматриваемых грамматик не содержат аксиомы. Кроме того, нетерминальные алфавиты $N$ и $N_{a_i}$ всех этих грамматик попарно не пересекаются.

Отсюда следует, что цепочка $\gamma'$ не может быть непосредственно выведена из цепочки $\mu$ применением какого-либо правила из множества $P_{a_i}$ , т.е. какого-либо правила вывода грамматики $G_{a_i}$ , а выводится из $\mu$ применением некоторого правила вида $B\to\beta'$ , построенного, как указано в определении грамматики $G'$ , по правилу $B\to\beta$ системы правил грамматики $G$ . Тогда мы можем написать: $\gamma'=\gamma'_1 \beta' \gamma'_2$ (для некоторых цепочек $\gamma_1$ и $\gamma_2$ в алфавите $V\cup N$ ), $\mu=\gamma'_1B \gamma'_2= (\gamma_1B \gamma_2)'$ . Это значит, что $\mu=\xi'$ при $\xi=\gamma_1B \gamma_2$ , то есть $A\vdash_{G'}^{m-1}\xi'$ . Согласно предположению индукции, отсюда следует, что $A\vdash_{G}^{\ast}\xi$ , а так как $\xi=\gamma_1B \gamma_2$ и в множестве правил вывода грамматики $G$ содержится правило $B\to\beta$ , то $\xi\vdash_{G}\gamma_1\beta\gamma_2=\gamma$ и окончательно $A\vdash_{G}^{\ast}\gamma$ . В частности, отсюда следует, что для произвольной цепочки $x\in V^{\ast}$ , такой, что $S\vdash_{G'}^{\ast}\xi'$ , имеет место $S\vdash_{G}^{\ast}\xi$ , то есть $x\in L$ .

Теперь докажем, что произвольная цепочка $\alpha$ , выводимая в грамматике $G'$ из аксиомы $S$ , имеет вид $\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m~ (m\geqslant1)$ , где для каждого $j=\overline{1,m}$ цепочка $\alpha_j$ либо пуста, либо для некоторого символа $b_j\in V$ выводится из аксиомы $S_{b_j}$ . грамматики $G_{b_j}$ , то есть $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\alpha_j$ , либо является некоторой цепочкой нетерминалов из $N$ . Действительно, сама аксиома $S$ удовлетворяет этому требованию. Далее, пусть доказываемое справедливо для любой цепочки, выводимой в $G'$ за любое число шагов, не превышающее $l-1$ для некоторого $l>1$ .

Предположим, что $S\vdash_{G'}^{l}\alpha$ . Тогда, как это мы уже делали в аналогичных ситуациях, рассмотрим последний шаг этого вывода, т.е. для некоторой цепочки $\gamma$ будем иметь

$S\vdash_{G'}^{l-1}\gamma\vdash_{G'}\alpha\,.$

Согласно предположению индукции, цепочка j представима в виде $\gamma=\gamma_1 \gamma_2\ldots\gamma_m$ , где $\gamma_j=\lambda,~ j=\overline{1,m}$ , или $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\gamma_j$ для некоторого $b_j\in V$ , или $\gamma\in N^{\ast}$ . Так как к цепочке $\gamma$ применяется некоторое правило грамматики $G'$ (на последнем шаге вывода цепочки $\alpha$ из аксиомы $S$ ), то в $\gamma$ входит по крайней мере один нетерминал грамматики $G'$ . Если это есть некоторый символ $A\in N$ , то он может входить только в одну из таких подцепочек $\gamma_j$ , которая состоит из нетерминалов алфавита $N$ . После замены $A$ посредством некоторого правила вида $A\to\beta'$ , соответствующего правилу $A\to\beta$ грамматики $G$ , получится цепочка, в которую могут входить только нетерминалы множества $N$ и аксиомы $S_b$ грамматик $G_b$ для каких-либо $b\in N$ .

Следовательно, если цепочка $\alpha$ на последнем шаге ее вывода из аксиомы получена применением некоторого правила $A\to\beta'$ , то она также может быть представлена соединением цепочек такого же вида, что и цепочки $\gamma_j$ .

Если же $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast}\gamma_j$ для некоторого $b_j\in V$ и на указанном шаге применяется правило из множества $P_{b_j}$ , то оно, ввиду того что все множества $N$ и $N_b$ (для различных $b\in N$ ) попарно не пересекаются, может быть применено только к такой подцепочке $\gamma_j$ , которая выводится из аксиомы $S_{b_j}$ , и тогда в цепочке а получим подцепочку, опять-таки выводимую из $S_{b_j}$ , т.е. и в этом случае* цепочка $\alpha$ образуется соединением подцепочек того же вида, что и цепочки $\gamma_j$ .

*Заметим, что в приведенном выше доказательстве существенно используется тот факт, что нетерминальные алфавиты $N,N_{a_1},\ldots,N_{a_n}$ попарно не пересекаются. Бели бы это было не так, то в некоторой подцепочке $\gamma_j$ , выводимой из аксиомы $S_{b_j}$ для некоторого $b_j\in V$ , мы могли бы заменить вхождение нетерминала из $N_{b_j}$ применив правило вывода "чужой" грамматики $G_{a_k},~a_k\ne b_j$ и получить в составе цепочки а подцепочку, не выводимую ни из одной "дочерней" аксиомы $S_b,~b\in V$ .

Пусть теперь цепочка $w\in V^{\prime\ast}$ такова, что $S\vdash_{G'}^{\ast}w$ . Если $w=\lambda$ и $S\vdash_{G'}\lambda$ , то это означает наличие правила вывода $S\to\lambda$ в множестве $P'$ и, следовательно, в множестве $P$ , то есть $\lambda\in L$ и $\mathcal{S}(L,L_{a_1}, \ldots, L_{a_n})$ . Таким образом в этом случае пустая цепочка, порождаемая грамматикой $G'$ , действительно принадлежит указанной суперпозиции. Иначе в силу доказанного выше свойства любой цепочки, выводимой в грамматике $G'$ из аксиомы, цепочка $w$ , не содержащая по условию вхождений нетерминалов из $N$ , допускает представление в виде $w_1w_2\ldots w_k$ , где для каждого $j=\overline{1,k}$ имеет место выводимость $S_{b_j}\vdash_{G_{b_j}}^{\ast} w_j$ (возможно для некоторых $j$ , что $w_j=\lambda$ ; в частности, может оказаться, что и $w=\lambda$ ). Таким образом,

$S\vdash_{G'}^{\ast}S_{b_1}S_{b_2}\ldots S_{b_k}\vdash_{G'}^{\ast} w_1w_2\ldots w_k,$

где для каждого $j=\overline{1,k}$ цепочка $w_j$ принадлежит языку $L_{b_j}$ . Так как при этом $S\vdash_{G}^{\ast}b_1b_2\ldots b_k$ , то есть $b_1b_2\ldots b_k\in L$ , то $w\in\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots, L_{a_n})$ .

Итак, доказав, что любая цепочка $w$ в терминальном алфавите $V'$ грамматики $G'$ , выводимая из аксиомы, есть элемент суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots,L_{a_n})$ , мы тем самым завершили доказательство теоремы.

Следствие 8.3. Семейство КС-языков замкнуто относительно операций объединения, соединения, итерации и позитивной итерации.

Доказательство получается немедленно из приведенных выше определений операций объединения, соединения, итерации и позитивной итерации как частных случаев суперпозиции.

Заметим, что объединение бесконечного семейства КС-языков не является, вообще говоря, КС-языком. Так, язык $\{a^nb^nc^n\colon n\geqslant0\}$ , не являющийся КС-языком, может быть представлен в виде объединения счетного семейства, каждый элемент которого есть язык $\{a^nb^nc^n\}$ для фиксированного натурального $n$ , т.е. язык, состоящий из одной цепочки, а следовательно, регулярный и контекстно-свободный.

Замечание 8.12. Вывод цепочки w из суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_{a_1},\ldots, L_{a_n})$ (если она не является пустой цепочкой, непосредственно выводимой из аксиомы $S$ ) в грамматике $G'$ , построенной в доказательстве теоремы 8.9, можно провести по "двухуровневой" схеме, приведенной на рис. 8.34. Сначала порождаем, используя "перекрашенные" правила грамматики $G$ , т.е. правила вида $A\to j'$ для $A\in N$ и $\gamma\in(V\cup N)^{\ast}$ , "двойника" произвольной цепочки $x\in L$ , т.е. цепочку $S_{x(1)}\ldots S_{x(k)}$ . Из нее затем, используя правила "дочерних" грамматик, порождаем саму цепочку w, из каждой аксиомы $S_{x(j)}$ выводя некоторую цепочку $y_j$ так, что $w=y_1\ldots y_k$ .

Пример 8.20. Рассмотрим конструкцию из доказательства теоремы 8.9 на конкретном примере. Язык $L$ определим как язык, порождаемый грамматикой $G$ со следующим множеством правил вывода: $S\to ab\mid aSb\mid SS$ . Языки $L_a$ и $L_b$ определим так:

$L_a=\{0^n1^n\colon n\geqslant0\},\qquad L_b=\{x\colon x\in\{a,b\},~ x=x^R\}$

(т.е. $L_b$ есть язык палиндромов в алфавите $\{a,b\}$ ). Запишем множества правил вывода грамматик $G_a$ и $G_b$ , порождающих языки $L_a$ и $L_b$ соответственно:

$S\to 0S1\mid 01\mid\lambda$ (грамматика $G_a$ ) и $S\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid\lambda$ (грамматика $G_b$ ).

Преобразуя грамматики $G,\,G_a$ и $G_b$ к приведенной форме (убирая аксиому из правых частей правил вывода) и переименовывая нетерминалы так, чтобы множества $N,\,N_a$ и $N_b$ попарно не пересекались, построим, как описано в доказательстве теоремы 8.9, множество $P'$ правил вывода грамматики

$G'=\bigl(\{0,1,a,b\}, \{S,T,S_a,T_a,S_b,T_b\}, S,P'\bigr),$

порождающей суперпозицию $\mathcal{S}(L,L_a,L_b)\colon$

$\begin{cases}S\to S_aS_b\mid S_aTS_b\mid TT,\\ T\to S_aS_b\mid S_aTS_b\mid TT,\\ S_a\to 0T_a1\mid 01\mid\lambda,\\ T_a\to 0T_a1\mid 01,\\ S_b\to aT_ba\mid bT_bb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid 0\mid\lambda,\\ T_b\to aT_ba\mid bT_bb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid 0.\end{cases}$

(8.19)

Рассмотрим дерево вывода цепочки $010011abab$ , изображенное на рис. 8.35. Если при порождении этой цепочки использовать "двухуровневую" схему, описанную в замечании 8.12, то получим такой вывод:

$\begin{aligned}S&\vdash S_aTS_b\vdash S_aS_aS_bS_b\vdash 01S_aS_bS_b\vdash 010T_a1S_bS_b\vdash 010011S_bS_b\vdash\\ &\vdash 010011aT_baS_b\vdash 010011abaS_b\vdash 010011abab.\end{aligned}$

Сначала порождается "двойник" цепочки $abab\in L$ , а затем на место первого символа (замененного аксиомой $S_a$ "дочерней" грамматики $G_a$ ) подставляется цепочка 01, на место второго символа — цепочка 0011, на место третьего — $aba$ , на место четвертого — цепочка $b$ .

Заметим, что в общем случае построения вывода в грамматике $G'$ (если не обязательно придерживаться "двухуровневой" стратегии) "дочерняя" грамматика может начать "работать", как только в выводе появляется ее аксиома. Так, по изображенному на рис. 8.35 дереву вывода может быть построен следующий левый вывод:

$\begin{aligned}S&\vdash S_aTS_b\vdash 01S_aS_bS_b\vdash 010T_a1S_bS_b\vdash 010011S_bS_b\vdash\\ &\vdash 010011aT_baS_b\vdash 010011abaS_b\vdash 010011abab.\end{aligned}$

Но если мы пренебрежем требованием, чтобы нетерминальные алфавиты грамматик $G,\,G_a$ и $G_b$ попарно не пересекались, и отождествим, скажем, нетерминалы $T_a,\,T_b$ и $T$ , положив $T_a=T_b=T$ , то сможем вывести цепочку, не принадлежащую суперпозиции $\mathcal{S}(L,L_a,L_b)$ . Например,

$S\vdash S_aTS_b\vdash 01TS_b\vdash 01bbS_b\vdash 01bba|$

В самом деле, цепочка 01 может быть получена применением либо правила $S_a\to01$ , либо правила $T_a\to01$ ; цепочка $bb$ — применением правила $T_b\to bb$ или $S_b\to bb$ , цепочка $a$ — применением правила $S_b\to a$ или $T_b\to a$ . Можно легко убедиться в том, что в этом случае единственная цепочка, состоящая из аксиом "дочерних" грамматик, т.е. символов $S_a,\,S_b$ , из которой может быть выведена цепочка $01bba$ , равна $S_aS_bS_b$ . Но эта цепочка не выводима из аксиомы $S$ . Если же мы, анализируя цепочку $01bba$ , стали бы рассматривать в качестве правой части правила вывода не цепочку $bb$ , а цепочку $b$ , то получили бы подцепочку $ba$ , не являющуюся правой частью ни одного правила вывода, и тогда имели бы $S_aS_bba$ — цепочку, не выводимую из аксиомы $S$ .

Мы вывели "плохую" цепочку здесь потому, что "перепутав" нетерминалы грамматик, позволили "вклиниться" "дочерней" грамматике $G_b$ в работу грамматики "верхнего уровня". Аналогично можно построить пример, когда разные "дочерние" грамматики "мешают" друг другу.

Итак, требование, согласно которому нетерминальные алфавиты грамматик $G$ и всех $G_{a_i}$ попарно не пересекаются, является существенным.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]