Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Основная теорема алгебры и ее следствия

Основная теорема алгебры и ее следствия


Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.


Следствие 1. Любой многочлен p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+ a_1z+a_0 степени n>1 с комплексными коэффициентами a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n\ne0 можно представить в виде произведения линейных двучленов:


a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+ a_1z+a_0= a_n(z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (z-z_s)^{k_s},
(B.13)

где z_1,z_2,\ldots,z_s — корни многочлена кратности k_1,k_2,\ldots,k_s соответственно, причем k_1+k_2+ \ldots+ k_s=n. Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.


Следствие 2. Если многочлены p(z) и q(z), степени которых не превосходят n, имеют равные значения более чем при n различных значениях переменной z, то эти многочлены равны: p(z)=q(z).


В самом деле, по условию многочлен \bigl[p(z)-q(z)\bigr] имеет более, чем n корней, хотя его степень меньше или равна n, что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени p(z)-q(z)=a_0. Так как он имеет корни, то a_0=0. Следовательно, p(z)-q(z)=0, то есть p(z)=q(z).


Это следствие позволяет рассматривать многочлен p(x) не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной x, поскольку равенство многочленов p(x)=q(z), определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях x, совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства p(x)=q(x) двух функций при всех значениях x.


Рассмотрим многочлен p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0 с действительными коэффициентами a_0,a_1, \ldots,a_{n-1},a_n\ne0. Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид


p(x)=a_n\cdot (x-x_1)^{k_1}\cdot (x-x_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (x-x_s)^{k_s},

где x_1,x_2,\ldots,x_s — корни многочлена (могут быть комплексные).


Если комплексное число c является корнем этого многочлена, то есть


p(c)=a_n\cdot c^n+a_{n-1}\cdot c^{n-1}+\ldots+ a_1\cdot c+a_0=0,

то сопряженное число \overline{c} также является его корнем, т.е. p(\overline{c})=0. Это вытекает из равенства \overline{p(c)}= p(\overline{c}). Поскольку числа c и \overline{c} не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение


(x-c)\cdot (x-\overline{c})= x^2-(c+\overline{c})\cdot x+c\cdot \overline{c}\,.

Так как сумма (c+\overline{c}) и произведение c\overline{c} сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если c\ne\overline{c}, то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.


Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число c — корень многочлена p(c) с действительными коэффициентами, то сопряженное число \overline{c} является его корнем той же кратности.


В самом деле, если c — корень кратности k, то для него выполняются условия (В.12)


p(c)=0,\quad p'(c)=0,\quad \ldots,\quad p^{(k-1)}(c)=0,\quad p^{(k)}(c)\ne0.
Из условий
p(\overline{c})= \overline{p(c)}=0,\quad p'(\overline{c})= \overline{p'(c)}=0,\quad \ldots,\quad p^{(k-1)}(\overline{c})= \overline{p^{(k-1)}(c)}=0,\quad p^{(k)}(\overline{c})= \overline{p^{(k)}(c)}\ne0

следует, что \overline{c} — корень той же кратности k.

Следствие 4. Всякий многочлен p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0 с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):


\begin{aligned} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0&= a_n\cdot(x-x_1)^{k_1}\cdot (x-x_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (x-x_s)^{k_s}\cdot\\ &\phantom{a_n}\cdot (x^2+p_1x+ q_1)^{m_1}\cdot (x^2+p_2x+q_2)^{m_2}\cdot \ldots\cdot (x^2+p_rx+ q_r)^{m_r}, \end{aligned}
(B.14)

где x_1,x_2,\ldots,x_s — действительные корни кратности k_1,k_2,\ldots, k_s, причем k_1+k_2+\ldots+ k_s+2m_1+2m_2+\ldots+ 2m_r=n.


Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.


Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены (x-x_1),(x-x_2), \ldots, (x-x_s)).




Пример В.14. Многочлен p(x)=x^5-2x^4+2x^3-12x^2+21x-10


а) представить в виде (В.14);

б) представить в виде (В.13).


Решение. Данный многочлен имеет двойной корень x_1=1 и простой корень x_2=2 (см. пример В.13). Поэтому его можно представить в виде


p(x)=(x-1)^2\cdot (x-2)\cdot q(x).

Разделим многочлен p(x) на многочлен (x-1)^2(x-2)=x^3-4x^2+5x-2 "уголком":


\begin{array}{ll}\underline{\begin{array}{l}\!\!x^5-2x^4+2x^3-12x^2+21x-10~\\[-5pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!x^5-4x^4+5x^3-2x^2 \end{array}} \begin{array}{|l} \!\!\underline{\begin{array}{l} x^3-4x^2+5x-2\end{array}}\\[5pt] \,x^2+2x+5 \end{array}\\[15pt] ~~~~~~\,\underline{\begin{array}{l}\!\!2x^4-3x^3-10x^2+21x-10\\[-6pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!2x^4-8x^3+10x^2-4x \end{array}} & \\[15pt] ~~~~~~~~~~~~~\,\,\,\underline{\begin{array}{l}\!\!5x^3-20x^2+25x-10\\[-6pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!5x^3-20x^2+25x-10 \end{array}} & \\[12pt] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 & \end{array}

Следовательно, имеем p(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+2x+5). Это разложение имеет вид (В.14), поскольку дискриминант D=4-20=-16 квадратного трехчлена x^2+2x+5 отрицательный, что и требовалось в пункте "а";


б) разложим квадратный трехчлен x^2+2x+5 на линейные множители, что возможно над полем комплексных чисел:


x^2+2x+5= (x-x_3)\cdot (x-x_4)= (x+1-2i)\cdot (x+1+2i),

так как уравнение x^2+2x+5 имеет два комплексных корня x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm2i.


Тогда разложение (В. 13) для данного многочлена принимает вид


p(x)= (x-1)^2\cdot (x-2)\cdot (x+1-2i)\cdot (x+1+2i).

Согласно следствию 1, многочлен имеет один двойной корень (x_1=1), один простой действительный корень (x_2=2) и пару простых сопряженных корней (x_{3,4}=-1\pm2i), то есть всего 5 корней (с учетом их кратности).

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved