Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основная теорема алгебры и ее следствия

Основная теорема алгебры и ее следствия


Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.


Следствие 1. Любой многочлен [math]p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+ a_1z+a_0[/math] степени [math]n>1[/math] с комплексными коэффициентами [math]a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n\ne0[/math] можно представить в виде произведения линейных двучленов:


[math]a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+ a_1z+a_0= a_n(z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (z-z_s)^{k_s},[/math]
(B.13)

где [math]z_1,z_2,\ldots,z_s[/math] — корни многочлена кратности [math]k_1,k_2,\ldots,k_s[/math] соответственно, причем [math]k_1+k_2+ \ldots+ k_s=n[/math]. Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно [math]n[/math] корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.


Следствие 2. Если многочлены [math]p(z)[/math] и [math]q(z)[/math], степени которых не превосходят [math]n[/math], имеют равные значения более чем при п различных значениях переменной [math]z[/math], то эти многочлены равны: [math]p(z)=q(z)[/math].


В самом деле, по условию многочлен [math]\bigl[p(z)-q(z)\bigr][/math] имеет более, чем [math]n[/math] корней, хотя его степень меньше или равна [math]n[/math], что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени [math]p(z)-q(z)=a_0[/math]. Так как он имеет корни, то [math]a_0=0[/math]. Следовательно, [math]p(z)-q(z)=0[/math], то есть [math]p(z)=q(z)[/math].


Это следствие позволяет рассматривать многочлен [math]p(x)[/math] не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной [math]x[/math], поскольку равенство многочленов [math]p(x)=q(z)[/math], определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях [math]x[/math], совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства [math]p(x)=q(x)[/math] двух функций при всех значениях [math]x[/math].


Рассмотрим многочлен [math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0[/math] с действительными коэффициентами [math]a_0,a_1, \ldots,a_{n-1},a_n\ne0[/math]. Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид


[math]p(x)=a_n\cdot (x-x_1)^{k_1}\cdot (x-x_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (x-x_s)^{k_s},[/math]

где [math]x_1,x_2,\ldots,x_s[/math] — корни многочлена (могут быть комплексные).


Если комплексное число [math]c[/math] является корнем этого многочлена, то есть


[math]p(c)=a_n\cdot c^n+a_{n-1}\cdot c^{n-1}+\ldots+ a_1\cdot c+a_0=0,[/math]

то сопряженное число [math]\overline{c}[/math] также является его корнем, т.е. [math]p(\overline{c})=0[/math]. Это вытекает из равенства [math]\overline{p(c)}= p(\overline{c})[/math]. Поскольку числа [math]c[/math] и [math]\overline{c}[/math] не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение


[math](x-c)\cdot (x-\overline{c})= x^2-(c+\overline{c})\cdot x+c\cdot \overline{c}\,.[/math]

Так как сумма [math](c+\overline{c})[/math] и произведение [math]c\overline{c}[/math] сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если [math]c\ne\overline{c}[/math], то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.


Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число [math]c[/math] — корень многочлена [math]p(c)[/math] с действительными коэффициентами, то сопряженное число [math]\overline{c}[/math] является его корнем той же кратности.


В самом деле, если [math]c[/math] — корень кратности [math]k[/math], то для него выполняются условия (В.12)


[math]p(c)=0,\quad p'(c)=0,\quad \ldots,\quad p^{(k-1)}(c)=0,\quad p^{(k)}(c)\ne0.[/math]
Из условий
[math]p(\overline{c})= \overline{p(c)}=0,\quad p'(\overline{c})= \overline{p'(c)}=0,\quad \ldots,\quad p^{(k-1)}(\overline{c})= \overline{p^{(k-1)}(c)}=0,\quad p^{(k)}(\overline{c})= \overline{p^{(k)}(c)}\ne0[/math]

следует, что [math]\overline{c}[/math] — корень той же кратности [math]k[/math].

Следствие 4. Всякий многочлен [math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0[/math] с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):


[math]\begin{aligned} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0&= a_n\cdot(x-x_1)^{k_1}\cdot (x-x_2)^{k_2}\cdot \ldots\cdot (x-x_s)^{k_s}\cdot\\ &\phantom{a_n}\cdot (x^2+p_1x+ q_1)^{m_1}\cdot (x^2+p_2x+q_2)^{m_2}\cdot \ldots\cdot (x^2+p_rx+ q_r)^{m_r}, \end{aligned}[/math]
(B.14)

где [math]x_1,x_2,\ldots,x_s[/math] — действительные корни кратности [math]k_1,k_2,\ldots, k_s[/math], причем [math]k_1+k_2+\ldots+ k_s+2m_1+2m_2+\ldots+ 2m_r=n[/math].


Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.


Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены [math](x-x_1),(x-x_2), \ldots, (x-x_s)[/math]).




Пример В.14. Многочлен [math]p(x)=x^5-2x^4+2x^3-12x^2+21x-10[/math]


а) представить в виде (В.14);

б) представить в виде (В.13).


Решение. Данный многочлен имеет двойной корень [math]x_1=1[/math] и простой корень [math]x_2=2[/math] (см. пример В.13). Поэтому его можно представить в виде


[math]p(x)=(x-1)^2\cdot (x-2)\cdot q(x).[/math]

Разделим многочлен [math]p(x)[/math] на многочлен [math](x-1)^2(x-2)=x^3-4x^2+5x-2[/math] "уголком":


[math]\begin{array}{ll}\underline{\begin{array}{l}\!\!x^5-2x^4+2x^3-12x^2+21x-10~\\[-5pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!x^5-4x^4+5x^3-2x^2 \end{array}} \begin{array}{|l} \!\!\underline{\begin{array}{l} x^3-4x^2+5x-2\end{array}}\\[5pt] \,x^2+2x+5 \end{array}\\[15pt] ~~~~~~\,\underline{\begin{array}{l}\!\!2x^4-3x^3-10x^2+21x-10\\[-6pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!2x^4-8x^3+10x^2-4x \end{array}} & \\[15pt] ~~~~~~~~~~~~~\,\,\,\underline{\begin{array}{l}\!\!5x^3-20x^2+25x-10\\[-6pt] \!\!\!\!\!\!\!\!\!-\\[-5pt] \!\!5x^3-20x^2+25x-10 \end{array}} & \\[12pt] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 & \end{array}[/math]

Следовательно, имеем [math]p(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+2x+5)[/math]. Это разложение имеет вид (В.14), поскольку дискриминант [math]D=4-20=-16[/math] квадратного трехчлена [math]x^2+2x+5[/math] отрицательный, что и требовалось в пункте "а";


б) разложим квадратный трехчлен [math]x^2+2x+5[/math] на линейные множители, что возможно над полем комплексных чисел:


[math]x^2+2x+5= (x-x_3)\cdot (x-x_4)= (x+1-2i)\cdot (x+1+2i),[/math]

так как уравнение [math]x^2+2x+5[/math] имеет два комплексных корня [math]x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm2i[/math].


Тогда разложение (В. 13) для данного многочлена принимает вид


[math]p(x)= (x-1)^2\cdot (x-2)\cdot (x+1-2i)\cdot (x+1+2i).[/math]

Согласно следствию 1, многочлен имеет один двойной корень [math](x_1=1)[/math], один простой действительный корень [math](x_2=2)[/math] и пару простых сопряженных корней [math](x_{3,4}=-1\pm2i)[/math], то есть всего 5 корней (с учетом их кратности).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved