Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства


Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.


Базис [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.


[math]\langle \mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j,~~ i=1,2,\ldots,n,~~ j=1,2,\ldots,n.[/math]

Базис [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:


[math]\langle \mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\rangle= \begin{cases}1,&i=j,\\ 0,&i\ne j \end{cases}i=1,2,\ldots,n,~~ j=1,2,\ldots,n.[/math]
(8.31)

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.


В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.




Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей


Пусть [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,\ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.


[math]\mathbf{x}= x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\ldots+ x_n \mathbf{e}_n,\qquad \mathbf{y}= y_1 \mathbf{e}_1+y_2 \mathbf{e}_2+\ldots+ y_n \mathbf{e}_n.[/math]

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= \langle x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\ldots+ x_n \mathbf{e}_n,\, y_1 \mathbf{e}_1+y_2 \mathbf{e}_2+\ldots+ y_n \mathbf{e}_n \rangle= \sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x_iy_j\langle \mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\rangle.[/math]

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= x^T\cdot G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)\cdot y,[/math]
(8.32)

где [math]x=\begin{pmatrix}x_1&\cdots x_n\end{pmatrix}^T,~ y=\begin{pmatrix} y_1&\cdots& y_n \end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math], a [math]G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений


[math]G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)= \begin{pmatrix} \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle\\ \langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_n\rangle\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_n\rangle \end{pmatrix}\!.[/math]
(8.33)

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math].




Преимущества ортонормированного базиса


Для ортонормированного базиса [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math] ортонормированной системы [math]\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)=E[/math].


1. В ортонормированном базисе [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n[/math] скалярное произведение векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] находится по формуле: [math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n[/math], где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf{x}[/math], а [math]y_1,\ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf{y}[/math].


2. В ортонормированном базисе [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n[/math] длина вектора [math]\mathbf{x}[/math] вычисляется по формуле [math]|\mathbf{x}|= \sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}[/math], где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf{x}[/math].


3. Координаты [math]x_1,\ldots,x_n[/math] вектора [math]\mathbf{x}[/math] относительно ортонормированного базиса [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_1\rangle,\ldots, x_n=\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_n\rangle[/math].


В самом деле, умножая обе части равенства [math]\mathbf{x}= x_1 \mathbf{e}_1+\ldots+x_n \mathbf{e}_n[/math] на [math]\mathbf{e}_1[/math], получаем


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_1\rangle= x_1\underbrace{\langle\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1 \rangle}_{1}+ x_2\underbrace{\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 \rangle}_{0}+\ldots+ x_n\underbrace{\langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n \rangle}_{0}\quad \Leftrightarrow\quad x_1=\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_1\rangle.[/math]

Аналогично доказываются остальные формулы.




Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому


Пусть [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math] и [math](\mathbf{f})= (\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})\colon\, (\mathbf{f})=(\mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math]


По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] в разных базисах:


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}}^T\cdot\, G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{e})}= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot\, G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})},[/math]

где [math]\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})},\, \mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] и [math]\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})},\, \mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}= S \mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})},[/math] [math]\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})}= S \mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}[/math], получаем тождество


[math]{\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot S^T\cdot\, G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot S\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})}= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot\, G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})}.[/math]

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

[math]G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)= S^T\cdot G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot S.[/math]

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)= G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].




Свойства определителя Грама


Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.


1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.


Действительно, если система [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что


[math]x_1\cdot \mathbf{v}_1+x_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ x_k\cdot \mathbf{v}_k= \mathbf{o}.[/math]

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf{v}_1[/math], затем на [math]\mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]\mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_k \end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.


Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.


Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.


2. Определитель Грама [math]\det{G (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k[/math], то


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k)= \langle \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{w}_k,\mathbf{w}_k\rangle.[/math]

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы


[math]\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1,\quad \mathbf{w}_2= \mathbf{v}_2- \alpha_{21} \mathbf{w}_1,\quad \ldots,\quad \mathbf{w}_k= \mathbf{v}_k- \sum_{j=1}^{k-1}\alpha_{kj} \mathbf{w}_j.[/math]

После первого шага определитель Грама не изменяется


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_{21})[/math]. Получим определитель


[math]\det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{v}_2-\alpha_{21}\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \mathbf{v}_3, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\mathbf{v}_3, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k).[/math]

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots, \mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf{w}_i,\mathbf{w}_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:


[math]\det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k)= \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k\rangle.[/math]

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству


[math]0\leqslant \det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k) \leqslant \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2\rangle\cdot \ldots \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_k\rangle.[/math]

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k)= |\mathbf{w}_1|^2\cdot |\mathbf{w}_2|^2\cdot \ldots\cdot |\mathbf{w}_k|^2>0.[/math]

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_j\rangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf{v}_j= \mathbf{w}_j+ \alpha_{j\,1}\mathbf{w}_1+ \ldots+ \alpha_{j\,j-1}\mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда


[math]\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_j\rangle= \langle \mathbf{w}_j,\mathbf{w}_j\rangle+ \sum_{i=1}^{j-1}\alpha_{i\,i}^2 \langle \mathbf{w}_j,\mathbf{w}_j\rangle \geqslant \langle \mathbf{w}_j, \mathbf{w}_j\rangle.[/math]

Следовательно, по свойству 2 имеем


[math]\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2 \rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{v}_k,\mathbf{v}_k\rangle\geqslant \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k\rangle= \det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k).[/math]



Замечания 8.12


1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.


2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.


3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара:


[math](\det{A})^2\leqslant \prod_{i=1}^{n}\Bigl(a_{i\,1}^2+ a_{i\,2}^2+\ldots+ a_{i\,n}^2\Bigr).[/math]

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math], элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]\langle a_i,a_j\rangle= (a_i)^Ta_j[/math]. Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:


[math]\begin{aligned} (\det{A})^2&= \det{A}\cdot\det{A}= \det{A^T}\cdot\det{A}= \det(A^TA)= \det G(a_1,a_2,\ldots,a_n)\leqslant\\[2pt] &\leqslant |a_1|^2\cdot |a_2|^2\cdot \ldots\cdot |a_n|^2= \prod_{i=1}^{n}\Bigl(a_{i\,1}^2+ a_{i\,2}^2+\ldots+ a_{i\,n}^2\Bigr). \end{aligned}[/math]

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,\ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,\ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).




Изоморфизм евклидовых пространств


Два евклидовых пространства [math]\mathbb{E}[/math] и [math]\mathbb{E}'[/math] называются изоморфными [math](\mathbb{E}\leftrightarrow \mathbb{E}')[/math], если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:


[math]\left.{\begin{matrix}\mathbf{u}\leftrightarrow \mathbf{u}'\\ \mathbf{v}\leftrightarrow \mathbf{v}'\end{matrix}}\right\}\quad \Rightarrow\quad \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{u}',\mathbf{v}'\rangle'.[/math]
'

где [math](\cdot,\cdot)[/math] и [math](\cdot,\cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]\mathbb{E}[/math] и [math]\mathbb{E}'[/math] соответственно.


Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]\mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]\mathbb{E}[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math], поставим в соответствие каждому вектору [math]\mathbf{x}\in \mathbb{E}[/math] его координатный столбец [math]x\in \mathbb{R}^n~ (\mathbf{x}\leftrightarrow x)[/math]. Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]\mathbb{E}\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math]. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] пространства [math]\mathbb{E}[/math] находится по формуле


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+\ldots+x_n\cdot y_n[/math]

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math], т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+\ldots+x_n\cdot y_n=x^T\cdot y.[/math]

Следовательно, евклидовы пространства [math]\mathbb{E}[/math] и [math]\mathbb{R}^n[/math] изоморфны.


Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved