Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ортогональный и ортонормированный базисы

Ортогональный и ортонормированный базисы


Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой (величина [math]\varphi[/math] угла равна [math]\frac{\pi}{2}[/math]).


Система векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие ее, попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормировинной, если она ортогональная и длина каждого вектора равна единице.


Стандартные базисы на прямой, на плоскости, в пространстве


Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве определяются не однозначно. Некоторые из них, наиболее удобные в приложениях, принимаются в качестве стандартных.


Стандартный базис на прямой — это единичный вектор [math]\vec{i}[/math] на данной прямой (рис.1.34,а). Согласно теореме 1.3, любой вектор [math]\vec{a}[/math], коллинеарный данной прямой, может быть разложен по стандартному базису на прямой [math](\vec{e}=\vec{i})[/math], т.е. представлен в виде [math]\vec{a}=x\cdot\vec{i}[/math].


Стандартный базис на плоскости — это упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов [math]\vec{i},\vec{j}[/math] на данной плоскости (рис. 1.34,б). Согласно теореме 1.4, любой вектор [math]\vec{a}[/math], принадлежащий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису на плоскости [math](\vec{e}_1=\vec{i},\,\vec{e}_2=\vec{j})[/math], т.е. представлен в виде [math]\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}[/math].


Стандартный базис в пространстве — это упорядоченная тройка единичных и попарно перпендикулярных векторов [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] (рис.1.34,в). Первый базисный вектор [math]\vec{i}[/math] на рис.1.34,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка (на читателя). Согласно теореме 1.5, любой вектор [math]\vec{a}[/math] в пространстве может быть разложен по стандартному базису в пространстве [math](\vec{e}_1=\vec{i},\,\vec{e}_2=\vec{j},\,\vec{e}_3=\vec{k})[/math], т.е. представлен в виде [math]\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}[/math].


Изображение



Замечания 1.8


1. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве ортонормированные, поэтому во всех приведенных разложениях вектор [math]\vec{a}[/math] представляется в виде суммы своих ортогональных проекций на соответствующие прямые или оси, задаваемые базисными векторами (см. теорему 1.2), т.е.


[math]\vec{a}_1=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}=x\cdot\vec{i};~~\vec{a}_2=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}=y\cdot\vec{j};~~\vec{a}_3=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_3}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}=z\cdot\vec{k}.[/math]

2. Вектор [math]\vec{a}[/math] в пространстве является замыкающей ломаной (см. правило сложения векторов), образованной его проекциями (рис.1.34,в):


[math]\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}.[/math]

3. Вектор [math]\vec{a}[/math] в пространстве является суммой своих ортогональных составляющих
относительно плоскостей [math]\rho_{\vec{i}\vec{j}},\,\rho_{\vec{i}\vec{k}},\,\rho_{\vec{j}\vec{k}}[/math] (рис.1.34,в):


[math]\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}=\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{j}\vec{k}}}+\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{i}\vec{k}}}+\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{i}\vec{j}}}.[/math]

4. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве являются правыми.


5. Координаты вектора [math]\vec{a}[/math] в стандартном базисе равны алгебраическим значениям длин его ортогональных проекций на координатные оси (рис.1.34,в):


[math]x=\operatorname{pr}_{\vec{i}}\vec{a};\qquad y=\operatorname{pr}_{\vec{j}}\vec{a};\qquad y=\operatorname{pr}_{\vec{k}}\vec{a}.[/math]

6. В ортонормированием базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:


[math]\bigl|\vec{a}\bigl|=\sqrt{x^2+y^2}[/math] (на плоскости); [math]\bigl|\vec{a}\bigl|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math] (в пространстве).



Направляющие косинусы


В стандартных базисах на плоскости и в пространстве направление ненулевого вектора [math]\vec{a}[/math] удобно характеризовать углами, которые он образует с базисными векторами: [math]\alpha[/math] — угол между вектором [math]\vec{a}[/math] и первым базисным вектором [math]\vec{i}[/math], [math]\beta[/math] — со вторым базисным вектором [math]\vec{j}[/math] (рис. 1.34,6), [math]\gamma[/math] — с третьим базисным вектором [math]\vec{k}[/math] (рис.1.34,в). При этом достаточно знать косинусы этих углов, которые называются направляющими косинусами вектора [math]\vec{a}[/math] (в стандартном базисе).


На плоскости вектор [math]\vec{a}[/math] можно представить в виде суммы ортогональных проекций (см. пункт 1 теоремы 1.2): [math]\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}[/math]. Тогда, учитывая пункта 1 замечаний 1.4 (при [math]\vec{e}=\vec{i},~\varphi=\alpha[/math] и при [math]\vec{e}=\vec{j},~\varphi=\beta[/math]), получаем


[math]\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}=\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\alpha\cdot\vec{i}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\beta\cdot\vec{j}.[/math]

Разделив это равенство на длину вектора [math]\vec{a}[/math], в левой части получим единичный вектор [math]\vec{e}[/math], одинаково направленный с вектором [math]\vec{a}[/math] (см. разд. 1.2):


[math]\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\bigl|\vec{a}\bigl|}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}.[/math]

Таким образом, координаты единичного вектора [math]\vec{e}[/math], одинаково направленного с вектором [math]\vec{a}[/math], равны направляющим косинусам вектора [math]\vec{a}[/math]:


[math]x=\cos\alpha,\qquad y=\cos\beta.[/math]

Разумеется, что величины направляющих косинусов связаны условием (см. пункт 3 теоремы 1.2): [math]\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1[/math].


В пространстве получаем аналогичные равенства:


[math]\begin{gathered}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}=\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\alpha\cdot\vec{i}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\beta\cdot\vec{j}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\gamma\cdot\vec{k};\\[3pt]\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\bigl|\vec{a}\bigl|}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}+\cos\gamma\cdot\vec{k},\end{gathered}[/math]

т.е. координаты единичного вектора [math]\vec{e}[/math], одинаково направленного с вектором а , равны направляющим косинусам вектора [math]\vec{a}[/math]:

[math]x=\cos\alpha, \quad y=\cos\beta, \quad z=\cos\gamma.[/math]

При этом [math]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1[/math] (см. пункт 3 теоремы 1.2).




Пример 1.12. Прямоугольный параллелепипед [math]ABCDA_1B_1C_1D_1[/math] построен на векторах [math]\overrightarrow{AB}=4\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\vec{k}[/math] (см. рис.1.35). Точка [math]P[/math] — центр грани [math]ABB_1A_1[/math], точка [math]Q[/math] делит ребро [math]A_1D_1[/math] в отношении [math]A_1Q:D_1Q=4:1[/math]. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора [math]\overrightarrow{PQ}[/math].


Решение. Запишем правило треугольника сложения векторов: [math]\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}[/math]. Подставляя в это равенство разложения векторов


[math]\begin{aligned}\overrightarrow{AP}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}\Bigl(\overrightarrow{AB}+ \underbrace{\overrightarrow{AA_1}}_{\overrightarrow{BB_1}}\Bigl)=\frac{1}{2}(4\vec{i}+4\vec{k})=2\vec{i}+2\vec{k};\\[3pt] \overrightarrow{AQ}&=\frac{4}{5}\cdot \underbrace{\overrightarrow{AD}}_{\overrightarrow{A_1D_1}}+ \overrightarrow{AA_1}=\frac{4}{5}\cdot5\vec{j}+ 4\vec{k}= 4\vec{j}+ 4\vec{k};\end{aligned}[/math]

получаем [math]\underbrace{4\vec{j}+ 4\vec{k}}_{\overrightarrow{AQ}}= \underbrace{2\vec{i}+2\vec{k}}_{\overrightarrow{AP}}+\overrightarrow{PQ}[/math]. Отсюда [math]\overrightarrow{PQ}=-2\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}[/math], т.е. координаты вектора [math]\overrightarrow{PQ}\colon[/math] [math]x=-2;\,y=4;\,z=2[/math]. Согласно п.6 замечаний 1.8, находим длину вектора [math]\bigl|\overrightarrow{PQ}\bigl|= \sqrt{(-2)^2+ 4^2+2^2}= 2\sqrt6.[/math]. Разделив вектор [math]\overrightarrow{PQ}[/math] на его длину, находим единичный вектор:


[math]\frac{\overrightarrow{PQ}}{\bigl|\overrightarrow{PQ}\bigl|}= \frac{-2}{2\sqrt6}\cdot\vec{i}+\frac{4}{2\sqrt6}\cdot\vec{j}+\frac{2}{2\sqrt6}\cdot\vec{k}=\frac{-1}{\sqrt6}\cdot\vec{i}+\frac{2}{\sqrt6}\cdot\vec{j}+ \frac{1}{\sqrt6}\cdot\vec{k}[/math]

Согласно (1.6), его координатами служат направляющие косинусы:


[math]\cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt6};\qquad \cos\beta=\frac{2}{\sqrt6};\qquad \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt6}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved