Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ортогональный и ортонормированный базисы

Ортогональный и ортонормированный базисы


Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой (величина \varphi угла равна \frac{\pi}{2}).


Система векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие ее, попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормировинной, если она ортогональная и длина каждого вектора равна единице.


Стандартные базисы на прямой, на плоскости, в пространстве


Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве определяются не однозначно. Некоторые из них, наиболее удобные в приложениях, принимаются в качестве стандартных.


Стандартный базис на прямой — это единичный вектор \vec{i} на данной прямой (рис.1.34,а). Согласно теореме 1.3, любой вектор \vec{a}, коллинеарный данной прямой, может быть разложен по стандартному базису на прямой (\vec{e}=\vec{i}), т.е. представлен в виде \vec{a}=x\cdot\vec{i}.


Стандартный базис на плоскости — это упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов \vec{i},\vec{j} на данной плоскости (рис. 1.34,б). Согласно теореме 1.4, любой вектор \vec{a}, принадлежащий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису на плоскости (\vec{e}_1=\vec{i},\,\vec{e}_2=\vec{j}), т.е. представлен в виде \vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}.


Стандартный базис в пространстве — это упорядоченная тройка единичных и попарно перпендикулярных векторов \vec{i},\vec{j},\vec{k} (рис.1.34,в). Первый базисный вектор \vec{i} на рис.1.34,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка (на читателя). Согласно теореме 1.5, любой вектор \vec{a} в пространстве может быть разложен по стандартному базису в пространстве (\vec{e}_1=\vec{i},\,\vec{e}_2=\vec{j},\,\vec{e}_3=\vec{k}), т.е. представлен в виде \vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}.


Стандартные базисы на прямой, плоскости и в пространстве



Замечания 1.8


1. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве ортонормированные, поэтому во всех приведенных разложениях вектор \vec{a} представляется в виде суммы своих ортогональных проекций на соответствующие прямые или оси, задаваемые базисными векторами (см. теорему 1.2), т.е.


\vec{a}_1=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}=x\cdot\vec{i};~~\vec{a}_2=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}=y\cdot\vec{j};~~\vec{a}_3=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_3}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}=z\cdot\vec{k}.

2. Вектор \vec{a} в пространстве является замыкающей ломаной (см. правило сложения векторов), образованной его проекциями (рис.1.34,в):


\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}.

3. Вектор \vec{a} в пространстве является суммой своих ортогональных составляющих
относительно плоскостей \rho_{\vec{i}\vec{j}},\,\rho_{\vec{i}\vec{k}},\,\rho_{\vec{j}\vec{k}} (рис.1.34,в):


\vec{a}=x\cdot\vec{i}+y\cdot\vec{j}+z\cdot\vec{k}=\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{j}\vec{k}}}+\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{i}\vec{k}}}+\vec{a}_{\perp\rho_{\vec{i}\vec{j}}}.

4. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве являются правыми.


5. Координаты вектора \vec{a} в стандартном базисе равны алгебраическим значениям длин его ортогональных проекций на координатные оси (рис.1.34,в):


x=\operatorname{pr}_{\vec{i}}\vec{a};\qquad y=\operatorname{pr}_{\vec{j}}\vec{a};\qquad y=\operatorname{pr}_{\vec{k}}\vec{a}.

6. В ортонормированием базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:


\bigl|\vec{a}\bigl|=\sqrt{x^2+y^2} (на плоскости); \bigl|\vec{a}\bigl|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} (в пространстве).



Направляющие косинусы


В стандартных базисах на плоскости и в пространстве направление ненулевого вектора \vec{a} удобно характеризовать углами, которые он образует с базисными векторами: \alpha — угол между вектором \vec{a} и первым базисным вектором \vec{i}, \beta — со вторым базисным вектором \vec{j} (рис. 1.34,6), \gamma — с третьим базисным вектором \vec{k} (рис.1.34,в). При этом достаточно знать косинусы этих углов, которые называются направляющими косинусами вектора \vec{a} (в стандартном базисе).


На плоскости вектор \vec{a} можно представить в виде суммы ортогональных проекций (см. пункт 1 теоремы 1.2): \vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}. Тогда, учитывая пункта 1 замечаний 1.4 (при \vec{e}=\vec{i},~\varphi=\alpha и при \vec{e}=\vec{j},~\varphi=\beta), получаем


\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}=\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\alpha\cdot\vec{i}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\beta\cdot\vec{j}.

Разделив это равенство на длину вектора \vec{a}, в левой части получим единичный вектор \vec{e}, одинаково направленный с вектором \vec{a} (см. разд. 1.2):


\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\bigl|\vec{a}\bigl|}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}.

Таким образом, координаты единичного вектора \vec{e}, одинаково направленного с вектором \vec{a}, равны направляющим косинусам вектора \vec{a}:


x=\cos\alpha,\qquad y=\cos\beta.

Разумеется, что величины направляющих косинусов связаны условием (см. пункт 3 теоремы 1.2): \cos^2\alpha+\cos^2\beta=1.


В пространстве получаем аналогичные равенства:


\begin{gathered}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{i}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{j}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{k}}\vec{a}=\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\alpha\cdot\vec{i}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\beta\cdot\vec{j}+\bigl|\vec{a}\bigl|\cdot\cos\gamma\cdot\vec{k};\\[3pt]\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\bigl|\vec{a}\bigl|}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}+\cos\gamma\cdot\vec{k},\end{gathered}

т.е. координаты единичного вектора \vec{e}, одинаково направленного с вектором \vec{a}, равны направляющим косинусам вектора \vec{a}:


x=\cos\alpha, \quad y=\cos\beta, \quad z=\cos\gamma.

При этом \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 (см. пункт 3 теоремы 1.2).




Прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах

Пример 1.12. Прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 построен на векторах \overrightarrow{AB}=4\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\vec{k} (см. рис.1.35). Точка P — центр грани ABB_1A_1, точка Q делит ребро A_1D_1 в отношении A_1Q:D_1Q=4:1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора \overrightarrow{PQ}.


Решение. Запишем правило треугольника сложения векторов: \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}. Подставляя в это равенство разложения векторов


\begin{aligned}\overrightarrow{AP}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}\Bigl(\overrightarrow{AB}+ \underbrace{\overrightarrow{AA_1}}_{\overrightarrow{BB_1}}\Bigl)=\frac{1}{2}(4\vec{i}+4\vec{k})=2\vec{i}+2\vec{k};\\[3pt] \overrightarrow{AQ}&=\frac{4}{5}\cdot \underbrace{\overrightarrow{AD}}_{\overrightarrow{A_1D_1}}+ \overrightarrow{AA_1}=\frac{4}{5}\cdot5\vec{j}+ 4\vec{k}= 4\vec{j}+ 4\vec{k};\end{aligned}

получаем \underbrace{4\vec{j}+ 4\vec{k}}_{\overrightarrow{AQ}}= \underbrace{2\vec{i}+2\vec{k}}_{\overrightarrow{AP}}+\overrightarrow{PQ}. Отсюда \overrightarrow{PQ}=-2\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}, т.е. координаты вектора \overrightarrow{PQ}\colon x=-2;\,y=4;\,z=2. Согласно п.6 замечаний 1.8, находим длину вектора \bigl|\overrightarrow{PQ}\bigl|= \sqrt{(-2)^2+ 4^2+2^2}= 2\sqrt6.. Разделив вектор \overrightarrow{PQ} на его длину, находим единичный вектор:


\frac{\overrightarrow{PQ}}{\bigl|\overrightarrow{PQ}\bigl|}= \frac{-2}{2\sqrt6}\cdot\vec{i}+\frac{4}{2\sqrt6}\cdot\vec{j}+\frac{2}{2\sqrt6}\cdot\vec{k}=\frac{-1}{\sqrt6}\cdot\vec{i}+\frac{2}{\sqrt6}\cdot\vec{j}+ \frac{1}{\sqrt6}\cdot\vec{k}

Согласно (1.6), его координатами служат направляющие косинусы:


\cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt6};\qquad \cos\beta=\frac{2}{\sqrt6};\qquad \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt6}.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved