Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства

Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства


Два вектора [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: [math]\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle[/math].


Система векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. [math]\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{v}_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math]. Система векторов [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] называется ортонормированной, если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.


[math]\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{v}_j\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,& i\ne j. \end{cases}[/math]

Говорят, что вектор [math]\mathbf{v}[/math] ортогонален (перпендикулярен) множеству [math]M[/math], если он ортогонален каждому вектору из [math]M[/math]. Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра [math](\perp)[/math].




Свойства ортогональных векторов


1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.


2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.


В самом деле, пусть векторы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:


[math]\lambda_1\cdot \mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2+\ldots+\lambda_k \mathbf{v}_k=\mathbf{o}.[/math]

Умножим обе части равенства скалярно на вектор [math]\mathbf{v}_1:[/math]


[math]\lambda_1\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle+ \lambda_2\underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}_{0}+ \ldots+ \lambda_k\underbrace{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_k\rangle}_{0}= \underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{o}\rangle}_{0}.[/math]

Следовательно, [math]\lambda_1\cdot|\mathbf{v}_1|^2=0[/math]. Так как [math]\mathbf{v}_1\ne \mathbf{o}[/math], то [math]\lambda_1=o[/math]. Аналогично доказываем, что [math]\lambda_2=\ldots= \lambda_k=0[/math], т.е рассматриваемая линейная комбинация тривиальная. Значит, ортогональная система векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] линейно независима.


3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.


4. Если вектор [math]\mathbf{u}[/math] ортогонален каждому вектору системы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math], то он также ортогонален и любой их линейной комбинации. Другими словами, если [math]\mathbf{u}\perp \mathbf{v}_i,~ i=1,\ldots,k[/math], то [math]\mathbf{u}\perp \operatorname{Lin} (\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_k)[/math].


5. Если вектор [math]\mathbf{u}[/math] ортогонален подмножеству [math]M[/math] евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.e. [math]\mathbf{u}\perp M~\Rightarrow~ \mathbf{u}\perp \operatorname{Lin}(M)[/math].


6. Если [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] — ортогональная система векторов, то


[math]|\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\ldots+\mathbf{v}_k|^2= |\mathbf{v}_1|^2+ |\mathbf{v}_2|^2+\ldots+|\mathbf{v}_k|^2.[/math]

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.



Процесс ортогонализации Грама-Шмидта


Рассмотрим следующую задачу. Дана линейно независимая система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] векторов конечномерного евклидова пространства. Требуется построить ортогональную систему [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k[/math] векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:


[math]\operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k)= \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k).[/math]

Решение задачи находится при помощи процесса ортогонализации Грама–Шмидта, выполняемого за [math]k[/math] шагов.


1. Положить [math]\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1[/math].


2. Найти [math]\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha_{21}\cdot \mathbf{w}_1[/math], где [math]\alpha_{21}= \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle}[/math].


3. Найти [math]\mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\alpha_{31} \mathbf{w}_1-\alpha_{32} \mathbf{w}_2[/math], где [math]\alpha_{31}=\frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle},~ \alpha_{32}= \frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2\rangle}[/math]; и т.д.


4. Найти [math]\mathbf{w}_k=\mathbf{v}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{ki}\mathbf{w}_i[/math], где [math]\alpha_{ki}= \frac{\langle \mathbf{v}_k,\mathbf{w}_i\rangle}{\langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_i\rangle},~ i=1,\ldots,k-1[/math].


Поясним процесс ортогонализации. Искомый на втором шаге вектор [math]\mathbf{w}_2[/math] представлен в виде линейной комбинации [math]\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha \mathbf{w}_1[/math]. Коэффициент [math]\alpha[/math] подберем так, чтобы обеспечить ортогональность векторов [math]\mathbf{w}_2[/math] и [math]\mathbf{w}_1[/math]. Приравняем нулю скалярное произведение этих векторов [math]\langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_1\rangle= \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1\rangle- \alpha \langle \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle=0[/math]. Отсюда получаем, что [math]\alpha=\alpha_{21}[/math] (см. пункт 2 алгоритма). Подбор коэффициентов [math]\alpha_{ji}[/math] на j-м шаге алгоритма делается так, чтобы искомый вектор [math]\mathbf{w}_j[/math] был ортогонален всем ранее найденным векторам [math]\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}[/math].




Замечания 8.11


1. Векторы, найденные в процессе ортогонализации, обладают следующими свойствами:


а) [math]\mathbf{w}_j \perp \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}),\quad j=2,\ldots,k[/math];


б) [math]\operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1)= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1),\quad \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_{j})= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_{j}),\quad j=2,\ldots,k[/math].


Первое свойство следует из свойства 4 ортогональных векторов. Второе свойство следует из того, что каждый вектор системы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j}[/math] линейно выражается через векторы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_{j}[/math], и наоборот.


2. В процессе ортогонализации любой вектор [math]\mathbf{w}_j[/math] можно заменить на коллинеарный ему ненулевой вектор [math]\lambda\cdot \mathbf{w}_j[/math]. При этом свойства, перечисленные в пункте 1, не нарушаются.


3. Если система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_{k}[/math] векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы. Действительно, если подсистема math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_{j}[/math] линейно зависима, то [math]\mathbf{v}_j\in \operatorname{Lin} (\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{j-1})[/math]. Тогда вектор [math]\mathbf{w}_j=\mathbf{v}_j-\sum_{i=1}^{j-1}\alpha_{ji} \mathbf{w}_i[/math] одновременно удовлетворяет двум условиям [math]\mathbf{w}_j\perp \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\ldots, \mathbf{w}_{j-1})[/math] и [math]\mathbf{w}_j\in \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{j-1})[/math]. Значит, это нулевой вектор [math]\mathbf{w}_i=\mathbf{o}[/math].


Поэтому в данном случае формулы вычисления коэффициентов [math]\alpha_{ji}[/math] на j-м шаге следует записывать в виде:


[math]\alpha_{j\,i}= \begin{cases}\dfrac{\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_i\rangle}{\langle \mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i\rangle},& \mathbf{w}_i\ne \mathbf{o},\\ 0,& \mathbf{w}_i=\mathbf{o}. \end{cases}i=1,2,\ldots,j-1.[/math]

В остальном процесс ортогонализации остается неизменным.

4. Процесс ортогонализации можно дополнить процессом нормировки, разделив каждый вектор ортогональной системы [math]\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k[/math] на его длину:


[math]\mathbf{e}_i=\dfrac{1}{|\,\mathbf{w}_i\,|}\cdot \mathbf{w}_i,\quad i=1,2,\ldots,k.[/math]

В результате получим ортонормированную систему [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_k[/math], отвечающую условию [math]\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_k)= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k)[/math]. Если исходная система векторов является линейно зависимой, то среди векторов ортогональной системы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k[/math] будут нулевые. Чтобы получить ортонормированную систему, нулевые векторы следует исключить, а остальные векторы нормировать.




Пример 8.18. Даны системы векторов евклидовых пространств:


а) [math]x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,\quad y=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\!,\quad z=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/math] — элементы пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] со скалярным произведением (8.26):


[math]\langle x,y\rangle= x^T\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot y= 2\cdot x_1\cdot y_1+x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1+x_2\cdot y_2\,;[/math]

б) [math]p_1(x)=1,~ p_2(x),~ p_3(x)=x^2[/math] — элементы пространства [math]C[-1;1][/math] со скалярным произведением (8.28):


[math]\langle f,g\rangle= \int\limits_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx\,.[/math]
Провести ортогонализацию данных векторов.

Решение. а) Заметим, что система векторов [math]x,\,y,\,z[/math] линейно зависимая, так как [math]x[/math] и [math]y[/math] пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонализации Грама–Шмидта с учетом пункта 3 замечаний 8.11.


1. Полагаем [math]\mathbf{u}=x[/math].


2. Вычисляем [math]\alpha_{21}=\frac{\langle y,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!2\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!2+0\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!1+0\!\cdot\!0}=2[/math] и находим [math]\mathbf{v}=y-\alpha_{21}\mathbf{u}= \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-2\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}[/math]. Получили нулевой вектор.


3. Вычисляем [math]\alpha_{31}=\frac{\langle z,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0+ 1\!\cdot\!1+1\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0}=\frac{1}{2}\,;[/math] [math]\alpha_{32}=0[/math] согласно пункту 3 замечаний 8.11, так как [math]\mathbf{v}=\mathbf{o}[/math], и находим


[math]\mathbf{w}=z-\alpha_{31}\cdot \mathbf{u}-\alpha_{32}\cdot \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}- 0\cdot\! \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}\!.[/math]

Проверим условие ортогональности [math]\langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle= 2\cdot1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1+ 0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+0\cdot1=0[/math].


Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор [math]\mathbf{v}=\mathbf{o}[/math], а остальные нормируем (см. пункт 4 замечаний 8.11):


[math]\begin{gathered} |\mathbf{u}|= \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle}= \sqrt{2}\,;\\[5pt] |\mathbf{w}|= \sqrt{\langle \mathbf{w},\mathbf{w}\rangle}= \sqrt{2\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot1+ 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1}= \sqrt{1/2}\,;\\[5pt] \widehat{\mathbf{u}}= \frac{1}{|\mathbf{u}|}\cdot \mathbf{u}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}\!,\quad \widehat{\mathbf{w}}= \frac{1}{|\mathbf{w}|}\cdot \mathbf{w}= \frac{1}{\sqrt{1/2}}\cdot\! \begin{pmatrix}-1/2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Таким образом, для системы трех векторов [math]x,\,y,\,z[/math] построена ортогональная система из трех векторов [math]\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}[/math] и ортонормированная система из двух векторов [math]\widehat{\mathbf{u}},\widehat{\mathbf{w}}[/math]. Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством [math]\mathbb{R}^2[/math]).


б) 1. Полагаем [math]q_1(x)=p_1(x)=1[/math].


2. Вычисляем [math]\alpha_{21}= \frac{\langle p_2,q_1\rangle}{\langle q_1,q_1\rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x\cdot1\,dx\Biggr):\Biggl(\int\limits_{-1}^{1}1\cdot1\,dx\Biggr)= \left.{\frac{1}{2}\,x^2}\right|_{-1}^{1}:2=0[/math] и находим [math]q_2(x)=x-0\!\cdot\!1=x[/math].


3. Вычисляем

[math]\begin{aligned} \alpha_{31}&= \frac{\langle p_3,q_1\rangle}{\langle q_1,q_1\rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x^2\cdot1\,dx\Biggr):2= \left.{\frac{1}{3}\,x^3}\right|_{-1}^{1}= \frac{2}{3} \cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\,;\\[5pt] \alpha_{32}&= \frac{\langle p_3,q_2\rangle}{\langle q_2,q_2 \rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x^2\cdot x\,dx\Biggr):\Biggl(\int\limits_{-1}^{1}x\cdot x\,dx\Biggr)= \left.{\frac{1}{4}\,x^4}\right|_{-1}^{1}:\left.{\frac{1}{3}\,x^3}\right|_{-1}^{1}=0 \end{aligned}[/math]

и находим [math]q_3(x)= x^2-\alpha_{31}\cdot1-\alpha_{32}\cdot x=x^2-\frac{1}{3}[/math].


Получили ортогональные многочлены [math]q_1(x)=1,~ q_2(x)=x,~ q_3(x)=x^2-\frac{1}{3}[/math]. Выполним нормировку:


[math]\begin{array}{lll}|q_1(x)|= \sqrt{\langle q_1(x),q_1(x)\rangle}= \sqrt{2}\,;&~ |q_2(x)|= \sqrt{\langle q_2(x),q_2(x)\rangle}= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\,;&~ |q_3(x)|= \sqrt{\langle q_3(x),q_3(x) \rangle}= \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}\,;\\[10pt] \widehat{q}_1(x)= \dfrac{q_1(x)}{|q_1(x)|}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,;&~ \widehat{q}_2(x)= \dfrac{q_2(x)}{|q_2(x)|}= \sqrt{\dfrac{3}{2}}\cdot x\,;&~ \widehat{q}_3(x)= \dfrac{q_3(x)}{|q_3(x)|}= \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}}\! \left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\!.\end{array}[/math]

Получили ортонормированные многочлены (многочлены Лежандра).

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved