Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства

Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства


Два вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle.


Система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. \langle \mathbf{u}_i, \mathbf{v}_j\rangle=0 при i\ne j. Система векторов \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k называется ортонормированной, если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.


\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{v}_j\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,& i\ne j. \end{cases}

Говорят, что вектор \mathbf{v} ортогонален (перпендикулярен) множеству M, если он ортогонален каждому вектору из M. Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра (\perp).




Свойства ортогональных векторов


1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.


2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.


В самом деле, пусть векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:


\lambda_1\cdot \mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2+\ldots+\lambda_k \mathbf{v}_k=\mathbf{o}.

Умножим обе части равенства скалярно на вектор \mathbf{v}_1:


\lambda_1\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle+ \lambda_2\underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}_{0}+ \ldots+ \lambda_k\underbrace{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_k\rangle}_{0}= \underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{o}\rangle}_{0}.

Следовательно, \lambda_1\cdot|\mathbf{v}_1|^2=0. Так как \mathbf{v}_1\ne \mathbf{o}, то \lambda_1=o. Аналогично доказываем, что \lambda_2=\ldots= \lambda_k=0, т.е рассматриваемая линейная комбинация тривиальная. Значит, ортогональная система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k линейно независима.


3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.


4. Если вектор \mathbf{u} ортогонален каждому вектору системы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k, то он также ортогонален и любой их линейной комбинации. Другими словами, если \mathbf{u}\perp \mathbf{v}_i,~ i=1,\ldots,k, то \mathbf{u}\perp \operatorname{Lin} (\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_k).


5. Если вектор \mathbf{u} ортогонален подмножеству M евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.e. \mathbf{u}\perp M~\Rightarrow~ \mathbf{u}\perp \operatorname{Lin}(M).


6. Если \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k — ортогональная система векторов, то


|\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\ldots+\mathbf{v}_k|^2= |\mathbf{v}_1|^2+ |\mathbf{v}_2|^2+\ldots+|\mathbf{v}_k|^2.

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.




Процесс ортогонализации Грама-Шмидта


Рассмотрим следующую задачу. Дана линейно независимая система \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k векторов конечномерного евклидова пространства. Требуется построить ортогональную систему \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:


\operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k)= \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k).

Решение задачи находится при помощи процесса ортогонализации Грама–Шмидта, выполняемого за k шагов.


1. Положить \mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1.


2. Найти \mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha_{21}\cdot \mathbf{w}_1, где \alpha_{21}= \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle}.


3. Найти \mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\alpha_{31} \mathbf{w}_1-\alpha_{32} \mathbf{w}_2, где \alpha_{31}=\frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle},~ \alpha_{32}= \frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2\rangle}; и т.д.


4. Найти \mathbf{w}_k=\mathbf{v}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{ki}\mathbf{w}_i, где \alpha_{ki}= \frac{\langle \mathbf{v}_k,\mathbf{w}_i\rangle}{\langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_i\rangle},~ i=1,\ldots,k-1.


Поясним процесс ортогонализации. Искомый на втором шаге вектор \mathbf{w}_2 представлен в виде линейной комбинации \mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha \mathbf{w}_1. Коэффициент \alpha подберем так, чтобы обеспечить ортогональность векторов \mathbf{w}_2 и \mathbf{w}_1. Приравняем нулю скалярное произведение этих векторов \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_1\rangle= \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1\rangle- \alpha \langle \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle=0. Отсюда получаем, что \alpha=\alpha_{21} (см. пункт 2 алгоритма). Подбор коэффициентов \alpha_{ji} на j-м шаге алгоритма делается так, чтобы искомый вектор \mathbf{w}_j был ортогонален всем ранее найденным векторам \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}.




Замечания 8.11


1. Векторы, найденные в процессе ортогонализации, обладают следующими свойствами:


а) \mathbf{w}_j \perp \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}),\quad j=2,\ldots,k;


б) \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1)= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1),\quad \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_{j})= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_{j}),\quad j=2,\ldots,k.


Первое свойство следует из свойства 4 ортогональных векторов. Второе свойство следует из того, что каждый вектор системы \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j} линейно выражается через векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_{j}, и наоборот.


2. В процессе ортогонализации любой вектор \mathbf{w}_j можно заменить на коллинеарный ему ненулевой вектор \lambda\cdot \mathbf{w}_j. При этом свойства, перечисленные в пункте 1, не нарушаются.


3. Если система \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_{k} векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы. Действительно, если подсистема \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_{j} линейно зависима, то \mathbf{v}_j\in \operatorname{Lin} (\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}). Тогда вектор \mathbf{w}_j=\mathbf{v}_j-\sum_{i=1}^{j-1}\alpha_{ji} \mathbf{w}_i одновременно удовлетворяет двум условиям \mathbf{w}_j\perp \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\ldots, \mathbf{w}_{j-1}) и \mathbf{w}_j\in \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}). Значит, это нулевой вектор \mathbf{w}_i=\mathbf{o}.


Поэтому в данном случае формулы вычисления коэффициентов \alpha_{ji} на j-м шаге следует записывать в виде:


\alpha_{j\,i}= \begin{cases}\dfrac{\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_i\rangle}{\langle \mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i\rangle},& \mathbf{w}_i\ne \mathbf{o},\\ 0,& \mathbf{w}_i=\mathbf{o}. \end{cases}i=1,2,\ldots,j-1.

В остальном процесс ортогонализации остается неизменным.


4. Процесс ортогонализации можно дополнить процессом нормировки, разделив каждый вектор ортогональной системы \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k на его длину:


\mathbf{e}_i=\dfrac{1}{|\,\mathbf{w}_i\,|}\cdot \mathbf{w}_i,\quad i=1,2,\ldots,k.

В результате получим ортонормированную систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_k, отвечающую условию \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_k)= \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k). Если исходная система векторов является линейно зависимой, то среди векторов ортогональной системы \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k будут нулевые. Чтобы получить ортонормированную систему, нулевые векторы следует исключить, а остальные векторы нормировать.




Пример 8.18. Даны системы векторов евклидовых пространств:


а) x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,\quad y=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\!,\quad z=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} — элементы пространства \mathbb{R}^2 со скалярным произведением (8.26):


\langle x,y\rangle= x^T\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot y= 2\cdot x_1\cdot y_1+x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1+x_2\cdot y_2\,;

б) p_1(x)=1,~ p_2(x),~ p_3(x)=x^2 — элементы пространства C[-1;1] со скалярным произведением (8.28):


\langle f,g\rangle= \int\limits_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx\,.
Провести

ортогонализацию данных векторов.


Решение. а) Заметим, что система векторов x,\,y,\,z линейно зависимая, так как x и y пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонализации Грама–Шмидта с учетом пункта 3 замечаний 8.11.


1. Полагаем \mathbf{u}=x.


2. Вычисляем \alpha_{21}=\frac{\langle y,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!2\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!2+0\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!1+0\!\cdot\!0}=2 и находим \mathbf{v}=y-\alpha_{21}\mathbf{u}= \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-2\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}. Получили нулевой вектор.


3. Вычисляем \alpha_{31}=\frac{\langle z,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0+ 1\!\cdot\!1+1\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0}=\frac{1}{2}\,; \alpha_{32}=0 согласно пункту 3 замечаний 8.11, так как \mathbf{v}=\mathbf{o}, и находим


\mathbf{w}=z-\alpha_{31}\cdot \mathbf{u}-\alpha_{32}\cdot \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}- 0\cdot\! \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}\!.

Проверим условие ортогональности \langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle= 2\cdot1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1+ 0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+0\cdot1=0.


Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор \mathbf{v}=\mathbf{o}, а остальные нормируем (см. пункт 4 замечаний 8.11):


\begin{gathered} |\mathbf{u}|= \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle}= \sqrt{2}\,;\\[5pt] |\mathbf{w}|= \sqrt{\langle \mathbf{w},\mathbf{w}\rangle}= \sqrt{2\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot1+ 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1}= \sqrt{1/2}\,;\\[5pt] \widehat{\mathbf{u}}= \frac{1}{|\mathbf{u}|}\cdot \mathbf{u}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}\!,\quad \widehat{\mathbf{w}}= \frac{1}{|\mathbf{w}|}\cdot \mathbf{w}= \frac{1}{\sqrt{1/2}}\cdot\! \begin{pmatrix}-1/2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}

Таким образом, для системы трех векторов x,\,y,\,z построена ортогональная система из трех векторов \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} и ортонормированная система из двух векторов \widehat{\mathbf{u}},\widehat{\mathbf{w}}. Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством \mathbb{R}^2).


б) 1. Полагаем q_1(x)=p_1(x)=1.


2. Вычисляем \alpha_{21}= \frac{\langle p_2,q_1\rangle}{\langle q_1,q_1\rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x\cdot1\,dx\Biggr):\Biggl(\int\limits_{-1}^{1}1\cdot1\,dx\Biggr)= \left.{\frac{1}{2}\,x^2}\right|_{-1}^{1}:2=0 и находим q_2(x)=x-0\!\cdot\!1=x.


3. Вычисляем

\begin{aligned} \alpha_{31}&= \frac{\langle p_3,q_1\rangle}{\langle q_1,q_1\rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x^2\cdot1\,dx\Biggr):2= \left.{\frac{1}{3}\,x^3}\right|_{-1}^{1}= \frac{2}{3} \cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\,;\\[5pt] \alpha_{32}&= \frac{\langle p_3,q_2\rangle}{\langle q_2,q_2 \rangle}= \Biggl(\int\limits_{-1}^{1} x^2\cdot x\,dx\Biggr):\Biggl(\int\limits_{-1}^{1}x\cdot x\,dx\Biggr)= \left.{\frac{1}{4}\,x^4}\right|_{-1}^{1}:\left.{\frac{1}{3}\,x^3}\right|_{-1}^{1}=0 \end{aligned}

и находим q_3(x)= x^2-\alpha_{31}\cdot1-\alpha_{32}\cdot x=x^2-\frac{1}{3}.


Получили ортогональные многочлены q_1(x)=1,~ q_2(x)=x,~ q_3(x)=x^2-\frac{1}{3}. Выполним нормировку:


\begin{array}{lll}|q_1(x)|= \sqrt{\langle q_1(x),q_1(x)\rangle}= \sqrt{2}\,;&~ |q_2(x)|= \sqrt{\langle q_2(x),q_2(x)\rangle}= \sqrt{\dfrac{2}{3}}\,;&~ |q_3(x)|= \sqrt{\langle q_3(x),q_3(x) \rangle}= \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}\,;\\[10pt] \widehat{q}_1(x)= \dfrac{q_1(x)}{|q_1(x)|}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,;&~ \widehat{q}_2(x)= \dfrac{q_2(x)}{|q_2(x)|}= \sqrt{\dfrac{3}{2}}\cdot x\,;&~ \widehat{q}_3(x)= \dfrac{q_3(x)}{|q_3(x)|}= \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}}\! \left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\!.\end{array}

Получили ортонормированные многочлены (многочлены Лежандра).
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved