Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ортогональные и унитарные матрицы

Ортогональные и унитарные матрицы


Ортогональная матрица и её свойства


Действительная квадратная невырожденная матрица A называется ортогональной, если A^{-1}=A^{T}. Из определения следуют основные свойства ортогональной матрицы A.


1. A^{T}A=E=AA^{T}.


2. |\det{A}|=1модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.


3. Матрица A^{-1} (или, что то же самое A^{T}) является ортогональной.


4. Произведение ортогональных матриц одного и того же порядка является ортогональной матрицей.


Докажем последнее свойство. Пусть A и B — ортогональные матрицы одного и того же порядка. Тогда по свойствам операций обращения и транспонирования матриц имеем


(A\cdot B)^{-1}= B^{-1}\cdot A^{-1}= B^{T}\cdot A^{T}=(A\cdot B)^{T}.

Следовательно, произведение AB есть ортогональная матрица.




Пример 4.1. Доказать, что матрица A= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} является ортогональной.


Решение. Найдем произведения


\begin{aligned}AA^{T}&= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[2pt] A^{T}A&= \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!. \end{aligned}

Следовательно, по определению A^{T}=A^{-1}. Вычислим определитель матрицы A:


\det{A}=\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}= \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 (см. свойство 2).



Унитарная матрица и её свойства


Комплексная квадратная невырожденная матрица A называется унитарной, если A^{-1}=A^{\ast}. Следующие свойства унитарной матрицы A аналогичны свойствам ортогональной матрицы.


1. AA^{\ast}=E=A^{\ast}A.


2. |\det{A}|=1модуль определителя унитарной матрицы равен единице.


3. Матрица A^{-1} является унитарной.


4. Произведение двух унитарных матриц одного и того же порядка является унитарной матрицей.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved