Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ортогональные и унитарные матрицы

Ортогональные и унитарные матрицы


Ортогональная матрица и её свойства


Действительная квадратная невырожденная матрица [math]A[/math] называется ортогональной, если [math]A^{-1}=A^{T}[/math]. Из определения следуют основные свойства ортогональной матрицы [math]A[/math].


1. [math]A^{T}A=E=AA^{T}[/math].


2. [math]|\det{A}|=1[/math]модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.


3. Матрица [math]A^{-1}[/math] (или, что то же самое [math]A^{T}[/math]) является ортогональной.


4. Произведение ортогональных матриц одного и того же порядка является ортогональной матрицей.


Докажем последнее свойство. Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] — ортогональные матрицы одного и того же порядка. Тогда по свойствам операций обращения и транспонирования матриц имеем


[math](A\cdot B)^{-1}= B^{-1}\cdot A^{-1}= B^{T}\cdot A^{T}=(A\cdot B)^{T}.[/math]

Следовательно, произведение [math]AB[/math] есть ортогональная матрица.




Пример 4.1. Доказать, что матрица [math]A= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}[/math] является ортогональной.


Решение. Найдем произведения


[math]\begin{aligned}AA^{T}&= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[2pt] A^{T}A&= \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Следовательно, по определению [math]A^{T}=A^{-1}[/math]. Вычислим определитель матрицы [math]A:[/math]


[math]\det{A}=\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}= \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1[/math] (см. свойство 2).



Унитарная матрица и её свойства


Комплексная квадратная невырожденная матрица [math]A[/math] называется унитарной, если [math]A^{-1}=A^{\ast}[/math]. Следующие свойства унитарной матрицы [math]A[/math] аналогичны свойствам ортогональной матрицы.


1. [math]AA^{\ast}=E=A^{\ast}A[/math].


2. [math]|\det{A}|=1[/math]модуль определителя унитарной матрицы равен единице.


3. Матрица [math]A^{-1}[/math] является унитарной.


4. Произведение двух унитарных матриц одного и того же порядка является унитарной матрицей.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved