Ортогональные дополнения евклидова пространства
Ортогональным дополнением непустого подмножества евклидова пространства называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из . Ортогональное дополнение обозначается
Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.
1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства служит все пространство . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство .
2. Пусть в пространстве радиус-векторов (с началом в точке ) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора , и . Тогда ортогональным дополнением вектора является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы и , точнее, . Ортогональным дополнением векторов и служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор . Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: .
3. В пространстве многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество - многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена на постоянный многочлен . Поскольку величина произвольная, то . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества является множество многочленов из с нулевым свободным членом.
Свойства ортогонального дополнения
Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства .
1. Ортогональное дополнение непустого подмножества является линейным подпространством, т.е. , и справедливо включение .
В самом деле, множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных , ортогональна , и произведение вектора, ортогонального , на любое число является вектором, ортогональным . До кажем включение . Пусть , тогда для любого вектора . Но это означает, что .
2. Пересечение любого непустого подмножества со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: .
Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.
3. Если - подпространство , то .
Действительно, возьмем в ортогональный базис . До полним его векторами до ортогонального базиса всего пространства . Тогда произвольный вектор можно представить в виде суммы
где , а , так как для . Следовательно, любой вектор пространства раскладывается по подпространствам и , т.е. . Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку . Следовательно, .
4. Если , то .
5. Если - подпространство , то .
Из первого свойства следует включение . Докажем, что . Действительно, пусть . По свойству 3: , где . Найдем скалярное произведение
Следовательно, , и согласно аксиоме 4 скалярного произведения , поэтому . Значит, . Из двух включений и следует равенство .
6. Если и , то и .
Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.
Нахождение ортогонального дополнения подпространства
Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство со скалярным произведением (8.27).
Для заданного подпространства требуется найти его ортогональное дополнение . В зависимости от способа описания подпространства используем одно из следующих двух утверждений.
1. Если подпространство задано как линейная оболочка столбцов матрицы , то множество решений однородной системы является его ортогональным дополнением , т.е.
(8.34)
2. Если подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными, то линейная оболочка столбцов транспонированной матрицы является его ортогональным дополнением , т.е.
(8.35)
где - i-й столбец матрицы .
Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение
можно записать при помощи скалярной произведения , так как по формуле (8.27). Тогда множество решений одного уравнения совпадает с множеством векторов, ортогональных . Поэтому множество совпадает с множеством векторов, ортогональных каждому из векторов , значит, и их линейной оболочке . Таким образом, .
Замечания 8.13
1. В отличие от алгебраического дополнения подпространстве ортогональное дополнение находится однозначно.
2. Ортогональное дополнение подпространства в силу свойства 3 является также и алгебраическим дополнением. Это обстоятельстве учитывалось при нахождении алгебраических дополнений при помощи утверждений (8.16) и (8.17), которые по существу совпадают с утверждениями (8.34) и (8.35).
Пример 8.19. В примере 8.10 для линейного подпространства пространства многочленов не более, чем 3-й степени, было найдено алгебраическое дополнение
Доказать, что это алгебраическое дополнение является ортогональным дополнением подпространства евклидова пространства со скалярным произведением (8.29).
Решение. Для решения задачи достаточно показать, что образующие подпространства
ортогональны образующим алгебраического дополнения
По формуле (8.29) находим
Следовательно, .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|