Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ортогональные дополнения евклидова пространства

Ортогональные дополнения евклидова пространства


Ортогональным дополнением непустого подмножества M евклидова пространства \mathbb{E} называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из M. Ортогональное дополнение обозначается


M^{\perp}= \Bigl\{ \mathbf{v}\colon\, \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=0,~ \forall \mathbf{w}\in M \Bigr\}.

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.


1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства \{\mathbf{o} \} \triangleleft \mathbb{E} служит все пространство \mathbb{E} \colon\, \{\mathbf{o} \}^{\perp}= \mathbb{E}. Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство \mathbb{E}^{\perp}= \{\mathbf{o} \}.


2. Пусть в пространстве {V_3 } радиус-векторов (с началом в точке O) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} и \overrightarrow{ OC }. Тогда ортогональным дополнением вектора \overrightarrow{OA} является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы \overrightarrow{ OB } и \overrightarrow{ OC }, точнее, \{\overrightarrow{OA}\}^{\perp}= \operatorname{Lin}(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}). Ортогональным дополнением векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор \overrightarrow{OC}\colon \{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\}^{\perp}= \operatorname{Lin} (\overrightarrow{OC}). Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: \{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}^{\perp}= \{\overrightarrow{OO}\}.


3. В пространстве P_2(\mathbb{R}) многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество P_0(\mathbb{R}) - многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена p_2(x)=ax^2+bx+c на постоянный многочлен p_0(x)=d\colon \langle p_2(x),p_0(x)\rangle= a\cdot0+b\cdot0+c\cdot d=0. Поскольку величина d произвольная, то c=0. Следовательно, ортогональным дополнением подмножества P_0(\mathbb{R}) является множество многочленов из P_0(\mathbb{R}) с нулевым свободным членом.




Свойства ортогонального дополнения


Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства \mathbb{E}.


1. Ортогональное дополнение M^{\perp} непустого подмножества M\subset \mathbb{E} является линейным подпространством, т.е. M^{\perp} \triangleleft \mathbb{E}, и справедливо включение M\subset (M^{\perp})^{\perp}.


В самом деле, множество M^{\perp} замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных M, ортогональна M, и произведение вектора, ортогонального M, на любое число является вектором, ортогональным M. До кажем включение M\subset (M^{\perp})^{\perp}. Пусть \mathbf{w}\in M, тогда \langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=0 для любого вектора \mathbf{v}\in M^{\perp}. Но это означает, что \mathbf{w}\subset (M^{\perp})^{\perp}.


2. Пересечение любого непустого подмножества M\subset \mathbb{E} со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: M\cap M^{\perp}= \{\mathbf{o}\}.


Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.


3. Если L - подпространство \mathbb{E}~ (L\triangleleft \mathbb{E}), то \mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}.


Действительно, возьмем в L ортогональный базис (\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1, \ldots,\mathbf{e}_k). До полним его векторами (\mathbf{f})= (\mathbf{f}_{k+1},\ldots, \mathbf{f}_n) до ортогонального базиса (\mathbf{e}),\,(\mathbf{f}) всего пространства \mathbb{E}. Тогда произвольный вектор \mathbf{w}\in \mathbb{E} можно представить в виде суммы


\mathbf{w}= \underbrace{\sum_{i=1}^{k}\mathbf{w}_i \mathbf{e}_i}_{\mathbf{u}}+ \underbrace{\sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}_j \mathbf{f}_j}_{\mathbf{v}} =\mathbf{u}+ \mathbf{v},

где \mathbf{u}\in L, а \mathbf{v}\in L^{\perp}, так как \langle \mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle= \sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}\langle \mathbf{f}_j, \mathbf{e}_i \rangle_{{}_{=0}}=0 для i=1,\ldots,k. Следовательно, любой вектор пространства \mathbb{E} раскладывается по подпространствам L и L^{\perp}, т.е. \mathbb{E}= L+L^{\perp}. Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку L\cap L^{\perp}=\{\mathbf{o}\}. Следовательно, \mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}.


4. Если L\triangleleft \mathbb{E}, то \dim{L^{\perp}}= \dim\mathbb{E}-\dim{L}.


5. Если L - подпространство \mathbb{E}, то L=(L^{\perp})^{\perp}.


Из первого свойства следует включение L\subset(L^{\perp})^{\perp}. Докажем, что (L^{\perp})^{\perp}\subset L. Действительно, пусть \mathbf{w}\in (L^{\perp})^{\perp}. По свойству 3: \mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}, где \mathbf{u}\in L,~ \mathbf{v}\in L^{\perp}. Найдем скалярное произведение


\underbrace{\langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}_{0}= \langle \mathbf{w}+ \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \underbrace{\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle }_{0}+\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.

Следовательно, \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0, и согласно аксиоме 4 скалярного произведения \mathbf{v}=\mathbf{o}, поэтому \mathbf{w}=\mathbf{u}+ \mathbf{v}= \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}\in L. Значит, (L^{\perp})^{\perp}\subset L. Из двух включений L\subset (L^{\perp})^{\perp} и (L^{\perp})^{\perp} \subset L следует равенство L=(L^{\perp})^{\perp}.


6. Если L_1\triangleleft \mathbb{E} и L_2\triangleleft \mathbb{E}, то (L_1+L_2)^{\perp}=L_1^{\perp}\cap L_2^{\perp} и (L_1\cap L_2)^{\perp}= L_1^{\perp}+ L_2^{\perp}.


Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.




Нахождение ортогонального дополнения подпространства


Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство \mathbb{R}^n со скалярным произведением (8.27).


Для заданного подпространства L\triangleleft \mathbb{R}^n требуется найти его ортогональное дополнение L^{\perp}. В зависимости от способа описания подпространства L используем одно из следующих двух утверждений.


1. Если подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано как линейная оболочка L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k) столбцов матрицы A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}, то множество решений однородной системы Ax=o является его ортогональным дополнением L^{\perp}\triangleleft \mathbb{R}^n, т.е.


L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{\perp}= \{Ax=o\}.
(8.34)

2. Если подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано как множество решений однородной системы Ax=o m уравнений с n неизвестными, то линейная оболочка столбцов a_1^T,\ldots,a_m^T транспонированной матрицы A^T=\begin{pmatrix}a_1^T&\cdots&a_m^T\end{pmatrix} является его ортогональным дополнением L^{\perp}\triangleleft \mathbb{R}^n, т.е.


L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{\perp}= \operatorname{Lin}\begin{pmatrix}a_1^T&\cdots&a_m^T\end{pmatrix}.
(8.35)

где a_i^T - i-й столбец матрицы A^T.


Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение


a_{i\,1}\cdot x_1+a_{i\,2}\cdot x_2+\ldots+a_{i\,n}\cdot x_n=0

можно записать при помощи скалярной произведения \langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=0, так как \langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=(a_{i})^Tx по формуле (8.27). Тогда множество \{\langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=o\} решений одного уравнения совпадает с множеством векторов, ортогональных \mathbf{i}_i. Поэтому множество \{A^Tx=o\} совпадает с множеством векторов, ортогональных каждому из векторов \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_k, значит, и их линейной оболочке L= \operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_k). Таким образом, L^{\perp}=\{A^Tx=o\}.


Замечания 8.13


1. В отличие от алгебраического дополнения L^{+} подпространстве L\triangleleft \mathbb{E} ортогональное дополнение L^{\perp} находится однозначно.


2. Ортогональное дополнение L^{\perp} подпространства L\triangleleft \mathbb{E} в силу свойства 3 является также и алгебраическим дополнением. Это обстоятельстве учитывалось при нахождении алгебраических дополнений при помощи утверждений (8.16) и (8.17), которые по существу совпадают с утверждениями (8.34) и (8.35).




Пример 8.19. В примере 8.10 для линейного подпространства L= \operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3] пространства P_3(\mathbb{R}) многочленов не более, чем 3-й степени, было найдено алгебраическое дополнение


L^{+}= \operatorname{Lin}\!\left[\left(-\dfrac{9}{5}-\dfrac{2}{5}\,t+t^2\right)\!, \left(-\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\,t+t^3\right)\right].

Доказать, что это алгебраическое дополнение является ортогональным дополнением подпространства L евклидова пространства P_3(\mathbb{R}) со скалярным произведением (8.29).


Решение. Для решения задачи достаточно показать, что образующие подпространства L\colon


p_1(t)=(t-1)^2= 0\cdot t^3+1\cdot t^2+(-2)\cdot t+1;\quad p_2(t)=(t+1)^3= 1\cdot t^3+3\cdot t^2+3\cdot t+1

ортогональны образующим алгебраического дополнения L^{+}\colon


q_1(t)=0\cdot t^3+1\cdot t^2+\frac{-2}{5}\cdot t+\frac{-9}{5},\quad q_2(t)= 1\cdot t^3+0\cdot t^2+\frac{-1}{5}\cdot t+\frac{-2}{5}\,.

По формуле (8.29) находим


\begin{aligned}\langle p_1(t),q_1(t)\rangle&= 0\cdot0+1\cdot1+(-2)\cdot\!\left(-\dfrac{2}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{9}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_1(t),q_2(t)\rangle&= 0\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{2}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_2(t),q_1(t)\rangle&= 1\cdot0+3\cdot1+3\cdot\!\left(-\dfrac{2}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{9}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_2(t),q_2(t)\rangle&= 1\cdot1+3\cdot0+3\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{2}{5}\right)=0. \end{aligned}

Следовательно, L=L^{+}

.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved