Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ортогональные дополнения евклидова пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Ортогональные дополнения евклидова пространства


Ортогональным дополнением непустого подмножества [math]M[/math] евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из [math]M[/math]. Ортогональное дополнение обозначается


[math]M^{\perp}= \Bigl\{ \mathbf{v}\colon\, \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=0,~ \forall \mathbf{w}\in M \Bigr\}.[/math]

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.


1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства [math]\{\mathbf{o} \} \triangleleft \mathbb{E}[/math] служит все пространство [math]\mathbb{E} \colon\, \{\mathbf{o} \}^{\perp}= \mathbb{E}[/math]. Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство [math]\mathbb{E}^{\perp}= \{\mathbf{o} \}[/math].


2. Пусть в пространстве [math]{V_3 }[/math] радиус-векторов (с началом в точке [math]O[/math]) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math], [math]\overrightarrow{OB}[/math] и [math]\overrightarrow{ OC }[/math]. Тогда ортогональным дополнением вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы [math]\overrightarrow{ OB }[/math] и [math]\overrightarrow{ OC }[/math], точнее, [math]\{\overrightarrow{OA}\}^{\perp}= \operatorname{Lin}(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})[/math]. Ортогональным дополнением векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор [math]\overrightarrow{OC}\colon \{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\}^{\perp}= \operatorname{Lin} (\overrightarrow{OC})[/math]. Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: [math]\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}^{\perp}= \{\overrightarrow{OO}\}[/math].


3. В пространстве [math]P_2(\mathbb{R})[/math] многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество [math]P_0(\mathbb{R})[/math] - многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена [math]p_2(x)=ax^2+bx+c[/math] на постоянный многочлен [math]p_0(x)=d\colon[/math] [math]\langle p_2(x),p_0(x)\rangle= a\cdot0+b\cdot0+c\cdot d=0[/math]. Поскольку величина [math]d[/math] произвольная, то [math]c=0[/math]. Следовательно, ортогональным дополнением подмножества [math]P_0(\mathbb{R})[/math] является множество многочленов из [math]P_0(\mathbb{R})[/math] с нулевым свободным членом.




Свойства ортогонального дополнения


Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math].


1. Ортогональное дополнение [math]M^{\perp}[/math] непустого подмножества [math]M\subset \mathbb{E}[/math] является линейным подпространством, т.е. [math]M^{\perp} \triangleleft \mathbb{E}[/math], и справедливо включение [math]M\subset (M^{\perp})^{\perp}[/math].


В самом деле, множество [math]M^{\perp}[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных [math]M[/math], ортогональна [math]M[/math], и произведение вектора, ортогонального [math]M[/math], на любое число является вектором, ортогональным [math]M[/math]. До кажем включение [math]M\subset (M^{\perp})^{\perp}[/math]. Пусть [math]\mathbf{w}\in M[/math], тогда [math]\langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=0[/math] для любого вектора [math]\mathbf{v}\in M^{\perp}[/math]. Но это означает, что [math]\mathbf{w}\subset (M^{\perp})^{\perp}[/math].


2. Пересечение любого непустого подмножества [math]M\subset \mathbb{E}[/math] со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: [math]M\cap M^{\perp}= \{\mathbf{o}\}[/math].


Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.


3. Если [math]L[/math] - подпространство [math]\mathbb{E}~ (L\triangleleft \mathbb{E})[/math], то [math]\mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}[/math].


Действительно, возьмем в [math]L[/math] ортогональный базис [math](\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1, \ldots,\mathbf{e}_k)[/math]. До полним его векторами [math](\mathbf{f})= (\mathbf{f}_{k+1},\ldots, \mathbf{f}_n)[/math] до ортогонального базиса [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{f})[/math] всего пространства [math]\mathbb{E}[/math]. Тогда произвольный вектор [math]\mathbf{w}\in \mathbb{E}[/math] можно представить в виде суммы


[math]\mathbf{w}= \underbrace{\sum_{i=1}^{k}\mathbf{w}_i \mathbf{e}_i}_{\mathbf{u}}+ \underbrace{\sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}_j \mathbf{f}_j}_{\mathbf{v}} =\mathbf{u}+ \mathbf{v},[/math]

где [math]\mathbf{u}\in L[/math], а [math]\mathbf{v}\in L^{\perp}[/math], так как [math]\langle \mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle= \sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}\langle \mathbf{f}_j, \mathbf{e}_i \rangle_{{}_{=0}}=0[/math] для [math]i=1,\ldots,k[/math]. Следовательно, любой вектор пространства [math]\mathbb{E}[/math] раскладывается по подпространствам [math]L[/math] и [math]L^{\perp}[/math], т.е. [math]\mathbb{E}= L+L^{\perp}[/math]. Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку [math]L\cap L^{\perp}=\{\mathbf{o}\}[/math]. Следовательно, [math]\mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}[/math].


4. Если [math]L\triangleleft \mathbb{E}[/math], то [math]\dim{L^{\perp}}= \dim\mathbb{E}-\dim{L}[/math].


5. Если [math]L[/math] - подпространство [math]\mathbb{E}[/math], то [math]L=(L^{\perp})^{\perp}[/math].


Из первого свойства следует включение [math]L\subset(L^{\perp})^{\perp}[/math]. Докажем, что [math](L^{\perp})^{\perp}\subset L[/math]. Действительно, пусть [math]\mathbf{w}\in (L^{\perp})^{\perp}[/math]. По свойству 3: [math]\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}[/math], где [math]\mathbf{u}\in L,~ \mathbf{v}\in L^{\perp}[/math]. Найдем скалярное произведение


[math]\underbrace{\langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}_{0}= \langle \mathbf{w}+ \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \underbrace{\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle }_{0}+\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.[/math]

Следовательно, [math]\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0[/math], и согласно аксиоме 4 скалярного произведения [math]\mathbf{v}=\mathbf{o}[/math], поэтому [math]\mathbf{w}=\mathbf{u}+ \mathbf{v}= \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}\in L[/math]. Значит, [math](L^{\perp})^{\perp}\subset L[/math]. Из двух включений [math]L\subset (L^{\perp})^{\perp}[/math] и [math](L^{\perp})^{\perp} \subset L[/math] следует равенство [math]L=(L^{\perp})^{\perp}[/math].


6. Если [math]L_1\triangleleft \mathbb{E}[/math] и [math]L_2\triangleleft \mathbb{E}[/math], то [math](L_1+L_2)^{\perp}=L_1^{\perp}\cap L_2^{\perp}[/math] и [math](L_1\cap L_2)^{\perp}= L_1^{\perp}+ L_2^{\perp}[/math].


Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.




Нахождение ортогонального дополнения подпространства


Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.27).


Для заданного подпространства [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] требуется найти его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math]. В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math] используем одно из следующих двух утверждений.


1. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано как линейная оболочка [math]L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)[/math] столбцов матрицы [math]A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}[/math], то множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^{\perp}\triangleleft \mathbb{R}^n[/math], т.е.


[math]L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{\perp}= \{Ax=o\}.[/math]
(8.34)

2. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано как множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными, то линейная оболочка столбцов [math]a_1^T,\ldots,a_m^T[/math] транспонированной матрицы [math]A^T=\begin{pmatrix}a_1^T&\cdots&a_m^T\end{pmatrix}[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^{\perp}\triangleleft \mathbb{R}^n[/math], т.е.


[math]L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{\perp}= \operatorname{Lin}(a_1^T&\cdots& a_m^T).[/math]
(8.35)

где [math]a_i^T[/math] - i-й столбец матрицы [math]A^T[/math].


Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение


[math]a_{i\,1}\cdot x_1+a_{i\,2}\cdot x_2+\ldots+a_{i\,n}\cdot x_n=0[/math]

можно записать при помощи скалярной произведения [math]\langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=0[/math], так как [math]\langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=(a_{i})^Tx[/math] по формуле (8.27). Тогда множество [math]\{\langle \mathbf{a}_{i},\mathbf{x} \rangle=o\}[/math] решений одного уравнения совпадает с множеством векторов, ортогональных [math]\mathbf{i}_i[/math]. Поэтому множество [math]\{A^Tx=o\}[/math] совпадает с множеством векторов, ортогональных каждому из векторов [math]\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_k[/math], значит, и их линейной оболочке [math]L= \operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_k)[/math]. Таким образом, [math]L^{\perp}=\{A^Tx=o\}[/math].


Замечания 8.13


1. В отличие от алгебраического дополнения [math]L^{+}[/math] подпространстве [math]L\triangleleft \mathbb{E}[/math] ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] находится однозначно.


2. Ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] подпространства [math]L\triangleleft \mathbb{E}[/math] в силу свойства 3 является также и алгебраическим дополнением. Это обстоятельстве учитывалось при нахождении алгебраических дополнений при помощи утверждений (8.16) и (8.17), которые по существу совпадают с утверждениями (8.34) и (8.35).




Пример 8.19. В примере 8.10 для линейного подпространства [math]L= \operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] пространства [math]P_3(\mathbb{R})[/math] многочленов не более, чем 3-й степени, было найдено алгебраическое дополнение


[math]L^{+}= \operatorname{Lin}\!\left[\left(-\dfrac{9}{5}-\dfrac{2}{5}\,t+t^2\right)\!, \left(-\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\,t+t^3\right)\right].[/math]

Доказать, что это алгебраическое дополнение является ортогональным дополнением подпространства [math]L[/math] евклидова пространства [math]P_3(\mathbb{R})[/math] со скалярным произведением (8.29).


Решение. Для решения задачи достаточно показать, что образующие подпространства [math]L:[/math]


[math]p_1(t)=(t-1)^2= 0\cdot t^3+1\cdot t^2+(-2)\cdot t+1;\quad p_2(t)=(t+1)^3= 1\cdot t^3+3\cdot t^2+3\cdot t+1[/math]

ортогональны образующим алгебраического дополнения [math]L^{+}:[/math]


[math]q_1(t)=0\cdot t^3+1\cdot t^2+\frac{-2}{5}\cdot t+\frac{-9}{5},\quad q_2(t)= 1\cdot t^3+0\cdot t^2+\frac{-1}{5}\cdot t+\frac{-2}{5}\,.[/math]

По формуле (8.29) находим


[math]\begin{aligned}\langle p_1(t),q_1(t)\rangle&= 0\cdot0+1\cdot1+(-2)\cdot\!\left(-\dfrac{2}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{9}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_1(t),q_2(t)\rangle&= 0\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{2}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_2(t),q_1(t)\rangle&= 1\cdot0+3\cdot1+3\cdot\!\left(-\dfrac{2}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{9}{5}\right)=0;\\[2pt] \langle p_2(t),q_2(t)\rangle&= 1\cdot1+3\cdot0+3\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+1\cdot\!\left(-\frac{2}{5}\right)=0. \end{aligned}[/math]

Следовательно, [math]L=L^{+}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved