Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ориентированные площади и объёмы

Ориентированные площади и объёмы


Ориентированная площадь параллелограмма


Ориентированной площадью S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land} параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах \vec{a} и \vec{b}, называется его площадь S_{\ast\vec{a},\vec{b}}, взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов \vec{a} и \vec{b} правая \bigl(S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=S_{\ast\vec{a},\vec{b}}\bigr), и со знаком минус, если ориентация — левая \bigl(S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=-S_{\ast\vec{a},\vec{b}}\bigr)


Внешним (косым) произведением неколлинеарных векторов \vec{a} и \vec{b} на плоскости называется число, равное ориентированной площади S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land} параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторы \vec{a} и \vec{b} коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}. Его свойства повторяют алгебраические свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} на плоскости и любого числа \lambda справедливы равенства:


1) \vec{a}\land\vec{b}=-\vec{b}\land\vec{a};


2) (\vec{a}+\vec{b})\land\vec{c}=\vec{a}\land\vec{c}+\vec{b}\land\vec{c};


3) (\lambda\cdot\vec{a})\land\vec{b}=\lambda\cdot(\vec{a}\land\vec{b}).


4) Если векторы \vec{a} и \vec{b} в правом ортонормированием базисе \vec{i},\vec{j} имеют координаты x_a,y_a и x_b,y_b соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле


S_{\ast\vec{a}, \vec{b}}^{\land}= \begin{vmatrix} x_a&x_b\\y_a&y_b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a\\x_b&y_b\end{vmatrix}=x_a\cdot y_b-x_b\cdot y_a\,.
(1.18)

Если a=\begin{pmatrix} x_a&y_a \end{pmatrix}^T,~ b=\begin{pmatrix}x_b&y_b\end{pmatrix}^T — координатные столбцы векторов \vec{a},\vec{b} в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находится по формуле


S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}=\begin{vmatrix}x_a&y_a\end{vmatrix}\!\cdot\!\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.

Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми аппликатами.


Рассмотрим задачу разложения вектора \vec{a} по базису \vec{e}_1,\vec{e}_2 на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки O. Сначала разберем случаи, когда векторы \vec{a} и \vec{e}_1 коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49,а) или противоположно направлены (рис. 1.49,6). В этих случаях ордината x_2 вектора \vec{a} равна нулю, а абсцисса находится как отношение


Разложение векторов по базису на плоскости
x_1=\frac{\vec{a}}{\vec{e}_1}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2} при \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{e}_1 (рис.1.49,а)

x_1=\frac{\vec{a}}{\vec{e}_1}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2} при \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{e}_1 (рис.1.49,b)

так как пара \vec{a},\vec{e}_2 в первом случае правая (рис.1.49,а), а во втором случае — левая (рис.1.49,б).


Пусть теперь векторы \vec{a} и \vec{e}_1 не коллинеарны (рис.1.49,в). Построим проекции \vec{a}_1 и \vec{a}_2 на прямые, содержащие базисные векторы: \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2. Из концов векторов \vec{a}_1 и \vec{e}_1 опустим перпендикуляры h_1 и h соответственно на прямую, содержащую вектор \vec{e}_2. Учитывая, что векторы \vec{a}_1 и \vec{e}_1 противоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гипотенузами \vec{a}_1 и \vec{e}_1, находим абсциссу x_1 вектора \vec{a}:


x_1=\frac{\vec{a}_1}{\vec{e}_1}=-\frac{h_1}{h}=-\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.

так как пара \vec{e}_1,\vec{e}_2 — правая, а пара \vec{a},\vec{e}_2 — левая. Аналогично находится ордината (векторы \vec{a}_2 и \vec{e}_2 одинаково направлены)


x_2=\frac{\vec{a}_2}{\vec{e}_2}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_1}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{e}_1\land\vec{a}}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.

Таким образом, вектор \vec{a} имеет следующее разложение по базису \vec{e}_1,\vec{e}_2 на плоскости:


\vec{a}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2,\quad \text{where}\quad x_1=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2},~x_2=\frac{\vec{e}_1\land\vec{a}}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.
(1.19)

Рассмотрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:


\begin{cases}a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2=c_1,\\[2pt]a_2\cdot x_1+b_2\cdot x_2=c_2.\end{cases}

Эту систему можно записать в виде \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}.Рассматривая полученные столбцы как координатные столбцы векторов \vec{c},\vec{a},\vec{b} в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение \vec{c}=x_1{\cdot}\vec{a}+x_2{\cdot}\vec{b}.


Таким образом, нахождение решения системы уравнений свелось к задаче разложения вектора \vec{c} по векторам \vec{a} и \vec{b}. Предполагая, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. a_1:b_1\ne a_2:b_2 (векторы \vec{a} и \vec{b} не коллинеарны), по формуле (1.19), полагая \vec{a}=\vec{c},~\vec{e}_1=\vec{a},~\vec{e}_2=\vec{b}, получаем:


x_1=\frac{\vec{c}\land\vec{b}}{\vec{a}\land\vec{b}}=\dfrac{\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}};\qquad x_2=\frac{\vec{a}\land\vec{c}}{\vec{a}\land\vec{b}}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}} что совпадает с правилом Крамера.



Ориентированный объем параллелепипеда


Ориентированным объемом V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land} параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах \vec{a},\vec{b},\vec{c}, называется его объем V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} правая V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}} и со знаком минус, если ориентация — левая V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=-V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}.


Внешним (косым) произведением некомпланарных векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется число, равное ориентированному объему V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land} параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}\land\vec{c}.


Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведения), т.е. V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}\land\vec{c}=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr). В ортонормированием базисе


V_{\ast\vec{a}, \vec{b},\vec{c}}^{\land}= \vec{a}\land \vec{b}\land\vec{c}=\begin{vmatrix}x_a&x_b&x_c\\y_a&y_b&y_c\\z_a&z_b&z_c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr),
(1.20)

так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.


При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора \vec{a} по базису \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем


\vec{a}= x_1\cdot \vec{e}_1+ x_2\cdot \vec{e}_2+ x_3\cdot \vec{e}_3,
(1.21)

где x_1=\frac{(\vec{a},\vec{e}_2,\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)};~~ x_2=\frac{(\vec{e}_1,\vec{a},\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3)};~~ x_3=\frac{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{a})}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3)}


Формула (1.21) соответствует правилу Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.




Пример 1.23. Заданы координатные столбцы


a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}\!,\qquad d=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.

векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} в стандартном базисе. Разложить вектор \vec{d} по векторам \vec{a},\vec{b},\vec{c}.


Решение. По формуле (1.20) находим смешанные произведения


\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=1;~\bigl(\vec{d},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\2&1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=2;~\bigl(\vec{a},\vec{d},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&3&1\end{vmatrix}=-1;~\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{d}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&3\end{vmatrix}=3.

Коэффициенты разложения определяем по формуле (1.21):


x_1=\frac{(\vec{d},\vec{b},\vec{c})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{2}{1}=2;\qquad x_2=\frac{(\vec{a},\vec{d},\vec{c})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{-1}{1}=-1;\qquad x_3=\frac{(\vec{a},\vec{b},\vec{d})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{3}{1}=3.

Следовательно, \vec{d}=2\,\vec{a}-\vec{b}+3\,\vec{c}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved