Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ориентированные площади и объёмы

Ориентированные площади и объёмы


Ориентированная площадь параллелограмма


Ориентированной площадью [math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}[/math] параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math], называется его площадь [math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}[/math], взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] правая [math]\bigl(S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=S_{\ast\vec{a},\vec{b}}\bigr)[/math], и со знаком минус, если ориентация — левая [math]\bigl(S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=-S_{\ast\vec{a},\vec{b}}\bigr)[/math]


Внешним (косым) произведением неколлинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] на плоскости называется число, равное ориентированной площади [math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}[/math] параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается [math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}[/math]. Его свойства повторяют алгебраические свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] на плоскости и любого числа [math]\lambda[/math] справедливы равенства:


1) [math]\vec{a}\land\vec{b}=-\vec{b}\land\vec{a}[/math];


2) [math](\vec{a}+\vec{b})\land\vec{c}=\vec{a}\land\vec{c}+\vec{b}\land\vec{c}[/math];


3) [math](\lambda\cdot\vec{a})\land\vec{b}=\lambda\cdot(\vec{a}\land\vec{b})[/math].


4) Если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] в правом ортонормированием базисе [math]\vec{i},\vec{j}[/math] имеют координаты [math]x_a,y_a[/math] и [math]x_b,y_b[/math] соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле


[math]S_{\ast\vec{a}, \vec{b}}^{\land}= \begin{vmatrix} x_a&x_b\\y_a&y_b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a\\x_b&y_b\end{vmatrix}=x_a\cdot y_b-x_b\cdot y_a\,.[/math]
(1.18)

Если [math]a=\begin{pmatrix} x_a&y_a \end{pmatrix}^T,~ b=\begin{pmatrix}x_b&y_b\end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a},\vec{b}[/math] в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находится по формуле


[math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}=\begin{vmatrix}x_a&y_a\end{vmatrix}\!\cdot\!\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.[/math]

Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми аппликатами.


Рассмотрим задачу разложения вектора [math]\vec{a}[/math] по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки [math]O[/math]. Сначала разберем случаи, когда векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{e}_1[/math] коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49,а) или противоположно направлены (рис. 1.49,6). В этих случаях ордината [math]x_2[/math] вектора [math]\vec{a}[/math] равна нулю, а абсцисса находится как отношение


Разложение векторов по базису на плоскости
[math]x_1=\frac{\vec{a}}{\vec{e}_1}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}[/math] при [math]\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{e}_1[/math] (рис.1.49,а)

[math]x_1=\frac{\vec{a}}{\vec{e}_1}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}[/math] при [math]\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{e}_1[/math] (рис.1.49,b)

так как пара [math]\vec{a},\vec{e}_2[/math] в первом случае правая (рис.1.49,а), а во втором случае — левая (рис.1.49,б).


Пусть теперь векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{e}_1[/math] не коллинеарны (рис.1.49,в). Построим проекции [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{a}_2[/math] на прямые, содержащие базисные векторы: [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math]. Из концов векторов [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{e}_1[/math] опустим перпендикуляры [math]h_1[/math] и [math]h[/math] соответственно на прямую, содержащую вектор [math]\vec{e}_2[/math]. Учитывая, что векторы [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{e}_1[/math] противоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гипотенузами [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{e}_1[/math], находим абсциссу [math]x_1[/math] вектора [math]\vec{a}[/math]:


[math]x_1=\frac{\vec{a}_1}{\vec{e}_1}=-\frac{h_1}{h}=-\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_2}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.[/math]

так как пара [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] — правая, а пара [math]\vec{a},\vec{e}_2[/math] — левая. Аналогично находится ордината (векторы [math]\vec{a}_2[/math] и [math]\vec{e}_2[/math] одинаково направлены)


[math]x_2=\frac{\vec{a}_2}{\vec{e}_2}=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{e}_1}}{S_{\ast\vec{e}_1,\vec{e}_2}}=\frac{\vec{e}_1\land\vec{a}}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.[/math]

Таким образом, вектор [math]\vec{a}[/math] имеет следующее разложение по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] на плоскости:


[math]\vec{a}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2,\quad \text{where}\quad x_1=\frac{\vec{a}\land\vec{e}_2}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2},~x_2=\frac{\vec{e}_1\land\vec{a}}{\vec{e}_1\land\vec{e}_2}.[/math]
(1.19)

Рассмотрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:


[math]\begin{cases}a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2=c_1,\\[2pt]a_2\cdot x_1+b_2\cdot x_2=c_2.\end{cases}[/math]

Эту систему можно записать в виде [math]\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}[/math].Рассматривая полученные столбцы как координатные столбцы векторов [math]\vec{c},\vec{a},\vec{b}[/math] в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение [math]\vec{c}=x_1{\cdot}\vec{a}+x_2{\cdot}\vec{b}[/math].


Таким образом, нахождение решения системы уравнений свелось к задаче разложения вектора [math]\vec{c}[/math] по векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math]. Предполагая, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. [math]a_1:b_1\ne a_2:b_2[/math] (векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] не коллинеарны), по формуле (1.19), полагая [math]\vec{a}=\vec{c},~\vec{e}_1=\vec{a},~\vec{e}_2=\vec{b}[/math], получаем:


[math]x_1=\frac{\vec{c}\land\vec{b}}{\vec{a}\land\vec{b}}=\dfrac{\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}};\qquad x_2=\frac{\vec{a}\land\vec{c}}{\vec{a}\land\vec{b}}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}[/math] что совпадает с правилом Крамера.



Ориентированный объем параллелепипеда


Ориентированным объемом [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}[/math] параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math], называется его объем [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}[/math], взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] правая [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}[/math] и со знаком минус, если ориентация — левая [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=-V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}[/math].


Внешним (косым) произведением некомпланарных векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] называется число, равное ориентированному объему [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}[/math] параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}\land\vec{c}[/math].


Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведения), т.е. [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}^{\land}=\vec{a}\land\vec{b}\land\vec{c}=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)[/math]. В ортонормированием базисе


[math]V_{\ast\vec{a}, \vec{b},\vec{c}}^{\land}= \vec{a}\land \vec{b}\land\vec{c}=\begin{vmatrix}x_a&x_b&x_c\\y_a&y_b&y_c\\z_a&z_b&z_c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr),[/math]
(1.20)

так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора [math]\vec{a}[/math] по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем


[math]\vec{a}= x_1\cdot \vec{e}_1+ x_2\cdot \vec{e}_2+ x_3\cdot \vec{e}_3,[/math]
(1.21)

где [math]x_1=\frac{(\vec{a},\vec{e}_2,\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)};~~ x_2=\frac{(\vec{e}_1,\vec{a},\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3)};~~ x_3=\frac{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{a})}{(\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3)}[/math]


Формула (1.21) соответствует правилу Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.




Пример 1.23. Заданы координатные столбцы


[math]a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}\!,\qquad d=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.[/math]

векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math] в стандартном базисе. Разложить вектор [math]\vec{d}[/math] по векторам [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math].


Решение. По формуле (1.20) находим смешанные произведения


[math]\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=1;~\bigl(\vec{d},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\2&1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=2;~\bigl(\vec{a},\vec{d},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&3&1\end{vmatrix}=-1;~\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{d}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&3\end{vmatrix}=3.[/math]

Коэффициенты разложения определяем по формуле (1.21):


[math]x_1=\frac{(\vec{d},\vec{b},\vec{c})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{2}{1}=2;\qquad x_2=\frac{(\vec{a},\vec{d},\vec{c})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{-1}{1}=-1;\qquad x_3=\frac{(\vec{a},\vec{b},\vec{d})}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{3}{1}=3.[/math]

Следовательно, [math]\vec{d}=2\,\vec{a}-\vec{b}+3\,\vec{c}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved