Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Определители (детерминанты) матриц и их свойства

Определители (детерминанты) матриц и их свойства


Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица порядка [math]n[/math]. Определитель (детерминант) квадратной матрицы [math]A[/math] — это число [math]\det{A}[/math], которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.


1. Определителем матрицы [math]A=(a_{11})[/math] порядка [math]n=1[/math] называется единственный элемент этой матрицы: [math]\det(a_{11})=a_{11}[/math].


2. Определителем матрицы [math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}[/math] порядка [math]n>1[/math] называется число


[math]\det{A}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}+\ldots+ (-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n},[/math]
(2.1)

где [math]M_{1j}[/math] — определитель квадратной матрицы порядка [math]n-1[/math], полученной из [math]A[/math] вычеркиванием первой строки и j-го столбца.


Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в "прямые" скобки:


[math]\det{A}= |A|= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\!.[/math]

Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово "матрица". Например, первая строка определителя n-го порядка — это первая строка [math]a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n}[/math] квадратной матрицы n-го порядка.


Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка. Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению [math]n-1[/math] определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим [math]n^2[/math] определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу. Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.


Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной (неособой).


Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при [math]n=2[/math]


[math]\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}.[/math]

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому


[math]M_{11}=\det(a_{22})=a_{22},\quad M_{12}=\det(a_{21})=a_{21}.[/math]

Схема вычисления определителя второго порядка

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка


[math]\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.[/math]
(2.2)

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).


Для определителя третьего порядка имеем


[math]\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}+ (-1)^{1+3}a_{13}M_{13}.[/math]

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:


[math]M_{11}= \begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\!,\quad M_{12}= \begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\!,\quad M_{13}= \begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\!.[/math]

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка


[math]\begin{aligned}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}&= a_{11}\cdot\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}- a_{12}\cdot \begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+ a_{13}\cdot\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}=\\ &=a_{11} (a_{22}a_{33}- a_{23}a_{32})- a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+ a_{13}(a_{21}a_{32}- a_{22}a_{31})=\\[2pt] &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31}+ a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}- a_{12}a_{21}a_{33}- a_{11}a_{23}a_{32}.\end{aligned}[/math]
(2.3)

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других — со знаком минус.


Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).


Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, — со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).


Правило Саррюса для вычисления определителей третьего порядка

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для [math]n>3[/math] и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.




Пример 2.1. Вычислить определители


[math]\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\!,\quad \begin{vmatrix}1&2&3\\ 5&4&6\\ 7&-8&-9\end{vmatrix}\!.[/math]

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим [math]\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2[/math];


[math]\begin{aligned} \begin{vmatrix}1&2&3\\ 5&4&6\\ 7&-8&-9\end{vmatrix}&= 1\cdot4\cdot(-9)+ 2\cdot6\cdot7+ 3\cdot5\cdot(-8)- 3\cdot4\cdot7- 2\cdot5\cdot(-9)- 1\cdot6\cdot(-8)=\\[-14pt] &= -36+84-120-84+90+48=-18.\end{aligned}[/math]



Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)


Пусть дана квадратная матрица [math]A[/math] порядка [math]n[/math].


Дополнительным минором [math]M_{ij}[/math] элемента [math]a_{ij}[/math] называется определитель матрицы порядка [math]n-1[/math], полученной из матрицы [math]A[/math] вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.


Алгебраическим дополнением [math]A_{ij}[/math] элемента [math]a_{ij}[/math] матрицы [math]A[/math] называется дополнительный минор [math]M_{ij}[/math] этого элемента, умноженный на [math](-1)^{i+j}:[/math]


[math]A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.[/math]

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы [math]A[/math] равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:


[math]\det{A}= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}[/math] (разложение по i-й строке);


[math]\det{A}= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}= \sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}[/math] (разложение по j-му столбцу).


Замечания 2.1.


1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.


2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.




Пример 2.2. Найти определитель матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}2&1&0&0\\ 0&1&3&2\\ 0&0&0&5\\ -1&2&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:


[math]\det{A}= 0\cdot A_{31}+ 0\cdot A_{33}+ 0\cdot A_{33}+ 5\cdot A_{34}= 5\cdot(-1)^{3+4} \begin{vmatrix}2&1&0\\ 0&1&3\\ -1&2&0\end{vmatrix}= -5\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\ 0&1&3\\ -1&2&0\end{vmatrix}\!.[/math]

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:


[math]\det{A}= -5\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\ 0&1&3\\ -1&2&0\end{vmatrix}= -5\cdot\Bigl(0\cdot A_{13}+ 3\cdot A_{23}+ 0\cdot A_{3}\Bigr)= -5\cdot3\cdot(-1)^{2+3} \begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}\!.[/math]

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):


[math]\det{A}= 15\cdot\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}= 15\cdot(2\cdot2-(-1)\cdot1)= 15\cdot5=75.[/math]



Определитель матрицы треугольного вида


Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы


[math]\Delta_n= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}[/math]

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):


[math]\Delta_n= 0\cdot A_{n1}+\ldots+ 0\cdot A_{n,n-1}+ a_{nn}\cdot A_{nn}= a_{nn}\cdot \underbrace{(-1)^{n+n}\cdot M_{nn}}_{A_{nn}}= a_{nn}M_{nn}.[/math]

где [math]M_{nn}[/math] — дополнительный минор элемента [math]a_{nn}[/math]. Обозначим [math]M_{nn}=\Delta_{n-1}[/math]. Тогда [math]\Delta_n= a_{nn}\cdot\Delta_{n-1}[/math]. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя [math]\Delta_n[/math], получаем определитель [math]\Delta_n-1}[/math] верхней треугольной матрицы такого же вида, как [math]\Delta_n[/math], но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель [math]\Delta_{n-1}[/math], по последней строке ((n-1)-й строке), получаем [math]\Delta_{n-1}= a_{n-1,n-1}\Delta_{n-2}[/math]. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что [math]\Delta_{11}=a_{11}[/math], приходим к формуле


[math]\Delta_{n}= a_{nn}\cdot\Delta_{n-1}= a_{nn}\cdot a_{n-1,n-1}\cdot\Delta_{n-2}= \ldots= a_{nn}\cdot a_{n-1,n-1}\cdot\ldots\cdot a_{11}.[/math]

т.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2


1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.


2. Определитель единичной матрицы равен 1.


3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.




Основные свойства определителей (детерминантов)


1. Для любой квадратной матрицы [math]\det{A}=\det{A^T}[/math], т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.


2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю: [math]\det(\ldots o\ldots)=0[/math].


3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на про тивоположный (свойство антисимметричности):


[math]\det\Bigl(\ldots a_j\ldots a_k\ldots\Bigr)= -\det\Bigl(\ldots a_k\ldots a_j\ldots\Bigr).[/math]

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:


[math]\det\Bigl(\ldots a_j\ldots a_k\ldots\Bigr)=0[/math] при [math]a_j=a_k.[/math]

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:


[math]\det\Bigl(\ldots a_j\ldots a_k\ldots\Bigr)=0[/math] при [math]a_j=\lambda a_k.[/math]

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:


[math]\det\Bigl(a_1\ldots\lambda a_j\ldots a_n\Bigr)= \lambda\cdot\det\Bigl(a_1\ldots a_j\ldots a_n\Bigr).[/math]

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов [math]a_j+b_j[/math], то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются [math]a_j[/math] и [math]b_j[/math] соответственно, а остальные столбцы одинаковы:


[math]\det\Bigl(\ldots a_j+b_j\ldots\Bigr)= \det\Bigl(\ldots a_j\ldots\Bigr)+ \det\Bigl(\ldots b_j\ldots\Bigr).[/math]

8. Определитель линеен по любому столбцу:


[math]\det\Bigl(\ldots \alpha\cdot a_j+\beta\cdot b_j\ldots\Bigr)= \alpha\cdot\det\Bigl(\ldots a_j\ldots\Bigr)+ \beta\cdot\det\Bigl(\ldots b_j\ldots\Bigr).[/math]

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:


[math]\det\Bigl(\ldots a_j+\lambda a_k\ldots a_k\ldots\Bigr)= \det\Bigl(\ldots a_j\ldots a_k\ldots\Bigr).[/math]

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:


[math]\sum_{k=1}^{n}(a_{ki}\cdot A_{kj})=0[/math] при [math]i\ne j[/math].



Замечания 2.3


1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е. [math]a_{kj}=0[/math] [math]k=1,2,\ldots,n[/math]):


[math]\det{A}= \sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}= \sum_{k=1}^{n}0\cdot A_{kj}=0.[/math]

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя


[math]\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1i}&\cdots&a_{1i}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&{}&\vdots&{}&\vdots&{}&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\!.[/math]

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.


3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что


[math]\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}= \begin{cases}0,&i\ne j\\ \det{A},&i=j;\end{cases}~~ \sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}= \begin{cases}0,&i\ne j\\ \det{A},&i=j.\end{cases}[/math]
(2.4)

4. Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица. Квадратная матрица [math]A^{+}[/math] того же порядка, что и [math]A[/math], называется присоединенной по отношению к [math]A[/math], если каждый ее элемент [math]a_{ij}^{+}[/math] равен алгебраическому дополнению элемента [math]a_{ji}[/math] матрицы [math]A\colon a_{ij}^{+}=A_{ji}[/math]. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:


а) заменить каждый элемент матрицы [math]A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}[/math] его алгебраическим дополнением [math]A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}[/math], при этом получим матрицу [math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/math];


б) найти присоединенную матрицу [math]A^{+}[/math], транспонируя матрицу [math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/math].


Из формул (2.4) следует, что [math]AA^{+}=A^{+}\cdot A=\det{A}\cdot E[/math], где [math]E[/math] — единичная матрица того же порядка, что и [math]A[/math].




Пример 2.3. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}[/math]. Сравнить определитель матрицы [math]A[/math] с определителями матриц


[math]A^{T},\quad B=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\!;\quad C=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\!;\quad D=\begin{pmatrix}1&2\\ 3\lambda& 4\lambda\end{pmatrix}\!;\quad F=\begin{pmatrix}1+3\lambda&2+4\lambda\\ 3&4 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Определитель матрицы [math]A[/math] был найден в примере 2.1: [math]\det{A}=-2[/math]. По формуле (2.2) вычисляем определители остальных матриц:


[math]\det{A^T}= \begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}= 1\cdot4-3\cdot2=-2=\det{A},[/math]

что соответствует свойству 1;

[math]\det{B}= \begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}= 2\cdot3-1\cdot4=2=-\det{A},[/math]

что соответствует свойству 3, так как матрица [math]B[/math] получена из матрицы [math]A[/math] перестановкой 1-го и 2-го столбцов;

[math]\det{C}= \begin{vmatrix}3&4\\1&2\end{vmatrix}= 3\cdot2-4\cdot1=2=-\det{A},[/math]

что соответствует свойству 3, так как матрица [math]C[/math] получена из матрицы [math]A[/math] перестановкой 1-й и 2-й строк;

[math]\det{D}= \begin{vmatrix}1&2\\3\lambda&4\lambda\end{vmatrix}= 1\cdot4\lambda-2\cdot3\lambda=-2\lambda=\lambda\det{A},[/math]

что соответствует свойству 6, так как матрица [math]D[/math] получена из матрицы [math]A[/math] умножением элементов 2-й строки на число [math]\lambda[/math];

[math]\det{F}= \begin{vmatrix}1+3\lambda&2+4\lambda\\3&4\end{vmatrix}= (1+3\lambda)\cdot4-(2+4\lambda)\cdot3= -2=\det{A},[/math]

что соответствует свойству 9, так как матрица [math]F[/math] получена из матрицы [math]A[/math] прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на [math]\lambda[/math].



Пример 2.4. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\5&4&6\\ 7&-8&-9\end{pmatrix}[/math]. Найти присоединенную матрицу [math]A^{+}[/math] и вычислить произведения [math]AA^{+}[/math] и [math]A^{+}A[/math].


Решение. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы [math]A[/math]:


[math]\begin{array}{lll}A_{11}=(-1)^{1+1}\!\begin{vmatrix}4&6\\-8&-9\end{vmatrix}=12,&\quad A_{21}=(-1)^{2+1}\!\begin{vmatrix}2&3\\-8&-9\end{vmatrix}=-6,&\quad A_{31}=(-1)^{3+1}\!\begin{vmatrix}2&3\\4&6\end{vmatrix}=0,\\\\[-7pt] A_{12}=(-1)^{1+2}\!\begin{vmatrix}5&6\\7&-9\end{vmatrix}=87,&\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\!\begin{vmatrix}1&3\\7&-9\end{vmatrix}=-30,&\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\!\begin{vmatrix}1&3\\5&6\end{vmatrix}=9,\\\\[-7pt] A_{13}=(-1)^{1+3}\!\begin{vmatrix}5&4\\7&-8\end{vmatrix}=-68,&\quad A_{23}=(-1)^{2+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\7&-8\end{vmatrix}=22,&\quad A_{33}=(-1)^{3+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\5&4\end{vmatrix}=-6. \end{array}[/math]

Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу [math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/math] (см. п.4 замечаний 2.3), т.е.


[math]A^{+}= \begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^{T}= \begin{pmatrix}12&87&-68\\ -6&-30&22\\ 0&9&-6\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}12&-6&0\\ 87&-30&9\\ -68&22&-6 \end{pmatrix}\!.[/math]

Вычислим произведения


[math]\begin{aligned}AA^{+}&= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 5&4&6\\ 7&-8&-9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 12&-6&0\\ 87&-30&9\\ -68&22&-6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -18&0&0\\ 0&-18&0\\ 0&0&-18 \end{pmatrix}\!,\\[2pt] A^{+}A&= \begin{pmatrix} 12&-6&0\\ 87&-30&9\\ -68&22&-6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&3\\ 5&4&6\\ 7&-8&-9\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -18&0&0\\ 0&-18&0\\ 0&0&-18 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

что соответствует п.4 замечаний 2.3, так как [math]\det{A}=-18[/math] (см. пример 2.1).



Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы [math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O^T\!\!&\vline\!\!&E\end{pmatrix}[/math], где [math]A[/math] — произвольная квадратная матрица, [math]E[/math] — единичная, а [math]O[/math] — нулевая матрица соответствующего порядка, [math]O^T[/math] — транспонированная.


Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы [math]A[/math]. Следовательно,

[math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O^T\!\!&\vline\!\!&E\end{pmatrix}=\det{A}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved