Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Определитель произведения матриц

Определитель произведения матриц


Теорема 2.2 об определителе произведения матриц


Пусть A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда


\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}.
(2.6)

т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.


Доказательство теоремы проводится в три этапа. Во-первых, теорема справедлива, если один из сомножителей имеет простейший вид (см. рис. 1.6). Пусть, например, матрица A квадратная n-го порядка имеет простейший вид: A=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}. Если r<n, то в произведении AB последние (n-r) строк будут нулевыми. Тогда по свойствам 1,2 определителей: \det(AB)=0 и \det{A}=0, т.е. равенство (2.6) верно. Если же r=n, то A=E_n — единичная матрица. Тогда


\det(A\cdot B)=\det(E_n\cdot B)= \det{B}=\det{E_n}\cdot\det{B},

т.е. равенство (2.6) справедливо. Аналогично рассматривается случай, когда матрица B имеет простейший вид.


Второй этап — доказательство формулы (2.6) для элементарных матриц. Если матрица B элементарная вида (1.1), (1.3) или (1.5), то ее определитель равен (-1),\,\lambda или 1 соответственно, а произведение AB есть элементарное преобразование столбцов матрицы A. По свойствам 1, 3, 6 или 9 определителей убеждаемся в справедливости (2.6). Аналогично рассматривается случай, когда матрица A элементарная вида (1.2), (1.4), (1.6).


Третий этап — доказательство формулы (2.6) для произвольных квадратных матриц n-го порядка. По теореме 1.2 любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения простейшей (она является элементарной) и элементарных преобразующих матриц:


A=S_A\cdot\Lambda_A\cdot T_A и B=S_B\cdot\Lambda_B\cdot T_B.

Тогда, используя результат первых двух этапов, можно записать


\begin{aligned}\det(AB)&= \det(S_A\Lambda_A T_A\cdot S_B \Lambda_B T_B)= \det{S_A}\det{\Lambda_A}\det{T_A}\cdot \det{S_B}\det{\Lambda_B}\det{T_B}=\\[2pt] &=\det(S_A\cdot\Lambda_A\cdot T_A)\cdot\det(S_B\cdot\Lambda_B\cdot T_B)= \det{A}\cdot\det{B},\end{aligned}

что и требовалось доказать.




Пример 2.8. Найти определитель произведения матриц


A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&3\\4&5\end{pmatrix}\!.

Решение. Находим определители данных матриц второго порядка (см. пример 2.1):


\det{A}=-2,\quad \det{B}=-7.

По теореме об определителе произведения матриц получаем


\det(A\cdot B)= \det{A}\cdot\det{B}=(-2)\cdot(-7)=14.

Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц:


A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3\\4&5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9&13\\19&29\end{pmatrix}\!.

Следовательно, \det(AB)=\begin{vmatrix}9&13\\19&29\end{vmatrix}=9\cdot29-13\cdot19=14. Результат совпадает с полученным ранее.




Пример 2.9. Найти определитель матрицы пятого порядка


D=\begin{pmatrix}1&2&u&v&w\\ 3&4&x&y&z\\ 0&0&1&2&3\\ 0&0&5&4&6\\ 0&0&7&-8&-9 \end{pmatrix}\!.

Решение. Разобьем данную матрицу D на блоки:


D=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}\!, где A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix}u&v&w\\ x&y&z \end{pmatrix}\!,~ O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\!,~ C=\begin{pmatrix} 1&2&3\\5&4&6\\7&-8&-9\end{pmatrix}\!.

Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц)


D= \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix}\!,

где E_2,\,E_3 — единичные матрицы соответствующих порядков. Применяя результат примера 2.5, имеем


\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}= \det{A}=|A|,\quad \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}= \det{C}=|C|.

Матрица \begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix} — треугольная (все элементы на главной диагонали равны единице), поэтому \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}=1. По теореме об определителе произведения получаем


\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}\!\cdot\! \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}\!\cdot\! \begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}= |C|\cdot1\cdot|A|= |A|\cdot|C|.

Подставляя в правую часть определители |A|=-2,~|C|=-18 (см. пример 2.1), получаем |D|=36.




Пример 2.10. Дана квадратная матрица A n-го порядка. Найти определитель \det{A^{+}} присоединенной матрицы.


Решение. Согласно пункту 4 замечаний 2.3


AA^{+}= \begin{pmatrix}\det{A}&0&\cdots&0\\ 0&\det{A}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\det{A}\end{pmatrix}\!.

Определитель диагональной матрицы в правой части равен (\det{A})^n. Следовательно, по теореме об определителе произведения имеем равенство


\det(A\cdot A^{+})= \det{A}\cdot\det{A^{+}}=(\det{A})^n.

Отсюда находим \det{A^{+}}= (\det{A})^{n-1}..




Формула Бине-Коши


Замечание 2.5. Обобщением теоремы 2.2 служит формула Бине-Коши, выражающая определитель произведения прямоугольных матриц A и B размеров m\times n и n\times m соответственно (m<n):


\det(AB)= \sum_{1\leqslant i_1<\ldots<i_m\leqslant n} \begin{pmatrix}a_{1i_1}&\cdots&a_{mi_m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{mi_1}&\cdots&a_{mi_m}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}b_{i_11}&\cdots&b_{i_mm}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{i_1m}&\cdots&b_{i_mm}\end{pmatrix}\!.
(2.7)

где в правой части вычисляется сумма произведений всевозможных миноров m-го порядка матрицы A на соответствующие миноры того же порядка матрицы B.




Пример 2.11. Используя формулу Бине-Коши, вычислить определитель произведения матриц A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix} 1&2\\2&0\\3&1 \end{pmatrix}\!.

Решение. По формуле (2.7) получаем


\det(AB)= \begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}= 1\cdot(-4)+2\cdot(-5)+1\cdot2=-12.

Найдем произведение матриц
A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ 2&0\\ 3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}14&5\\ 8&2\end{pmatrix}\!.

Следовательно, \det(AB)=\begin{vmatrix}14&5\\8&2\end{vmatrix}=-12. Результаты вычислений совпадают.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved