Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Определитель произведения матриц

Определитель произведения матриц


Теорема 2.2 об определителе произведения матриц


Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда


[math]\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}.[/math]
(2.6)

т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.


Доказательство теоремы проводится в три этапа. Во-первых, теорема справедлива, если один из сомножителей имеет простейший вид (см. рис. 1.6). Пусть, например, матрица [math]A[/math] квадратная л-го порядка имеет простейший вид: [math]A=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}[/math]. Если [math]r<n[/math], то в произведении [math]AB[/math] последние [math](n-r)[/math] строк будут нулевыми. Тогда по свойствам 1,2 определителей: [math]\det(AB)=0[/math] и [math]\det{A}=0[/math], т.е. равенство (2.6) верно. Если же [math]r=n[/math], то [math]A=E_n[/math] — единичная матрица. Тогда


[math]\det(A\cdot B)=\det(E_n\cdot B)= \det{B}=\det{E_n}\cdot\det{B},[/math]

т.е. равенство (2.6) справедливо. Аналогично рассматривается случай, когда матрица [math]B[/math] имеет простейший вид.

Второй этап — доказательство формулы (2.6) для элементарных матриц. Если матрица [math]B[/math] элементарная вида (1.1), (1.3) или (1.5), то ее определитель равен [math](-1),\,\lambda[/math] или 1 соответственно, а произведение [math]AB[/math] есть элементарное преобразование столбцов матрицы [math]A[/math]. По свойствам 1, 3, 6 или 9 определителей убеждаемся в справедливости (2.6). Аналогично рассматривается случай, когда матрица [math]A[/math] элементарная вида (1.2), (1.4), (1.6).


Третий этап — доказательство формулы (2.6) для произвольных квадратных матриц n-го порядка. По теореме 1.2 любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения простейшей (она является элементарной) и элементарных преобразующих матриц:


[math]A=S_A\cdot\Lambda_A\cdot T_A[/math] и [math]B=S_B\cdot\Lambda_B\cdot T_B[/math].

Тогда, используя результат первых двух этапов, можно записать

[math]\begin{aligned}\det(AB)&= \det(S_A\Lambda_A T_A\cdot S_B \Lambda_B T_B)= \det{S_A}\det{\Lambda_A}\det{T_A}\cdot \det{S_B}\det{\Lambda_B}\det{T_B}=\\[2pt] &=\det(S_A\cdot\Lambda_A\cdot T_A)\cdot\det(S_B\cdot\Lambda_B\cdot T_B)= \det{A}\cdot\det{B},\end{aligned}[/math]

что и требовалось доказать.



Пример 2.8. Найти определитель произведения матриц


[math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&3\\4&5\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Находим определители данных матриц второго порядка (см. пример 2.1):


[math]\det{A}=-2,\quad \det{B}=-7.[/math]

По теореме об определителе произведения матриц получаем

[math]\det(A\cdot B)= \det{A}\cdot\det{B}=(-2)\cdot(-7)=14.[/math]

Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц:


[math]A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3\\4&5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9&13\\19&29\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]\det(AB)=\begin{vmatrix}9&13\\19&29\end{vmatrix}=9\cdot29-13\cdot19=14[/math]. Результат совпадает с полученным ранее.




Пример 2.9. Найти определитель матрицы пятого порядка


[math]D=\begin{pmatrix}1&2&u&v&w\\ 3&4&x&y&z\\ 0&0&1&2&3\\ 0&0&5&4&6\\ 0&0&7&-8&-9 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Разобьем данную матрицу [math]D[/math] на блоки:


[math]D=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix}u&v&w\\ x&y&z \end{pmatrix}\!,~ O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\!,~ C=\begin{pmatrix} 1&2&3\\5&4&6\\7&-8&-9\end{pmatrix}\!.[/math]

Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц)


[math]D= \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]E_2,\,E_3[/math] — единичные матрицы соответствующих порядков. Применяя результат примера 2.5, имеем

[math]\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}= \det{A}=|A|,\quad \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}= \det{C}=|C|.[/math]

Матрица [math]\begin{pmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{pmatrix}[/math] — треугольная (все элементы на главной диагонали равны единице), поэтому [math]\begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}=1[/math]. По теореме об определителе произведения получаем


[math]\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&C\end{vmatrix}\!\cdot\! \begin{vmatrix}E_2\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}\!\cdot\! \begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&O^T\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_3\end{vmatrix}= |C|\cdot1\cdot|A|= |A|\cdot|C|.[/math]

Подставляя в правую часть определители [math]|A|=-2,~|C|=-18[/math] (см. пример 2.1), получаем [math]|D|=36[/math].




Пример 2.10. Дана квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка. Найти определитель [math]\det{A^{+}}[/math] присоединенной матрицы.


Решение. Согласно пункту 4 замечаний 2.3


[math]AA^{+}= \begin{pmatrix}\det{A}&0&\cdots&0\\ 0&\det{A}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\det{A}\end{pmatrix}\!.[/math]

Определитель диагональной матрицы в правой части равен [math](\det{A})^n[/math]. Следовательно, по теореме об определителе произведения имеем равенство


[math]\det(A\cdot A^{+})= \det{A}\cdot\det{A^{+}}=(\det{A})^n.[/math]

Отсюда находим [math]\det{A^{+}}= (\det{A})^{n-1}.[/math].




Формула Бине-Коши


Замечание 2.5. Обобщением теоремы 2.2 служит формула Бине-Коши, выражающая определитель произведения прямоугольных матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] размеров [math]m\times n[/math] и [math]n\times m[/math] соответственно [math](m<n):[/math]


[math]\det(AB)= \sum_{1\leqslant i_1<\ldots<i_m\leqslant n} \begin{pmatrix}a_{1i_1}&\cdots&a_{mi_m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{mi_1}&\cdots&a_{mi_m}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}b_{i_11}&\cdots&b_{i_mm}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{i_1m}&\cdots&b_{i_mm}\end{pmatrix}\!.[/math]
(2.7)

где в правой части вычисляется сумма произведений всевозможных миноров m-го порядка матрицы [math]A[/math] на соответствующие миноры того же порядка матрицы [math]B[/math].



Пример 2.11. Используя формулу Бине-Коши, вычислить определитель произведения матриц [math]A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix} 1&2\\2&0\\3&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. По формуле (2.7) получаем


[math]\det(AB)= \begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}= 1\cdot(-4)+2\cdot(-5)+1\cdot2=-12.[/math]

Найдем произведение матриц
[math]A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ 2&0\\ 3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}14&5\\ 8&2\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]\det(AB)=\begin{vmatrix}14&5\\8&2\end{vmatrix}=-12[/math]. Результаты вычислений совпадают.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved