Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл и его свойства


Ранее мы рассматривали определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования.


В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл.


Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции [math]y=e^{-x^2}[/math] нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}e^{-x^2}\,dx}[/math] существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции [math]y=e^{-x^2}[/math] и прямыми [math]x=a,~ x=b[/math] (рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла.


Геометрический смысл определённого интеграла

Докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке [math][a,b][/math] имеет на этом отрезке первообразную, и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной.


Далее выясним, что для многочисленных приложений наиболее целесообразен именно второй подход. Кроме того, мы увидим, что для широкого класса функций оба подхода приводят к одному и тому же результату.


Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла, понимаемого как разность значений первообразной.




Оценки определенных интегралов


Теорема 1. Пусть функции [math]y=f(x)[/math] ограничена на отрезке [math][a,b][/math], а [math]m=\min_{x\in[a,b]}f(x)[/math] и [math]M=\max_{x\in[a,b]}f(x)[/math], соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции [math]y=f(x)[/math] на [math][a,b][/math], причем на этом отрезке функция [math]y=f(x)[/math] имеет первообразную. Тогда


[math]m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).[/math]
(1)

Доказательство. Пусть [math]F(x)[/math] — одна из первообразных для функции [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Тогда


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}=F(b)-F(a).[/math]

По теореме Лагранжа [math]F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)[/math], где [math]a<c<b[/math]. Ho [math]F'(c)=f(c)[/math], значит, [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)[/math].


По условию для всех значений [math]x[/math] из отрезка [math][a,b][/math] выполняется неравенство [math]m\leqslant f(x)\leqslant M[/math], поэтому [math]m\leqslant f(c)\leqslant M[/math] и, следовательно,


[math]m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a)[/math], то есть [math]m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a)[/math],
что и требовалось доказать.

Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке [math][1;5][/math] значения функции [math]y=x^2[/math] заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства


[math]4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.[/math]

Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок [math][a,b][/math] на несколько частей точками [math]a=x_0<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b[/math] и к каждой части [math][x_k,x_{k+1}][/math] применяют неравенство (1). Если на отрезке [math][x_k,x_{k+1}][/math] выполняется неравенство [math]m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k[/math], то


[math]m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,,[/math]

где через [math]\Delta x_k[/math] обозначена разность [math](x_{k+1}-x_k)[/math], т. е. длина отрезка [math][x_k,x_{k+1}][/math]. Записывая эти неравенства для всех значений [math]k[/math] от [math]0[/math] до [math]n-1[/math] и складывая их, получим:


[math]\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k),[/math]

Но по аддитивному свойству определенного интеграла сумма интегралов по всем частям отрезка [math][a,b][/math] равна интегралу по этому отрезку, т. е.


[math]\sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx= \int\limits_a}^{b}f(x)\,dx\,.[/math]
Значит,
[math]\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k)[/math]
(2)

Например, если разбить отрезок [math][1;5][/math] на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке [math][1+0,\!4k;\,0,\!4(k+1)][/math] выполняется неравенство


[math](1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2[/math]
Поэтому имеем:
[math]0,\!4\sum_{k=0}^{9}(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 0,\!4\sum_{k=0}^{9}\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.[/math]

Вычисляя, получаем: [math]36,\!64\leqslant \int\limits_{1}^{5} x^2\,dx\leqslant 46,\!24[/math]. Эта оценка гораздо точнее полученной ранее [math]4\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant100[/math].


Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок [math][1;5][/math] не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной:


[math]\int\limits_{1}^{5}x^2\,dx= \left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{1}^{5}= \frac{1}{3}(125-1)= \frac{124}{3}\,.[/math]

Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху.




Определенный интеграл как разделяющее число


Числа [math]m_k[/math] и [math]M_k[/math], входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков [math][x_k,x_{k+1}][/math] выполнялось неравенство [math]m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k[/math]. Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка [math][a,b][/math] получится, если взять [math]M_k[/math] наименьшим, а [math]m_k[/math] наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве [math]m_k[/math] надо взять точную нижнюю границу значений функции [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][x_k,x_{k+1}][/math], а в качестве [math]M_k[/math] — точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке:


[math]m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),\qquad M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x).[/math]
(3)

Если [math]y=f(x)[/math] — ограниченная функция на отрезке [math][a,b][/math], то она ограничена и на каждом из отрезков [math][x_k,x_{k+1}][/math], а потому для нее определены по равенствам (3) числа [math]m_k[/math] и [math]M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1[/math]. При таком выборе чисел [math]m_k[/math] и [math]M_k[/math] суммы [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k}[/math] и [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k}[/math] называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции [math]y=-f(x)[/math] при данном разбиении [math]P:[/math]


[math]a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b[/math]

отрезка [math][a,b][/math]. Будем обозначать эти суммы соответственно [math]s_{fP}[/math] и [math]S_{fP}[/math], а если функция [math]y=f(x)[/math] фиксирована, то просто [math]s_P[/math] и [math]S_P[/math].


Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке [math][a,b][/math] функция [math]y=f(x)[/math] имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}[/math] разделяет числовые множества [math]\{s_p\}[/math] и [math]\{S_P\}[/math], состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений [math]P[/math] отрезка [math][a,b][/math]. Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно.


Это позволяет ввести новое определение для [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}[/math], не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу.


Определение. Функция [math]y=f(x)[/math], ограниченная на отрезке [math][a,b][/math], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число [math]\ell[/math], разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка [math][a,b][/math]. Если функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][a,b][/math], то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку [math][a,b][/math] и означают [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}[/math].


Мы определили интеграл [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}[/math] для случая, когда [math]a<b[/math]. Если [math]a>b[/math], то положим


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.[/math]

Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности [math]\Delta x_k=x_{k+1}-x_k[/math] меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл.


Так как при [math]a=b[/math] все [math]\Delta x_k[/math] обращаются в нуль, то положим


[math]\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.[/math]

Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату:


Теорема 2. Если функция [math]y=f(x)[/math] ограничена на отрезке [math][a,b][/math] и имеет на нем первообразную [math]y=F(x)[/math], причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно [math]F(b)-F(a)[/math].


Доказательство. Мы доказали выше, что число [math]F(a)-F(b)[/math] разделяет множества [math]\{s_P\}[/math] и [math]\{S_P\}[/math]. Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с [math]F(b)-F(a)[/math].


Начиная с этого момента мы будем применять обозначение [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}[/math] лишь для единственного числа, разделяющего множества [math]\{s_P\}[/math] и [math]\{S_P\}[/math]. Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше.




Свойства нижних и верхних сумм Дарбу


Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу.


Лемма 1. Для каждого разбиения [math]P[/math] соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, [math]s_P\leqslant S_P[/math].


Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение [math]P[/math] отрезка [math][a,b][/math]:


[math]a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k<x_{k+1}<\ldots<x_n=b[/math]
'

Очевидно, что для любого [math]k[/math] и для любого выбранного разбиения [math]P[/math] выполняется неравенство [math]s_P\leqslant S_P[/math]. Следовательно, [math]m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k[/math], и потому


[math]s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.[/math]
(4)

что и требовалось доказать.

Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения [math]P[/math]. Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма:


Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.


Доказательство. Выберем некоторое разбиение [math]P[/math] отрезка [math][a,b][/math] и добавим к нему новую точку деления [math]{x^{\ast}}[/math]. Обозначим новое разбиение [math]P^{\ast}[/math]. Разбиение [math]P^{\ast}[/math] является измельчением разбиения [math]P[/math], т.е. каждая точка разбиения [math]P[/math] является, одновременно и точкой разбиения [math]P^{\ast}[/math].


Пусть точка [math]{x^{\ast}}[/math] попала на отрезок [math][x_k,x_{k+1}]\colon\, x_k<x^{\ast}< x_{k+1}[/math]. Рассмотрим два образовавшихся отрезка [math][x_k,x^{\ast}][/math] и [math][x^{\ast};x^{x_{k+1}}][/math] и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через [math]m_{k}^{\ast}[/math] и [math]m_{k}^{\ast\ast}[/math], а точные верхние границы через [math]M_{k}^{\ast}[/math] и [math]M_{k}^{\ast\ast}[/math].


Слагаемому [math]m_k(x_{k+1}-m_{k})[/math] первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых:


[math]m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).[/math]

При этом [math]m_k\leqslant m_{k}^{\ast}[/math] и [math]m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast}[/math], так как [math]m_k[/math] — точная нижняя граница значений функции [math]f(x)[/math] на всем отрезке [math][x_{k},m_{k+1}][/math], а [math]m_{k}^{\ast}[/math] и [math]m_{k}^{\ast\ast}[/math] лишь на его частях [math][x_{k},x^{\ast}][/math] и [math][x^{\ast},x_{k+1}][/math] соответственно.


Оценим снизу сумму полученных слагаемых:


[math]\begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}[/math]

Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, [math]s_P\leqslant S_P[/math].


Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению [math]P[/math].


Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: [math]S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P}[/math].


Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений.


Лемма 3. Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка [math][a,b][/math]).


Произвольное разбиение двух отрезков и третий отрезок, состоящий из всех точек первых двух разбиений

Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math] отрезка [math][a,b][/math] и образуем третье разбиение [math]P_3[/math], состоящее из всех точек разбиений [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math]. Таким образом, разбиение [math]P_3[/math] является измельчением как разбиения [math]P_1[/math], так и разбиения [math]P_2[/math] (рис. 7).


Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно [math]s_1,~S_1.~s_2,~S_2[/math] и докажем, что [math]s_1\leqslant S_2[/math].


Так как [math]P_3[/math] — измельчение разбиения [math]P_1[/math], то [math]s_1\leqslant s_3[/math]. Далее, [math]s_3\leqslant S_3[/math], поскольку суммы [math]s_3[/math] и [math]S_3[/math] соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, [math]S_3\leqslant S_2[/math], так как [math]P_3[/math] является измельчением разбиения [math]P_2[/math].


Таким образом, [math]s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2[/math], т.е. [math]s_1\leqslant S_2[/math], что и требовалось доказать.


Из леммы 3 следует, что числовое множество [math]X=\{s_P\}[/math] нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества [math]Y=\{S_P\}[/math] верхних сумм Дарбу.


В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества [math]X[/math] и [math]Y[/math], т.е. такое, что для любого разбиения отрезка [math][a,b][/math] выполняется двойное неравенство:


[math]s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.[/math]

Если это число единственно, то [math]\textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}[/math].


Приведем пример, показывающий, что такое число [math]I[/math], вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию [math]y=D(x)[/math] на отрезке [math][0;1][/math], определяемую равенствами:


[math]D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}[/math]

Какой бы отрезок [math][x_k,x_{k+1}][/math] мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где [math]D(x)=0[/math], и точки, где [math]D(x)=1[/math]. Поэтому для любого разбиения отрезка [math][0;1][/math] все значения [math]m_k[/math] равны нулю, а все значения [math]M_k[/math] равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)}[/math] равны нулю, а все верхние суммы Дарбу [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)}[/math] равны единице,


так как [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)= \sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k[/math], а [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k[/math] — длина отрезка [math][0;1][/math].

Итак, в рассматриваемом случае [math]X=\{0\},~Y=\{1\}[/math] и любое число из промежутка [math][0;1][/math] разделяет множества [math]X[/math] и [math]Y[/math]. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [math][0;1][/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved