Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Определенный интеграл и его свойства
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Определенный интеграл и его свойства Ранее мы рассматривали определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования. В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл. Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции $y=e^{-x^2}$ нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}e^{-x^2}\,dx}$ существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=e^{-x^2}$ и прямыми $x=a,~ x=b$ (рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла. Докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$ имеет на этом отрезке первообразную, и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной. Далее выясним, что для многочисленных приложений наиболее целесообразен именно второй подход. Кроме того, мы увидим, что для широкого класса функций оба подхода приводят к одному и тому же результату. Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла, понимаемого как разность значений первообразной. Оценки определенных интегралов Теорема 1. Пусть функции $y=f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$ , а $m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$ и $M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$ , соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на $[a,b]$ , причем на этом отрезке функция $y=f(x)$ имеет первообразную. Тогда $m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).$ (1) Доказательство. Пусть $F(x)$ — одна из первообразных для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a,b]$ . Тогда $\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{F(x)}\Bigr\|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$ По теореме Лагранжа $F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)$ , где $a<c<b$ . Ho $F'(c)=f(c)$ , значит, $\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)$ . По условию для всех значений $x$ из отрезка $[a,b]$ выполняется неравенство $m\leqslant f(x)\leqslant M$ , поэтому $m\leqslant f(c)\leqslant M$ и, следовательно, $m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a)$ , то есть $m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a)$ , что и требовалось доказать. Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке $[1;5]$ значения функции $y=x^2$ заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства $4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.$ Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок $[a,b]$ на несколько частей точками $a=x_0<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и к каждой части $[x_k,x_{k+1}]$ применяют неравенство (1). Если на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ выполняется неравенство $m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k$ , то $m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,,$ где через $\Delta x_k$ обозначена разность $(x_{k+1}-x_k)$ , т. е. длина отрезка $[x_k,x_{k+1}]$ . Записывая эти неравенства для всех значений $k$ от $0$ до $n-1$ и складывая их, получим: $\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k),$ Но по аддитивному свойству определенного интеграла сумма интегралов по всем частям отрезка $[a,b]$ равна интегралу по этому отрезку, т. е. $\sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$ Значит, $\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k)$ (2) Например, если разбить отрезок $[1;5]$ на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке $[1+0,\!4k;\,0,\!4(k+1)]$ выполняется неравенство $(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2$ Поэтому имеем: $0,\!4\sum_{k=0}^{9}(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 0,\!4\sum_{k=0}^{9}\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.$ Вычисляя, получаем: $36,\!64\leqslant \int\limits_{1}^{5} x^2\,dx\leqslant 46,\!24$ . Эта оценка гораздо точнее полученной ранее $4\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant100$ . Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок $[1;5]$ не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной: $\int\limits_{1}^{5}x^2\,dx= \left.{\frac{x^3}{3}}\right\|_{1}^{5}= \frac{1}{3}(125-1)= \frac{124}{3}\,.$ Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху. Определенный интеграл как разделяющее число Числа $m_k$ и $M_k$ , входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков $[x_k,x_{k+1}]$ выполнялось неравенство $m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k$ . Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка $[a,b]$ получится, если взять $M_k$ наименьшим, а $m_k$ наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве $m_k$ надо взять точную нижнюю границу значений функции $y=f(x)$ на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ , а в качестве $M_k$ — точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке: $m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),\qquad M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x).$ (3) Если $y=f(x)$ — ограниченная функция на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена и на каждом из отрезков $[x_k,x_{k+1}]$ , а потому для нее определены по равенствам (3) числа $m_k$ и $M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1$ . При таком выборе чисел $m_k$ и $M_k$ суммы $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k}$ и $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k}$ называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции $y=-f(x)$ при данном разбиении $P:$ $a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ отрезка $[a,b]$ . Будем обозначать эти суммы соответственно $s_{fP}$ и $S_{fP}$ , а если функция $y=f(x)$ фиксирована, то просто $s_P$ и $S_P$ . Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке $[a,b]$ функция $y=f(x)$ имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ разделяет числовые множества $\{s_p\}$ и $\{S_P\}$ , состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений $P$ отрезка $[a,b]$ . Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно. Это позволяет ввести новое определение для $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ , не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу. Определение. Функция $y=f(x)$ , ограниченная на отрезке $[a,b]$ , называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число $\ell$ , разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка $[a,b]$ . Если функция $y=f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ , то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку $[a,b]$ и означают $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ . Мы определили интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ для случая, когда $a<b$ . Если $a>b$ , то положим $\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.$ Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$ меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл. Так как при $a=b$ все $\Delta x_k$ обращаются в нуль, то положим $\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.$ Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату: Теорема 2. Если функция $y=f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем первообразную $y=F(x)$ , причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно $F(b)-F(a)$ . Доказательство. Мы доказали выше, что число $F(a)-F(b)$ разделяет множества $\{s_P\}$ и $\{S_P\}$ . Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с $F(b)-F(a)$ . Начиная с этого момента мы будем применять обозначение $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ лишь для единственного числа, разделяющего множества $\{s_P\}$ и $\{S_P\}$ . Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу. Лемма 1. Для каждого разбиения $P$ соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, $s_P\leqslant S_P$ . Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ : $a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k<x_{k+1}<\ldots<x_n=b$ ' Очевидно, что для любого $k$ и для любого выбранного разбиения $P$ выполняется неравенство $s_P\leqslant S_P$ . Следовательно, $m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k$ , и потому $s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.$ (4) что и требовалось доказать. Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения $P$ . Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма: Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться. Доказательство. Выберем некоторое разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ и добавим к нему новую точку деления ${x^{\ast}}$ . Обозначим новое разбиение $P^{\ast}$ . Разбиение $P^{\ast}$ является измельчением разбиения $P$ , т.е. каждая точка разбиения $P$ является, одновременно и точкой разбиения $P^{\ast}$ . Пусть точка ${x^{\ast}}$ попала на отрезок $[x_k,x_{k+1}]\colon\, x_k<x^{\ast}< x_{k+1}$ . Рассмотрим два образовавшихся отрезка $[x_k,x^{\ast}]$ и $[x^{\ast};x^{x_{k+1}}]$ и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через $m_{k}^{\ast}$ и $m_{k}^{\ast\ast}$ , а точные верхние границы через $M_{k}^{\ast}$ и $M_{k}^{\ast\ast}$ . Слагаемому $m_k(x_{k+1}-m_{k})$ первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых: $m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).$ При этом $m_k\leqslant m_{k}^{\ast}$ и $m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast}$ , так как $m_k$ — точная нижняя граница значений функции $f(x)$ на всем отрезке $[x_{k},m_{k+1}]$ , а $m_{k}^{\ast}$ и $m_{k}^{\ast\ast}$ лишь на его частях $[x_{k},x^{\ast}]$ и $[x^{\ast},x_{k+1}]$ соответственно. Оценим снизу сумму полученных слагаемых: $\begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}$ Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, $s_P\leqslant S_P$ . Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению $P$ . Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: $S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P}$ . Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений. Лемма 3. Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка $[a,b]$ ). Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения $P_1$ и $P_2$ отрезка $[a,b]$ и образуем третье разбиение $P_3$ , состоящее из всех точек разбиений $P_1$ и $P_2$ . Таким образом, разбиение $P_3$ является измельчением как разбиения $P_1$ , так и разбиения $P_2$ (рис. 7). Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно $s_1,~S_1.~s_2,~S_2$ и докажем, что $s_1\leqslant S_2$ . Так как $P_3$ — измельчение разбиения $P_1$ , то $s_1\leqslant s_3$ . Далее, $s_3\leqslant S_3$ , поскольку суммы $s_3$ и $S_3$ соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, $S_3\leqslant S_2$ , так как $P_3$ является измельчением разбиения $P_2$ . Таким образом, $s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2$ , т.е. $s_1\leqslant S_2$ , что и требовалось доказать. Из леммы 3 следует, что числовое множество $X=\{s_P\}$ нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества $Y=\{S_P\}$ верхних сумм Дарбу. В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества $X$ и $Y$ , т.е. такое, что для любого разбиения отрезка $[a,b]$ выполняется двойное неравенство: $s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.$ Если это число единственно, то $\textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ . Приведем пример, показывающий, что такое число $I$ , вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию $y=D(x)$ на отрезке $[0;1]$ , определяемую равенствами: $D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}$ Какой бы отрезок $[x_k,x_{k+1}]$ мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где $D(x)=0$ , и точки, где $D(x)=1$ . Поэтому для любого разбиения отрезка $[0;1]$ все значения $m_k$ равны нулю, а все значения $M_k$ равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)}$ равны нулю, а все верхние суммы Дарбу $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)}$ равны единице, так как $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)= \sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k$ , а $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k$ — длина отрезка $[0;1]$ . Итак, в рассматриваемом случае $X=\{0\},~Y=\{1\}$ и любое число из промежутка $[0;1]$ разделяет множества $X$ и $Y$ . Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке $[0;1]$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Определенный интеграл и его свойства

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Определенный интеграл и его свойства

Ранее мы рассматривали определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования.

В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл.

Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции $y=e^{-x^2}$ нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}e^{-x^2}\,dx}$ существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=e^{-x^2}$ и прямыми $x=a,~ x=b$ (рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла.

Геометрический смысл определённого интеграла

Докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$ имеет на этом отрезке первообразную, и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной.

Далее выясним, что для многочисленных приложений наиболее целесообразен именно второй подход. Кроме того, мы увидим, что для широкого класса функций оба подхода приводят к одному и тому же результату.

Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла, понимаемого как разность значений первообразной.

Оценки определенных интегралов

Теорема 1. Пусть функции $y=f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$ , а $m=\min_{x\in[a,b]}f(x)$ и $M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$ , соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на $[a,b]$ , причем на этом отрезке функция $y=f(x)$ имеет первообразную. Тогда

$m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).$

(1)

Доказательство. Пусть $F(x)$ — одна из первообразных для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a,b]$ . Тогда

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$

По теореме Лагранжа $F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)$ , где $a<c<b$ . Ho $F'(c)=f(c)$ , значит, $\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)$ .

По условию для всех значений $x$ из отрезка $[a,b]$ выполняется неравенство $m\leqslant f(x)\leqslant M$ , поэтому $m\leqslant f(c)\leqslant M$ и, следовательно,

$m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a)$ , то есть $m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a)$ ,

что и требовалось доказать.

Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке $[1;5]$ значения функции $y=x^2$ заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства

$4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.$

Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок $[a,b]$ на несколько частей точками $a=x_0<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и к каждой части $[x_k,x_{k+1}]$ применяют неравенство (1). Если на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ выполняется неравенство $m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k$ , то

$m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,,$

где через $\Delta x_k$ обозначена разность $(x_{k+1}-x_k)$ , т. е. длина отрезка $[x_k,x_{k+1}]$ . Записывая эти неравенства для всех значений $k$ от $0$ до $n-1$ и складывая их, получим:

$\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k),$

Но по аддитивному свойству определенного интеграла сумма интегралов по всем частям отрезка $[a,b]$ равна интегралу по этому отрезку, т. е.

$\sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

Значит,

$\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k)$

(2)

Например, если разбить отрезок $[1;5]$ на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке $[1+0,\!4k;\,0,\!4(k+1)]$ выполняется неравенство

$(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2$

Поэтому имеем:

$0,\!4\sum_{k=0}^{9}(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 0,\!4\sum_{k=0}^{9}\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.$

Вычисляя, получаем: $36,\!64\leqslant \int\limits_{1}^{5} x^2\,dx\leqslant 46,\!24$ . Эта оценка гораздо точнее полученной ранее $4\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant100$ .

Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок $[1;5]$ не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной:

$\int\limits_{1}^{5}x^2\,dx= \left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{1}^{5}= \frac{1}{3}(125-1)= \frac{124}{3}\,.$

Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху.

Определенный интеграл как разделяющее число

Числа $m_k$ и $M_k$ , входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков $[x_k,x_{k+1}]$ выполнялось неравенство $m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k$ . Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка $[a,b]$ получится, если взять $M_k$ наименьшим, а $m_k$ наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве $m_k$ надо взять точную нижнюю границу значений функции $y=f(x)$ на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ , а в качестве $M_k$ — точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке:

$m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),\qquad M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x).$

(3)

Если $y=f(x)$ — ограниченная функция на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена и на каждом из отрезков $[x_k,x_{k+1}]$ , а потому для нее определены по равенствам (3) числа $m_k$ и $M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1$ . При таком выборе чисел $m_k$ и $M_k$ суммы $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k}$ и $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k}$ называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции $y=-f(x)$ при данном разбиении $P:$

$a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$

отрезка $[a,b]$ . Будем обозначать эти суммы соответственно $s_{fP}$ и $S_{fP}$ , а если функция $y=f(x)$ фиксирована, то просто $s_P$ и $S_P$ .

Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке $[a,b]$ функция $y=f(x)$ имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ разделяет числовые множества $\{s_p\}$ и $\{S_P\}$ , состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений $P$ отрезка $[a,b]$ . Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно.

Это позволяет ввести новое определение для $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ , не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу.

Определение. Функция $y=f(x)$ , ограниченная на отрезке $[a,b]$ , называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число $\ell$ , разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка $[a,b]$ . Если функция $y=f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ , то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку $[a,b]$ и означают $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ .

Мы определили интеграл $\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ для случая, когда $a<b$ . Если $a>b$ , то положим

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.$

Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$ меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл.

Так как при $a=b$ все $\Delta x_k$ обращаются в нуль, то положим

$\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.$

Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату:

Теорема 2. Если функция $y=f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем первообразную $y=F(x)$ , причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно $F(b)-F(a)$ .

Доказательство. Мы доказали выше, что число $F(a)-F(b)$ разделяет множества $\{s_P\}$ и $\{S_P\}$ . Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с $F(b)-F(a)$ .

Начиная с этого момента мы будем применять обозначение $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ лишь для единственного числа, разделяющего множества $\{s_P\}$ и $\{S_P\}$ . Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше.

Свойства нижних и верхних сумм Дарбу

Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу.

Лемма 1. Для каждого разбиения $P$ соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, $s_P\leqslant S_P$ .

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ :

$a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k<x_{k+1}<\ldots<x_n=b$

Очевидно, что для любого $k$ и для любого выбранного разбиения $P$ выполняется неравенство $s_P\leqslant S_P$ . Следовательно, $m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k$ , и потому

$s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.$

(4)

что и требовалось доказать.

Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения $P$ . Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.

Доказательство. Выберем некоторое разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ и добавим к нему новую точку деления ${x^{\ast}}$ . Обозначим новое разбиение $P^{\ast}$ . Разбиение $P^{\ast}$ является измельчением разбиения $P$ , т.е. каждая точка разбиения $P$ является, одновременно и точкой разбиения $P^{\ast}$ .

Пусть точка ${x^{\ast}}$ попала на отрезок $[x_k,x_{k+1}]\colon\, x_k<x^{\ast}< x_{k+1}$ . Рассмотрим два образовавшихся отрезка $[x_k,x^{\ast}]$ и $[x^{\ast};x^{x_{k+1}}]$ и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через $m_{k}^{\ast}$ и $m_{k}^{\ast\ast}$ , а точные верхние границы через $M_{k}^{\ast}$ и $M_{k}^{\ast\ast}$ .

Слагаемому $m_k(x_{k+1}-m_{k})$ первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых:

$m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).$

При этом $m_k\leqslant m_{k}^{\ast}$ и $m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast}$ , так как $m_k$ — точная нижняя граница значений функции $f(x)$ на всем отрезке $[x_{k},m_{k+1}]$ , а $m_{k}^{\ast}$ и $m_{k}^{\ast\ast}$ лишь на его частях $[x_{k},x^{\ast}]$ и $[x^{\ast},x_{k+1}]$ соответственно.

Оценим снизу сумму полученных слагаемых:

$\begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}$

Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, $s_P\leqslant S_P$ .

Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению $P$ .

Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: $S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P}$ .

Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений.

Лемма 3. Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка $[a,b]$ ).

Произвольное разбиение двух отрезков и третий отрезок, состоящий из всех точек первых двух разбиений

Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения $P_1$ и $P_2$ отрезка $[a,b]$ и образуем третье разбиение $P_3$ , состоящее из всех точек разбиений $P_1$ и $P_2$ . Таким образом, разбиение $P_3$ является измельчением как разбиения $P_1$ , так и разбиения $P_2$ (рис. 7).

Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно $s_1,~S_1.~s_2,~S_2$ и докажем, что $s_1\leqslant S_2$ .

Так как $P_3$ — измельчение разбиения $P_1$ , то $s_1\leqslant s_3$ . Далее, $s_3\leqslant S_3$ , поскольку суммы $s_3$ и $S_3$ соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, $S_3\leqslant S_2$ , так как $P_3$ является измельчением разбиения $P_2$ .

Таким образом, $s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2$ , т.е. $s_1\leqslant S_2$ , что и требовалось доказать.

Из леммы 3 следует, что числовое множество $X=\{s_P\}$ нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества $Y=\{S_P\}$ верхних сумм Дарбу.

В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества $X$ и $Y$ , т.е. такое, что для любого разбиения отрезка $[a,b]$ выполняется двойное неравенство:

$s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.$

Если это число единственно, то $\textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}$ .

Приведем пример, показывающий, что такое число $I$ , вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию $y=D(x)$ на отрезке $[0;1]$ , определяемую равенствами:

$D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}$

Какой бы отрезок $[x_k,x_{k+1}]$ мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где $D(x)=0$ , и точки, где $D(x)=1$ . Поэтому для любого разбиения отрезка $[0;1]$ все значения $m_k$ равны нулю, а все значения $M_k$ равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)}$ равны нулю, а все верхние суммы Дарбу $\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)}$ равны единице,

так как $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)= \sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k$ , а $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta x_k$ — длина отрезка $[0;1]$ .

Итак, в рассматриваемом случае $X=\{0\},~Y=\{1\}$ и любое число из промежутка $[0;1]$ разделяет множества $X$ и $Y$ . Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке $[0;1]$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]