Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения

Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения


Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами


Рассмотрим дифференциальное уравнение, где [math]a_0,a_1,\ldots,a_n[/math] — вещественные постоянные, [math]a_0\ne0[/math]


[math]a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0.\qquad \mathsf{(9)}[/math]

Для нахождения общего решения уравнения (9) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (9):


[math]a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0.[/math]
(10)

Пусть [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] корни уравнения (10), причем среди них могут быть и кратные.


Возможны следующие случаи:


а) [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] — вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (9) имеет вид


[math]e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x},~\ldots,~e^{\lambda_nx}[/math]

и общим решением однородного уравнения будет


[math]y_{\text{o.o}}=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+\ldots+C_ne^{\lambda_nx};[/math]

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, [math]\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_k= \widetilde{\lambda}[/math], т. е. [math]\widetilde{\lambda}[/math] является k-кратным корнем уравнения (10), а все остальные [math]n-k[/math] корней различные. Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид


[math]e^{\widetilde{\lambda}x},~xe^{\widetilde{\lambda}x},~x^2e^{\widetilde{\lambda}x},~ \ldots,~x^{k-1}e^{\widetilde{\lambda}x},~ e^{\lambda_{k+1}x},~ \ldots,~ e^{\lambda_nx},[/math]

а общее решение

[math]y_{\text{o.o}}=C_1e^{\widetilde{\lambda}x}+C_3xe^{\widetilde{\lambda}x}+C_3x^2e^{\widetilde{\lambda}x}+\ldots+C_kx^{k-1}e^{\widetilde{\lambda}x}+C_{k+1}e^{\lambda_{k+1}x}+ \ldots+C_ne^{\lambda_nx};[/math]

в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Пусть для определенности [math]\lambda_1=\alpha+i\beta,[/math] [math]\lambda_2=\alpha-i\beta,[/math] [math]\lambda_3=\gamma+i\delta,[/math] [math]\lambda_4=\gamma-i\delta,[/math] a остальные корни вещественные (так как по предположению коэффициенты [math]a_i,~i\in\{0\}\cup\mathbb{N}[/math] уравнения (9) вещественные, то комплексные корни уравнения (10) попарно сопряженные).


Фундаментальная система решений в этом случае будет иметь вид


[math]e^{\alpha x}\cos\beta x,~ e^{\alpha x}\sin\beta x,~ e^{\gamma x}\cos\delta x,~ e^{\gamma x}\sin\delta x,~ e^{\lambda_5x},~ e^{\lambda_6x},~\ldots,~ e^{\lambda_nx},[/math]

а общее решение

[math]y_{\taxt{o.o}}= C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+ C_2e^{\alpha x}\sin\beta x + C_3e^{\gamma x}\cos\delta x + C_4e^{\gamma x}\sin\delta x +\ldots+C_ne^{\lambda_nx};[/math]

г) в случае, если [math]\lambda_1=\alpha+i\beta[/math] является k-кратным корнем уравнения (10) [math]\left(k\leqslant\frac{n}{2}\right)[/math], то [math]\lambda_2=\alpha-i\beta[/math] также будет k-кратным корнем, и фундаментальная система решений будет иметь вид


[math]\begin{gathered}e^{\alpha x}\cos\beta x,~ e^{\alpha x}\sin\beta x,~ xe^{\alpha x}\cos\beta x,~ xe^{\alpha x}\sin\beta x,~\ldots,\\ x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x,~\ldots,~ x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x,~\ldots,~e^{\lambda_{2k+1}x},~\ldots,~e^{\lambda_nx}, \end{gathered}[/math]

а следовательно, общее решение


[math]\begin{gathered}y_{\text{o.o}}= C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x+C_3xe^{\alpha x}\cos\beta x+ C_4xe^{\alpha x}\sin\beta x+\ldots\\ \ldots+C_{2k-1}x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x+C_{2k}x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x+C_{2k+1}e^{\lambda_{2k+1}x}+ \ldots+C_ne^{\lambda_nx}. \end{gathered}[/math]


▼ Примеры однородных дифференциальных уравнений

Пример 1. Найти общее решения уравнения [math]y'''-2y''-3y'=0[/math].


Решение. Составляем характеристическое уравнение [math]\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0[/math]. Находим его корни: [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2=-1,[/math] [math]\lambda_3=3[/math]. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид


[math]y_{\text{o.o.}}=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^{3x}\,.[/math]



Пример 2. Найти общее решение уравнения [math]y'''+2y''+y'=0[/math].


Решение. Характеристическое уравнение имеет вид [math]\lambda^3+2\lambda^2+\lambda=0[/math]. Отсюда [math]\lambda_1=\lambda_2=-1,[/math] [math]\lambda_3=0[/math]. Корни действительные, причем один из них, а именно [math]\lambda=-1[/math], двукратный, поэтому общее решение имеет вид


[math]y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3.[/math]



Пример 3. Найти общее решение уравнения [math]y'''+4y''+13y'=0[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^3+4\lambda^2+13\lambda=0[/math] имеет корни [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_{2,3}=-2\pm3i[/math].


Общее решение


[math]y_{\text{o.o}}= C_1+C_2e^{-2x}\cos3x+C_3e^{-2x}\sin3x\,.[/math]



Пример 4. Найти общее решение уравнения [math]y^{\text{V}}-2y^{\text{IV}}+2y'''-4y''+y'-2y=0[/math].


Решение. Характеристическое уравнение


[math]\lambda^5-2\lambda^4+2\lambda^3-4\lambda^2+\lambda-2=0[/math], или [math](\lambda-2)(\lambda^2+1)^2=0[/math]

имеет корни [math]\lambda=2[/math] — однократный и [math]\lambda=\pm i[/math] — пара двукратных мнимых корней. Общее решение есть


[math]y_{\text{o.o}}= C_1e^{2x}+(C_2+C_3x)\cos{x}+(C_4+C_5x)\sin{x}\,.[/math]



Пример 5. Решить уравнение [math]y^{\text{IV}}+4y'''+8y''+8y'+4y=0[/math].


Решение. Составляем характеристическое уравнение


[math]\lambda^4+4\lambda^3+8\lambda^2+8\lambda+4=0[/math], или [math](\lambda^2+2\lambda+2)^2=0.[/math]

Оно имеет двукратные комплексные корни [math]\lambda_1=\lambda_2=-1-i,~ \lambda_3=\lambda_4=-1+i[/math] и, следовательно, общее решение будет иметь вид


[math]y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}\cos{x}+ C_2e^{-x}\sin{x} + C_3xe^{-x}\cos{x} + C_4e^{-x}\sin{x}\,,[/math]
или
[math]y_{\text{o.o}}= (C_1+C_3x)e^{-x}\cos{x}+(C_2+C_4x)e^{-x}\sin{x}\,.[/math]



Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами


Метод подбора. Пусть дано дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами [math]a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n[/math]


[math]a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\ldots+a_ny=f(x).[/math]
(11)

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (11) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.


Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным в пункте 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (11) сводится к отысканию частного решения неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (11) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже пункт 5°). Для правых частей специального вида часто решение находится проще, так называемым методом подбора. Общий вид правой части [math]f(x)[/math] уравнения (11), при котором возможно применить метод подбора, следующий:


[math]f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+Q_m(x)\sin\beta x],[/math]

где [math]P_l(x)[/math] и [math]Q_m(x)[/math] суть многочлены степени [math]l[/math] и [math]m[/math] соответственно. В этом случае частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] уравнения (11) ищется в виде


[math]y_{\text{ch.n}}=x^s\,e^{\alpha x}\,[\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+\widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x]\,[/math]

где [math]k=\max(m,l)[/math], [math]\widetilde{P}_k(x)[/math] и [math]\widetilde{Q}_k(x)[/math] — многочлены от [math]x[/math] k-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а [math]s[/math] — кратность корня [math]\lambda=\alpha+i\beta[/math] характеристического уравнения (если [math]\alpha\pm i\beta[/math] не является корнем характеристического уравнения, то [math]s=0[/math]).


Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей


Правая часть дифференциального
уравнения
Корни характеристического
уравнения
Виды частного решения
I[math]P_m(x)[/math]
1. Число 0 не является корнем
характеристического уравнения
[math]\widetilde{P}_m(x)[/math]
2. Число 0 — корень характеристи-
ческого уравнения кратности [math]s[/math]
[math]x^s\widetilde{P}_m(x)[/math]
II[math]P_m(x)e^{\alpha\,x}[/math]
1. Число [math]\alpha[/math] не является корнем
характеристического уравнения
[math]\widetilde{P}_m(x)e^{\alpha\,x}[/math]
2. Число [math]\alpha[/math] является корнем характе-
ристического уравнения кратности [math]s[/math]
[math]x^s\widetilde{P}_m(x)e^{\alpha\,x}[/math]
III[math]P_n(x)\cos\beta x+ Q_m(x)\sin\beta x[/math]
1. Числа [math]\pm i\,\beta[/math] не являются корнями
характеристического уравнения
[math]\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x[/math]
2. Числа [math]\pm i\,\beta[/math] являются корнями харак-
теристического уравнения кратности [math]s[/math]
[math]x^s\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)[/math]
IV[math]e^{\alpha\,x}\Bigl(P_n(x)\cos\beta x+ Q_m(x)\sin\beta x\Bigr)[/math]
1. Числа [math]\alpha\pm i\,\beta[/math] не являются корнями
характеристического уравнения
[math]\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)e^{\alpha\,x}[/math]
2. Числа [math]\alpha\pm i\,\beta[/math] являются корнями ха-
рактеристического уравнения кратности [math]s[/math]
[math]x^s\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)e^{\alpha\,x}[/math]
[math]k=\max(m,n)[/math]


▼ Примеры неоднородных уравнений

Пример 1. Найти общее решение уравнения [math]y'''-y''+y'-y=x^2+x[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1=0[/math] имеет различные корни: [math]\lambda_1=1,[/math] [math]\lambda_2=-i,[/math] [math]\lambda_3=i[/math], поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения [math]y_{\text{o.o}}[/math] будет


[math]y_{\text{o.o}}= C_1e^x+C_2\cos{x}+C_3\sin{x}\,.[/math]

Так как число ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения [math]y_{\text{ch.n}}[/math] надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (1)):


[math]y_{\text{ch.n}}= A_1x^2+A_2x+A_3,[/math]

где [math]A_1,\,A_2,\,A_3[/math] — неизвестные пока коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя выражение для [math]y_{\text{ch.n}}[/math] в данное уравнение, получаем


[math]-A_1x^2+(2A_1-A_2)x+(A_2-2A_1-A_3)=x^2+x,[/math]

откуда, приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях [math]x[/math], будем иметь:


[math]\left\{\!\!\begin{aligned}A_1&=-1,\\2A_1-A_2&=1,\\A_2-2A_1-A_3&=0.\end{aligned}\right.[/math]

Решая эту систему, найдем [math]A_1=-1,~A_2=-3,~A_3=-1[/math], следовательно, частное решение будет


[math]y_{\text{ch.n}}=-x^2-3x-1[/math]

и общее решение [math]y[/math] данного уравнения имеет вид


[math]y=C_1e^x+C_2\cos{x}+C_3\sin{x}-x^2-3x-1.[/math]



Пример 2. Найти общее решение уравнения [math]y'''-y''=12x^2+6x[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^3-\lambda^2=0[/math] имеет корни [math]\lambda_1=\lambda_2=0,~\lambda_3=1[/math], а поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет


[math]y_{\text{o.o}}= C_1+C_2x+C_3e^x.[/math]

Так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (2))


[math]y_{\text{ch.n}}= x^2(A_1x^2+A_2x+A_3)=A_1x^4+A_2x^3+A_3x^2.[/math]

Подставляя выражение для [math]y_{\text{ch.n}}[/math] в данное уравнение, будем иметь


[math]-12A_1x^2+(24A_1-6A_2)x+(6A_2-2A_3)=12x^2+6x,[/math]
откуда
[math]\left\{\!\!\begin{aligned}-12A_1&=12,\\24A_1-6A_2&=6,\\6A_2-2A_3&=0.\end{aligned}\right.[/math]
.

Эта система имеет решение: [math]A_1=-1,~A_2=-5,~A_3=-15[/math], а значит


[math]y_{\text{ch.n}}= -x^2-5x^3-15x^2.[/math]

Общее решение данного уравнения [math]y=C_1+C_2x+C_3e^x-x^4-5x^3-15x^2[/math].




Пример 3. Найти общее решение уравнения [math]y''+y'=4x^2e^x[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+\lambda=0[/math] имеет корни [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2=-1[/math]. Значит, общее решение [math]y_{\text{o.o}}[/math] соответствующего однородного уравнения будет


[math]y_{\text{o.o}}= C_1+C_2e^{-x}.[/math]

Так как [math]\alpha=1[/math] не является корнем характеристического уравнения, то частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] неоднородного уравнения в виде (см. табл. 1, случай II (1))


[math]y_{\text{ch.n}}=(A_1x^2+A_2x+A_3)e^x.[/math]

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на [math]e^x[/math], будем иметь


[math]2A_1x^2+(6A_1+2A_2)x+2A_1+3A_2+2A_3=4x^2.[/math]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях [math]x[/math] в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов [math]A_1,\,A_2,\,A_3\colon[/math]


[math]\left\{\!\!\begin{aligned}&2A_1=4,\\&6A_1+2A_2=0,\\&2A_1+3A_2+2A_3=0,\end{aligned}\right.[/math]

решая которую, находим [math]A_1=2,~A_2=-6,~A_3=7[/math], так что


[math]y_{\text{ch.n}}= (2x^2-6x+7)e^x.[/math]

Общее решение данного уравнения [math]y(x)= C_1+C_2e^{-x}+(2x^2-6x+7)e^x[/math].




Пример 4. Найти общее решение уравнения [math]y''+10y'+25y=4e^{-5x}[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+ 10\lambda+ 25=0[/math] имеет двукратный корень [math]\lambda_1=\lambda_2=-5[/math], поэтому


[math]y_{\text{o.o}}= (C_1+C_2x)e^{-5x}.[/math]

Так как [math]\alpha=-5[/math] является корнем характеристического уравнения кратности [math]s=2[/math], то частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай II (2))


[math]y_{\text{ch.n}}=Bx^2e^{-5x} \quad \Rightarrow \quad y'_{\text{ch.n}}=B(2x-5x^2)e^{-5x} \quad \Rightarrow \quad y''_{\text{ch.n}}=B(2-20x+25x^2)e^{-5x}.[/math]

Подставляя выражение для [math]y_{\text{ch.n}},~y'_{\text{ch.n}},~y''_{\text{ch.n}}[/math] в исходное уравнение, получаем [math]2Be^{-5x}=4e^{-5x}[/math], откуда [math]B=2[/math] и, значит, [math]y_{\text{ch.n}}=2x^2e^{-5x}[/math].


Общее решение данного уравнения [math]y(x)=(C_1+C_2x)e^{-5x}+2x^2e^{-5x}[/math].




Пример 5. Найти общее решение уравнения [math]y''+3y'+2y=x\sin{x}[/math].


Решение. Первый способ. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+3\lambda+2=0[/math] имеет корни [math]\lambda_1=-1,[/math] [math]\lambda_2=-2[/math], поэтому


[math]y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.[/math]

Так как число [math]i=\sqrt{-1}[/math] не является корнем характеристического уравнения, то частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай III (1))


[math]y_{\text{ch.n}}= (A_1x+A_2)\cos{x}+(B_1x+B_2)\sin{x}\,,[/math]

тогда

[math]\begin{aligned}y'_{\text{ch.n}}&= (A_1+B_2+B_1x)\cos{x}+ (B_1-A_2-A_1x)\sin{x}\,,\\ y''_{\text{ch.n}}&= (2B_1-A_2-A_1x)\cos{x}+ (2A_1+B_2+B_1x)\sin{x}\,.\end{aligned}[/math]

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь


[math]\begin{gathered}(2B_1-A_2-A_1x)\cos{x}-(2A_1+B_2+B_1x)\sin{x}+3(A_1+B_2+B_1x)\cos{x}\,+\\ +\,3(B_1-A_2-A_1x)\sin{x}+2(A_1x+A_2)\cos{x}+(B_1x+B_2)\sin{x}=x\sin{x}\,,\end{gathered}[/math]

или

[math][(A_1+3B_1)x+3A_1+A_2+2B_1+3B_2]\cos{x}+[(B_1-3A_1)x-2A_1-3A_2+3B_1+B_2]\sin{x}=x\sin{x}\,.[/math]

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно [math]A_1,\,A_2,\, B_1,\,B_2[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned} A_1+3B_1&=0,\\ 3A_1+A_2+2B_1+3B_2&=0,\\ -3A_1+B_1&=1,\\ 2A_1-3A_2+3B_1+B_2&=0. \end{aligned}\right.[/math]

Решая эту систему, найдем [math]A_1=-\frac{3}{10},~A_2=\frac{17}{50},~B_1=\frac{1}{10},~B_1=\frac{3}{25}[/math] и частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] запишется так:


[math]y_{\text{ch.n}}= \left(-\frac{3}{10}x+\frac{17}{50}\right)\cos{x}+\left(\frac{1}{10}x+\frac{3}{25}\right)\sin{x}\,.[/math]

Общее решение данного уравнения [math]y(x)= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+ \left(-\frac{3}{10}x+\frac{17}{50}\right)\cos{x}+\left(\frac{1}{10}x+\frac{3}{25}\right)\sin{x}[/math].




В случае, когда правая часть [math]f(x)[/math] содержит тригонометрические функции [math]\sin\beta x[/math] и [math]\cos\beta x[/math], оказывается удобным применять переход к показательным функциям. Сущность этого приема покажем на примере. Решить дифференциальное уравнение [math]y''+y=x\cos{x}[/math].


Здесь [math]\lambda^2+1=0,~\lambda_1=-i,~\lambda_2=i[/math], имеет, вид и общее решение однородного уравнения


[math]y_{\text{o.o}}= C_1\cos{x}+C_2\sin{x}\,.[/math]

Частное решение неоднородного уравнения [math]y_{\text{ch.o}}[/math] надо искать в виде


[math]y_{\text{ch.o}}= (A_1x^2+A_2x)\cos{x}+(B_1x^2+B_2x)\sin{x}\,.[/math]

Поступим так. Рассмотрим уравнение


[math]z''+z=x\,e^{ix}\,.[/math]
(12)

Легко видеть, что правая часть исходного уравнения есть вещественная часть от правой части уравнения (12):


[math]x\cos{x}=\operatorname{Re}(x\,e^{ix}).[/math]

Теорема. Если дифференциальное уравнение с вещественными коэффициентами [math]L[y]=f_1(x)+if_2(x)[/math] имеет решение [math]y=u(x)+iv(x)[/math], то [math]u(x)[/math] есть решение уравнения [math]L[y]=f_1(x)[/math], a [math]v(x)[/math] — решение уравнения [math]L[y]=f_2(x)[/math].


Найдем [math]z_{\text{ch.n}}[/math] уравнения (12):


[math]\begin{aligned} z_{\text{ch.n}}&= (Ax^2+Bx)e^{ix},\\ z''_{\text{ch.n}}&=2Ae^{ix}+2(2Ax+B)ie^{ix}-(Ax^2+Bx)e^{ix}. \end{aligned}[/math]

Подставляя в уравнение (12) и сокращая обе части на [math]e^{ix}[/math], будем иметь [math]2A+4Axi+2Bi=x[/math], откуда [math]4Ai=1,~A=-\frac{i}{4},~A+Bi=0,~B=-\frac{A}{i}=\frac{1}{4}[/math], так что


[math]z_{\text{ch.o}}= \left(-\frac{i}{4}x^2+\frac{x}{4}\right)\!e^{ix}= \left(-\frac{i}{4}x^2+\frac{x}{4}\right)\!(\cos{x}+i\sin{x})= \frac{x\cos{x}+x^2\sin{x}}{4}+ i\,\frac{x\sin{x}-x^2\cos{x}}{4}.[/math]

Отсюда в силу теоремы
[math]y_{\text{ch.o}}= \operatorname{Re}z_{\text{ch.o}}= \frac{x\cos{x}+x^2\sin{x}}{4}\,.[/math]

Этот прием порой значительно упрощает и сокращает вычисления, связанные с нахождением частных решений.


▼ Решение примера 5 вторым способом

Решим этот пример путем перехода к показательным функциям. Рассмотрим уравнение


[math]z''+3z'+2z=x\,e^{ix}\,.[/math]
(13)

Легко видеть, что правая часть исходного уравнения равна мнимой части [math]xe^{ix}[/math]:


[math]x\sin{x}=\operatorname{Im}(xe^{ix}).[/math]

Ищем [math]z_{\text{ch.n}}[/math] уравнения (13) в виде [math]z_{\text{ch.n}}=(Ax+B)e^{ix}[/math], тогда


[math]z'_{\text{ch.n}}= Ae^{ix}+i(Ax+B)e^{ix}, \quad z''_{\text{ch.n}}= 2iAe^{ix}-(Ax+B)e^{ix}.[/math]

Подставляя эти выражения в (13) и сокращая на [math]e^{ix}[/math], получаем


[math]2Ai-Ax-B+3A+3Aix+3Bi+ 2Ax+ 2B=x,[/math]

откуда

[math]\left\{\!\begin{aligned}A+3Ai&=1,\\2Ai+B+3A+3Bi&=0,\end{aligned}\right.[/math]

так что

[math]A=\frac{1}{1+3i}=\frac{1}{10}-\frac{3i}{10}, \quad B=-\frac{A(3+2i)}{1+3i}=\frac{6}{50}+\frac{17}{50}i\,.[/math]

Итак,

[math]\begin{aligned}z_{\text{ch.n}}&= \left(\frac{1-3i}{10}x+\frac{6+17i}{50}\right)\!e^{ix}= \left(\frac{5x+6}{50}+\frac{17-15x}{50}i\right)\!(\cos{x}+i\sin{x})=\\ &=\frac{(5x+6)\cos{x}+(15x-17)\sin{x}}{50}+i\frac{(5x+6)\sin{x}+(17-15x)\cos{x}}{50},\end{aligned}[/math]

отсюда [math]y_{\text{ch.n}}= \operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}= \frac{5x+6}{50}\sin{x}+\frac{17-15x}{50}\cos{x}[/math] что совпадает с [math]y_{\text{ch.n}}[/math], найденным ранее.



▼ Примеры неоднородных уравнений

Пример 6. Найти общее решение уравнения [math]y''+4y=\sin2x[/math].


Решение. Рассмотрим уравнение [math]z''+4z=e^{2ix}[/math]. Имеем [math]\sin2x=\operatorname{Im}e^{2ix}[/math], поэтому [math]y_{\text{ch.n}}=\operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}[/math]. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+4=0[/math] имеет простые корни [math]\lambda_{1,2}=\pm2i[/math]. Следовательно, частное решение ищем в виде (см. табл. 1, случай III (2)):


[math]z_{\text{ch.n}}=Axe^{2ix},[/math] тогда [math]z''_{\text{ch.n}}=-4Axe^{2ix}+4Aie^{2ix}.[/math]

Подставляя выражения для [math]z_{\text{ch.n}}[/math] и [math]z''_{\text{ch.n}}[/math] в уравнение и сокращая на [math]e^{2ix}[/math] получаем [math]4Ai=1[/math], откуда [math]A=-\frac{i}{4}[/math], а значит


[math]z_{\text{ch.n}}= -\frac{i}{4}xe^{2ix}= \frac{1}{4}x\sin2x-\frac{i}{4}x\cos2x\,.[/math]

Частное решение данного неоднородного уравнения будет [math]y_{\text{ch.n}}= \operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}= -\frac{x}{4}\cos2x[/math].




Пример 7. Найти общее решения уравнения [math]y''-6y'+9y=25e^x\sin{x}[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2-6\lambda+9=0[/math] имеет корни [math]\lambda_{1,2}=3[/math]; общее решение [math]y_{\text{o.o}}[/math] однородного уравнения будет


[math]y_{\text{o.o}}= (C_1+C_2x)e^{3x}.[/math]

Числа [math]1\pm i[/math] не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] ищется в виде (см. табл. 1, случай IV (1))


[math]y_{\text{ch.n}}= e^x(a\cos{x}+b\sin{x}).[/math]

Подставляя выражение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] в уравнение и сокращая обе части уравнения на [math]e^x[/math], получаем


[math](3a-4b)\cos{x}+(4a+3b)\sin{x}=25\sin{x}\,.[/math]

Отсюда имеем систему [math]\begin{cases}3a-4b=0,\\4a+3b=25.\end{cases}[/math] решение которой есть [math]a=4,~b=3[/math] и, следовательно, [math]y_{\text{ch.n}}= e^x(4\cos{x}+3\sin{x})[/math]. Общее решение данного уравнения


[math]y(x)=(C_1+C_2)e^{3x}+(4\cos{x}+3\sin{x})e^x.[/math]



Пример 8. Найти общее решение уравнения [math]y''+2y'+5y=e^{-x}\cos2x[/math].


Решение. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+2\lambda+5=0[/math] имеет корн и [math]\lambda_{1,2}=-1\pm2i[/math], так что


[math]y_{\text{o.o}}= (C_1\cos2x+C_2\sin2x)e^{-x}.[/math]

Так как число [math]\alpha+i\beta=-1+2i[/math] является простым корнем характеристического уравнения, то [math]y_{\text{ch.n}}[/math] надо искать в виде (см. табл. I, случай IV (2))


[math]y_{\text{ch.n}}= x(A\cos2x+B\sin2x)e^{-x},[/math]

тогда

[math]\begin{aligned} y'_{\text{ch.n}}&= e^{-x}\Bigl[(A-Ax+2Bx)\cos2x+(B-Bx-2Ax)\sin2x\Bigr],\\ y''_{\text{ch.n}}&= e^{-x}\Bigl[(-2A-3Ax+4B+2Bx)\cos2x+(-2B-3Bx-4A-2Ax)\sin2x\Bigr]. \end{aligned}[/math]

Подставляя выражения для [math]y_{\text{ch.n}}[/math] и ее производных в исходное уравнение и сокращая на [math]e^{-x}[/math], будем иметь [math]-4A\sin2x+4B\cos2x=\cos2x,[/math] откуда [math]A=0,~B=\frac{1}{4}[/math] и, значит, [math]y_{\text{ch.n}}=\frac{x}{4}e^{-x}\sin2x[/math]. Общее решение данного уравнения будет


[math]y(x)=(C_1\cos2x+C_2\sin2x)e^{-x}+\frac{x}{4}e^{-x}\sin2x\,.[/math]



Принцип суперпозиции


При нахождении частных решений линейных неоднородных уравнений удобно пользоваться следующей теоремой.


Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если [math]y_k(x)[/math] есть решение уравнения


[math]a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y=f_k(x), \quad k=1,2,\ldots,m,[/math]

то функция [math]y(x)=\sum_{k=1}^{m}y_k(x)[/math] является решением уравнения


[math]a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y=\sum_{k=1}^{m}f_k(x).[/math]

Пример 9. Решить уравнение

[math]y''-6y'+9y=4e^x-16e^{3x}.[/math]
(14)

▼ Решение

Характеристическое уравнение [math]\lambda^2-6\lambda+9=0[/math] имеет корни [math]\lambda_{1,3}=3[/math], а поэтому общим решением у0,0 соответствующего однородного уравнения будет


[math]y_{\text{o.o}}=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}.[/math]

Для нахождения частного решения [math]y_{\text{o.o}}[/math] уравнения (14) найдем частные решения двух уравнений


[math]y''-6y'+9y=4e^x,[/math]
(15)

[math]y''-6y'+9y=-16e^{3x}.[/math]
(16)

Уравнение (15) имеет частное решение [math]y_1[/math] вида [math]y_1=Ae^x[/math] (см. табл. 1, случай II (1)). Подставляя выражение для [math]y_1[/math] в уравнение (15), найдем [math]A=1[/math], так что [math]y_1=e^x[/math]. Частное решение уравнения (16) ищем в виде [math]y_2=Bx^2e^{3x}[/math] (см. табл. 1, случай II (2)). Находим [math]y_2=-8x^2e^{3x}[/math].


В силу принципа суперпозиции решений частное решение [math]y_{\text{ch.n}}[/math] данного уравнения будет равно сумме частных решений [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] уравнений (15) и (16)


[math]y_{\text{ch.n}}=y_1+y_2=e^x-8x^2e^{3x}.[/math]

Общее решение уравнения (14) есть [math]y=(C_1+C_2x)e^{3x}+e^x-8x^2e^{3x}[/math].


Пример 10. Решить уравнение

[math]y'''-2y''+2y'=4\cos{x}\cos3x+6\sin^2x\,.[/math]
(17)

▼ Решение

Используя известные тригонометрические тождества, преобразуем правую часть уравнения (17) к "стандартному" виду


[math]4\cos{x}\cos3x+6\sin^2x=2\cos4x-\cos2x+3.[/math]

Исходное уравнение (17) запишется теперь так:


[math]y'''-2y''+2y'=2\cos4x-\cos2x+3.[/math]
(18)

Общим решением однородного уравнения [math]y'''-2y''+2y'=0[/math] будет [math]y_{\text{o.o}}=C_1+(C_1\cos{x}+C_2\sin{x})e^x[/math].


Для отыскания частного уравнения (18) используем принцип суперпозиции. Для этого найдем частные решения трех уравнений:


[math]\begin{aligned}y'''-2y''+2y'&=2\cos4x,\\ y'''-2y''+2y'&=-\cos2x,\\ y'''-2y''+2y'&=3.\end{aligned}[/math]

Используя метод подбора, найдем частные решения [math]y_1,\,y_2[/math] и [math]y_3[/math] данных уравнений:


[math]y_1=\frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)\!, \quad y_2=\frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)\!, \quad y_3=\frac{3}{2}x.[/math]

В силу принципа суперпозиции частное решение неоднородного уравнения (8)


[math]y_{\text{ch.n}}= \frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)+\frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)+\frac{3}{2}x.[/math]

Общее решение исходного уравнения


[math]y=C_1+(C_2\cos{x}+C_3\sin{x})e^x+ \frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)+ \frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)+ \frac{3}{2}x.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved