Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение, где — вещественные постоянные,
Для нахождения общего решения уравнения (9) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (9):
(10)
Пусть корни уравнения (10), причем среди них могут быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
а) — вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (9) имеет вид
и общим решением однородного уравнения будет
б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, , т. е. является k-кратным корнем уравнения (10), а все остальные корней различные. Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид
а общее решение
в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Пусть для определенности a остальные корни вещественные (так как по предположению коэффициенты уравнения (9) вещественные, то комплексные корни уравнения (10) попарно сопряженные).
Фундаментальная система решений в этом случае будет иметь вид
а общее решение
г) в случае, если является k-кратным корнем уравнения (10) , то также будет k-кратным корнем, и фундаментальная система решений будет иметь вид
а следовательно, общее решение
Примеры однородных дифференциальных уравнений
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора. Пусть дано дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
(11)
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (11) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным в пункте 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (11) сводится к отысканию частного решения неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (11) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже пункт 5°). Для правых частей специального вида часто решение находится проще, так называемым методом подбора. Общий вид правой части уравнения (11), при котором возможно применить метод подбора, следующий:
где и суть многочлены степени и соответственно. В этом случае частное решение уравнения (11) ищется в виде
где , и — многочлены от k-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а — кратность корня характеристического уравнения (если не является корнем характеристического уравнения, то ).
Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей
№ | Правая часть дифференциального уравнения | Корни характеристического уравнения | Виды частного решения | I | | 1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения | | 2. Число 0 — корень характеристи- ческого уравнения кратности | | II | | 1. Число не является корнем характеристического уравнения | | 2. Число является корнем характе- ристического уравнения кратности | | III | | 1. Числа не являются корнями характеристического уравнения | | 2. Числа являются корнями харак- теристического уравнения кратности | | IV | | 1. Числа не являются корнями характеристического уравнения | | 2. Числа являются корнями ха- рактеристического уравнения кратности | | |
Примеры неоднородных уравнений
Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет различные корни: , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет Так как число ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (1)): где — неизвестные пока коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя выражение для в данное уравнение, получаем откуда, приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь: Решая эту систему, найдем , следовательно, частное решение будет и общее решение данного уравнения имеет вид
Пример 2. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет Так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (2)) Подставляя выражение для в данное уравнение, будем иметь откуда . Эта система имеет решение: , а значит Общее решение данного уравнения .
Пример 3. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения в виде (см. табл. 1, случай II (1)) Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов решая которую, находим , так что Общее решение данного уравнения .
Пример 4. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет двукратный корень , поэтому Так как является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай II (2)) Подставляя выражение для в исходное уравнение, получаем , откуда и, значит, . Общее решение данного уравнения .
Пример 5. Найти общее решение уравнения . Решение. Первый способ. Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай III (1)) тогда Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь или Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно Решая эту систему, найдем и частное решение запишется так: Общее решение данного уравнения .
В случае, когда правая часть содержит тригонометрические функции и , оказывается удобным применять переход к показательным функциям. Сущность этого приема покажем на примере. Решить дифференциальное уравнение .
Здесь , имеет, вид и общее решение однородного уравнения
Частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде
Поступим так. Рассмотрим уравнение
(12)
Легко видеть, что правая часть исходного уравнения есть вещественная часть от правой части уравнения (12):
Теорема. Если дифференциальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решение , то есть решение уравнения , a — решение уравнения .
Найдем уравнения (12):
Подставляя в уравнение (12) и сокращая обе части на , будем иметь , откуда , так что
Отсюда в силу теоремы
Этот прием порой значительно упрощает и сокращает вычисления, связанные с нахождением частных решений.
Решение примера 5 вторым способом
Решим этот пример путем перехода к показательным функциям. Рассмотрим уравнение (13) Легко видеть, что правая часть исходного уравнения равна мнимой части : Ищем уравнения (13) в виде , тогда Подставляя эти выражения в (13) и сокращая на , получаем откуда так что Итак, отсюда что совпадает с , найденным ранее.
Примеры неоднородных уравнений
Пример 6. Найти общее решение уравнения . Решение. Рассмотрим уравнение . Имеем , поэтому . Характеристическое уравнение имеет простые корни . Следовательно, частное решение ищем в виде (см. табл. 1, случай III (2)): тогда Подставляя выражения для и в уравнение и сокращая на получаем , откуда , а значит Частное решение данного неоднородного уравнения будет .
Пример 7. Найти общее решения уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет корни ; общее решение однородного уравнения будет Числа не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде (см. табл. 1, случай IV (1)) Подставляя выражение в уравнение и сокращая обе части уравнения на , получаем Отсюда имеем систему решение которой есть и, следовательно, . Общее решение данного уравнения
Пример 8. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение имеет корн и , так что Так как число является простым корнем характеристического уравнения, то надо искать в виде (см. табл. I, случай IV (2)) тогда Подставляя выражения для и ее производных в исходное уравнение и сокращая на , будем иметь откуда и, значит, . Общее решение данного уравнения будет
Принцип суперпозиции
При нахождении частных решений линейных неоднородных уравнений удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если есть решение уравнения
то функция является решением уравнения
Пример 9. Решить уравнение (14)
Решение
Пример 10. Решить уравнение (17)
Решение
Используя известные тригонометрические тождества, преобразуем правую часть уравнения (17) к "стандартному" виду Исходное уравнение (17) запишется теперь так: (18) Общим решением однородного уравнения будет . Для отыскания частного уравнения (18) используем принцип суперпозиции. Для этого найдем частные решения трех уравнений: Используя метод подбора, найдем частные решения и данных уравнений: В силу принципа суперпозиции частное решение неоднородного уравнения (8) Общее решение исходного уравнения
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|