Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения

Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения


Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами


Рассмотрим дифференциальное уравнение, где a_0,a_1,\ldots,a_n — вещественные постоянные, a_0\ne0


a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0.\qquad \mathsf{(9)}

Для нахождения общего решения уравнения (9) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (9):


a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0.
(10)

Пусть \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n корни уравнения (10), причем среди них могут быть и кратные.


Возможны следующие случаи:


а) \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n — вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (9) имеет вид


e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x},~\ldots,~e^{\lambda_nx}

и общим решением однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+\ldots+C_ne^{\lambda_nx};

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, \lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_k= \widetilde{\lambda}, т. е. \widetilde{\lambda} является k-кратным корнем уравнения (10), а все остальные n-k корней различные. Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид


e^{\widetilde{\lambda}x},~xe^{\widetilde{\lambda}x},~x^2e^{\widetilde{\lambda}x},~ \ldots,~x^{k-1}e^{\widetilde{\lambda}x},~ e^{\lambda_{k+1}x},~ \ldots,~ e^{\lambda_nx},

а общее решение

y_{\text{o.o}}=C_1e^{\widetilde{\lambda}x}+C_3xe^{\widetilde{\lambda}x}+C_3x^2e^{\widetilde{\lambda}x}+\ldots+C_kx^{k-1}e^{\widetilde{\lambda}x}+C_{k+1}e^{\lambda_{k+1}x}+ \ldots+C_ne^{\lambda_nx};

в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Пусть для определенности \lambda_1=\alpha+i\beta, \lambda_2=\alpha-i\beta, \lambda_3=\gamma+i\delta, \lambda_4=\gamma-i\delta, a остальные корни вещественные (так как по предположению коэффициенты a_i,~i\in\{0\}\cup\mathbb{N} уравнения (9) вещественные, то комплексные корни уравнения (10) попарно сопряженные).


Фундаментальная система решений в этом случае будет иметь вид


e^{\alpha x}\cos\beta x,~ e^{\alpha x}\sin\beta x,~ e^{\gamma x}\cos\delta x,~ e^{\gamma x}\sin\delta x,~ e^{\lambda_5x},~ e^{\lambda_6x},~\ldots,~ e^{\lambda_nx},

а общее решение

y_{\text{o.o}}= C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+ C_2e^{\alpha x}\sin\beta x + C_3e^{\gamma x}\cos\delta x + C_4e^{\gamma x}\sin\delta x +\ldots+C_ne^{\lambda_nx};

г) в случае, если \lambda_1=\alpha+i\beta является k-кратным корнем уравнения (10) \left(k\leqslant\frac{n}{2}\right), то \lambda_2=\alpha-i\beta также будет k-кратным корнем, и фундаментальная система решений будет иметь вид


\begin{gathered}e^{\alpha x}\cos\beta x,~ e^{\alpha x}\sin\beta x,~ xe^{\alpha x}\cos\beta x,~ xe^{\alpha x}\sin\beta x,~\ldots,\\ x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x,~\ldots,~ x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x,~\ldots,~e^{\lambda_{2k+1}x},~\ldots,~e^{\lambda_nx}, \end{gathered}

а следовательно, общее решение


\begin{gathered}y_{\text{o.o}}= C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x+C_3xe^{\alpha x}\cos\beta x+ C_4xe^{\alpha x}\sin\beta x+\ldots\\ \ldots+C_{2k-1}x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x+C_{2k}x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x+C_{2k+1}e^{\lambda_{2k+1}x}+ \ldots+C_ne^{\lambda_nx}. \end{gathered}

▼ Примеры однородных дифференциальных уравнений

Пример 1. Найти общее решения уравнения y'''-2y''-3y'=0.


Решение. Составляем характеристическое уравнение \lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0. Находим его корни: \lambda_1=0, \lambda_2=-1, \lambda_3=3. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид


y_{\text{o.o.}}=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^{3x}\,.



Пример 2. Найти общее решение уравнения y'''+2y''+y'=0.


Решение. Характеристическое уравнение имеет вид \lambda^3+2\lambda^2+\lambda=0. Отсюда \lambda_1=\lambda_2=-1, \lambda_3=0. Корни действительные, причем один из них, а именно \lambda=-1, двукратный, поэтому общее решение имеет вид


y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3.



Пример 3. Найти общее решение уравнения y'''+4y''+13y'=0.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^3+4\lambda^2+13\lambda=0 имеет корни \lambda_1=0, \lambda_{2,3}=-2\pm3i.


Общее решение


y_{\text{o.o}}= C_1+C_2e^{-2x}\cos3x+C_3e^{-2x}\sin3x\,.



Пример 4. Найти общее решение уравнения y^{\text{V}}-2y^{\text{IV}}+2y'''-4y''+y'-2y=0.


Решение. Характеристическое уравнение


\lambda^5-2\lambda^4+2\lambda^3-4\lambda^2+\lambda-2=0, или (\lambda-2)(\lambda^2+1)^2=0

имеет корни \lambda=2 — однократный и \lambda=\pm i — пара двукратных мнимых корней. Общее решение есть


y_{\text{o.o}}= C_1e^{2x}+(C_2+C_3x)\cos{x}+(C_4+C_5x)\sin{x}\,.



Пример 5. Решить уравнение y^{\text{IV}}+4y'''+8y''+8y'+4y=0.


Решение. Составляем характеристическое уравнение


\lambda^4+4\lambda^3+8\lambda^2+8\lambda+4=0, или (\lambda^2+2\lambda+2)^2=0.

Оно имеет двукратные комплексные корни \lambda_1=\lambda_2=-1-i,~ \lambda_3=\lambda_4=-1+i и, следовательно, общее решение будет иметь вид


y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}\cos{x}+ C_2e^{-x}\sin{x} + C_3xe^{-x}\cos{x} + C_4e^{-x}\sin{x}\,,
или
y_{\text{o.o}}= (C_1+C_3x)e^{-x}\cos{x}+(C_2+C_4x)e^{-x}\sin{x}\,.



Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами


Метод подбора. Пусть дано дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n


a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\ldots+a_ny=f(x).
(11)

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (11) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.


Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным в пункте 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (11) сводится к отысканию частного решения неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (11) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже пункт 5°). Для правых частей специального вида часто решение находится проще, так называемым методом подбора. Общий вид правой части f(x) уравнения (11), при котором возможно применить метод подбора, следующий:


f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+Q_m(x)\sin\beta x],

где P_l(x) и Q_m(x) суть многочлены степени l и m соответственно. В этом случае частное решение y_{\text{ch.n}} уравнения (11) ищется в виде


y_{\text{ch.n}}=x^s\,e^{\alpha x}\,[\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+\widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x]\,

где k=\max(m,l), \widetilde{P}_k(x) и \widetilde{Q}_k(x) — многочлены от x k-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s — кратность корня \lambda=\alpha+i\beta характеристического уравнения (если \alpha\pm i\beta не является корнем характеристического уравнения, то s=0).


Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей


Правая часть дифференциального
уравнения
Корни характеристического
уравнения
Виды частного решения
IP_m(x)
1. Число 0 не является корнем
характеристического уравнения
\widetilde{P}_m(x)
2. Число 0 — корень характеристи-
ческого уравнения кратности s
x^s\widetilde{P}_m(x)
IIP_m(x)e^{\alpha\,x}
1. Число \alpha не является корнем
характеристического уравнения
\widetilde{P}_m(x)e^{\alpha\,x}
2. Число \alpha является корнем характе-
ристического уравнения кратности s
x^s\widetilde{P}_m(x)e^{\alpha\,x}
IIIP_n(x)\cos\beta x+ Q_m(x)\sin\beta x
1. Числа \pm i\,\beta не являются корнями
характеристического уравнения
\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x
2. Числа \pm i\,\beta являются корнями харак-
теристического уравнения кратности s
x^s\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)
IVe^{\alpha\,x}\Bigl(P_n(x)\cos\beta x+ Q_m(x)\sin\beta x\Bigr)
1. Числа \alpha\pm i\,\beta не являются корнями
характеристического уравнения
\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)e^{\alpha\,x}
2. Числа \alpha\pm i\,\beta являются корнями ха-
рактеристического уравнения кратности s
x^s\Bigl(\widetilde{P}_k(x)\cos\beta x+ \widetilde{Q}_k(x)\sin\beta x\Bigr)e^{\alpha\,x}
k=\max(m,n)


▼ Примеры неоднородных уравнений

Пример 1. Найти общее решение уравнения y'''-y''+y'-y=x^2+x.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^3-\lambda^2+\lambda-1=0 имеет различные корни: \lambda_1=1, \lambda_2=-i, \lambda_3=i, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения y_{\text{o.o}} будет


y_{\text{o.o}}= C_1e^x+C_2\cos{x}+C_3\sin{x}\,.

Так как число ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения y_{\text{ch.n}} надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (1)):


y_{\text{ch.n}}= A_1x^2+A_2x+A_3,

где A_1,\,A_2,\,A_3 — неизвестные пока коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя выражение для y_{\text{ch.n}} в данное уравнение, получаем


-A_1x^2+(2A_1-A_2)x+(A_2-2A_1-A_3)=x^2+x,

откуда, приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях x, будем иметь:


\left\{\!\!\begin{aligned}A_1&=-1,\\2A_1-A_2&=1,\\A_2-2A_1-A_3&=0.\end{aligned}\right.

Решая эту систему, найдем A_1=-1,~A_2=-3,~A_3=-1, следовательно, частное решение будет


y_{\text{ch.n}}=-x^2-3x-1

и общее решение y данного уравнения имеет вид


y=C_1e^x+C_2\cos{x}+C_3\sin{x}-x^2-3x-1.



Пример 2. Найти общее решение уравнения y'''-y''=12x^2+6x.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^3-\lambda^2=0 имеет корни \lambda_1=\lambda_2=0,~\lambda_3=1, а поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}= C_1+C_2x+C_3e^x.

Так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде (см. табл. 1, случай I (2))


y_{\text{ch.n}}= x^2(A_1x^2+A_2x+A_3)=A_1x^4+A_2x^3+A_3x^2.

Подставляя выражение для y_{\text{ch.n}} в данное уравнение, будем иметь


-12A_1x^2+(24A_1-6A_2)x+(6A_2-2A_3)=12x^2+6x,
откуда
\left\{\!\!\begin{aligned}-12A_1&=12,\\24A_1-6A_2&=6,\\6A_2-2A_3&=0.\end{aligned}\right.
.

Эта система имеет решение: A_1=-1,~A_2=-5,~A_3=-15, а значит


y_{\text{ch.n}}= -x^2-5x^3-15x^2.

Общее решение данного уравнения y=C_1+C_2x+C_3e^x-x^4-5x^3-15x^2.




Пример 3. Найти общее решение уравнения y''+y'=4x^2e^x.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^2+\lambda=0 имеет корни \lambda_1=0, \lambda_2=-1. Значит, общее решение y_{\text{o.o}} соответствующего однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}= C_1+C_2e^{-x}.

Так как \alpha=1 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение y_{\text{ch.n}} неоднородного уравнения в виде (см. табл. 1, случай II (1))


y_{\text{ch.n}}=(A_1x^2+A_2x+A_3)e^x.

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на e^x, будем иметь


2A_1x^2+(6A_1+2A_2)x+2A_1+3A_2+2A_3=4x^2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов A_1,\,A_2,\,A_3\colon


\left\{\!\!\begin{aligned}&2A_1=4,\\&6A_1+2A_2=0,\\&2A_1+3A_2+2A_3=0,\end{aligned}\right.

решая которую, находим A_1=2,~A_2=-6,~A_3=7, так что


y_{\text{ch.n}}= (2x^2-6x+7)e^x.

Общее решение данного уравнения y(x)= C_1+C_2e^{-x}+(2x^2-6x+7)e^x.




Пример 4. Найти общее решение уравнения y''+10y'+25y=4e^{-5x}.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^2+ 10\lambda+ 25=0 имеет двукратный корень \lambda_1=\lambda_2=-5, поэтому


y_{\text{o.o}}= (C_1+C_2x)e^{-5x}.

Так как \alpha=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение y_{\text{ch.n}} неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай II (2))


y_{\text{ch.n}}=Bx^2e^{-5x} \quad \Rightarrow \quad y'_{\text{ch.n}}=B(2x-5x^2)e^{-5x} \quad \Rightarrow \quad y''_{\text{ch.n}}=B(2-20x+25x^2)e^{-5x}.

Подставляя выражение для y_{\text{ch.n}},~y'_{\text{ch.n}},~y''_{\text{ch.n}} в исходное уравнение, получаем 2Be^{-5x}=4e^{-5x}, откуда B=2 и, значит, y_{\text{ch.n}}=2x^2e^{-5x}.


Общее решение данного уравнения y(x)=(C_1+C_2x)e^{-5x}+2x^2e^{-5x}.




Пример 5. Найти общее решение уравнения y''+3y'+2y=x\sin{x}.


Решение. Первый способ. Характеристическое уравнение \lambda^2+3\lambda+2=0 имеет корни \lambda_1=-1, \lambda_2=-2, поэтому


y_{\text{o.o}}= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.

Так как число i=\sqrt{-1} не является корнем характеристического уравнения, то частное решение y_{\text{ch.n}} неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1, случай III (1))


y_{\text{ch.n}}= (A_1x+A_2)\cos{x}+(B_1x+B_2)\sin{x}\,,

тогда

\begin{aligned}y'_{\text{ch.n}}&= (A_1+B_2+B_1x)\cos{x}+ (B_1-A_2-A_1x)\sin{x}\,,\\ y''_{\text{ch.n}}&= (2B_1-A_2-A_1x)\cos{x}+ (2A_1+B_2+B_1x)\sin{x}\,.\end{aligned}

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь


\begin{gathered}(2B_1-A_2-A_1x)\cos{x}-(2A_1+B_2+B_1x)\sin{x}+3(A_1+B_2+B_1x)\cos{x}\,+\\ +\,3(B_1-A_2-A_1x)\sin{x}+2(A_1x+A_2)\cos{x}+(B_1x+B_2)\sin{x}=x\sin{x}\,,\end{gathered}

или

[(A_1+3B_1)x+3A_1+A_2+2B_1+3B_2]\cos{x}+[(B_1-3A_1)x-2A_1-3A_2+3B_1+B_2]\sin{x}=x\sin{x}\,.

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно A_1,\,A_2,\, B_1,\,B_2


\left\{\!\begin{aligned} A_1+3B_1&=0,\\ 3A_1+A_2+2B_1+3B_2&=0,\\ -3A_1+B_1&=1,\\ 2A_1-3A_2+3B_1+B_2&=0. \end{aligned}\right.

Решая эту систему, найдем A_1=-\frac{3}{10},~A_2=\frac{17}{50},~B_1=\frac{1}{10},~B_1=\frac{3}{25} и частное решение y_{\text{ch.n}} запишется так:


y_{\text{ch.n}}= \left(-\frac{3}{10}x+\frac{17}{50}\right)\cos{x}+\left(\frac{1}{10}x+\frac{3}{25}\right)\sin{x}\,.

Общее решение данного уравнения y(x)= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+ \left(-\frac{3}{10}x+\frac{17}{50}\right)\cos{x}+\left(\frac{1}{10}x+\frac{3}{25}\right)\sin{x}.




В случае, когда правая часть f(x) содержит тригонометрические функции \sin\beta x и \cos\beta x, оказывается удобным применять переход к показательным функциям. Сущность этого приема покажем на примере. Решить дифференциальное уравнение y''+y=x\cos{x}.


Здесь \lambda^2+1=0,~\lambda_1=-i,~\lambda_2=i, имеет, вид и общее решение однородного уравнения


y_{\text{o.o}}= C_1\cos{x}+C_2\sin{x}\,.

Частное решение неоднородного уравнения y_{\text{ch.o}} надо искать в виде


y_{\text{ch.o}}= (A_1x^2+A_2x)\cos{x}+(B_1x^2+B_2x)\sin{x}\,.

Поступим так. Рассмотрим уравнение


z''+z=x\,e^{ix}\,.
(12)

Легко видеть, что правая часть исходного уравнения есть вещественная часть от правой части уравнения (12):


x\cos{x}=\operatorname{Re}(x\,e^{ix}).

Теорема. Если дифференциальное уравнение с вещественными коэффициентами L[y]=f_1(x)+if_2(x) имеет решение y=u(x)+iv(x), то u(x) есть решение уравнения L[y]=f_1(x), a v(x) — решение уравнения L[y]=f_2(x).


Найдем z_{\text{ch.n}} уравнения (12):


\begin{aligned} z_{\text{ch.n}}&= (Ax^2+Bx)e^{ix},\\ z''_{\text{ch.n}}&=2Ae^{ix}+2(2Ax+B)ie^{ix}-(Ax^2+Bx)e^{ix}. \end{aligned}

Подставляя в уравнение (12) и сокращая обе части на e^{ix}, будем иметь 2A+4Axi+2Bi=x, откуда 4Ai=1,~A=-\frac{i}{4},~A+Bi=0,~B=-\frac{A}{i}=\frac{1}{4}, так что


z_{\text{ch.o}}= \left(-\frac{i}{4}x^2+\frac{x}{4}\right)\!e^{ix}= \left(-\frac{i}{4}x^2+\frac{x}{4}\right)\!(\cos{x}+i\sin{x})= \frac{x\cos{x}+x^2\sin{x}}{4}+ i\,\frac{x\sin{x}-x^2\cos{x}}{4}.

Отсюда в силу теоремы


y_{\text{ch.o}}= \operatorname{Re}z_{\text{ch.o}}= \frac{x\cos{x}+x^2\sin{x}}{4}\,.

Этот прием порой значительно упрощает и сокращает вычисления, связанные с нахождением частных решений.


▼ Решение примера 5 вторым способом

Решим этот пример путем перехода к показательным функциям. Рассмотрим уравнение


z''+3z'+2z=x\,e^{ix}\,.
(13)

Легко видеть, что правая часть исходного уравнения равна мнимой части xe^{ix}:


x\sin{x}=\operatorname{Im}(xe^{ix}).

Ищем z_{\text{ch.n}} уравнения (13) в виде z_{\text{ch.n}}=(Ax+B)e^{ix}, тогда


z'_{\text{ch.n}}= Ae^{ix}+i(Ax+B)e^{ix}, \quad z''_{\text{ch.n}}= 2iAe^{ix}-(Ax+B)e^{ix}.

Подставляя эти выражения в (13) и сокращая на e^{ix}, получаем


2Ai-Ax-B+3A+3Aix+3Bi+ 2Ax+ 2B=x,

откуда

\left\{\!\begin{aligned}A+3Ai&=1,\\2Ai+B+3A+3Bi&=0,\end{aligned}\right.

так что

A=\frac{1}{1+3i}=\frac{1}{10}-\frac{3i}{10}, \quad B=-\frac{A(3+2i)}{1+3i}=\frac{6}{50}+\frac{17}{50}i\,.

Итак,

\begin{aligned}z_{\text{ch.n}}&= \left(\frac{1-3i}{10}x+\frac{6+17i}{50}\right)\!e^{ix}= \left(\frac{5x+6}{50}+\frac{17-15x}{50}i\right)\!(\cos{x}+i\sin{x})=\\ &=\frac{(5x+6)\cos{x}+(15x-17)\sin{x}}{50}+i\frac{(5x+6)\sin{x}+(17-15x)\cos{x}}{50},\end{aligned}

отсюда y_{\text{ch.n}}= \operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}= \frac{5x+6}{50}\sin{x}+\frac{17-15x}{50}\cos{x} что совпадает с y_{\text{ch.n}}, найденным ранее.



▼ Примеры неоднородных уравнений

Пример 6. Найти общее решение уравнения y''+4y=\sin2x.


Решение. Рассмотрим уравнение z''+4z=e^{2ix}. Имеем \sin2x=\operatorname{Im}e^{2ix}, поэтому y_{\text{ch.n}}=\operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}. Характеристическое уравнение \lambda^2+4=0 имеет простые корни \lambda_{1,2}=\pm2i. Следовательно, частное решение ищем в виде (см. табл. 1, случай III (2)):


z_{\text{ch.n}}=Axe^{2ix}, тогда z''_{\text{ch.n}}=-4Axe^{2ix}+4Aie^{2ix}.

Подставляя выражения для z_{\text{ch.n}} и z''_{\text{ch.n}} в уравнение и сокращая на e^{2ix} получаем 4Ai=1, откуда A=-i\slash4, а значит


z_{\text{ch.n}}= -\frac{i}{4}xe^{2ix}= \frac{1}{4}x\sin2x-\frac{i}{4}x\cos2x\,.

Частное решение данного неоднородного уравнения будет y_{\text{ch.n}}= \operatorname{Im}z_{\text{ch.n}}= -\frac{x}{4}\cos2x.




Пример 7. Найти общее решения уравнения y''-6y'+9y=25e^x\sin{x}.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^2-6\lambda+9=0 имеет корни \lambda_{1,2}=3; общее решение y_{\text{o.o}} однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}= (C_1+C_2x)e^{3x}.

Числа 1\pm i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение y_{\text{ch.n}} ищется в виде (см. табл. 1, случай IV (1))


y_{\text{ch.n}}= e^x(a\cos{x}+b\sin{x}).

Подставляя выражение y_{\text{ch.n}} в уравнение и сокращая обе части уравнения на e^x, получаем


(3a-4b)\cos{x}+(4a+3b)\sin{x}=25\sin{x}\,.

Отсюда имеем систему \begin{cases}3a-4b=0,\\4a+3b=25.\end{cases} решение которой есть a=4,~b=3 и, следовательно, y_{\text{ch.n}}= e^x(4\cos{x}+3\sin{x}). Общее решение данного уравнения


y(x)=(C_1+C_2)e^{3x}+(4\cos{x}+3\sin{x})e^x.



Пример 8. Найти общее решение уравнения y''+2y'+5y=e^{-x}\cos2x.


Решение. Характеристическое уравнение \lambda^2+2\lambda+5=0 имеет корн и \lambda_{1,2}=-1\pm2i, так что


y_{\text{o.o}}= (C_1\cos2x+C_2\sin2x)e^{-x}.

Так как число \alpha+i\beta=-1+2i является простым корнем характеристического уравнения, то y_{\text{ch.n}} надо искать в виде (см. табл. I, случай IV (2))


y_{\text{ch.n}}= x(A\cos2x+B\sin2x)e^{-x},

тогда

\begin{aligned} y'_{\text{ch.n}}&= e^{-x}\Bigl[(A-Ax+2Bx)\cos2x+(B-Bx-2Ax)\sin2x\Bigr],\\ y''_{\text{ch.n}}&= e^{-x}\Bigl[(-2A-3Ax+4B+2Bx)\cos2x+(-2B-3Bx-4A-2Ax)\sin2x\Bigr]. \end{aligned}

Подставляя выражения для y_{\text{ch.n}} и ее производных в исходное уравнение и сокращая на e^{-x}, будем иметь -4A\sin2x+4B\cos2x=\cos2x, откуда A=0,~B=\frac{1}{4} и, значит, y_{\text{ch.n}}=\frac{x}{4}e^{-x}\sin2x. Общее решение данного уравнения будет


y(x)=(C_1\cos2x+C_2\sin2x)e^{-x}+\frac{x}{4}e^{-x}\sin2x\,.



Принцип суперпозиции


При нахождении частных решений линейных неоднородных уравнений удобно пользоваться следующей теоремой.


Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если y_k(x) есть решение уравнения


a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y=f_k(x), \quad k=1,2,\ldots,m,

то функция y(x)=\sum_{k=1}^{m}y_k(x) является решением уравнения


a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y=\sum_{k=1}^{m}f_k(x).

Пример 9. Решить уравнение

y''-6y'+9y=4e^x-16e^{3x}.
(14)

▼ Решение

Характеристическое уравнение \lambda^2-6\lambda+9=0 имеет корни \lambda_{1,3}=3, а поэтому общим решением y_{\text{o.o}} соответствующего однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}.

Для нахождения частного решения y_{\text{ch.n}} уравнения (14) найдем частные решения двух уравнений


y''-6y'+9y=4e^x,
(15)

y''-6y'+9y=-16e^{3x}.
(16)

Уравнение (15) имеет частное решение y_1 вида y_1=Ae^x (см. табл. 1, случай II (1)). Подставляя выражение для y_1 в уравнение (15), найдем A=1, так что y_1=e^x. Частное решение уравнения (16) ищем в виде y_2=Bx^2e^{3x} (см. табл. 1, случай II (2)). Находим y_2=-8x^2e^{3x}.


В силу принципа суперпозиции решений частное решение y_{\text{ch.n}} данного уравнения будет равно сумме частных решений y_1 и y_2 уравнений (15) и (16)


y_{\text{ch.n}}=y_1+y_2=e^x-8x^2e^{3x}.

Общее решение уравнения (14) есть y=(C_1+C_2x)e^{3x}+e^x-8x^2e^{3x}.


Пример 10. Решить уравнение

y'''-2y''+2y'=4\cos{x}\cos3x+6\sin^2x\,.
(17)

▼ Решение

Используя известные тригонометрические тождества, преобразуем правую часть уравнения (17) к "стандартному" виду


4\cos{x}\cos3x+6\sin^2x=2\cos4x-\cos2x+3.

Исходное уравнение (17) запишется теперь так:


y'''-2y''+2y'=2\cos4x-\cos2x+3.
(18)

Общим решением однородного уравнения y'''-2y''+2y'=0 будет y_{\text{o.o}}=C_1+(C_1\cos{x}+C_2\sin{x})e^x.


Для отыскания частного уравнения (18) используем принцип суперпозиции. Для этого найдем частные решения трех уравнений:


\begin{aligned}y'''-2y''+2y'&=2\cos4x,\\ y'''-2y''+2y'&=-\cos2x,\\ y'''-2y''+2y'&=3.\end{aligned}

Используя метод подбора, найдем частные решения y_1,\,y_2 и y_3 данных уравнений:


y_1=\frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)\!, \quad y_2=\frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)\!, \quad y_3=\frac{3}{2}x.

В силу принципа суперпозиции частное решение неоднородного уравнения (8)


y_{\text{ch.n}}= \frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)+\frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)+\frac{3}{2}x.

Общее решение исходного уравнения


y=C_1+(C_2\cos{x}+C_3\sin{x})e^x+ \frac{1}{65}\!\left(\cos4x-\frac{7}{4}\sin4x\right)+ \frac{1}{10}\!\left(\frac{1}{2}\sin2x-\cos2x\right)+ \frac{3}{2}x.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved