Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Обратная матрица: определение, существование и единственность
ОглавлениеЛинейная алгебра

Обратная матрица: определение, существование и единственность


Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.


Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица порядка [math]n[/math]. Матрица [math]A^{-1}[/math], удовлетворяющая вместе с заданной матрицей [math]A[/math] равенствам:


[math]A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E,[/math]

называется обратной. Матрицу [math]A[/math] называют обратимой, если для нее существует обратная, в противном случае — необратимой.

Из определения следует, что если обратная матрица [math]A^{-1}[/math] существует, то она квадратная того же порядка, что и [math]A[/math]. Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы [math]A[/math] равен нулю [math](\det{A}=0)[/math], то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы [math]E=A^{-1}A[/math] получаем противоречие


[math]\det{E}=\det(A^{-1}\cdot A)=\det{A^{-1}}\det{A}=\det{A^{-1}}\cdot0=0[/math]

так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица [math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}[/math], определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:


[math]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot\! \begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{1n}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}= \frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+},[/math]
(4.1)

где [math]A^{+}[/math] — матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы [math]A[/math].


Матрица [math]A^{+}[/math] называется присоединенной матрицей по отношению к матрице [math]A[/math].


В самом деле, матрица [math]\frac{1}{\det{A}}\,A^{+}[/math] существует при условии [math]\det{A}\ne0[/math]. Надо показать, что она обратная к [math]A[/math], т.е. удовлетворяет двум условиям:


[math]\begin{aligned}\mathsf{1)}&~A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)=E;\\[5pt] \mathsf{2)}&~ \!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)\!\cdot A=E.\end{aligned}[/math]


Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что [math]AA^{+}=\det{A}\cdot E[/math]. Поэтому


[math]A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)= \frac{1}{\det{A}}\cdot AA^{+}= \frac{1}{\det{A}}\cdot \det{A}\cdot E=E,[/math]

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии [math]\det{A}\ne0[/math] матрица [math]A[/math] имеет обратную


[math]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.[/math]

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы [math]A^{-1}[/math] существует еще одна обратная матрица [math]B\,(B\ne A^{-1})[/math] такая, что [math]AB=E[/math]. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу [math]A^{-1}[/math], получаем [math]\underbrace{A^{-1}AB}_{E}=A^{-1}E[/math]. Отсюда [math]B=A^{-1}[/math], что противоречит предположению [math]B\ne A^{-1}[/math]. Следовательно, обратная матрица единственная.




Замечания 4.1


1. Из определения следует, что матрицы [math]A[/math] и [math]A^{-1}[/math] перестановочны.


2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:


[math]\Bigl[\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn})\Bigr]^{-1}= \operatorname{diag}\!\left(\frac{1}{a_{11}},\,\frac{1}{a_{22}},\,\ldots,\,\frac{1}{a_{nn}}\right)\!.[/math]

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.


4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).




Свойства обратной матрицы


Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:


[math]\begin{aligned}\bold{1.}&~~ (A^{-1})^{-1}=A\,;\\[3pt] \bold{2.}&~~ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,;\\[3pt] \bold{3.}&~~ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\,;\\[3pt] \bold{4.}&~~ \det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}\,;\\[3pt] \bold{5.}&~~ E^{-1}=E\,. \end{aligned}[/math]


если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.

Докажем свойство 2: если произведение [math]AB[/math] невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то [math](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/math].


Действительно, определитель произведения матриц [math]AB[/math] не равен нулю, так как


[math]\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}[/math], где [math]\det{A}\ne0,~\det{B}\ne0[/math]

Следовательно, обратная матрица [math](AB)^{-1}[/math] существует и единственна. Покажем по определению, что матрица [math]B^{-1}A^{-1}[/math] является обратной по отношению к матрице [math]AB[/math]. Действительно:


[math]\begin{gathered} (A\cdot B)\cdot(B^{-1}\cdot A^{-1})= A\cdot\underbrace{(B\cdot B^{-1})}_{E}\cdot A^{-1}= A\cdot A^{-1}=E;\\[5pt] (B^{-1}\cdot A^{-1})\cdot (A\cdot B)=B^{-1}\cdot \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{E}\cdot B= B^{-1}\cdot B=E.\end{gathered}[/math]

Из единственности обратной матрицы следует равенство [math](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/math]. Второе свойство доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства.


Замечания 4.2


1. Для комплексной матрицы справедливо равенство, аналогичное свойству 3:


[math](A^{\ast})^{-1}=(A^{-1})^{\ast}[/math], где [math]\ast[/math] — операция сопряжения матриц.

2. Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степень матрицы. Для невырожденной матрицы [math]A[/math] и любого натурального числа [math]n[/math] определим [math]A^{-n}=(A^{-1})^{n}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved