Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Области целостности в теории колец

Области целостности в теории колец


Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности.


Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем.


Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относительно умножения. Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого a\ne\bold{0} существует единственный x, такой, что a\cdot x=\bold{1}.


Фиксируем произвольный элемент a\ne\bold{0} и определяем отображение f_a множества всех ненулевых элементов в себя по формуле f_a(x)=a\cdot x (a\cdot x\ne\bold{0} в области целостности при a\ne\bold{0} и x\ne\bold{0}). Отображение f_a является инъекцией, поскольку из равенства a\cdot x=a\cdot y вытекает равенство a\cdot(x-y)= \bold{0}, откуда ввиду отсутствия делителей нуля x-y=\bold{0} и x=y. Так как носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, f_a также и биекция. Поэтому для любого y существует единственный элемент x, такой, что y=a\cdot x. В частности, при y=\bold{1} равенство a\cdot x=\bold{1} выполнено для некоторого однозначно определенного x, то есть x=a^{-1}.




Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем.


Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим кольцо \mathbb{Z}_p вычетов по модулю p.


Следствие 2.2. Кольцо \mathbb{Z}_p вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p — простое число.


Пусть \mathbb{Z}_p является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа k и l 0<k,~ l\leqslant p-1, что p=k\cdot l. Поскольку в этом случае k\cdot l=0\pmod{p}, по крайней мере числа k и l являются в кольце \mathbb{Z}_p делителями нуля и \mathbb{Z}_p — не поле. Следовательно, число p не может быть составным.


Пусть p — простое число. Предположим, что элементы m и n кольца \mathbb{Z}_p будут делителями нуля, т.е. m\cdot n=0\pmod{p}. При простом p равенство произведения m\cdot n нулю по модулю p означает, что либо m делится на p, либо n делится на p, т.е. либо m=0\pmod{p}, либо n=0\pmod{p}. Учитывая неравенства 0\leqslant m\leqslant p-1 и 0 \leqslant n \leqslant p-1, заключаем, что либо m=0, либо n=0. Таким образом, при простом p делителей нуля нет и кольцо \mathbb{Z}_p, как конечная область целостности, является полем.




Мультипликативная группа вычетов по модулю


Мультипликативную группу поля \mathbb{Z}_p вычетов по модулю p обозначают \mathbb{Z}_p^{\ast} и называют мультипликативной группой вычетов по модулю p.


Для произвольного p легко видеть, что ненулевые элементы m и n кольца \mathbb{Z}_p будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение m\cdot n делится на p (т.е. m\cdot n=0\pmod{p}). Например, в кольце \mathbb{Z}_{12} делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.


Замечание 2.3. Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число p, для всякого ненулевого m<p найдется единственное ненулевое n<p, такое, что mn=1\pmod{p}. Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля \mathbb{Z}_p есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применения общей алгебры к теории чисел.




Пример 2.14. В заключение приведем "таблицу сложения" (табл. 2.1) и "таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля \mathbb{Z}_5.


\begin{aligned} \mathit{Table~2.1}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \oplus_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\ 1&1&2&3&4&0\\ 2&2&3&4&0&1\\ 3&3&4&0&1&2\\ 4&4&0&1&2&3\\\hline \end{array}&\end{aligned} \qquad\qquad \begin{aligned} \mathit{Table~2.2}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \odot_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&2&3&4\\ 2&0&2&4&1&3\\ 3&0&3&1&4&2\\ 4&0&4&3&2&1\\\hline \end{array}& \end{aligned}

Таблицы, подобные приведенным выше, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: 4=-1,~ 2=3^{-1},~ 4=4^{-1} и т.п. Но ни о каких "отрицательных" числах и ни о каких "дробях" тут речи нет, поскольку рассматриваются другие объекты — остатки при делении на 5. Просто равенство 4=-1 означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вычетов по модулю 5: 4\oplus_{5}1=0. Аналогично по умножению — в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как 3\odot_{5}2=1, а элемент 4 обратен к себе самому.


Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы линейных алгебраических уравнений в поле \mathbb{Z}_5. При записи уравнений будем опускать знак ©5 умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему


\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 2x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 4x_3 &=3,\\ 4x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 x_3 &=0, \end{aligned}\right.

используя метод Гаусса. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим


(3 \oplus_5 2)x_1 \oplus_5 (3 \odot_5 2 \oplus_5 2)x_2 \oplus_5 (3 \odot_5 3 \oplus_5 4)x_3= 3 \oplus_5 3.

Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем


0 \odot_5 x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 3x_3=1.

Прибавив к третьей строке первую, получим
(1 \oplus_5 4)x_1 \oplus_5 (2 \oplus_5 3)x_2 \oplus_5 (3 \oplus_5 1)x_3=1, откуда 4x_3=1.
Система свелась к виду
\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 3x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 4x_3 &=1. \end{aligned}\right.

Из последнего уравнения находим x_3= 4^{-1} \odot_5 1= 4 \odot_5 1=4. Подставив x_3=4 во второе уравнение, будем иметь


3x_2 \oplus_5 3 \odot_5 4=1, то есть 3x_2=1 \oplus_5 (-2)=-1=4. Отсюда x_2=3^{-1} \odot_5 4= 2 \odot_5 4=3.

Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим


x_1 \oplus_5 2 \odot_5 3 \oplus_5 3 \odot_5 4=1, откуда x_1 \oplus_5 1 \oplus_5 2=1 и x_1=-2=3.

Таким образом, x_1=3,~x_2=3 и x_3=4 — решение системы линейных уравнений.


Заметим в заключение, что известная техника решения систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved