Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Области целостности в теории колец

Области целостности в теории колец


Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности.


Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем.


Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относительно умножения. Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого [math]a\ne\bold{0}[/math] существует единственный [math]x[/math], такой, что [math]a\cdot x=\bold{1}[/math].


Фиксируем произвольный элемент [math]a\ne\bold{0}[/math] и определяем отображение [math]f_a[/math] множества всех ненулевых элементов в себя по формуле [math]f_a(x)=a\cdot x[/math] ([math]a\cdot x\ne\bold{0}[/math] в области целостности при [math]a\ne\bold{0}[/math] и [math]x\ne\bold{0}[/math]). Отображение [math]f_a[/math] является инъекцией, поскольку из равенства [math]a\cdot x=a\cdot y[/math] вытекает равенство [math]a\cdot(x-y)= \bold{0}[/math], откуда ввиду отсутствия делителей нуля [math]x-y=\bold{0}[/math] и [math]x=y[/math]. Так как носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, [math]f_a[/math] также и биекция. Поэтому для любого [math]y[/math] существует единственный элемент [math]x[/math], такой, что [math]y=a\cdot x[/math]. В частности, при [math]y=\bold{1}[/math] равенство [math]a\cdot x=\bold{1}[/math] выполнено для некоторого однозначно определенного [math]x[/math], то есть [math]x=a^{-1}[/math].




Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем.


Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим кольцо [math]\mathbb{Z}_p[/math] вычетов по модулю [math]p[/math].


Следствие 2.2. Кольцо [math]\mathbb{Z}_p[/math] вычетов по модулю [math]p[/math] является полем тогда и только тогда, когда [math]p[/math] — простое число.


Пусть [math]\mathbb{Z}_p[/math] является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа [math]k[/math] и [math]l[/math] [math]0<k,~ l\leqslant p-1[/math], что [math]p=k\cdot l[/math]. Поскольку в этом случае [math]k\cdot l=0\pmod{p}[/math], по крайней мере числа [math]k[/math] и [math]l[/math] являются в кольце [math]\mathbb{Z}_p[/math] делителями нуля и [math]\mathbb{Z}_p[/math] — не поле. Следовательно, число [math]p[/math] не может быть составным.


Пусть [math]p[/math] — простое число. Предположим, что элементы [math]m[/math] и [math]n[/math] кольца [math]\mathbb{Z}_p[/math] будут делителями нуля, т.е. [math]m\cdot n=0\pmod{p}[/math]. При простом [math]p[/math] равенство произведения [math]m\cdot n[/math] нулю по модулю [math]p[/math] означает, что либо [math]m[/math] делится на [math]p[/math], либо [math]n[/math] делится на [math]p[/math], т.е. либо [math]m=0\pmod{p}[/math], либо [math]n=0\pmod{p}[/math]. Учитывая неравенства [math]0\leqslant m\leqslant p-1[/math] и [math]0 \leqslant n \leqslant p-1[/math], заключаем, что либо [math]m=0[/math], либо [math]n=0[/math]. Таким образом, при простом [math]p[/math] делителей нуля нет и кольцо [math]\mathbb{Z}_p[/math], как конечная область целостности, является полем.




Мультипликативная группа вычетов по модулю


Мультипликативную группу поля [math]\mathbb{Z}_p[/math] вычетов по модулю [math]p[/math] обозначают [math]\mathbb{Z}_p^{\ast}[/math] и называют мультипликативной группой вычетов по модулю [math]p[/math].


Для произвольного [math]p[/math] легко видеть, что ненулевые элементы [math]m[/math] и [math]n[/math] кольца [math]\mathbb{Z}_p[/math] будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение [math]m\cdot n[/math] делится на [math]p[/math] (т.е. [math]m\cdot n=0\pmod{p}[/math]). Например, в кольце [math]\mathbb{Z}_{12}[/math] делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.


[/b]Замечание 2.3.[/b] Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число [math]p[/math], для всякого ненулевого [math]m<p[/math] найдется единственное ненулевое [math]n<p[/math], такое, что [math]mn=1\pmod{p}[/math]. Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля [math]\mathbb{Z}_p[/math] есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применения общей алгебры к теории чисел.




Пример 2.14. В заключение приведем "таблицу сложения" (табл. 2.1) и "таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля [math]\mathbb{Z}_5[/math].


[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{6}{r}{\mathit{Table~2.1}}\\\hline \oplus_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\ 1&1&2&3&4&0\\ 2&2&3&4&0&1\\ 3&3&4&0&1&2\\ 4&4&0&1&2&3\\\hline \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{6}{r}{\mathit{Table~2.2}}\\\hline \odot_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&2&3&4\\ 2&0&2&4&1&3\\ 3&0&3&1&4&2\\ 4&0&4&3&2&1\\\hline \end{array}[/math]

Таблицы, подобные приведенным выше, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: [math]4=-1,~ 2=3^{-1},~ 4=4^{-1}[/math] и т.п. Но ни о каких "отрицательных" числах и ни о каких "дробях" тут речи нет, поскольку рассматриваются другие объекты — остатки при делении на 5. Просто равенство [math]4=-1[/math] означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вычетов по модулю 5: [math]4\oplus_{5}1=0[/math]. Аналогично по умножению — в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как [math]3\odot_{5}2=1[/math], а элемент 4 обратен к себе самому.


Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы линейных алгебраических уравнений в поле [math]\mathbb{Z}_5[/math]. При записи уравнений будем опускать знак ©5 умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему


[math]\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 2x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 4x_3 &=3,\\ 4x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 x_3 &=0, \end{aligned}\right.[/math]

используя метод Гаусса. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим

[math](3 \oplus_5 2)x_1 \oplus_5 (3 \odor_5 2 \oplus_5 2)x_2 \oplus_5 (3 \odot_5 3 \oplus_5 4)x_3= 3 \oplus_5 3.[/math]

Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем


[math]0 \odot_5 x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 3x_3=1.[/math]

Прибавив к третьей строке первую, получим
[math](1 \oplus_5 4)x_1 \oplus_5 (2 \oplus_5 3)x_2 \oplus_5 (3 \oplus_5 1)x_3=1,[/math] откуда [math]4x_3=1[/math].
Система свелась к виду
[math]\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 3x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 4x_3 &=1. \end{aligned}\right.[/math]

Из последнего уравнения находим [math]x_3= 4^{-1} \odot_5 1= 4 \odot_5 1=4[/math]. Подставив [math]x_3=4[/math] во второе уравнение, будем иметь


[math]3x_2 \oplus_5 3 \odot_5 4=1[/math], то есть [math]3x_2=1 \oplus_5 (-2)=-1=4[/math]. Отсюда [math]x_2=3^{-1} \odot_5 4= 2 \odot_5 4=3[/math].

Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим

[math]x_1 \oplus_5 2 \odot_5 3 \oplus_5 3 \odot_5 4=1[/math], откуда [math]x_1 \oplus_5 1 \oplus_5 2=1[/math] и [math]x_1=-2=3[/math].

Таким образом, [math]x_1=3,~x_2=3[/math] и [math]x_3=4[/math] — решение системы линейных уравнений.


Заметим в заключение, что известная техника решения систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved