Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Объём тела вращения

Объём тела вращения


Пусть [math]T[/math] — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми [math]x=a[/math] и [math]x=b[/math] и графиком непрерывной функции [math]y=f(x)[/math].


Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой


[math]V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.[/math]

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве [math]\Pi[/math] выберем плоскость [math]Oyz[/math], перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии [math]x[/math] от плоскости [math]Oyz[/math], является кругом радиуса [math]f(x)[/math] и его площадь [math]S(x)[/math] равна [math]\pi f^2(x)[/math] (рис. 46). Поэтому функция [math]S(x)[/math] непрерывна в силу непрерывности [math]f(x)[/math]. Далее, если [math]S(x_1)\leqslant S(x_2)[/math], то это значит, что [math]f(x_1)\leqslant f(x_2)[/math]. Но проекциями сечений на плоскость [math]Oyz[/math] являются круги радиусов [math]f(x_1)[/math] и [math]f(x_2)[/math] с центром [math]O[/math], и из [math]f(x_1)\leqslant f(x_2)[/math] вытекает, что круг радиуса [math]f(x_1)[/math] содержится в круге радиуса [math]f(x_2)[/math].


Чертёж тела вращения вокруг оси абсцисс

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле


[math]V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.[/math]

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми [math]y_1=f_1(x),[/math] [math]y_2=f_2(x)[/math], то


[math]V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.[/math]

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.


В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.


Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок [math][x_k;x_{k+1}][/math]. Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров


[math]\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).[/math]

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:


[math]2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.[/math]

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:


[math]V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.[/math]
(4)



Пример 4. Найдем объем шара радиуса [math]R[/math].


Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса [math]R[/math] с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси [math]Ox[/math], образует шар. Уравнение окружности имеет вид [math]x^2+y^2=R^2[/math], поэтому [math]y^2=R^2-x^2[/math]. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема


[math]\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.[/math]

Следовательно, объем всего шара равен [math]\frac{4}{3}\pi R^3[/math].




Конус, образованный вращением прямой вокруг оси абсцисс

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого [math]h[/math] и радиус основания [math]r[/math].


Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось [math]Ox[/math] совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой [math]OA[/math] запишется в виде [math]y=\frac{r}{h}\,x[/math].


Пользуясь формулой (3), получим:


[math]V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.[/math]



Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды [math]\begin{cases}x=a\cos^3t\,,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases}[/math] (рис. 48).


Объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной [math]t[/math] пределы интегрирования.


Если [math]x=a\cos^3t=0[/math], то [math]t=\frac{\pi}{2}[/math], а если [math]x=a\cos^3t=a[/math], то [math]t=0[/math]. Учитывая, что [math]y^2=a^2\sin^6t[/math] и [math]dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt[/math], получаем:


[math]V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.[/math]

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет [math]\frac{32\pi}{105}\,a^3[/math].




Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды [math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases}[/math].


Решение. Воспользуемся формулой (4): [math]V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx[/math], и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной [math]t[/math] от [math]0[/math] до [math]2\pi[/math]. Таким образом,


[math]\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left( \frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left( 2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved