Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы


Задача восстановления функции по ее производной


В дифференциальном исчислении рассматривались задачи, решение которых требовало отыскания производной данной функции. В ряде случаев приходится решать обратную задачу: по заданной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Задачи такого рода решаются в разделе математического анализа, называемом интегральным исчислением. Методы интегрального исчисления позволяют решать задачи на вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел и другие геометрические и физические задачи.


Пример 1. Пусть скорость [math]{v}[/math] движения точки в момент времени [math]{t}[/math] равна [math]2t[/math]. Найдем выражение для координаты точки в момент времени [math]{t}[/math] (точка движется по прямой).


Решение. Известно, что [math]v=\frac{dx}{dt}[/math]. Так как в данном случае [math]\frac{dx}{dt}=2t[/math], то ответом к задаче могут быть функции [math]x=t^2;[/math] [math]x=t^2+3[/math] и т.д.; в общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде [math]x=t^2+C[/math], где [math]C[/math] — произвольная постоянная.


Из приведенного примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить определенный закон движения, необходимо знать, например, положение точки в момент времени [math]t=0[/math]. Если при [math]t=0[/math] имеем [math]x=0[/math], то [math]0=0+C[/math], и потому [math]C=0[/math].


Перемещение точки за промежуток времени [math][a;b][/math] равно [math](b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2[/math], и, следовательно, оно не зависит от [math]C[/math].




Первообразная функция


Определение 1. Пусть на некотором промежутке [math]X[/math] задана функция [math]y=f(x)[/math]. Функция [math]y=F(x)[/math] называется первообразной для [math]f(x)[/math] на этом промежутке, если для всех [math]x\in X[/math]


[math]F'(x)=f(x).[/math]

Термин "первообразная" был введен французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).


Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной из них.


Теорема 1. Если функция [math]y=f(x)[/math] имеет на промежутке [math]X[/math] первообразную [math]F(x)[/math], то и все функции вида [math]F(x)+C[/math] будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная [math]\Phi(x)[/math] для функции [math]y=f(x),\,x\in X[/math], может быть представлена в виде [math]\Phi(x)+C[/math], где [math]F(x)[/math] — одна из первообразных функций, а [math]C[/math] — произвольная постоянная.


Доказательство. По определению первообразной имеем [math]F'(x)=f(x)[/math]. Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем:


[math](F(x)+C)'=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).[/math]

Это и означает, что [math]F(x)+C[/math] является первообразной для [math]y=f(x)[/math] на промежутке [math]X[/math].


Покажем теперь, что если функция [math]y=f(x)[/math] задана на промежутке [math]F[/math] и [math]F(x)[/math] — одна из первообразных для [math]f(x)[/math], то любая первообразная [math]\Phi(x)[/math] может быть представлена в виде [math]\Phi(x)=F(x)+C[/math].


В самом деле, по определению первообразной имеем: [math]\Phi'(x)=f(x)[/math] и [math]F'(x)=f(x)[/math]. Но две функции, имеющие на промежутке [math]X[/math] равные производные, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Значит, [math]\Phi(x)=F(x)+C[/math], что и требовалось доказать.




Определения неопределенного и определенного интегралов


Определение 2. Множество всех первообразных для функции [math]y=f(x)[/math] на промежутке [math]X[/math] называется неопределенным интегралом для [math]f(x)[/math] и обозначается [math]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/math].


Функцию [math]y=f(x)[/math] называют подынтегральной функцией для [math]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/math], а произведение [math]f(x)\,dx[/math]подынтегральным выражением.


Таким образом, [math]\int f(x)\,dx=\{F(x)+C\mid C\in \mathbb{R}\}[/math]. На практике принята более короткая запись: [math]\int f(x)\,dx=F(x)+C[/math].


Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.


Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках [math]b[/math] и [math]a[/math]. Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной [math]C[/math]. В самом деле, если [math]\Phi(x)=F(x)+C[/math], то


[math]\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).[/math]

Итак, [math]\Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a)[/math], что и требовалось доказать.


Поскольку разность значений первообразной в точках [math]b[/math] и [math]a[/math] не зависит от того, какую именно первообразную функции [math]y=f(x)[/math] мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку [math][a;b][/math].


Определение 3. Пусть функция [math]y=f(x)[/math] задана на отрезке [math][a;b][/math] и имеет на нем первообразную [math]y=F(x)[/math]. Разность [math]F(b)-F(a)[/math] называют определенным интегралом функции [math]f(x)[/math] по отрезку [math][a;b][/math] и обозначают [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}[/math]. Итак,


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).[/math]

Разность [math]F(b)-F(a)[/math] записывают в виде [math]\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}[/math], тогда [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}}[/math]. Числа [math]a[/math] и [math]b[/math] называют пределами интегрирования.


Например, [math]y=\frac{x^3}{3}[/math] одна из первообразных для функции [math]y=x^2[/math]. Поэтому


[math]\int\limits_{a}^{b}x^2\,dx=\left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{a}^{b}=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}\,.[/math]

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть [math]F(x)[/math] является первообразной для [math]f(x)[/math]. Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции [math]y=F(x)[/math] равен [math]F'(x)[/math], т. е. [math]f(x)[/math]. Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: зная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.


Определенный интеграл [math]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}[/math] показывает изменение ординаты каждой из кривых [math]y=F(x)+C[/math] при переходе от точки [math]a[/math] к точке [math]b[/math]. Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).


Графики первообразных и интегральных кривых

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.




Задача 1. Пусть точка [math]M[/math] движется по прямой и пусть известна скорость [math]v=v(t)[/math] движения этой точки в любой момент [math]{x}[/math] времени [math]{t}[/math] промежутка [math][a;b][/math]. Найдем перемещение [math]{s}[/math] точки [math]M[/math] за этот промежуток времени.


Решение. Мы знаем, что если [math]x=x(t)[/math] — закон движения точки, то [math]v(t)=x'(t)[/math]. Поэтому [math]x(t)[/math] — одна из первообразных для функции [math]v=v(t)[/math]. Но перемещение [math]{s}[/math] точки [math]M[/math] за промежуток времени [math][a;b][/math] равно разности ее координат в моменты времени [math]b[/math] и [math]a[/math], т.е. равно [math]x(b)-x(a)[/math]. Иными словами, это перемещение равно разности значений первообразной для функции [math]v=v(t)[/math] в моменты времени [math]b[/math] и [math]a[/math]. Таким образом, [math]s=\textstyle{\int\limits_{a}^{b}v(t)\,dt}[/math].


Так, например, скорость тела при свободном падении выражают формулой [math]v=gt[/math]. В этом случае путь, пройденный падающим телом за [math]b[/math] секунд с начала падения, вычисляется так:


[math]s=\int\limits_{0}^{b}gt\,dt= \left.{\frac{gt^2}{2} }\right|_{0}^{b}= \frac{gb^2}{2}\,.[/math]



Задача 2. Найдем площадь криволинейной трапеции [math]aA\,Bb[/math], ограниченной осью абсцисс, прямыми [math]x=a[/math] и [math]x=b[/math] и графиком непрерывной на [math][a;b][/math] функции [math]y=f(x)[/math], принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения (рис. 3).


Площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b

Прежде чем переходить к решению задачи, заметим, что здесь мы используем наглядное представление о площади плоской фигуры (более детально вопрос об определении площади).


Решение. Обозначим через [math]S(x)[/math] площадь криволинейной трапеции [math]aA\,Nx\,(a<x<b)[/math]. Докажем, что [math]S'(x)=f(x)[/math].


Дадим абсциссе [math]x[/math] приращение [math]\Delta x[/math] (положим для определенности [math]\Delta x>0[/math]), тогда площадь получит приращение [math]\Delta S[/math]. Обозначим через [math]m[/math] наименьшее значение функции [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][a;b][/math], а через [math]M[/math] — наибольшее значение той же функции на том же отрезке. Ясно, что тогда [math]m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x[/math], а значит, [math]m\leqslant\frac{\Delta S}{\Delta x}\leqslant M[/math].


Если [math]\Delta x\to 0[/math], то в силу непрерывности функции [math]y=f(x)[/math] будем иметь:


[math]\lim_{\Delta x\to0}m=\lim_{\Delta x\to0}=f(x).[/math]

Значит, существует и [math]\lim\frac{\Delta S}{\Delta x}[/math], причем этот предел равен [math]f(x)[/math]. Таким образом, [math]S'(x)=f(x)[/math].


Полученное равенство означает, что [math]S(x)[/math] — одна из первообразных для функции [math]y=f(x)[/math]. Поскольку прямая [math]x=a[/math] "отсекает" от трапеции [math]aABb[/math] фигуру нулевой площади, то [math]S(a)=0[/math]. С другой стороны, [math]S(b)[/math] — площадь всей криволинейной трапеции [math]aABb[/math]. Значит, искомая площадь [math]S[/math] равна [math](S(b)-S(a))[/math], т.е. равна разности значений одной из первообразных для функции [math]y=f(x)[/math] в точках [math]b[/math] и [math]a[/math]. Это означает, что


[math]\boldsymbol{S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.}[/math]



Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды [math]y=\sin{x}[/math] (рис. 4).


Площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды

Решение. Искомая площадь [math]S[/math] выражается формулой [math]\textstyle{S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx}[/math]. Одной из первообразных для функции [math]y=\sin{x}[/math] является [math](-\cos{x})[/math], так как [math](-\cos{x})'=\sin{x})[/math]. Значит,


[math]S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi}= -(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2.[/math]

В заключение данного пункта остановимся на двух свойствах неопределенного интеграла, легко получающихся из определения.


1°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:


[math]d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x).[/math]

Доказательство. Так как [math]\textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C}[/math], где [math]F'(x)=f(x)[/math], то [math]\textstyle{\left(\int f(x)\,dx\right)'= \bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)+C'=f(x)}[/math].


Но тогда [math]\textstyle{d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= \left(\int f(x)\,dx\right)'dx=f(x)\,dx}[/math].


Это утверждение часто используется для проверки результата интегрирования. Пусть, например, нужно показать, что


[math]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C\quad (C=\text{const}).[/math]

Дифференцируя правую часть равенства, получим подынтегральную функцию:


[math]\left(\frac{5}{2}\,x^2+C\right)'=\frac{5}{2}\cdot 2x+0=5x[/math]. Значит, [math]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C[/math].

2°. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:


[math]\int F'(x)\,dx=F(x)+C.[/math]

Доказательство. Так как [math]\bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)[/math], то по определению неопределенного интеграла [math]\textstyle{\int F'(x)\,dx=F(x)+C}[/math], что и требовалось доказать.


Учитывая, что [math]F'(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr)[/math], свойство 2° можно записать и так: [math]\textstyle{\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C}[/math].




Таблица основных интегралов


Пользуясь свойством 1° из предыдущего пункта, можно по таблице производных составить таблицу основных интегралов. Например, так как


[math](\sin{x})'=\cos{x}[/math], то [math]\int\cos{x}\,dx=\sin{x}+C.[/math].

Докажем, что [math]\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/math]. В самом деле, если [math]x>0[/math], то [math]|x|=x[/math] и, следовательно, [math]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln{x}\bigr)'=\frac{1}{x}\,[/math].


Если [math]x<0[/math], то [math]|x|=-x[/math] и, следовательно, [math]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln(-x)\bigr)'= \frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}[/math].


Итак, [math]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\frac{1}{x}[/math], а значит, [math]\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/math].


Эту формулу можно применять или на открытом луче [math](0;+\infty)[/math], или на открытом луче [math](-\infty;0)[/math].


Таблица основных интегралов


[math]\begin{aligned}&\boldsymbol{1.}\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol{2.}\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol{3.}\quad \int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol{4.}\quad \int \frac{dx}{x}=\ln{x}+C;\\ &\boldsymbol{5.}\quad \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C; &\quad &\boldsymbol{6.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C;\\ &\boldsymbol{7.}\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C; &\quad &\boldsymbol{8.}\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol{9.}\quad \int \sin{x}\,dx=-\cos{x}+C; &\quad &\boldsymbol{10.}\quad \int \cos{x}\,dx=\sin{x}+C;\\ &\boldsymbol{11.}\quad \int \frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C; &\quad &\boldsymbol{12.}\quad \int \frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C;\\ &\boldsymbol{13.}\quad \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\! \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C; &\quad &\boldsymbol{14.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \bigl|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\bigr|+C.\\ \end{aligned}[/math]


Заметим, что переменную [math]x[/math], входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы [math]\textstyle{\int\cos{x}\,dx= \sin{x}+C}[/math] можно написать [math]\textstyle{\int\cos{t}\,dt= \sin{t}+C}[/math] и т.д.




Пример 3. Вычислим неопределённые интегралы от различных дробей:


[math]\mathsf{1)}~\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\,;\quad \mathsf{2)}~\int\frac{dx}{x^2+16}\,;\quad \mathsf{3)}~\int\frac{dx}{x^2-16}\,;\quad \mathsf{4)}~\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}\,;\quad \mathsf{5)}~\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}\,.[/math]

Решение. 1) Воспользуемся формулой 3 из таблицы интегралов:


[math]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}= \int x^{-1/3}\,dx= \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1}+C= \frac{3}{2}\,x^{2/3}+C;[/math]

2) Воспользуемся формулой 5: [math]\int\frac{dx}{x^2+16}= \int\frac{dx}{x^2+4^2}=\frac{1}{4} \operatorname{arctg}\frac{x}{2}+C;[/math].


3) Воспользуемся формулой 12: [math]\int\frac{dx}{x^2-16}= \int\frac{dx}{x^2-4^2}= \frac{1}{8}\ln\!\left|\frac{x-4}{x+4}\right|+C;[/math].


4) Воспользуемся формулой 6: [math]\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}= \int\frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2-x^2}}= \arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}+C;[/math].


5) Воспользуемся формулой 13: [math]\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}= \ln\Bigl|x+\sqrt{x^2-3}\Bigr|+C.[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved