Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы


Задача восстановления функции по ее производной


В дифференциальном исчислении рассматривались задачи, решение которых требовало отыскания производной данной функции. В ряде случаев приходится решать обратную задачу: по заданной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Задачи такого рода решаются в разделе математического анализа, называемом интегральным исчислением. Методы интегрального исчисления позволяют решать задачи на вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел и другие геометрические и физические задачи.


Пример 1. Пусть скорость {v} движения точки в момент времени {t} равна 2t. Найдем выражение для координаты точки в момент времени {t} (точка движется по прямой).


Решение. Известно, что v=\frac{dx}{dt}. Так как в данном случае \frac{dx}{dt}=2t, то ответом к задаче могут быть функции x=t^2; x=t^2+3 и т.д.; в общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде x=t^2+C, где C — произвольная постоянная.


Из приведенного примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить определенный закон движения, необходимо знать, например, положение точки в момент времени t=0. Если при t=0 имеем x=0, то 0=0+C, и потому C=0.


Перемещение точки за промежуток времени [a;b] равно (b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2, и, следовательно, оно не зависит от C.




Первообразная функция


Определение 1. Пусть на некотором промежутке X задана функция y=f(x). Функция y=F(x) называется первообразной для f(x) на этом промежутке, если для всех x\in X


F'(x)=f(x).

Термин "первообразная" был введен французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).


Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной из них.


Теорема 1. Если функция y=f(x) имеет на промежутке X первообразную F(x), то и все функции вида F(x)+C будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная \Phi(x) для функции y=f(x),\,x\in X, может быть представлена в виде \Phi(x)+C, где F(x) — одна из первообразных функций, а C — произвольная постоянная.


Доказательство. По определению первообразной имеем F'(x)=f(x). Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем:


(F(x)+C)'=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).

Это и означает, что F(x)+C является первообразной для y=f(x) на промежутке X.


Покажем теперь, что если функция y=f(x) задана на промежутке F и F(x) — одна из первообразных для f(x), то любая первообразная \Phi(x) может быть представлена в виде \Phi(x)=F(x)+C.


В самом деле, по определению первообразной имеем: \Phi'(x)=f(x) и F'(x)=f(x). Но две функции, имеющие на промежутке X равные производные, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Значит, \Phi(x)=F(x)+C, что и требовалось доказать.




Определения неопределенного и определенного интегралов


Определение 2. Множество всех первообразных для функции y=f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом для f(x) и обозначается \textstyle{\int f(x)\,dx}.


Функцию y=f(x) называют подынтегральной функцией для \textstyle{\int f(x)\,dx}, а произведение f(x)\,dxподынтегральным выражением.


Таким образом, \int f(x)\,dx=\{F(x)+C\mid C\in \mathbb{R}\}. На практике принята более короткая запись: \int f(x)\,dx=F(x)+C.


Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.


Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках b и a. Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной C. В самом деле, если \Phi(x)=F(x)+C, то


\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).

Итак, \Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a), что и требовалось доказать.


Поскольку разность значений первообразной в точках b и a не зависит от того, какую именно первообразную функции y=f(x) мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку [a;b].


Определение 3. Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a;b] и имеет на нем первообразную y=F(x). Разность F(b)-F(a) называют определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b] и обозначают \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}. Итак,


\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Разность F(b)-F(a) записывают в виде \Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}, тогда \textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}}. Числа a и b называют пределами интегрирования.


Например, y=\frac{x^3}{3} одна из первообразных для функции y=x^2. Поэтому


\int\limits_{a}^{b}x^2\,dx=\left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{a}^{b}=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}\,.

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть F(x) является первообразной для f(x). Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции y=F(x) равен F'(x), т. е. f(x). Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: зная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.


Определенный интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)} показывает изменение ординаты каждой из кривых y=F(x)+C при переходе от точки a к точке b. Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).


Графики первообразных и интегральных кривых

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.




Задача 1. Пусть точка M движется по прямой и пусть известна скорость v=v(t) движения этой точки в любой момент {x} времени {t} промежутка [a;b]. Найдем перемещение {s} точки M за этот промежуток времени.


Решение. Мы знаем, что если x=x(t) — закон движения точки, то v(t)=x'(t). Поэтому x(t) — одна из первообразных для функции v=v(t). Но перемещение {s} точки M за промежуток времени [a;b] равно разности ее координат в моменты времени b и a, т.е. равно x(b)-x(a). Иными словами, это перемещение равно разности значений первообразной для функции v=v(t) в моменты времени b и a. Таким образом, s=\textstyle{\int\limits_{a}^{b}v(t)\,dt}.


Так, например, скорость тела при свободном падении выражают формулой v=gt. В этом случае путь, пройденный падающим телом за b секунд с начала падения, вычисляется так:


s=\int\limits_{0}^{b}gt\,dt= \left.{\frac{gt^2}{2} }\right|_{0}^{b}= \frac{gb^2}{2}\,.



Задача 2. Найдем площадь криволинейной трапеции aA\,Bb, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной на [a;b] функции y=f(x), принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения (рис. 3).


Площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b

Прежде чем переходить к решению задачи, заметим, что здесь мы используем наглядное представление о площади плоской фигуры (более детально вопрос об определении площади).


Решение. Обозначим через S(x) площадь криволинейной трапеции aA\,Nx\,(a<x<b). Докажем, что S'(x)=f(x).


Дадим абсциссе x приращение \Delta x (положим для определенности \Delta x>0), тогда площадь получит приращение \Delta S. Обозначим через m наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [a;b], а через M — наибольшее значение той же функции на том же отрезке. Ясно, что тогда m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x, а значит, m\leqslant\frac{\Delta S}{\Delta x}\leqslant M.


Если \Delta x\to 0, то в силу непрерывности функции y=f(x) будем иметь:


\lim_{\Delta x\to0}m=\lim_{\Delta x\to0}=f(x).

Значит, существует и \lim\frac{\Delta S}{\Delta x}, причем этот предел равен f(x). Таким образом, S'(x)=f(x).


Полученное равенство означает, что S(x) — одна из первообразных для функции y=f(x). Поскольку прямая x=a "отсекает" от трапеции aABb фигуру нулевой площади, то S(a)=0. С другой стороны, S(b) — площадь всей криволинейной трапеции aABb. Значит, искомая площадь S равна (S(b)-S(a)), т.е. равна разности значений одной из первообразных для функции y=f(x) в точках b и a. Это означает, что


\boldsymbol{S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.}



Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды y=\sin{x} (рис. 4).


Площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды

Решение. Искомая площадь S выражается формулой \textstyle{S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx}. Одной из первообразных для функции y=\sin{x} является (-\cos{x}), так как (-\cos{x})'=\sin{x}). Значит,


S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi}= -(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2.

В заключение данного пункта остановимся на двух свойствах неопределенного интеграла, легко получающихся из определения.


1°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:


d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x).

Доказательство. Так как \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C}, где F'(x)=f(x), то \textstyle{\left(\int f(x)\,dx\right)'= \bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)+C'=f(x)}.


Но тогда \textstyle{d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= \left(\int f(x)\,dx\right)'dx=f(x)\,dx}.


Это утверждение часто используется для проверки результата интегрирования. Пусть, например, нужно показать, что


\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C\quad (C=\text{const}).

Дифференцируя правую часть равенства, получим подынтегральную функцию:


\left(\frac{5}{2}\,x^2+C\right)'=\frac{5}{2}\cdot 2x+0=5x. Значит, \int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C.

2°. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:


\int F'(x)\,dx=F(x)+C.

Доказательство. Так как \bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x), то по определению неопределенного интеграла \textstyle{\int F'(x)\,dx=F(x)+C}, что и требовалось доказать.


Учитывая, что F'(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr), свойство 2° можно записать и так: \textstyle{\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C}.




Таблица основных интегралов


Пользуясь свойством 1° из предыдущего пункта, можно по таблице производных составить таблицу основных интегралов. Например, так как


(\sin{x})'=\cos{x}, то \int\cos{x}\,dx=\sin{x}+C..

Докажем, что \int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. В самом деле, если x>0, то |x|=x и, следовательно, \bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln{x}\bigr)'=\frac{1}{x}\,.


Если x<0, то |x|=-x и, следовательно, \bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln(-x)\bigr)'= \frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.


Итак, \bigl(\ln|x|\bigr)'=\frac{1}{x}, а значит, \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.


Эту формулу можно применять или на открытом луче (0;+\infty), или на открытом луче (-\infty;0).


Таблица основных интегралов


\begin{aligned}&\boldsymbol{1.}\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol{2.}\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol{3.}\quad \int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol{4.}\quad \int \frac{dx}{x}=\ln{x}+C;\\ &\boldsymbol{5.}\quad \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C; &\quad &\boldsymbol{6.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C;\\ &\boldsymbol{7.}\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C; &\quad &\boldsymbol{8.}\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol{9.}\quad \int \sin{x}\,dx=-\cos{x}+C; &\quad &\boldsymbol{10.}\quad \int \cos{x}\,dx=\sin{x}+C;\\ &\boldsymbol{11.}\quad \int \frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C; &\quad &\boldsymbol{12.}\quad \int \frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C;\\ &\boldsymbol{13.}\quad \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\! \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C; &\quad &\boldsymbol{14.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \bigl|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\bigr|+C.\\ \end{aligned}


Заметим, что переменную x, входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы \textstyle{\int\cos{x}\,dx= \sin{x}+C} можно написать \textstyle{\int\cos{t}\,dt= \sin{t}+C} и т.д.




Пример 3. Вычислим неопределённые интегралы от различных дробей:


\mathsf{1)}~\int\frac{dx}{\sqrt[\LARGE{3}]{x}}\,;\quad \mathsf{2)}~\int\frac{dx}{x^2+16}\,;\quad \mathsf{3)}~\int\frac{dx}{x^2-16}\,;\quad \mathsf{4)}~\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}\,;\quad \mathsf{5)}~\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}\,.

Решение. 1) Воспользуемся формулой 3 из таблицы интегралов:


\int\frac{dx}{\sqrt[\LARGE{3}]{x}}= \int x^{-1/3}\,dx= \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1}+C= \frac{3}{2}\,x^{2/3}+C;

2) Воспользуемся формулой 5: \int\frac{dx}{x^2+16}= \int\frac{dx}{x^2+4^2}=\frac{1}{4} \operatorname{arctg}\frac{x}{2}+C;.


3) Воспользуемся формулой 12: \int\frac{dx}{x^2-16}= \int\frac{dx}{x^2-4^2}= \frac{1}{8}\ln\!\left|\frac{x-4}{x+4}\right|+C;.


4) Воспользуемся формулой 6: \int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}= \int\frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2-x^2}}= \arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}+C;.


5) Воспользуемся формулой 13: \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}= \ln\Bigl|x+\sqrt{x^2-3}\Bigr|+C..

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved