Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции


Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции вытекает из общего необходимого и достаточного условия единственности разделяющего числа. Напомним, что если числовое множество [math]Y[/math] расположено справа от числового множества [math]X[/math], то для единственности числа, разделяющего [math]X[/math] и [math]Y[/math], необходимо и достаточно выполнение условия


[math]\forall\,\varepsilon>0\quad \exists\,x\in X~\land~ \exists\,y\in Y~~ (y-x< \varepsilon).[/math]

В нашем случае множество [math]X[/math] состоит из нижних сумм Дарбу, а множество [math]Y[/math] — из верхних сумм Дарбу. Поэтому необходимое и достаточное условие единственности числа, разделяющего эти множества, принимает вид: для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдутся верхняя сумма Дарбу [math]S_2[/math] и нижняя сумма Дарбу [math]s_1[/math] такие, что [math]S_2-s_1<\varepsilon[/math]. Эти суммы, вообще говоря, могут соответствовать различным разбиениям [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math] отрезка [math][a,b][/math]. Но ранее было показано, что если [math]P_3[/math] — совместное измельчение разбиений [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math], то выполняются неравенства [math]s\leqslant s_3,~ S_2\geqslant S_3[/math]. Поэтому из [math]S_2-s_1<\varepsilon[/math] следует [math]S_3-s_3<\varepsilon[/math].


Получаем следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.


Теорема 3. Для того чтобы ограниченная функция [math]y=f(x)[/math], заданная на отрезке [math][a,b][/math], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого [math]\varepsilon>0[/math] нашлось разбиение [math]P[/math] этого отрезка такое, что [math]S_P-s_P< \varepsilon[/math], где [math]S_P[/math] и [math]s_P[/math] — соответствующие верхняя и нижняя суммы Дарбу.


Поскольку

[math]S_P-s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)- \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)= \sum_{k=0}^{n-1}\Bigl[\bigl(M_k-m_k\bigr)\cdot\Delta x_k\Bigr],[/math]

то условие [math]S_P-s_P< \varepsilon[/math] можно записать и так:


[math]\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl[\bigl(M_k-m_k\bigr)\cdot\Delta x_k\Bigr]< \varepsilon\,.[/math]
(5)

Разность [math]M_k-m_k[/math] будем обозначать через [math]\omega_k[/math] и называть ее колебанием функции [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][x_k,x_{k+1}][/math]. Тогда неравенство (5) можно записать так:


[math]\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(\omega_k\cdot \Delta x_k\bigr)< \varepsilon\,.[/math]
(6)



Интегрируемость монотонных функций


Теорема 4. Всякая монотонная функция [math]y=f(x)[/math], заданная на отрезке [math][a,b][/math], интегрируема на этом отрезке.


Доказательство. Возьмем произвольное [math]\varepsilon>0[/math]. Предположим для определенности, что функция возрастает на отрезке [math][a,b][/math]. Тогда для любого разбиения


[math]a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k<x_{k+1}<\ldots<x_n=b[/math]

этого отрезка наибольшее значение [math]M_k[/math] функции [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][x_k,x_{k+1}][/math] равно [math]f(x_{k+1})[/math], а наименьшее значение [math]m_k[/math] равно [math]f(x_k)[/math] (рис. 8).


Интегрируемость монотонных функций

Поэтому

[math]S_P-s_P=\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(f(x_{k+1})-f(x_k})\Bigr)\Delta x_k= \sum_{k=0}^{n-1}\Delta y_k\Delta x_k\,.[/math]

Так как все [math]\Delta y_k\geqslant0[/math], то имеем:


[math]S_p-s_P\leqslant\lambda \sum_{k=0}^{n-1}\Delta y_k[/math], где [math]\lambda=\max\Delta x_k,~~ 0\leqslant k\leqslant n-1[/math].

Число [math]\lambda[/math] будем называть мелкостью разбиения [math]P[/math].


Сумма [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta y_k}[/math] является не чем иным, как суммой приращений функции [math]y=f(x)[/math], т. е. полным приращением [math]f(b)-f(a)[/math] этой функции на отрезке [math][a,b][/math]. Поэтому


[math]S_P-s_P\leqslant \lambda\cdot \bigl[f(b)-f(a)\bigr].[/math]

Отсюда следует, что при [math]\lambda<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}[/math] выполняется неравенство [math]S_P-s_P<\varepsilon[/math], а потому функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][a,b][/math].




Пример 1. Функция [math]y=x^3[/math] возрастает на отрезке [math][1;4][/math]. Найдем, при какой мелкости [math]\lambda[/math] разбиения этого отрезка будет выполняться неравенство [math]S_P-s_P<0,\!01[/math].


Решение. В данном случае [math]f(a)=1^3=1,~ f(b)=4^3=64,~ \varepsilon=0,\!01[/math], и потому


[math]\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}=\frac{0,\!01}{63}=\frac{1}{6300}\,.[/math]

Значит, при любом разбиении отрезка [1; 4] на части, длина которых не превосходит [math]\frac{1}{6300}[/math], выполняется неравенство [math]S_P-s_P<0,\!01[/math].




Интегрируемость непрерывных функций


Геометрически представляется очевидным, что если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a,b][/math], то при достаточно мелком разбиении этого отрезка все колебания [math]\omega_k[/math] станут достаточно малыми, и потому сумма [math]\textstyle{ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k}[/math] тоже станет мала. Иными словами, естественно предположить, что все непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции интегрируемы на нем. Для доказательства этого утверждения понадобится следующая лемма:


Лемма 4. Если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a,b][/math], то для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдется хоть одно разбиение [math]P[/math] этого отрезка такое, что все [math]\omega_k[/math] меньше [math]\varepsilon:[/math]


[math](\forall\,k)~~\omega_k<\varepsilon\,.[/math]

Доказательство этого утверждения проведем методом от противного.


Предположим, что для какого-то [math]\varepsilon>0[/math] такое разбиение невозможно. Это значит, что для любого разбиения [math]P[/math] отрезка [math][a;b][/math] найдется такой номер [math]k[/math], что [math]M_k-m_k\geqslant\varepsilon:[/math]


[math](\exists\,\varepsilon>0)\quad (\forall\,P)\quad (\exists\,k)\quad (M_k-m_k)\geqslant \varepsilon\,.[/math]

Разделим отрезок [math][a;b][/math] пополам. Тогда для выбранного [math]\varepsilon>0[/math] хотя бы одну из половин отрезка [math][a;b][/math] нельзя разбить требуемым образом (так как если бы обе его половины можно было разбить требуемым образом, то и весь отрезок [math][a;b][/math] был бы разбит требуемым образом).



Разбиение отрезка пополам

Выбрав ту из его половин, которую нельзя разбить требуемым образом, например [math][a_1;b_1][/math], разобьем ее снова пополам (рис. 9).


Одна из вновь полученных половин, например [math][a_2;b_2][/math], в соответствии с нашим предположением, не может быть разбита требуемым образом (для выбранного [math]\varepsilon>0[/math]).


Продолжая дальше указанный процесс разбиения отрезков, получим стягивающуюся последовательность отрезков, такую, что ни один из отрезков этой системы не может быть для данного [math]\varepsilon>0[/math] разбит требуемым образом. По принципу стягивающихся отрезков существует одна и только одна точка [math]c[/math], общая всем этим отрезкам. В точке [math]c[/math], принадлежащей отрезкам [math][a_k;b_k]\subset[a;b][/math], функция [math]f(x)[/math] по условию непрерывна. Значит, у этой точки есть окрестность [math]\bigl(c-\delta; c+\delta\bigr)[/math], в которой выполняется неравенство


[math]\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<\frac{\varepsilon}{2}\,.[/math]

Точка и её дельта-окрестности

При достаточно большом значении [math]k[/math] отрезок [math][a_k;b_k][/math] целиком лежит внутри δ-окрестности точки [math]c[/math] (рис. 10).


Пусть [math]M_k[/math] — наибольшее значение функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][a_k;b_k][/math] и [math]m_k[/math] — наименьшее значение функции [math]f(x)[/math] на этом отрезке. Так как точки, в которых функция [math]f(x)[/math] принимает значения [math]M_k[/math] и [math]m_k[/math], принадлежат одновременно и промежутку [math]\bigl(c-\delta;c+\delta\bigr)[/math], то имеют место неравенства


[math]\bigl|M_k-f(c)\bigr|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad \bigl|f(c)-m_k|<\frac{\varepsilon }{2}\,.[/math]
Поэтому
[math]\omega_k&= M_k-m_k= M_k-f(c)+f(c)-m_k= \bigl(M_k-f(c)\bigr)+ \bigl(f(c)-m_k\bigr)< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\,.[/math]

Таким образом, вопреки нашему предположению, мы получили отрезок [math][a_k;b_k][/math], на котором уже выполнено неравенство [math]\omega_k<\varepsilon[/math]. Значит, наше предположение было неверным, и, следовательно, справедливо утверждение леммы.


Теорема 5. Если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то она интегрируема на этом отрезке.


Доказательство. Возьмем произвольное [math]\varepsilon>0[/math]. По доказанному выше существует такое разбиение [math]P[/math], что для всех [math]k[/math] имеем:


[math]\omega_k<\frac{\varepsilon}{b-a}[/math], но тогда [math]\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k< \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{k=0}^{n-1}\Delta x_k=\frac{\varepsilon}{b-a}\,(b-a)= \varepsilon\,.[/math]

Но ранее мы отметили, что неравенство [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1} \omega_k\Delta x_k<\varepsilon[/math] означает по теореме 3 интегрируемость функции на [math][a;b][/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved