Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции


Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции вытекает из общего необходимого и достаточного условия единственности разделяющего числа. Напомним, что если числовое множество Y расположено справа от числового множества X, то для единственности числа, разделяющего X и Y, необходимо и достаточно выполнение условия


\forall\,\varepsilon>0\quad \exists\,x\in X~\land~ \exists\,y\in Y~~ (y-x< \varepsilon).

В нашем случае множество X состоит из нижних сумм Дарбу, а множество Y — из верхних сумм Дарбу. Поэтому необходимое и достаточное условие единственности числа, разделяющего эти множества, принимает вид: для любого \varepsilon>0 найдутся верхняя сумма Дарбу S_2 и нижняя сумма Дарбу s_1 такие, что S_2-s_1<\varepsilon. Эти суммы, вообще говоря, могут соответствовать различным разбиениям P_1 и P_2 отрезка [a,b]. Но ранее было показано, что если P_3 — совместное измельчение разбиений P_1 и P_2, то выполняются неравенства s\leqslant s_3,~ S_2\geqslant S_3. Поэтому из S_2-s_1<\varepsilon следует S_3-s_3<\varepsilon.


Получаем следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.


Теорема 3. Для того чтобы ограниченная функция y=f(x), заданная на отрезке [a,b], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого \varepsilon>0 нашлось разбиение P этого отрезка такое, что S_P-s_P< \varepsilon, где S_P и s_P — соответствующие верхняя и нижняя суммы Дарбу.


Поскольку

S_P-s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)- \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)= \sum_{k=0}^{n-1}\Bigl[\bigl(M_k-m_k\bigr)\cdot\Delta x_k\Bigr],

то условие S_P-s_P< \varepsilon можно записать и так:


\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl[\bigl(M_k-m_k\bigr)\cdot\Delta x_k\Bigr]< \varepsilon\,.
(5)

Разность M_k-m_k будем обозначать через \omega_k и называть ее колебанием функции y=f(x) на отрезке [x_k,x_{k+1}]. Тогда неравенство (5) можно записать так:


\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(\omega_k\cdot \Delta x_k\bigr)< \varepsilon\,.
(6)



Интегрируемость монотонных функций


Теорема 4. Всякая монотонная функция y=f(x), заданная на отрезке [a,b], интегрируема на этом отрезке.


Доказательство. Возьмем произвольное \varepsilon>0. Предположим для определенности, что функция возрастает на отрезке [a,b]. Тогда для любого разбиения


a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k<x_{k+1}<\ldots<x_n=b

этого отрезка наибольшее значение M_k функции y=f(x) на отрезке [x_k,x_{k+1}] равно f(x_{k+1}), а наименьшее значение m_k равно f(x_k) (рис. 8).


Интегрируемость монотонных функций

Поэтому

S_P-s_P=\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(f(x_{k+1})-f(x_{k})\Bigr)\Delta x_k= \sum_{k=0}^{n-1}\Delta y_k\Delta x_k\,.

Так как все \Delta y_k\geqslant0, то имеем:


S_p-s_P\leqslant\lambda \sum_{k=0}^{n-1}\Delta y_k, где \lambda=\max\Delta x_k,~~ 0\leqslant k\leqslant n-1.

Число \lambda будем называть мелкостью разбиения P.


Сумма \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta y_k} является не чем иным, как суммой приращений функции y=f(x), т. е. полным приращением f(b)-f(a) этой функции на отрезке [a,b]. Поэтому


S_P-s_P\leqslant \lambda\cdot \bigl[f(b)-f(a)\bigr].

Отсюда следует, что при \lambda<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)} выполняется неравенство S_P-s_P<\varepsilon, а потому функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b].




Пример 1. Функция y=x^3 возрастает на отрезке [1;4]. Найдем, при какой мелкости \lambda разбиения этого отрезка будет выполняться неравенство S_P-s_P<0,\!01.


Решение. В данном случае f(a)=1^3=1,~ f(b)=4^3=64,~ \varepsilon=0,\!01, и потому


\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}=\frac{0,\!01}{63}=\frac{1}{6300}\,.

Значит, при любом разбиении отрезка [1; 4] на части, длина которых не превосходит \frac{1}{6300}, выполняется неравенство S_P-s_P<0,\!01.




Интегрируемость непрерывных функций


Геометрически представляется очевидным, что если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то при достаточно мелком разбиении этого отрезка все колебания \omega_k станут достаточно малыми, и потому сумма \textstyle{ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k} тоже станет мала. Иными словами, естественно предположить, что все непрерывные на отрезке [a,b] функции интегрируемы на нем. Для доказательства этого утверждения понадобится следующая лемма:


Лемма 4. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то для любого \varepsilon>0 найдется хоть одно разбиение P этого отрезка такое, что все \omega_k меньше \varepsilon:


(\forall\,k)~~\omega_k<\varepsilon\,.

Доказательство этого утверждения проведем методом от противного.


Предположим, что для какого-то \varepsilon>0 такое разбиение невозможно. Это значит, что для любого разбиения P отрезка [a;b] найдется такой номер k, что M_k-m_k\geqslant\varepsilon:


(\exists\,\varepsilon>0)\quad (\forall\,P)\quad (\exists\,k)\quad (M_k-m_k)\geqslant \varepsilon\,.

Разделим отрезок [a;b] пополам. Тогда для выбранного \varepsilon>0 хотя бы одну из половин отрезка [a;b] нельзя разбить требуемым образом (так как если бы обе его половины можно было разбить требуемым образом, то и весь отрезок [a;b] был бы разбит требуемым образом).



Разбиение отрезка пополам

Выбрав ту из его половин, которую нельзя разбить требуемым образом, например [a_1;b_1], разобьем ее снова пополам (рис. 9).


Одна из вновь полученных половин, например [a_2;b_2], в соответствии с нашим предположением, не может быть разбита требуемым образом (для выбранного \varepsilon>0).


Продолжая дальше указанный процесс разбиения отрезков, получим стягивающуюся последовательность отрезков, такую, что ни один из отрезков этой системы не может быть для данного \varepsilon>0 разбит требуемым образом. По принципу стягивающихся отрезков существует одна и только одна точка c, общая всем этим отрезкам. В точке c, принадлежащей отрезкам [a_k;b_k]\subset[a;b], функция f(x) по условию непрерывна. Значит, у этой точки есть окрестность \bigl(c-\delta; c+\delta\bigr), в которой выполняется неравенство


\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<\frac{\varepsilon}{2}\,.

Точка и её дельта-окрестности

При достаточно большом значении k отрезок [a_k;b_k] целиком лежит внутри δ-окрестности точки c (рис. 10).


Пусть M_k — наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a_k;b_k] и m_k — наименьшее значение функции f(x) на этом отрезке. Так как точки, в которых функция f(x) принимает значения M_k и m_k, принадлежат одновременно и промежутку \bigl(c-\delta;c+\delta\bigr), то имеют место неравенства


\bigl|M_k-f(c)\bigr|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad \bigl|f(c)-m_k|<\frac{\varepsilon }{2}\,.
Поэтому
\omega_k= M_k-m_k= M_k-f(c)+f(c)-m_k= \bigl(M_k-f(c)\bigr)+ \bigl(f(c)-m_k\bigr)< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\,.

Таким образом, вопреки нашему предположению, мы получили отрезок [a_k;b_k], на котором уже выполнено неравенство \omega_k<\varepsilon. Значит, наше предположение было неверным, и, следовательно, справедливо утверждение леммы.


Теорема 5. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.


Доказательство. Возьмем произвольное \varepsilon>0. По доказанному выше существует такое разбиение P, что для всех k имеем:


\omega_k<\frac{\varepsilon}{b-a}, но тогда \sum_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k< \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{k=0}^{n-1}\Delta x_k=\frac{\varepsilon}{b-a}\,(b-a)= \varepsilon\,.

Но ранее мы отметили, что неравенство \sum\limits_{k=0}^{n-1} \omega_k\Delta x_k<\varepsilon означает по теореме 3 интегрируемость функции на [a;b].

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved