Нули аналитических функций
Пусть функция является аналитической в точке .
Точка называется нулем функции , если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. .
В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции отсутствует свободный член: . Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности до n-й степени, т.е. разложение имеет вид
 (3.20)
то точка называется нулем порядка функции . Нуль первого порядка называется простым нулем.
Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:
![f(z)=(z-z_0)^n\cdot \bigl[c_n+c_{n+1}(z-z_0)+\ldots\bigr]](data:image/png;base64,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) , или ![f(z)= (z-z_0)^n\cdot \bigl[b_0+b_1(z-z_0)+\ldots\bigr]](data:image/png;base64,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) ,
где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке , поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке ; обозначим ее . Таким образом, из (3.20) получаем представление функции в виде
 (3.21)
Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора , находим, что для нуля порядка функции в точке справедливо условие
 (3.22)
т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.
Пусть функция задана в виде произведения и точка является нулем порядка для и нулем порядка для . Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать
или  (3.23)
Это означает, что порядок нуля в точке функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.
Сформулируем вывод в виде следующего утверждения. Утверждение 3.5
1. Точка является нулем функции , если ; нулем порядка -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням справедливы равенства
2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции в точке 
а) условие (3.22):  ; б) представление функции в виде произведения (3.21):  .
Замечания 3.3
1. Если функция не определена в точке , но , то после доопределения функции в точке , точку тоже называют нулем функции. Например, для функции , доопределенной в точке точка является нулем.
2. Пусть представлена в виде отношения аналитических в точке функций и точка является нулем порядка для числителя и нулем порядка — для знаменателя. При условии , доопределив функцию , выше, получим, — нуль функции .
Используя условие (3.21) для функций и , получаем равенство , или . Здесь — аналитическая в точке , так как и — аналитические в этой точке и . Кроме того, , так как . Поэтому для функции точка является нулем порядка (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.
Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков
1. Найти нули аналитической функции , решая уравнение .
2. Определить порядок каждого полученного нуля . Для этого выполнить одно из следующих действий:
а) разложить в ряд по степеням . Младшая степень разности , присутствующая в разложении (3.20), определяет порядок нуля ; б) найти производные и их значения в нуле функции, т.е. . Порядок нуля функции определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной; в) записать функцию в виде произведения (3.21); степень разности в этом произведении определяет порядок нуля ; г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля го произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.
3. Для функции , не определенной в точке , но удовлетворяющей в этой точке условию , порядок нуля го определить по правилам, изложенным в п. 2 или в соответствии с замечанием 3.3.
Пример 3.26. Найти все нули функции , определить их порядок.
Решение. Воспользуемся алгоритмом.
1. Раскладываем многочлен на множители: . Находим нули функции: . Разложение многочлена на линейные множители имеет вид .
2. Определяем порядок каждого нуля. Удобнее использовать для этого формулу (3.21). Для точки из равенства , получаем, что — нуль второго порядка; для точки из равенства , получаем, что — нуль первого порядка (простой нуль); для точек аналогично находим, что это нули первого порядка (простые нули) данной функции.
Пример 3.27. Определить порядок нуля для функций:
а) ; б) .
Решение. а) Для определения порядка нуля удобно использовать определение, т.е. разложить функцию по степеням (п. 2"а" алгоритма). Получаем
Так как в полученном разложении коэффициент , т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю , то заключаем, что точка является нулем порядка для данной функции.
б) В данном случае используем формулу (3.22), т.е. п. 2"б" алгоритма. Находим значения производных функции в точке 
Следовательно, точка является нулем второго порядка данной функции.
Пример 3.28. Определить порядок нуля функции в точке .
Решение. Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя порядок нуля в точке определен в предыдущем примере: . Для функции точка — нуль первого порядка, так как согласно п. 2"б" алгоритма . Поэтому, учитывая, что и пользуясь п. 2"г" алгоритма, получаем, что — нуль третьего порядка . Поскольку , то по правилу 2"г" алгоритма получаем результат — точка является нулем седьмого порядка заданной функции, так как .
Пример 3.29. Найти нули функций а) и б) ; определить их порядок.
Решение. а) Равенство в области определения функции выполняется для точек , таких, что
 , то есть  .
Эти точки, очевидно, простые нули функции , а потому нули третьего порядка для функции . Поэтому для каждого нуля , используя необходимое условие (см. п. 2 утверждения 3.5), можно записать и, следовательно, . Из этого, в силу достаточного условия (3.21) (см. п. 2 утверждения 3.5), заключаем, что точки являются нулями третьего порядка данной функции. Кроме того, так как выполняется условие , то, после доопределения функции (см. п.1 замечаний 3.3 ), получаем, что является нулем функции. Чтобы определить порядок нуля, используем результат, полученный в п.2 замечаний 3.3. А именно, для функции, стоящей в числителе, точка — нуль третьего порядка , а для знаменателя, очевидно, простой нуль . Поэтому — нуль второго порядка данной функции.
б) Нулями функции в области определения являются точки — корни уравнения . Эти точки — простые нули числителя и . Поэтому из равенства или заключаем, что — простые нули данной функции.
В точке , которая также является нулем числителя, функция не определена. Найдем предел функции в этой точке. Для раскрытия неопределенности можно использовать свойства пределов, или разложить по степеням числитель и знаменатель:
Так как , то точка не является нулем данной функции.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|