Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Нули аналитических функций

Нули аналитических функций


Пусть функция [math]f(z)[/math] является аналитической в точке [math]z_0[/math].


Точка [math]z_0[/math] называется нулем функции [math]f(z)[/math], если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. [math]f(z_0)=0[/math].


В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции отсутствует свободный член: [math]c_0=f(z_0)=0[/math]. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности [math](z-z_0)[/math] до n-й степени, т.е. разложение имеет вид


[math]f(z)= \sum_{k=n}^{\infty}c_k(z-z_0)^k,\quad f(z)=c_n(z-z_0)^n+ c_{n+1}(z-z_0)^{n+1}+ \ldots,\quad c_n\ne0,[/math]
(3.20)

то точка [math]z_0[/math] называется нулем порядка [math]n[/math] функции [math]f(z)[/math]. Нуль первого порядка называется простым нулем.


Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:


[math]f(z)=(z-z_0)^n\cdot \bigl[c_n+c_{n+1}(z-z_0)+\ldots\bigr][/math], или [math]f(z)= (z-z_0)^n\cdot \bigl[b_0+b_1(z-z_0)+\ldots\bigr][/math],

где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке [math]z_0[/math], поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке [math]z_0[/math]; обозначим ее [math]\varphi(z)[/math]. Таким образом, из (3.20) получаем представление функции [math]f(z)[/math] в виде


[math]f(z)=(z-z_0)^n\cdot \varphi(z),\qquad \varphi(z_0)=c_n\ne0.[/math]
(3.21)

Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора [math]c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}[/math], находим, что для нуля порядка [math]n[/math] функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z_0[/math] справедливо условие


[math]f^{(n)}(z_0)\ne0,\qquad f^{(k)}(z_0)=0,\quad k=0,1,2,\ldots,(n-1),[/math]
(3.22)

т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.


Пусть функция [math]f(z)[/math] задана в виде произведения [math]f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z)[/math] и точка [math]z_0[/math] является нулем порядка [math]k[/math] для [math]f_1(z)[/math] и нулем порядка [math]m[/math] для [math]f_2(z)[/math]. Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать


[math]f(z)= (z-z_0)^k\cdot \varphi_1(z)\cdot (z-z_0)^m\cdot \varphi_2(z),[/math]

или

[math]f(z)= (z-z_0)^{m+k}\cdot \varphi(z),\qquad \varphi(z)= \varphi_1(z)\cdot \varphi_2(z),\quad \varphi(z_0)\ne0.[/math]
(3.23)

Это означает, что порядок нуля в точке [math]z_0[/math] функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.


Сформулируем вывод в виде следующего утверждения.
Утверждение 3.5

1. Точка [math]z_0[/math] является нулем функции [math]f(z)[/math], если [math]f(z_0)=0[/math]; нулем порядка [math]n[/math] -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням [math](z-z_0)[/math] справедливы равенства


[math]c_k=0,\quad k=0,1,2,\ldots,(n-1),\quad c_n\ne0.[/math]

2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z_0^[/math]


а) условие (3.22): [math]f^{(n)}(z_0)\ne0,~~ f^{(k)}(z_0)=0,~ k=0,1,1,\ldots,(n-1)[/math];
б) представление функции в виде произведения (3.21): [math]f(z)=(z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z_0)=c_n\ne0[/math].



Замечания 3.3


1. Если функция не определена в точке [math]z_0[/math], но [math]\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0[/math], то после доопределения функции в точке [math]z_0\colon\, f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)[/math], точку [math]z_0[/math] тоже называют нулем функции. Например, для функции [math]f(z)=\frac{\sin^2z}{z}[/math], доопределенной в точке [math]z_0=0\colon\, f(z)= \begin{cases}\dfrac{\sin^2z}{z},& z\ne0,\\ 0,& z=0,\end{cases}[/math] точка [math]z_0=0[/math] является нулем.


2. Пусть [math]f(z)[/math] представлена в виде отношения [math]\frac{f_1(z)}{f_2(z)}[/math] аналитических в точке [math]z_0[/math] функций и точка [math]z_0[/math] является нулем порядка [math]k[/math] для числителя и нулем порядка [math]m[/math] — для знаменателя. При условии [math]k>m[/math], доопределив функцию [math]f(z)[/math], выше, получим, [math]z_0[/math] — нуль функции [math]f(z)[/math].


Используя условие (3.21) для функций [math]f_1(z)[/math] и [math]f_2(z)[/math], получаем равенство [math]f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}[/math], или [math]f(z)= (z-z_0)^{k-m} \varphi(z)[/math]. Здесь [math]\varphi(z)[/math] — аналитическая в точке [math]z_0[/math], так как [math]\varphi_1(z)[/math] и [math]\varphi_2(z)[/math] — аналитические в этой точке и [math]\varphi_2(z_0)\ne0[/math]. Кроме того, [math]\varphi(z_0)\ne0[/math], так как [math]\varphi_1(z_0)\ne0[/math]. Поэтому для функции [math]f(z)[/math] точка [math]z_0[/math] является нулем порядка [math](k-m)[/math] (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.




Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков


1. Найти нули аналитической функции [math]f(z)[/math], решая уравнение [math]f(z)=0[/math].


2. Определить порядок каждого полученного нуля [math]z_0[/math]. Для этого выполнить одно из следующих действий:


а) разложить [math]f(z)[/math] в ряд по степеням [math](z-z_0)[/math]. Младшая степень разности [math](z-z_0)[/math], присутствующая в разложении (3.20), определяет порядок нуля [math]z_0[/math];

б) найти производные [math]f^{(k)}(z)[/math] и их значения в нуле функции, т.е. [math]f^{(k)}(z_0)[/math]. Порядок нуля [math]z_0[/math] функции [math]f(z)[/math] определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной;

в) записать функцию в виде произведения (3.21); степень разности [math](z-z_0)[/math] в этом произведении определяет порядок нуля [math]z_0[/math];

г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля [math]z_0[/math] по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля го произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.


3. Для функции [math]f(z)[/math], не определенной в точке [math]z_0[/math], но удовлетворяющей в этой точке условию [math]\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0[/math], порядок нуля го определить по правилам, изложенным в п. 2 или в соответствии с замечанием 3.3.




Пример 3.26. Найти все нули функции [math]f(z)=z^5-z^4+4z^3-4z^2[/math], определить их порядок.


Решение. Воспользуемся алгоритмом.


1. Раскладываем многочлен на множители: [math]f(z)=z^4(z-1)+4z^2(z-1)= z^2(z-1)(z^2+4)[/math]. Находим нули функции: [math]z_1=0,~ z_2=1,~z_{3,4}=\pm2i[/math]. Разложение многочлена на линейные множители имеет вид [math]f(z)=z^2(z-1)(z-2i)(z+2i)[/math].


2. Определяем порядок каждого нуля. Удобнее использовать для этого формулу (3.21). Для точки [math]z_1=0[/math] из равенства [math]f(z)= z^2\cdot \varphi(z),~ \varphi(0)\ne0[/math], получаем, что [math]z=0[/math] — нуль второго порядка; для точки [math]z_2=1[/math] из равенства [math]f(z)= (z-1)\cdot \varphi(z),~ \varphi(1)\ne0[/math], получаем, что [math]z=1[/math] — нуль первого порядка (простой нуль); для точек [math]z_{3,4}=\pm2i[/math] аналогично находим, что это нули первого порядка (простые нули) данной функции.




Пример 3.27. Определить порядок нуля [math]z_0=0[/math] для функций:


а) [math]f(z)=e^{z^2}-1-z^2[/math]; б) [math]f(z)=\sin^3z-1+\cos z[/math].


Решение. а) Для определения порядка нуля [math]z_0=0[/math] удобно использовать определение, т.е. разложить функцию по степеням [math]z[/math] (п. 2"а" алгоритма). Получаем


[math]e^{z^2}-1-z^2= \left(1+z^2+\frac{z^4}{2!}+\ldots\right)-1-z^2= \frac{z^4}{2!}+ \frac{z^6}{3!}+\ldots[/math]

Так как в полученном разложении коэффициент [math]c_4=\frac{1}{2}[/math], т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю [math](c_0=c_1=c_2=c_3=0)[/math], то заключаем, что точка [math]z_0=0[/math] является нулем порядка [math]n=4[/math] для данной функции.


б) В данном случае используем формулу (3.22), т.е. п. 2"б" алгоритма. Находим значения производных функции в точке [math]z_0=0^[/math]


[math]\begin{gathered} f'(z)= 3\sin^2z\cdot\cos z-\sin z,\quad f'(0)=0;\\ f''(z)= 6\sin z\cdot \cos^2z-3\sin^3z-\cos z,\quad f''(0)=-1\ne0.\end{gathered}[/math]

Следовательно, точка [math]z_0=0[/math] является нулем второго порядка [math](n=2)[/math] данной функции.




Пример 3.28. Определить порядок нуля функции [math]f(z)=\bigl(e^{z^2}-1-z^2\bigr)\sin^3z[/math] в точке [math]z_0=0[/math].


Решение. Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя [math]f_1(z)=e^{z^2}-1-z^2[/math] порядок нуля в точке [math]z_0=0[/math] определен в предыдущем примере: [math]k=4[/math]. Для функции [math]\sin z[/math] точка [math]z_0=0[/math] — нуль первого порядка, так как согласно п. 2"б" алгоритма [math]f'(0)=\cos0=1\ne0[/math]. Поэтому, учитывая, что [math]f_2(z)=\sin^3z= (\sin z)^3=\sin z\sin z\sin z[/math] и пользуясь п. 2"г" алгоритма, получаем, что [math]z_0=0[/math] — нуль третьего порядка [math](m=3)[/math]. Поскольку [math]f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z)[/math], то по правилу 2"г" алгоритма получаем результат — точка [math]z_0=0[/math] является нулем седьмого порядка заданной функции, так как [math]n=k+m=7[/math].




Пример 3.29. Найти нули функций а) [math]\frac{\sin^3z}{z}[/math] и б) [math]\frac{e^{2z}-1}{\sin z}[/math]; определить их порядок.


Решение. а) Равенство [math]f(z)=0[/math] в области определения функции выполняется для точек [math]z[/math], таких, что


[math]\sin^3z=0,~~ z\ne0[/math], то есть [math]z_k=k\pi,~~ k=\pm1,\pm2,\ldots[/math].

Эти точки, очевидно, простые нули функции [math]\sin z[/math], а потому нули третьего порядка для функции [math]\sin^3z[/math]. Поэтому для каждого нуля [math]z_k[/math], используя необходимое условие (см. п. 2 утверждения 3.5), можно записать [math]\sin^3z= (z-z_k)^3 \varphi_1(z),~ \varphi_1(z_k)\ne0[/math] и, следовательно, [math]\frac{\sin^3z}{z}= (z-z_k)^3 \varphi(z),~ \varphi(z_k)\ne0[/math]. Из этого, в силу достаточного условия (3.21) (см. п. 2 утверждения 3.5), заключаем, что точки [math]z_k=k\pi,~ k=\pm1,\pm2,\ldots[/math] являются нулями третьего порядка данной функции. Кроме того, так как выполняется условие [math]\lim\limits_{z\to0} \frac{\sin^3z}{z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z}\cdot\sin^2z=0[/math], то, после доопределения функции (см. п.1 замечаний 3.3 ), получаем, что [math]z_0=0[/math] является нулем функции. Чтобы определить порядок нуля, используем результат, полученный в п.2 замечаний 3.3. А именно, для функции, стоящей в числителе, точка [math]z=0[/math] — нуль третьего порядка [math](k=3)[/math], а для знаменателя, очевидно, простой нуль [math](m=1)[/math]. Поэтому [math]z=0[/math] — нуль второго порядка данной функции.


б) Нулями функции в области определения [math]z\ne k\pi,~ k\in\mathbb{Z}[/math] являются точки [math]z_k=k\pi i,~ k=\pm1,\pm2,\ldots[/math] — корни уравнения [math]e^{2z}=1,~ z\ne0[/math]. Эти точки — простые нули числителя и [math]e^{2z}-1= (z-z_k)\varphi_1(z),~ \varphi_1(z_k)\ne0[/math]. Поэтому из равенства [math]f(z)=\frac{z-z_k}{\sin z}\varphi_1(z)[/math] или [math]f(z)=(z-z_k)\varphi(z),~ \varphi(z_k)\ne0[/math] заключаем, что [math]z_k=k\pi i,~ k=\pm1,\pm2,\ldots[/math] — простые нули данной функции.


В точке [math]z=0[/math], которая также является нулем числителя, функция не определена. Найдем предел функции в этой точке. Для раскрытия неопределенности [math]\lim\limits_{z\to0} \frac{e^{2z}-1}{\sin z}[/math] можно использовать свойства пределов, или разложить по степеням [math]z[/math] числитель и знаменатель:


[math]\lim\limits_{z\to0} \frac{e^{2z}-1}{\sin z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{\left(1+2z+ \frac{(2z)^2}{2!}+\ldots\right)-1}{z-\frac{z^3}{3!}+\ldots}= \lim\limits_{z\to0} \frac{z \left(2+ \frac{4z}{2!}+\ldots\right)}{z \left(1-\frac{z^2}{3!}+\ldots\right)}= 2.[/math]

Так как [math]\lim\limits_{z\to0}f(z)\ne0[/math], то точка [math]z=0[/math] не является нулем данной функции.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved