Нули аналитических функций
Пусть функция является аналитической в точке .
Точка называется нулем функции , если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. .
В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции отсутствует свободный член: . Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности до n-й степени, т.е. разложение имеет вид
(3.20)
то точка называется нулем порядка функции . Нуль первого порядка называется простым нулем.
Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:
, или ,
где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке , поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке ; обозначим ее . Таким образом, из (3.20) получаем представление функции в виде
(3.21)
Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора , находим, что для нуля порядка функции в точке справедливо условие
(3.22)
т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.
Пусть функция задана в виде произведения и точка является нулем порядка для и нулем порядка для . Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать
или (3.23)
Это означает, что порядок нуля в точке функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.
Сформулируем вывод в виде следующего утверждения. Утверждение 3.5
1. Точка является нулем функции , если ; нулем порядка -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням справедливы равенства
2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции в точке
а) условие (3.22): ; б) представление функции в виде произведения (3.21): .
Замечания 3.3
1. Если функция не определена в точке , но , то после доопределения функции в точке , точку тоже называют нулем функции. Например, для функции , доопределенной в точке точка является нулем.
2. Пусть представлена в виде отношения аналитических в точке функций и точка является нулем порядка для числителя и нулем порядка — для знаменателя. При условии , доопределив функцию , выше, получим, — нуль функции .
Используя условие (3.21) для функций и , получаем равенство , или . Здесь — аналитическая в точке , так как и — аналитические в этой точке и . Кроме того, , так как . Поэтому для функции точка является нулем порядка (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.
Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков
1. Найти нули аналитической функции , решая уравнение .
2. Определить порядок каждого полученного нуля . Для этого выполнить одно из следующих действий:
а) разложить в ряд по степеням . Младшая степень разности , присутствующая в разложении (3.20), определяет порядок нуля ; б) найти производные и их значения в нуле функции, т.е. . Порядок нуля функции определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной; в) записать функцию в виде произведения (3.21); степень разности в этом произведении определяет порядок нуля ; г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля го произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.
3. Для функции , не определенной в точке , но удовлетворяющей в этой точке условию , порядок нуля го определить по правилам, изложенным в п. 2 или в соответствии с замечанием 3.3.
Пример 3.26. Найти все нули функции , определить их порядок.
Решение. Воспользуемся алгоритмом.
1. Раскладываем многочлен на множители: . Находим нули функции: . Разложение многочлена на линейные множители имеет вид .
2. Определяем порядок каждого нуля. Удобнее использовать для этого формулу (3.21). Для точки из равенства , получаем, что — нуль второго порядка; для точки из равенства , получаем, что — нуль первого порядка (простой нуль); для точек аналогично находим, что это нули первого порядка (простые нули) данной функции.
Пример 3.27. Определить порядок нуля для функций:
а) ; б) .
Решение. а) Для определения порядка нуля удобно использовать определение, т.е. разложить функцию по степеням (п. 2"а" алгоритма). Получаем
Так как в полученном разложении коэффициент , т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю , то заключаем, что точка является нулем порядка для данной функции.
б) В данном случае используем формулу (3.22), т.е. п. 2"б" алгоритма. Находим значения производных функции в точке
Следовательно, точка является нулем второго порядка данной функции.
Пример 3.28. Определить порядок нуля функции в точке .
Решение. Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя порядок нуля в точке определен в предыдущем примере: . Для функции точка — нуль первого порядка, так как согласно п. 2"б" алгоритма . Поэтому, учитывая, что и пользуясь п. 2"г" алгоритма, получаем, что — нуль третьего порядка . Поскольку , то по правилу 2"г" алгоритма получаем результат — точка является нулем седьмого порядка заданной функции, так как .
Пример 3.29. Найти нули функций а) и б) ; определить их порядок.
Решение. а) Равенство в области определения функции выполняется для точек , таких, что
, то есть .
Эти точки, очевидно, простые нули функции , а потому нули третьего порядка для функции . Поэтому для каждого нуля , используя необходимое условие (см. п. 2 утверждения 3.5), можно записать и, следовательно, . Из этого, в силу достаточного условия (3.21) (см. п. 2 утверждения 3.5), заключаем, что точки являются нулями третьего порядка данной функции. Кроме того, так как выполняется условие , то, после доопределения функции (см. п.1 замечаний 3.3 ), получаем, что является нулем функции. Чтобы определить порядок нуля, используем результат, полученный в п.2 замечаний 3.3. А именно, для функции, стоящей в числителе, точка — нуль третьего порядка , а для знаменателя, очевидно, простой нуль . Поэтому — нуль второго порядка данной функции.
б) Нулями функции в области определения являются точки — корни уравнения . Эти точки — простые нули числителя и . Поэтому из равенства или заключаем, что — простые нули данной функции.
В точке , которая также является нулем числителя, функция не определена. Найдем предел функции в этой точке. Для раскрытия неопределенности можно использовать свойства пределов, или разложить по степеням числитель и знаменатель:
Так как , то точка не является нулем данной функции.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|