Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Нули аналитических функций

Нули аналитических функций


Пусть функция f(z) является аналитической в точке z_0.


Точка z_0 называется нулем функции f(z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. f(z_0)=0.


В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции отсутствует свободный член: c_0=f(z_0)=0. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z_0) до n-й степени, т.е. разложение имеет вид


f(z)= \sum_{k=n}^{\infty}c_k(z-z_0)^k,\quad f(z)=c_n(z-z_0)^n+ c_{n+1}(z-z_0)^{n+1}+ \ldots,\quad c_n\ne0,
(3.20)

то точка z_0 называется нулем порядка n функции f(z). Нуль первого порядка называется простым нулем.


Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:


f(z)=(z-z_0)^n\cdot \bigl[c_n+c_{n+1}(z-z_0)+\ldots\bigr], или f(z)= (z-z_0)^n\cdot \bigl[b_0+b_1(z-z_0)+\ldots\bigr],

где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке z_0, поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке z_0; обозначим ее \varphi(z). Таким образом, из (3.20) получаем представление функции f(z) в виде


f(z)=(z-z_0)^n\cdot \varphi(z),\qquad \varphi(z_0)=c_n\ne0.
(3.21)

Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}, находим, что для нуля порядка n функции f(z) в точке z_0 справедливо условие


f^{(n)}(z_0)\ne0,\qquad f^{(k)}(z_0)=0,\quad k=0,1,2,\ldots,(n-1),
(3.22)

т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.


Пусть функция f(z) задана в виде произведения f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z) и точка z_0 является нулем порядка k для f_1(z) и нулем порядка m для f_2(z). Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать


f(z)= (z-z_0)^k\cdot \varphi_1(z)\cdot (z-z_0)^m\cdot \varphi_2(z),

или

f(z)= (z-z_0)^{m+k}\cdot \varphi(z),\qquad \varphi(z)= \varphi_1(z)\cdot \varphi_2(z),\quad \varphi(z_0)\ne0.
(3.23)

Это означает, что порядок нуля в точке z_0 функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.


Сформулируем вывод в виде следующего утверждения.
Утверждение 3.5

1. Точка z_0 является нулем функции f(z), если f(z_0)=0; нулем порядка n -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням (z-z_0) справедливы равенства


c_k=0,\quad k=0,1,2,\ldots,(n-1),\quad c_n\ne0.

2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции f(z) в точке z_0\colon


а) условие (3.22): f^{(n)}(z_0)\ne0,~~ f^{(k)}(z_0)=0,~ k=0,1,1,\ldots,(n-1);
б) представление функции в виде произведения (3.21): f(z)=(z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(z_0)=c_n\ne0.



Замечания 3.3


1. Если функция не определена в точке z_0, но \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0, то после доопределения функции в точке z_0\colon\, f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z), точку z_0 тоже называют нулем функции. Например, для функции f(z)=\frac{\sin^2z}{z}, доопределенной в точке z_0=0\colon\, f(z)= \begin{cases}\dfrac{\sin^2z}{z},& z\ne0,\\ 0,& z=0,\end{cases} точка z_0=0 является нулем.


2. Пусть f(z) представлена в виде отношения \frac{f_1(z)}{f_2(z)} аналитических в точке z_0 функций и точка z_0 является нулем порядка k для числителя и нулем порядка m — для знаменателя. При условии k>m, доопределив функцию f(z), выше, получим, z_0 — нуль функции f(z).


Используя условие (3.21) для функций f_1(z) и f_2(z), получаем равенство f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}, или f(z)= (z-z_0)^{k-m} \varphi(z). Здесь \varphi(z) — аналитическая в точке z_0, так как \varphi_1(z) и \varphi_2(z) — аналитические в этой точке и \varphi_2(z_0)\ne0. Кроме того, \varphi(z_0)\ne0, так как \varphi_1(z_0)\ne0. Поэтому для функции f(z) точка z_0 является нулем порядка (k-m) (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.




Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков


1. Найти нули аналитической функции f(z), решая уравнение f(z)=0.


2. Определить порядок каждого полученного нуля z_0. Для этого выполнить одно из следующих действий:


а) разложить f(z) в ряд по степеням (z-z_0). Младшая степень разности (z-z_0), присутствующая в разложении (3.20), определяет порядок нуля z_0;

б) найти производные f^{(k)}(z) и их значения в нуле функции, т.е. f^{(k)}(z_0). Порядок нуля z_0 функции f(z) определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной;

в) записать функцию в виде произведения (3.21); степень разности (z-z_0) в этом произведении определяет порядок нуля z_0;

г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля z_0 по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля го произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.


3. Для функции f(z), не определенной в точке z_0, но удовлетворяющей в этой точке условию \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0, порядок нуля го определить по правилам, изложенным в п. 2 или в соответствии с замечанием 3.3.




Пример 3.26. Найти все нули функции f(z)=z^5-z^4+4z^3-4z^2, определить их порядок.


Решение. Воспользуемся алгоритмом.


1. Раскладываем многочлен на множители: f(z)=z^4(z-1)+4z^2(z-1)= z^2(z-1)(z^2+4). Находим нули функции: z_1=0,~ z_2=1,~z_{3,4}=\pm2i. Разложение многочлена на линейные множители имеет вид f(z)=z^2(z-1)(z-2i)(z+2i).


2. Определяем порядок каждого нуля. Удобнее использовать для этого формулу (3.21). Для точки z_1=0 из равенства f(z)= z^2\cdot \varphi(z),~ \varphi(0)\ne0, получаем, что z=0 — нуль второго порядка; для точки z_2=1 из равенства f(z)= (z-1)\cdot \varphi(z),~ \varphi(1)\ne0, получаем, что z=1 — нуль первого порядка (простой нуль); для точек z_{3,4}=\pm2i аналогично находим, что это нули первого порядка (простые нули) данной функции.




Пример 3.27. Определить порядок нуля z_0=0 для функций:


а) f(z)=e^{z^2}-1-z^2; б) f(z)=\sin^3z-1+\cos z.


Решение. а) Для определения порядка нуля z_0=0 удобно использовать определение, т.е. разложить функцию по степеням z (п. 2"а" алгоритма). Получаем


e^{z^2}-1-z^2= \left(1+z^2+\frac{z^4}{2!}+\ldots\right)-1-z^2= \frac{z^4}{2!}+ \frac{z^6}{3!}+\ldots

Так как в полученном разложении коэффициент c_4=\frac{1}{2}, т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю (c_0=c_1=c_2=c_3=0), то заключаем, что точка z_0=0 является нулем порядка n=4 для данной функции.


б) В данном случае используем формулу (3.22), т.е. п. 2"б" алгоритма. Находим значения производных функции в точке z_0=0\colon


\begin{gathered} f'(z)= 3\sin^2z\cdot\cos z-\sin z,\quad f'(0)=0;\\ f''(z)= 6\sin z\cdot \cos^2z-3\sin^3z-\cos z,\quad f''(0)=-1\ne0.\end{gathered}

Следовательно, точка z_0=0 является нулем второго порядка (n=2) данной функции.




Пример 3.28. Определить порядок нуля функции f(z)=\bigl(e^{z^2}-1-z^2\bigr)\sin^3z в точке z_0=0.


Решение. Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя f_1(z)=e^{z^2}-1-z^2 порядок нуля в точке z_0=0 определен в предыдущем примере: k=4. Для функции \sin z точка z_0=0 — нуль первого порядка, так как согласно п. 2"б" алгоритма f'(0)=\cos0=1\ne0. Поэтому, учитывая, что f_2(z)=\sin^3z= (\sin z)^3=\sin z\sin z\sin z и пользуясь п. 2"г" алгоритма, получаем, что z_0=0 — нуль третьего порядка (m=3). Поскольку f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z), то по правилу 2"г" алгоритма получаем результат — точка z_0=0 является нулем седьмого порядка заданной функции, так как n=k+m=7.




Пример 3.29. Найти нули функций а) \frac{\sin^3z}{z} и б) \frac{e^{2z}-1}{\sin z}; определить их порядок.


Решение. а) Равенство f(z)=0 в области определения функции выполняется для точек z, таких, что


\sin^3z=0,~~ z\ne0, то есть z_k=k\pi,~~ k=\pm1,\pm2,\ldots.

Эти точки, очевидно, простые нули функции \sin z, а потому нули третьего порядка для функции \sin^3z. Поэтому для каждого нуля z_k, используя необходимое условие (см. п. 2 утверждения 3.5), можно записать \sin^3z= (z-z_k)^3 \varphi_1(z),~ \varphi_1(z_k)\ne0 и, следовательно, \frac{\sin^3z}{z}= (z-z_k)^3 \varphi(z),~ \varphi(z_k)\ne0. Из этого, в силу достаточного условия (3.21) (см. п. 2 утверждения 3.5), заключаем, что точки z_k=k\pi,~ k=\pm1,\pm2,\ldots являются нулями третьего порядка данной функции. Кроме того, так как выполняется условие \lim\limits_{z\to0} \frac{\sin^3z}{z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z}\cdot\sin^2z=0, то, после доопределения функции (см. п.1 замечаний 3.3 ), получаем, что z_0=0 является нулем функции. Чтобы определить порядок нуля, используем результат, полученный в п.2 замечаний 3.3. А именно, для функции, стоящей в числителе, точка z=0 — нуль третьего порядка (k=3), а для знаменателя, очевидно, простой нуль (m=1). Поэтому z=0 — нуль второго порядка данной функции.


б) Нулями функции в области определения z\ne k\pi,~ k\in\mathbb{Z} являются точки z_k=k\pi i,~ k=\pm1,\pm2,\ldots — корни уравнения e^{2z}=1,~ z\ne0. Эти точки — простые нули числителя и e^{2z}-1= (z-z_k)\varphi_1(z),~ \varphi_1(z_k)\ne0. Поэтому из равенства f(z)=\frac{z-z_k}{\sin z}\varphi_1(z) или f(z)=(z-z_k)\varphi(z),~ \varphi(z_k)\ne0 заключаем, что z_k=k\pi i,~ k=\pm1,\pm2,\ldots — простые нули данной функции.


В точке z=0, которая также является нулем числителя, функция не определена. Найдем предел функции в этой точке. Для раскрытия неопределенности \lim\limits_{z\to0} \frac{e^{2z}-1}{\sin z} можно использовать свойства пределов, или разложить по степеням z числитель и знаменатель:


\lim\limits_{z\to0} \frac{e^{2z}-1}{\sin z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{\left(1+2z+ \frac{(2z)^2}{2!}+\ldots\right)-1}{z-\frac{z^3}{3!}+\ldots}= \lim\limits_{z\to0} \frac{z \left(2+ \frac{4z}{2!}+\ldots\right)}{z \left(1-\frac{z^2}{3!}+\ldots\right)}= 2.

Так как \lim\limits_{z\to0}f(z)\ne0, то точка z=0 не является нулем данной функции.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved