Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Введение в анализ - Непрерывность функции
ОглавлениеВведение в анализ

Непрерывность функции


Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ. Представление о непрерывной функции можно получить, если сказать, что график ее непрерывен, т.е. его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.


Непрерывная функция математически выражает одно свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел [math]s=f(t)[/math], выражающие зависимости пути [math]s[/math], пройденного телом, от времени [math]t[/math]. Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения тела [math]s=f(t)[/math] устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое же приращение пути.


К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, как теперь хорошо известно, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды без всяких просветов, непрерывно распределенной в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности играет, естественно, в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.


Рассмотрим какую-либо функцию [math]y=f(x)[/math] и вполне определенное значение независимой переменной [math]x_0[/math]. Если наша функция отражает некоторый непрерывный процесс, то значениям [math]x[/math], мало отличающимся от [math]x_0[/math] должны соответствовать значения функции [math]f(x)[/math] мало отличающиеся от значения [math]f(x_0)[/math] в точке [math]x_0[/math]. Таким образом, если приращение [math]x-x_0[/math] независимой переменной мало, то должно быть малым также и соответствующее приращение [math]f(x)-f(x_0)[/math] функции. Иными словами, если приращение независимой переменной [math]x-x_0[/math] стремится к нулю, то приращение [math]f(x)-f(x_0)[/math] функции должно, в свою очередь, стремиться к нулю, что может быть записано следующим образом:


[math]\lim_{x-x_0\to0}\Bigl[f(x)-f(x_0)\Bigr]=0.[/math]
(1)

Это соотношение и является математическим определением непрерывности функции в точке [math]x_0[/math].


Функция [math]f(x)[/math] называется непрерывной в точке [math]x_0[/math], если выполняется равенство (1).


Дадим еще такое определение:


Функция называется непрерывной для всех значений, принадлежащих к данному отрезку, если она непрерывна в каждой точке [math]x_0[/math] этого отрезка, т.е. в каждой такой точке выполняется равенство (1).


Таким образом, для того чтобы ввести математическое определение свойства функции, заключающегося в том, что график ее есть непрерывная (в обычном понимании этого термина) кривая, появилась необходимость определить сначала локальное, местное свойство непрерывности (непрерывность в точке [math]x_0[/math]), а затем на этой основе определить непрерывность функции на целом отрезке.


Приведенное определение, впервые указанное в начале прошлого столетия Коши, является общепринятым в современном математическом анализе. Проверка на многочисленных конкретных примерах показала, что это определение хорошо соответствует сложившемуся у нас практическому представлению о непрерывной функции, например представлению о непрерывном графике.


В качестве примеров непрерывных функций могут служить известные из школьной математики элементарные функции [math]x^n,[/math] [math]\sin{x},[/math] [math]\cos{x},[/math] [math]a^x,[/math] [math]\lg{x},[/math] [math]\arcsin{x},[/math] [math]\arccos{x}[/math]. Все перечисленные функции непрерывны на отрезках изменения [math]x[/math], где они определены.


Если непрерывные функции складывать, вычитать, умножать и делить (при знаменателе, не равном нулю), то в результате мы снова придем к непрерывной функции. Однако при делении непрерывность, как правило, нарушается для тех значений [math]x_0[/math], при которых функция, стоящая в знаменателе, обращается в нуль. Результат деления представляет собой тогда разрывную в точке [math]x_0[/math] функцию.


Функция [math]y=\frac{1}{x}[/math] может служить примером разрывной в точке [math]y=0[/math] функции. Ряд других примеров разрывных функций дают графики, изображенные на рис. 1.


Рекомендуем внимательно рассмотреть эти графики. Отметим, что разрывы функций бывают разные: иногда с приближением [math]x[/math] к точке [math]x_0[/math], где функция претерпевает разрыв, предел [math]f(x)[/math] существует, но отличен от [math]f(x_0)[/math], а иногда, как на рис. 1в, этого предела просто не существует. Бывает и так, что с приближением [math]x[/math] к [math]x_0[/math] с одной стороны [math]f(x)-f(x_0)\to0[/math], а если [math]x\to x_0[/math], приближаясь с другой стороны, то [math]f(x)-f(x_0)[/math] уже не стремится к нулю. В этом случае, конечно, мы имеем разрыв функции, хотя про нее можно сказать, что она в этой точке «непрерывна с одной стороны». Все эти случаи можно проследить на приведенных графиках.




Определение непрерывности функции


1. Функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна в точке [math]x=a[/math], если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т. е.


[math]\lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a).[/math]

2. Функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна в точке [math]x=a[/math], если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. [math]\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0[/math] вблизи точки [math]a[/math].


Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.


Непрерывная на отрезке [math][a,b][/math] функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим [math]m[/math] и наибольшим [math]M[/math] значением, то есть [math]m\leqslant f(x)\leqslant M[/math] для всех [math]x\in[a,b][/math]. Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка [math][a,b][/math] функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть по крайней мере одно такое значение [math]x=c[/math], при котором функция обращается в ноль. Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.




Точки разрыва функции


Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.


Если при [math]x\to a[/math] слева функция имеет конечный предел [math]k_1[/math], а при [math]x\to a[/math] справа функция имеет конечный предел [math]k_2[/math] и [math]k_1\ne k_2[/math], то говорят, что функция при [math]x=a[/math] имеет разрыв первого рода. Разность [math]|k_1-k_2|[/math] определяет скачок функции в точке [math]x=a[/math]. Значение функции при [math]x=a[/math] при этом может быть равно какому угодно числу [math]k_3[/math].


Если значение функции при [math]x=a[/math] равно [math]k_1[/math], то говорят, что функция непрерывна слева; если же [math]k_2[/math], то говорят, что функция непрерывна справа.


Если [math]k_1=k_2\ne k_3[/math] говорят, что функция имеет в точке [math]a[/math] устранимый разрыв.


Если при [math]x\to a[/math] справа или слева, предел функции не существует или равен бесконечности, то есть [math]\lim_{x\to a}f(x)=\infty[/math], то говорят, что при [math]x=a[/math] функция имеет разрыв второго рода.




Пример 1. Найти множество значений [math]x[/math], при которых функция [math]y=x^3-2x[/math] непрерывна.


Решение. Найдем приращение функции


[math]\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^2-2).[/math]

При любых значениях переменной [math]x[/math] приращение [math]\Delta y\to0[/math], если только [math]\Delta x\to0[/math] поэтому функция непрерывна при всех действительных значениях переменной [math]x[/math].




Пример 2. Доказать непрерывность функции [math]y=\frac{1}{x-1}[/math] в точке [math]x=3[/math].


Решение. Для доказательства найдем приращение функции [math]y[/math] при переходе значения аргумента от [math]x=3[/math] к [math]x=3+\Delta x[/math]


[math]\Delta y=\frac{1}{3+\Delta x-1}-\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{2-2-\Delta x}{2(2+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}.[/math]

Найдем предел приращения функции при [math]\Delta x\to0[/math]


[math]\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=-\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{2(2+\Delta x)}=-\frac{0}{2(2+0)}=0.[/math]

Так как предел приращения функции при [math]\Delta x\to0[/math] равен нулю, то функция при [math]x\to3[/math] непрерывна.




Пример 3. Определить характер разрыва функций и построить графики:


[math]\mathrm{a)}~y=\frac{1}{x-1}~\text{if}~x=1;\qquad\mathrm{b)}~y=\frac{x}{|x|}~\text{if}~x=0;\qquad\mathrm{c)}~y=\begin{cases}2x,&\text{if}~x\ne2,\\1,&\text{if}~x=2;\end{cases}\qquad\mathrm{d)}~y=a^{1/x}~(a>1);\qquad\mathrm{e)}~y=\operatorname{arctg}\frac{1}{x}.[/math]

Решение.


a) При [math]x=1[/math] функция не определена, найдём односторонние пределы в этой точки:


[math]\lim_{x\to1-0}\frac{1}{x-1}=-\infty;\quad\lim_{x\to1+0}\frac{1}{x-1}=+\infty.[/math]

Следовательно, в точке [math]x=1[/math] функция имеет разрыв второго рода.


b) При [math]x<0[/math] предел функции равен [math]\lim_{0-0}\frac{x}{|x|}=-1=k_1[/math]. При [math]x>0[/math] предел равен [math]\lim_{0+0}\frac{x}{|x|}=1=k_2[/math]. Следовательно, в точке [math]x=1[/math] функция [math]y[/math] имеет разрыв первого рода и скачок функции равен [math]|k_1-k_2|=|-1-1|=2[/math].


c) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная, так как в точке [math]x=2[/math] аналитическое выражение функции меняется. Исследуем непрерывность функции в точке [math]x=2[/math]:


[math]\lim_{x\to2-0}=4,\quad\lim_{x\to2+0}2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.[/math]

Очевидно, что в точке [math]x=2[/math] функция имеет устранимый разрыв.


d) Найдём левый и правый пределы функции в точке [math]x=0[/math]:


[math]y(+0)=\lim_{x\to+0}a^{1/x}=+\infty,\quad y(-0)=\lim_{x\to-0}a^{1/x}=0.[/math]

Итак, в точке [math]x=0[/math] справа функция имеет разрыв второго рода, а слева – непрерывность.


e) Найдём односторонние пределы функции в точке [math]x=0[/math]:


[math]y(+0)=\lim_{x\to+0}\operatorname{arctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\quad y(-0)=\lim_{x\to-0}\operatorname{arctg}\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}.[/math]

Итак, в точке [math]x=0[/math] с обеих сторон у функции [math]y=\operatorname{arctg}\frac{1}{x}[/math] скачки.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved