Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши

Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши


Конструирование последовательных сплайн-методов


Результаты, получаемые численными методами сеток, имеют дискретный характер и, как отмечено ранее, требуют восполнения для определения значений функций в промежуточных точках и, возможно, для последующей обработки найденного решения. Этого недостатка лишены сплайн-методы решения задачи Коши. Однако классические сплайн-методы, основанные на разложении искомой функции в ряд Тейлора, не удобны в практической реализации, так как для нелинейных задач требуется решать нелинейные алгебраические уравнения. В данном разделе излагаются непрерывно-дискретные методы, называемые последовательными сплайн-методами решения задачи Коши второго и третьего порядков, которые позволяют избежать решения нелинейных уравнений.


Процедура решения задачи Коши при переходе от известного значения [math]\widehat{y}_{i}[/math] в точке [math]x_{i}[/math] к очередному рассчитываемому значению [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] в точке [math]x_{i+1}[/math] состоит из двух этапов.


Первый этап. Находится дискретное опорное решение задачи Коши с помощью явных или неявных методов второго и третьего порядков, изложенных выше.


Второй этап. Полученное на первом этапе опорное решение подставляется в соответствующую по порядку формулу многочлена (сплайн-функцию). В качестве этих сплайн-функций могут быть приняты многочлены второй и третьей степени, использующиеся в теории приближений:


[math]S_{2,i}(x)= \widehat{y}_{i}+ \overline{m}_{i}(x-x_{i})+ \frac{1}{h_{i+1}}\! \left(\frac{\Delta \widehat{y}_{i}}{h_{i+1}}-\overline{m}_{i}\right)\!(x-x_{i})^2,\quad i=0,1,\ldots,n-1;[/math]
(6.80)

[math]\begin{gathered}S_{3,i}(x)= \widehat{y}_{i}+ \overline{m}_{i}(x-x_{i})+ \left(\frac{3 \Delta \widehat{y}_{i}}{h_{i+1}^2}-\frac{3 \overline{m}_{i}}{h_{i+1}}-\frac{\Delta \overline{m}_{i}}{h_{i+1}}\right)\! (x-x_{i})^2+\\ +\,\frac{1}{h_{i+1}^2}\! \left(-\frac{2}{h_{i+1}} \Delta \widehat{y}_{i}+ 2 \overline{m}_{i}+ \Delta \overline{m}_{i}\right)\! (x-x_{i})^3,\quad i=0,1,\ldots,n-1, \end{gathered}[/math]
(6.81)

где [math]\overline{m}_{i}= \widehat{y}\,'_{i}(x_{i})[/math]. Формула для [math]S_{2,i}(x)[/math] соответствует многочлену, получаемому по условиям согласования [math]\delta S_{2,i}(x_{k}),[/math] [math]k=i,i+1;[/math] [math]\delta S'_{2,i}(x_{i})=0[/math], а формула для [math]S_{3,i}[/math] — формуле (4.75).


Таким образом, алгоритм получения непрерывного сплайн-решения задачи Коши на каждом частичном отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math] [math](i=0,1,\ldots,n-1)[/math] разбиения отрезка [math][a,b][/math] на [math]n[/math] промежутков (данное разбиение может осуществляться как заранее, так и в процессе решения задачи) содержит две совокупности вычислительных процедур, которые выполняются последовательно и независимо друг от друга. Последовательный характер данных процедур определяет название данного метода решения задачи Коши.


Рассмотрим совокупности этих процедур отдельно для схем второго и третьего порядков, так как они имеют некоторые особенности. Здесь, как и выше, решается задача Коши для уравнения первого порядка [math]y'=f(x,y),~ y(x_0)=y_0[/math].




Схема второго порядка


Первый этап. Рассчитывается дискретное решение [math]\widehat{y}_{0}, \widehat{y}_{1},\ldots, \widehat{y}_{n}[/math] по одной наиболее приемлемой явной или неявной несоставной схеме или по составной схеме, скомпонованной из совокупности явной и неявной схем. Решение, полученное на данном этапе, называется опорным. При выборе конкретной схемы необходимо, чтобы ее порядок точности равнялся [math]p-1=2[/math], где [math]p=3[/math] — порядок сходимости сплайн-функции на отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math].


Второй этап. На каждом очередном отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math] дискретное решение преобразуется в непрерывное путем определения одного из звеньев сплайн-функции (6.80). Для этого сначала необходимо рассчитать коэффициенты [math]a_{0,i}, a_{1,i}, a_{2,i}[/math] многочлена


[math]S_{2,i}(x)= a_{0,i}+ a_{1,i}(x-x_{i})+ a_{2,i}(x-x_{i})^2.[/math]
(6.82)

Из сопоставления формул (6.82) и (6.80) видно, что коэффициент [math]a_{0,i}[/math] определяется значением [math]\widehat{y}_{i}[/math], которое известно, а коэффициент [math]a_{1,i}[/math], равный производной [math]y'(x_{i})= \overline{m}_{i}[/math], находится путем дифференцирования в точке [math]x=x_{i}[/math] сплайн-функции [math]S_{2,i-1}(x)[/math], рассчитанной на предыдущем шаге интегрирования. Таким образом, для [math]a_{0,i}[/math] и [math]a_{1,i}[/math] имеем:


[math]a_{0,i}= \widehat{y}_{i},\quad a_{1,i}= \Bigl.{S'_{2,i-1}}\Bigr|_{x=x_{i}}\quad (a_{1,i}= \overline{m}_{i}).[/math]

Последний коэффициент [math]a_{2,i}[/math] вычисляется с использованием полученного на первом этапе дискретного решения по формуле [math]a_{2,i}= \frac{1}{h_{i+1}}\! \left(\frac{\Delta \widehat{y}_{i}}{h_{i+1}}-a_{1,i}\right)[/math] следующей из (6.80). Здесь [math]\Delta \widehat{y}_{i}= \widehat{y}_{i+1}-\widehat{y}_{i}[/math] (значения [math]\widehat{y}_{i},~ i=\overline{1,n}[/math], вычислены на первом этапе), [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}[/math].


Замечания


1. При построении функции [math]S_{2,0}(x)[/math] на первом частичном отрезке следует положить [math]a_{0,0}= \widehat{y}_{0}= y_0[/math] (значение [math]y_0[/math] задано в задаче Коши (6.9)), а [math]a_{1,0}= f(x_{0}, \widehat{y}_{0})[/math].


2. Данный алгоритм построения сплайн-функции [math]S_2(x)[/math] обеспечивает непрерывность самого решения [math]\textstyle{\widehat{y}(x)\equiv \bigcup\limits_{i=0}^{n-1} S_{2,i}(x)}[/math] на всем отрезке [math][a,b][/math], а также его производной, т.е. [math]\Bigl.{S'_{2,i-1}(x)}\Bigr|_{x=x_{i}}= \Bigl.{S'_{2,i}(x)}\Bigr|_{x=x_{i}}[/math] [math](i=\overline{1,n-1})[/math]. Поэтому получаемое по данной схеме решение соответствует параболическому сплайну дефекта [math]q=1[/math].


Пример 6.11. Для задачи Коши [math]y'=x+y,~ y(0)=1[/math] найти численное решение на отрезке [math][0; 0,\!4065][/math] последовательным сплайн-методом второго порядка, задав число частичных отрезков [math]n=3[/math]; параметр нерегулярности сетки [math]\delta_{i+1}= 0,\!9~ (i=1;2)[/math], шаг [math]h_1=0,\!15[/math].


▼ Решение

1. Формирование узлов сетки. С учетом заданных параметров сетки находим:


[math]\begin{aligned}& x_0=0;\quad x_1=x_0+h_1=0,\!15; &~ & \frac{h_2}{h_1}=0,\!9; &~ & h_2=0,\!15\cdot 0,\!9=0,\!135;\\ & x_2= x_1+h_1= 0,\!15+ 0,\!135= 0,\!285; &~ & \frac{h_3}{h_2}=0,\!9; &~ & h_3=0,\!135\cdot 0,\!9=0,\!1215;\\ & x_3= 0,\!285+ 0,\!125= 0,\!4065. &~ & &~ & \end{aligned}[/math]

2. Получение опорного решения (первый этап). В качестве опорного возьмем готовое решение, полученное выше по схеме П2К2, имеющей второй порядок точности. Данное решение приведено в табл. 6.19 в третьей от левого края колонке. Нумерацию узлов для данных, помещенных в эту таблицу, следует начать [math]i=1[/math], так как узел [math]x_0=0[/math] в ней не содержится.


3. Построение формул сплайн-функций на трех частичных отрезках промежутка [math][0;0,\!4065][/math] (второй этап).


Рассчитаем коэффициенты сплайн-функции на первом частичном отрезке [math][0;0,\!15]\colon[/math]


[math]\begin{gathered}a_{0,0}= \widehat{y}_0= y_0=1;\quad a_{1,0}= f \bigl(x_0, \widehat{y}_0\bigr)= x_0+\widehat{y}_0=1,\quad \Delta \widehat{y}_0= \widehat{y}_1-\widehat{y}_0= \widehat{y}_1-1= 1,\!1740967-1= 0,\!1740967,\\[2pt] a_{2,0}= \frac{1}{h_1}\! \left(\frac{\Delta \widehat{y}_0}{h_1}-a_{1,0}\right)= \frac{1}{0,\!15}\! \left(\frac{0,\!1740967}{0,\!15}-1\right)= 1,\!0709644.\end{gathered}[/math]

С учетом этих коэффициентов записываем формулу первого звена сплайн-функции:


[math]S_{2,0}(x)=1+x+1,\!0709644x^2.[/math]

Рассчитаем коэффициенты сплайн-функции на втором частичном отрезке [math][0,\!15; 0,\!285]\colon[/math]


[math]\begin{gathered}a_{0,1}= \widehat{y}_1= 1,\!174096;\quad a_{1,1}= \Bigl.{S'_{2,0}(x) }\Bigr|_{x=0,15}= \Bigl.{1+2\cdot 1,\!0709644x}\Bigr|_{x=0,15}= 1,\!3212893;\\[2pt] a_{2,1}= \frac{1}{h_2}\! \left(\frac{\Delta \widehat{y}_1}{h_2}-a_{1,1}\right)= \frac{1}{0,\!135}\! \left(\frac{1,\!3753698-1,\!1740967}{0,\!135}-l,\!3212893\right)= 1,\!2564633. \end{gathered}[/math]

С помощью коэффициентов записываем формулу второго звена сплайн-функции:


[math]S_{2,1}(x)= 1,\!1740967 + 1,\!3212893\cdot (x-0,\!15)+ 1,\!2564633\cdot (x-0,\!15)^2.[/math]

Аналогично рассчитываются коэффициенты сплайн-функции и записывается формула третьего звена:


[math]S_{2,2}(x)= 1,\!3753698+ 1,\!6605343\cdot (x-0,\!285)+ 1,\!4050819\cdot (x-0,\!285)^2.[/math]

В результате получено непрерывное решение задачи Коши, соответствующее параболическому сплайну дефекта [math]q=1[/math].


Замечание. В примере 6.11, так же как и в последующих двух, связанных с применением кубических сплайн-функций [math]S_3(x)[/math], процессы получения дискретного и непрерывного решений (на первом и втором этапах) для упрощения полностью разделены. При решении реальных задач Коши более целесообразно их не разделять, а сразу после определения дискретного решения на очередном частичном отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math] строить соответствующее непрерывное решение, т.е. формировать очередное звено сплайн-функции.




Схема третьего порядка


Схема третьего порядка может быть реализована двумя различными способами, первый из которых основан на использовании формулы (6.71), а второй на иной конструкции формулы звена сплайна, получаемой в данном разделе из условий непрерывности первой и второй производной.


Первый способ реализации схемы третьего порядка.


Первый этап. Рассчитывается дискретное (опорное) решение [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] в точке [math]x_{i+1}[/math] по одной наиболее приемлемой явной или неявной несоставной схеме или по некоторой составной схеме, состоящей из явной и неявной схем. Порядок точности этой схемы должен быть не ниже трех, что соответствует [math]p-1[/math], где [math]p=4[/math] — порядок сходимости сплайн-функции [math]S_3(x)[/math].


Второй этап. При выполнении этого этапа дискретное решение [math]\widehat{y}_{i},\, \widehat{y}_{i+1}[/math], соответствующее концам отрезка [math][x_{i},x_{i+1}][/math] преобразуется в непрерывное путем построения одного звена сплайн-функции (6.81). Для этого, так же как и для схемы второго порядка, вначале рассчитываются коэффициенты [math]a_{0,i}, a_{1,i}, a_{2,i}, a_{3,i}[/math] многочлена [math]S_{3,i}(x)\colon[/math]


[math]S_{3,i}(x)= a_{0,i}+a_{1,i}(x-x_{i})+ a_{2,i}(x-x_{i})^2+ a_{3,i}(x-x_{i})^3,\quad i=\overline{0,n-1}.[/math]
(6.83)

Из сопоставления формул (6.81) и (6.83) видно, что [math]a_{0,i}[/math] определяется значением [math]\widehat{y}_{i}[/math], которое рассчитано на предыдущем шаге. Коэффициент [math]a_{1,i}[/math] вычисляется по формуле [math]a_{1,i}= f \bigl(x_{i}, \widehat{y}_{i}\bigr)[/math], а коэффициенты [math]a_{2,i}[/math] и [math]a_{3,i}[/math] — с использованием дискретного решения по формулам, следующим из (6.81):


[math]a_{2,i}= \frac{3 \Delta \widehat{y}_{i}}{h_{i+1}^2}-\frac{3 \overline{m}_{i}}{h_{i+1}}-\frac{\Delta \overline{m}_{i}}{h_{i+1}};\qquad a_{3,i}= \frac{3}{h_{i+1}^2}\! \left(-\frac{2 \Delta \widehat{y}_{i}}{h_{i+1}}+ 2 \overline{m}_{i}+ \Delta \overline{m}_{i}\right)\!.[/math]

Здесь, как и выше, принято обозначение [math]\overline{m}_{i}= \widehat{y}\,'(x_{i})[/math]. Величина [math]\overline{m}_{i+1}[/math], вычисляется с использованием правой части исходного дифференциального уравнения, т.е. [math]\overline{m}_{i+1}= f \bigl(x_{i+1}, \widehat{y}_{i+1} \bigr)[/math]. При построении функции [math]S_{3,0}(x)[/math] на первом отрезке следует положить [math]a_{0,0}= \widehat{y}_{0}= y_0[/math], а [math]a_{1,0}= f \bigl(x_0, \widehat{y}_{0} \bigr)[/math].


Пример 6.12. Для задачи Коши [math]y'=x+y,~ y(0)=1[/math] найти численное решение на отрезке [math][0; 0,\!4065][/math] последовательным сплайн-методом третьего порядка [math](n=3,~ \delta_{i+1}= 0,\!9;~ h_1=0,\!15)[/math] в соответствии с изложенным первым способом.


▼ Решение

1. Формирование узлов сетки осуществляется аналогично примеру 6.11.


2. Получение опорного решения (первый этап). В качестве опорного возьмем решение, рассчитанное в предыдущем разделе по схеме П2КЗ, имеющей третий порядок точности. Данное решение приведено в табл. 6.19 в четвертой от левого края колонке. Нумерацию узлов для данных, помещенных в эту таблицу, следует начать с [math]i=1[/math], так как узел [math]x_0=0[/math] в ней не содержится.


3. Построение формул сплайн-функции на трех частичных отрезках разбиения отрезка [math][0; 0,\!4065][/math] (второй этап). Рассчитаем коэффициенты сплайн-функции на первом отрезке [math][0; 0,\!15][/math] (первое звено сплайна):


[math]\begin{gathered}a_{0,0}= \widehat{y}_{0}= y_0=1;\qquad a_{1,0}= \widehat{y}\,'_{0}= f \bigl(x_0, \widehat{y}_{0}\bigr)=1= \overline{m}_{0};\\[2pt] \overline{m}_1= f \bigl(x_1, \widehat{y}_{1}\bigr)= x_1+\widehat{y}_{1}= 0,\!15+ 1,\!1736998 = 1,\!3236998;\\[2pt] a_{2,0}= \frac{3 \Delta \widehat{y}_{0}}{h_1^2}-\frac{3\overline{m}_{0}}{h_1}-\frac{\Delta \overline{m}_{0}}{h_1}= \frac{3(1,\!1736998-1)}{0,\!15^2}-\frac{3\cdot1}{0,\!15}-\frac{1,\!3236998-1}{0,\!15}= 1,0019746;\\[2pt] a_{3,0}= \frac{3}{h_1^2}\! \left(-\frac{2 \Delta \widehat{y}_0}{h_1}+2 \overline{m}_0+ \Delta \overline{m}_0\right)= \frac{3}{0,\!15^2}\! \left(-2\cdot \frac{0,\!1736998}{0,\!15}+ 2\cdot1+ 0,\!3236998\right)= 0,\!342332. \end{gathered}[/math]

По значениям рассчитанных коэффициентов записывается формула первого звена сплайн-функции


[math]S_{3,0}(x)= 1+x + 1,\!0019746\cdot x^2+ 0,\!342332\cdot x^3.[/math]

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \multicolumn{5}{r}{\mathit{Table~6.26}}\\\hline i& a_{0,i}& a_{1,i}& a_{2,i}& a_{3,i}\\\hline 0& 1,\!0000& 1,\!0000& 1,\!0020& 0,\!3423 \\\hline 1& 1,\!1737& 1,\!3237& 1,\!1419& 0,\!5016 \\\hline 2& 1,\!3744& 1,\!6594& 1,\!3318& 0,\!4507 \\\hline \end{array}[/math]

Аналогично находятся и два оставшихся звена кубической сплайн-функции. Коэффициенты всех трех звеньев приведены в табл. 6.26.


Второй способ реализации схемы третьего порядка.


При необходимости строгого выполнения условия непрерывности первой и второй производной в узлах расчетной сетки коэффициенты искомого кубического сплайна определяются из двух условий интерполяции (согласования) на концах отрезка [math][x_{i},x_{i+1}][/math] и двух условий стыковки (непрерывности) первой и второй производной в узлах, соединяющих два соседних отрезка [math][x_{i-1},x_{i}][/math] и [math][x_{i},x_{i+1}][/math], то есть


[math]\begin{aligned}& \Bigl.{S'_{3,i-1}(x)}\Bigr|_{x=x_{i}}= \Bigl.{S'_{3,i}(x) }\Bigr|_{x=x_{i}}, & & i=\overline{1,n-1},\\ & \Bigl.{S''_{3,i-1}(x)}\Bigr|_{x=x_{i}}= \Bigl.{S''_{3,i}(x) }\Bigr|_{x=x_{i}}, & & i=\overline{1,n-1}. \end{aligned}[/math]

Производные, указанные в левых частях этих условий стыковки, при каждом значении [math]i[/math] вычисляются с помощью многочлена, полученного на предыдущем шаге интегрирования, т.е. на отрезке [math][x_{i-1},x_{i}][/math].


С учетом отмеченных выше двух условий согласования и двух условий стыковки нетрудно получить следующую формулу i-го звена сплайна:


[math]S_{3,i}(x)= \widehat{y}_{i}+ \overline{m}_{i}(x-x_{i})+ \frac{\overline{m}_{i} }{2}(x-x_{i})^2+ \frac{1}{h_{i+1}^3}\! \left(\Delta \widehat{y}_{i}-\overline{m}_{i}h_{i+1}-\frac{m_{i}}{2}h_{i+1}^2\right)\!(x-x_{i})^3,[/math]
(6.84)

где [math]\overline{m}_{i}= \widehat{y}\,'(x_{i})= S'_{3,i-1}(x_{i});~ m_{i}= \widehat{y}\,''(x_{i})= S''_{3,i-1}(x_{i})[/math]. Таким образом, коэффициенты звена сплайна (6.84) находятся по формулам


[math]\begin{gathered}a_{0,i}= \widehat{y}_{i},\qquad a_{1,i}= \overline{m}_{i}= S'_{3,i-1}(x_{i}),\qquad a_{2,i}= \frac{m_{i}}{2}= \frac{1}{2}S''_{3,i-1}(x_{i}),\\ a_{3,i}= \frac{1}{h_{i+1}^3} \bigl(\Delta \widehat{y}_{i}-a_{1,i}h_{i+1}-a_{2,i} h_{i+1}^2\bigr),\quad i=\overline{1,n-1}. \end{gathered}[/math]

На первом отрезке для первого звена сплайна коэффициенты [math]a_{0,0},\, a_{1,0},\, a_{2,0}[/math] вычисляются по формулам


[math]a_{0,0}= \widehat{y}_{0}=y_0,\quad a_{1,0}= \overline{m}_0= f \bigl(x_0, \widehat{y}_{0}\bigr),\quad a_{2,0}= \frac{m_0}{2}= \frac{1}{2}y''(x_0)= \frac{1}{2} f' \bigl(x_0, \widehat{y}_{0}\bigr).[/math]

Пример 6.13. Решить задачу, сформулированную в примерах 6.11 и 6.12, с помощью второго способа реализации схемы третьего порядка.


▼ Решение

1. Формирование узлов сетки аналогично примерам 6.11 и 6.12.


2. Получение опорного решения. Осуществляется аналогично изложенному в примере 6.12.


3. Построение звеньев сплайн-функции на трех частичных отрезках [math][0;0,\!15]; [0,\!15;0,\!285]; [0,\!285;0,\!4065][/math].


Рассчитаем коэффициенты сплайн-функции на первом частичном отрезке [math][0;0,\!15][/math] (первое звено сплайна):


[math]\begin{gathered}a_{0,0}= \widehat{y}_0= y_0=1;\qquad a_{1,0}= \widehat{y}\,'_0= f \bigl(x_0, \widehat{y}_0\bigr)=1= \overline{m}_0;\\[2pt] a_{2,0}= \frac{1}{2}\widehat{y}\,''_0= \frac{1}{2}\Bigl.{f'(x,y)}\Bigr|_{x=x_0}= \frac{1}{2}\Bigl.{(x+y)'}\Bigr|_{x=0}= \frac{1}{2}\Bigl.{1+\widehat{y}\,'_x}\Bigr|_{x=x_0}= \frac{1+1}{2}=1,\\[2pt] a_{3,0}= \frac{1}{h_1^3}\! \left(\Delta \widehat{y}_0-\overline{m}_0 h_1-\frac{m_0}{2}h_1^2\right)= \frac{1}{0,\!15^3} \bigl(0,\!1736998-1\cdot 0,\!15-1\cdot 0,15^2\bigr)= 0,\!3554963. \end{gathered}[/math]

С помощью этих коэффициентов записываем формулу первого звена сплайн-функции:


[math]S_{3,0}(x)= 1+x+x^2+ 0,\!3554963x^3.[/math]

Рассчитаем коэффициенты второго звена сплайн-функции на втором частичном отрезке [math][0,\!15;0,\!285]= [x_1,x_2][/math] [math](h_2=0,\!135)[/math]. По формуле первого звена [math]S_{3,0}(x)[/math] вычисляются первые и вторые производные [math]\Bigl.{S'_{3,0}(x) }\Bigr|_{x=x_1},[/math] [math]\Bigl.{S''_{3,0}(x)}\Bigr|_{x=x_1}[/math] соответственно:


[math]\begin{gathered}\Bigl.{S'_{3,0}(x)}\Bigr|_{x=0,15}= \Bigl.{\bigl(1+2x+3\cdot 0,\!3554963x^2\bigr)}\Bigr|_{x=0,15}= 1,\!323996= \overline{m}_1;\\[2pt] \Bigl.{S''_{3,0}(x) }\Bigr|_{x=0,15}= \Bigl.{\bigl(2+ 6\cdot 0,\!3554963x\bigr)}\Bigr|_{x=0,15}= 2,\!3199466= m_1. \end{gathered}[/math]

После этого легко найти все коэффициенты многочлена [math]S_{3,1}(x)[/math] второго звена сплайн-функции:


[math]\begin{gathered}a_{0,1}= \widehat{y}_{1}= 1,1736998;\quad a_{1,1}= \overline{m}_1= 1,\!323996;\quad a_{2,1}= \frac{m_1}{2}= \frac{2,\!3199466}{2}= 1,\!1599733;\\[2pt] a_{3,1}= \frac{1}{h_2^3}\! \left(\Delta \widehat{y}_{1}-\overline{m}_1\cdot h_2-\frac{m_1}{2}\cdot h_2^2 \right)=\\ = \frac{1}{0,135^3}\! \left[(1,\!374445-1,\!1736998)-1,\!323996\cdot 0,\!135-\frac{2,\!3199466}{2}\cdot 0,\!135^2\right]= 0,\!3528836. \end{gathered}[/math]

С использованием этих коэффициентов записывается формула второго звена сплайн-функции:


[math]S_{3,1}(x)= 1,\!1736998+ 1,\!323996(x-0,\!15)+ 1,\!1599733(x-0,\!15)^2+ 0,\!3528836(x-0,\!15)^3.[/math]

Процесс построения последующих звеньев сплайн-функции выполняется аналогично до конца отрезка [math][a,b][/math]. В частности, для рассматриваемого примера получается такая формула последующего третьего звена сплайн-функции:


[math]S_{3,2}(x)= 1,\!374445+ 1,\!6564827(x-0,\!285)+ 1,\!302912(x-0,\!285)^2+ 0,\!8894584(x-0,\!285)^3.[/math]

С помощью найденных звеньев формируется многозвенная кубическая сплайн-функция дефекта [math]q=1[/math], являющаяся приближенным решением задачи Коши.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved