Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия


Отношение следования предикатов и соответствующее ему отношение включения соответствующих множеств истинности этих предикатов могут придать дополнительные штрихи к методике обучения понятиям необходимых и достаточных условий, усвоение которых вызывает значительные затруднения не только у школьников, но и у студентов.


Предположим, что некоторая математическая теорема имеет вид: [math](\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)[/math]. Это означает, что предикат [math]P(x)\to Q(x)[/math] тождественно истинен, т.е. его множество истинности [math](P\to Q)^{+}=U[/math]. Используя теоремы 19.2, 19.6, 19.9, находим:


[math]U= (P\to Q)^{+}= (\lnot P\lor Q)^{+}= (\lnot P)^{+}\cup Q^{+}= \overline{P^{+}}\cup Q^{+}.[/math]

Следовательно, [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math], а значит, предикат [math]Q(x)[/math] является следствием предиката [math]P(x)[/math].


Исходная теорема [math](\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)[/math] означает, что условие [math]P(x)[/math] является достаточным для условия [math]Q(x)[/math], a [math]Q(x)[/math] — необходимым для [math]P(x)[/math]. Проведенное только что рассуждение показывает, что это будет тогда и только тогда, когда имеет место включение [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math] соответствующих множеств истинности.


Если теперь изобразить эти множества и отношение включения между ними кругами Эйлера, то, используя обычные житейские представления о терминах "необходимо" и "достаточно", можно заключить:


1) чтобы элементхпринадлежал множеству [math]Q^{+}[/math] (т.е. удовлетворял условию [math]Q(x)[/math]), (вполне) достаточно, чтобы он принадлежал множеству [math]P^{+}[/math] (т.е. удовлетворял условию [math]P(x)[/math]);


2) чтобы элемент [math]x[/math] принадлежал множеству [math]P^{+}[/math], необходимо, чтобы он принадлежал множеству [math]Q^{+}[/math] (ибо в противном случае, если он не принадлежит [math]Q^{+}[/math], то он и подавно не принадлежит множеству [math]P^{+}[/math]).


Полезно научиться оперировать этими понятиями на наглядном языке эйлеровских диаграмм. Эта своего рода материализованная форма умственной деятельности будет способствовать формированию чисто умственных действий, связанных с понятиями необходимых и достаточных условий. Здесь необходимо освоить два вида деятельности.


Во-первых, научиться рисовать диаграмму Эйлера, описывающую ту или иную словесную формулировку.




Пример 24.23. Формулировки могут быть, например, такими:


1) [math]P[/math] необходимо для [math]Q[/math];
2) [math]B[/math] необходимо для [math]A[/math];
3) [math]M[/math] достаточно для [math]N[/math], [math]N[/math] достаточно для [math]K[/math];
4) [math]A[/math] необходимо для [math]B[/math], [math]B[/math] необходимо для [math]C[/math];
5) [math]X[/math] необходимо для [math]Y[/math], [math]Y[/math] достаточно для [math]Z[/math];
6) [math]X[/math] достаточно для [math]Y[/math], [math]Y[/math] необходимо для [math]Z[/math].

Диаграммы Эйлера выглядят так:



Во-вторых, обратно, в ответ на предложенную диаграмму Эйлера дать соответствующую ей словесную формулировку.



Пример 24.24. Вот примеры диаграмм:


Соответствующие словесные формулировки таковы: [math]Y[/math] достаточно для [math]X,~Y[/math] достаточно для [math]Z[/math]; [math]R[/math] необходимо и для [math]P[/math], и для [math]Q[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved