Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия


Отношение следования предикатов и соответствующее ему отношение включения соответствующих множеств истинности этих предикатов могут придать дополнительные штрихи к методике обучения понятиям необходимых и достаточных условий, усвоение которых вызывает значительные затруднения не только у школьников, но и у студентов.


Предположим, что некоторая математическая теорема имеет вид: (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr). Это означает, что предикат P(x)\to Q(x) тождественно истинен, т.е. его множество истинности (P\to Q)^{+}=U. Используя теоремы 19.2, 19.6, 19.9, находим:


U= (P\to Q)^{+}= (\lnot P\lor Q)^{+}= (\lnot P)^{+}\cup Q^{+}= \overline{P^{+}}\cup Q^{+}.

Следовательно, P^{+}\subseteq Q^{+}, а значит, предикат Q(x) является следствием предиката P(x).


Исходная теорема (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr) означает, что условие P(x) является достаточным для условия Q(x), a Q(x) — необходимым для P(x). Проведенное только что рассуждение показывает, что это будет тогда и только тогда, когда имеет место включение P^{+}\subseteq Q^{+} соответствующих множеств истинности.


Если теперь изобразить эти множества и отношение включения между ними кругами Эйлера, то, используя обычные житейские представления о терминах "необходимо" и "достаточно", можно заключить:


1) чтобы элемент x принадлежал множеству Q^{+} (т.е. удовлетворял условию Q(x)), (вполне) достаточно, чтобы он принадлежал множеству P^{+} (т.е. удовлетворял условию P(x));


2) чтобы элемент x принадлежал множеству P^{+}, необходимо, чтобы он принадлежал множеству Q^{+} (ибо в противном случае, если он не принадлежит Q^{+}, то он и подавно не принадлежит множеству P^{+}).


Множества и отношение включения между ними

Полезно научиться оперировать этими понятиями на наглядном языке эйлеровских диаграмм. Эта своего рода материализованная форма умственной деятельности будет способствовать формированию чисто умственных действий, связанных с понятиями необходимых и достаточных условий. Здесь необходимо освоить два вида деятельности.


Во-первых, научиться рисовать диаграмму Эйлера, описывающую ту или иную словесную формулировку.




Пример 24.23. Формулировки могут быть, например, такими:


1) P необходимо для Q;
2) B необходимо для A;
3) M достаточно для N, N достаточно для K;
4) A необходимо для B, B необходимо для C;
5) X необходимо для Y, Y достаточно для Z;
6) X достаточно для Y, Y необходимо для Z.

Диаграммы Эйлера выглядят так:


Пример диаграммы Эйлера

Во-вторых, обратно, в ответ на предложенную диаграмму Эйлера дать соответствующую ей словесную формулировку.


Пример 24.24. Вот примеры диаграмм:


Пример диаграммы Эйлера

Соответствующие словесные формулировки таковы: Y достаточно для X,~Y достаточно для Z; R необходимо и для P, и для Q.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved