Необходимые и достаточные условия
Отношение следования предикатов и соответствующее ему отношение включения соответствующих множеств истинности этих предикатов могут придать дополнительные штрихи к методике обучения понятиям необходимых и достаточных условий, усвоение которых вызывает значительные затруднения не только у школьников, но и у студентов.
Предположим, что некоторая математическая теорема имеет вид: . Это означает, что предикат тождественно истинен, т.е. его множество истинности . Используя теоремы 19.2, 19.6, 19.9, находим:
Следовательно, , а значит, предикат является следствием предиката .
Исходная теорема означает, что условие является достаточным для условия , a — необходимым для . Проведенное только что рассуждение показывает, что это будет тогда и только тогда, когда имеет место включение соответствующих множеств истинности.
Если теперь изобразить эти множества и отношение включения между ними кругами Эйлера, то, используя обычные житейские представления о терминах "необходимо" и "достаточно", можно заключить:
1) чтобы элемент принадлежал множеству (т.е. удовлетворял условию ), (вполне) достаточно, чтобы он принадлежал множеству (т.е. удовлетворял условию );
2) чтобы элемент принадлежал множеству , необходимо, чтобы он принадлежал множеству (ибо в противном случае, если он не принадлежит , то он и подавно не принадлежит множеству ).
Полезно научиться оперировать этими понятиями на наглядном языке эйлеровских диаграмм. Эта своего рода материализованная форма умственной деятельности будет способствовать формированию чисто умственных действий, связанных с понятиями необходимых и достаточных условий. Здесь необходимо освоить два вида деятельности.
Во-первых, научиться рисовать диаграмму Эйлера, описывающую ту или иную словесную формулировку.
Пример 24.23. Формулировки могут быть, например, такими:
1) необходимо для ; 2) необходимо для ; 3) достаточно для , достаточно для ; 4) необходимо для , необходимо для ; 5) необходимо для , достаточно для ; 6) достаточно для , необходимо для .
Диаграммы Эйлера выглядят так:
Во-вторых, обратно, в ответ на предложенную диаграмму Эйлера дать соответствующую ей словесную формулировку.
Пример 24.24. Вот примеры диаграмм:
Соответствующие словесные формулировки таковы: достаточно для достаточно для ; необходимо и для , и для .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|