Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Неформальные аксиоматические теории
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Неформальные аксиоматические теории Содержание 1. Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории 2. Как возникают аксиоматические теории 3. Примеры аксиоматических теорий 4. Интерпретации и модели аксиоматической теории Мы подошли к тому разделу курса математической логики, который должен убедительно продемонстрировать всю мощь воздействия методов этой науки на прочие математические науки, показать особую (цементирующую) роль математической логики в системе математических наук. Здесь необходимо увидеть отчетливую связь изученных понятий и методов со школьной математикой, с педагогической деятельностью учителя математики. Должна быть осознана всеобъемлющая, универсальная роль математической логики в вопросах обоснования математики вообще и школьного курса математики в особенности. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в XX в. показало, что математика выделяется в системе наук тем, что в ней чрезвычайно широко используется аксиоматический метод, который в значительной мере и обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него. В настоящей лекции рассматривается аксиоматический или дедуктивный метод построения математических теорий. Это рассмотрение проводится на неформальном (содержательном) уровне. Будут изложены основные сведения об аксиоматическом методе и аксиоматических теориях, приведены примеры таких теорий, возникших в разных областях математики. Также дана характеристика свойств аксиоматических теорий — непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость системы аксиом. Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории Понятие аксиоматической теории. Аксиома (от греч. axioma) — положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, является истинным исходным положением теории. Такой способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики) позволяет путем дедукции, т.е. по правилам логики, получать утверждения данной теории. Аксиоматический метод не является достижением только двадцатого столетия. В начале XX в. благодаря главным образом работам немецкого математика Д.Гильберта (1862–1943) окончательно сформировались принципиальные положения данного метода и было осознано его значение для математики. Первые идеи, связанные с этим методом, восходят к титанам античной мысли Платону и Аристотелю (IV в. до н.э.). Первый практический шаг на этом пути был сделан более двух тысяч лет назад древнегреческим математиком Евклидом (около 300 г. до н.э.). Его труд "Начала" (15 книг) как энциклопедия геометрических знаний служил образцом написания математических работ на протяжении более двадцати веков. Именно благодаря этому авторитетнейшему произведению сформировалось общечеловеческое представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства, обоснования, являющем собой некую абсолютную истину. Тем не менее внутри математической науки этот взгляд на аксиомы претерпевал самые решительные изменения. Такой процесс шел постепенно, но качественный скачок в нем произошел после того, как в 20–30-е гг. XIX в. великим русским математиком Н.И.Лобачевским (1792–1856) и независимо от него молодым венгром Яношем Бояи (1802—1860), а также великим немецким ученым К. Ф. Гауссом (1777–1855) были внесены изменения в представления о природе пространства, т. е. возникает неевклидова геометрия. Суть открытия состояла в том, что вместо пятого постулата Евклида о параллельных в систему аксиом было включено утверждение, являющееся его отрицанием, и затем на базе полученной системы аксиом была построена непротиворечивая геометрическая теория, названная Н.И.Лобачевским "воображаемой геометрией". Важным этапом в процессе эволюции взглядов на аксиомы явилось построение во второй половине XIX в. нескольких моделей геометрии Лобачевского. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать разный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид. Такое развитие взглядов на природу аксиом и аксиоматический метод привело к следующей концепции аксиоматической теории. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен ранее. Высказывание, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямые, плоскости и т. д. Но эти понятия также должны определяться через свои понятия, которые, в свою очередь, опираются на следующие понятия, и так до бесконечности. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются. Аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, а при их доказательстве, в свою очередь, — на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначим буквой Е. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Отметим только, что Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества. Итак, после того как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом и пользуясь правилами логического умозаключения, выводят новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории. Можно более точно сформулировать понятия теоремы аксиоматической теории и ее доказательства. Доказательством утверждения $C$ , сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность $B_1,B_2,\ldots,B_s$ высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или большего числа предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание $B_s$ есть утверждение $C$ . При этом $C$ называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: $\vdash C$ . Отметим, что каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой: доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из нее самой. Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть $\Gamma$ — конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение $C$ теории называется выводимым из $\Gamma$ (обозначается: $\Gamma\vdash C$ ), если существует конечная последовательность высказываний $B_1,B_2,\ldots,B_s$ , называемая выводом $C$ из $\Gamma$ , каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из $\Gamma$ , либо получено из одного или большего числа предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание $B_s$ есть утверждение $C$ . Утверждения из множества $\Gamma$ называются гипотезами (или посылками, или допущениями). В частном случае, когда $\Gamma=\varnothing$ , вывод $C$ из $\Gamma$ превращается в доказательство утверждения $C$ , а $C$ становится теоремой аксиоматической теории. Итак, под аксиоматической теорией, построенной на основе системы аксиом $\Sigma$ , понимается совокупность всех теорем, доказываемых на основе этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают $\operatorname{Th}(\Sigma)$ . Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином "аксиома" утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого "аксиома" означает "достойный признания") — именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике при построении аксиоматических теорий аксиомы условны. Они "достойны признания" не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому, что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Иначе говоря, аксиомы — это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы — то, что выводится из аксиом. Как возникают аксиоматические теории Можно проследить два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике. Первый путь можно охарактеризовать тем, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Подобным образом произошла аксиоматизация таких математических теорий, как арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пеано), геометрия (на основе систем аксиом Д.Гильберта, Г.Вейля, М.Пиери и др.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н.Колмогорова) и т.д. Второй путь возникновения аксиоматических теорий связан с процессом постепенного осознания глубокого внутреннего сходства основных черт, казалось бы, совершенно разных математических теорий, с попыткой выделить общие черты, с тем чтобы, Руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. (Может быть, именно поэтому Д. Гильберт считал математику искусством называть разные вещи одним и тем же именем.) На этом пути возникли, по-видимому, все алгебраические (аксиоматические) теории, прежде всего теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Именно на этом пути появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы для приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще. Примеры аксиоматических теорий Приведем примеры аксиоматических теорий, возникших различными путями. Пример 26.1. Теория групп — одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно немало объектов, обладающих многими общими чертами. Среди них, в частности: множество $F_{1-1}(M)$ всех взаимно-однозначных отображений множества $M$ на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений; множество $Z$ всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел; множество $V_2$ всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через $G$ , а каждую из операций через $\ast$ (и называя ее композицией элементов из $G$ ), обнаруживаем, что все три указанных объекта обладают следующими свойствами: $(G_0)\colon$ Для любых $a$ и $b$ из $G$ композиция $a\ast b$ есть однозначно определенный элемент из $G$ ; $(G_1)\colon$ Для любых $a,\,b$ и $c$ из $G(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ ; $(G_2)\colon$ В $G$ имеется такой элемент $e$ , что для любого $a$ из $G$ имеем $a\ast e=e\ast a=a$ ; $(G_3)\colon$ Для любого $a$ из $G$ имеется такой $a'$ из $G$ , что $a\ast a'=a'\ast a=e$ . Например, элемент $e$ , существование которого утверждается в свойстве $G_2$ , в случае $F_{1-1}(M)$ есть тождественное отображение $M$ на $M$ , в случае $Z$ — целое число 0, в случае $V_2$ — нуль-вектор $\vec{0}$ . В свойстве $G_3$ элемент $a'$ есть обратное преобразование $f^{-1}$ (противоположное число $-m$ , противоположный вектор $\overrightarrow{BA}$ ) для преобразования $f$ (целого числа $m$ и вектора $\overrightarrow{AB}$ соответственно). Утверждения $G_0-G_3$ и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории. $(G_4)\colon$ В группе имеется точно один единичный элемент. Доказательство. Ввиду $G_2$ нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в $G$ имеются два единичных элемента: $e_1$ и $e_2$ , т.е. на основании $G_2$ для любого $a$ справедливы равенства $e_1\ast a=a$ и $a\ast e_2=a$ . Тогда, в частности, $e_1\ast e_2=e_2$ и $e_1\ast e_2=e_1$ . Следовательно, в силу $G_0$ и свойств равенства $e_1=e_2$ . $(G_5)\colon$ Для каждого элемента группы имеется точно один обратный. Доказательство. Ввиду $G_3$ остается доказать лишь его единственность. Допустим, что в $G$ для элемента $a$ имеются два обратных $a'$ и $a''$ , т.е. таких элементов, что $a''\ast a=e$ и $a\ast a'=e$ . Тогда в силу $G$ имеем $(a''\ast a)\ast a'=a''$ , а следовательно, $e\ast a'=a''\ast e$ . Отсюда следует, согласно $G_2$ , что $a'=a''$ . В мультипликативной терминологии обратный элемент для $a$ обозначается через $a^{-1}$ , так что $a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e$ , где $e$ — единственный единичный элемент из $G$ . $(G_6)\colon$ Для любых элементов $a,\,b,\,c$ группы $G$ из $a\ast b=a\ast c$ и из $b\ast a=c\ast a$ следует следует $b=c$ . Доказательство. Пусть $a\ast b=a\ast c$ . Тогда $a^{-1}\ast (a\ast b)= (a^{-1}\ast a)\ast b=e\ast b=b$ . С другой стороны, $a^{-1}\ast (a\ast b)= a^{-1}(a\ast c)= (a^{-1}\ast a)\ast c=e\ast c=c.$ Следовательно, $b=c$ . Второе утверждение доказывается аналогично. Следующие две теоремы докажите самостоятельно. $(G_7)\colon$ Для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ каждое из уравнений $a\ast x=b$ и $y\ast a=b$ имеет в $G$ единственное решение. $(G_8)\colon$ Для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ имеем $(a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$ . Пример 26.2. Как отмечалось в предыдущем пункте, примером аксиоматической теории, возникшей на первом пути, является геометрия. Здесь рассматривается ее маленький фрагмент — теория конгруэнтности (равенства) отрезков. Условимся, что первичными терминами являются $S$ — множество всех отрезков и $\cong$ — отношение, называемое отношением конгруэнтности, так что выражение $x\cong y$ читается так: отрезок $x$ конгруэнтен отрезку $y$ . Выберем в качестве аксиом следующие утверждения: $(K_1)\colon$ Для всякого $x$ из $S$ справедливо $x\cong x$ (другими словами, каждый отрезок конгруэнтен самому себе). $(K_2)\colon$ Для любых элементов $x,y,z$ из $S$ , если $x\cong z$ и $y\cong z$ , то $x\cong y$ (другими словами, два отрезка, порознь конгруэнтные третьему, конгруэнтны между собой). Докажем некоторые теоремы. $(K_3)\colon$ Для любых элементов $y$ и $z$ из $S$ , если $y\cong z$ , то z $z\cong y$ . Доказательство. По аксиоме $K_2$ , подставив $z$ вместо $x$ , получим, что если $z\cong z$ и $y\cong z$ , то $z\cong y$ . Поскольку член конъюнкции $z\cong z$ истинен на основании аксиомы $K_1$ , то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если $y\cong z$ , то $z\cong y$ . $(K_4)\colon$ Для любых элементов $x,y,z$ из $S$ , если $x\cong y$ и $y\cong z$ , то $x\cong z$ . Докажите самостоятельно. Пример 26.3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж.Пеано (1858–1932) на рубеже XIX–XX вв. Ее первоначальными понятиями являются: непустое множество $\mathbb{N}$ , бинарное отношение " $\Large{'}$ " (называемое отношением следования) и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие: $\begin{aligned} & \mathsf{(P_1)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne 1);\\ &\mathsf{(P_2)}\colon\quad (\forall x,y)(x=y\to x'=y');\\ &\mathsf{(P_3)}\colon\quad (\forall x,y)(x'=y'\to x=y);\\ &\mathsf{(P_4)}\colon\quad \bigl(1\in M\land (\forall x)(x\in M\to x'\in M)\bigr)\to M=\mathbb{N}\,.\end{aligned}$ Аксиома $\mathsf{(P_4)}$ называется аксиомой индукции. Правилами вывода служат обычные логические правила modus ponens и правило подстановки. Приведем доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом. $\mathsf{(P_5)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne x).$ Доказательство. Рассмотрим множество: $M=\{x\in \mathbb{N}\colon\, x'\ne x\}$ . Покажем, используя аксиому индукции $\mathsf{(P_4)}$ , что $M=\mathbb{N}$ . $1\in M$ , так как $1'\ne1$ по аксиоме $\mathsf{P_1}$ . Пусть $x\in M$ , то есть $x'\ne x$ . Тогда, по аксиоме $P_3(x')'\ne x'$ . Следовательно, по определению $x'\in M$ . Условия аксиомы $\mathsf{P_4}$ выполнены. Тогда, по аксиоме $\mathsf{P_4}$ имеем $M=\mathbb{N}$ . Это и означает, что $(\forall x)(x'\ne x)$ . $\mathsf{(P_6)}\colon\quad (\forall x)\bigl(x=1\lor (\exists y)(x=y')\bigr).$ Доказательство. Рассмотрим множество: $M=\{1\}\cup \{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}$ и покажем, используя аксиому индукции />4, что М= N. $1\in M$ по определению множества. Пусть $x\in M$ и $x\ne1$ . Тогда $x\in\{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}$ , то есть $x=y'$ для некоторого $y\in\mathbb{N}$ . Отсюда, ввиду аксиомы $\mathsf{P_2}$ , получаем $x'=(y')'$ , то есть $x'$ следует за элементом $y'$ . Тогда, по определению $M$ элемент $x'\in M$ . Условия аксиомы $\mathsf{P_4}$ выполнены. Тогда, по аксиоме $\mathsf{P_4}$ имеем $M=\mathbb{N}$ . Аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на основе приведенной системы аксиом, много времени уделяется в курсе "Числовые системы", изучаемом после курса математической логики. Пример 26.4 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта). Эта система аксиом представлена Гильбертом в его книге "Основания геометрии", вышедшей в 1899 г. и ставшей с того момента вечным фундаментом этой науки. Гильберт так начинает свое сочинение: "Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются "аксиомами геометрии". Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. В системе Гильберта первоначальными (неопределяемыми) понятиями являются понятия трех объектов — "точки", "прямые" и "плоскости" и трех сортов отношений между ними, выражаемых словами "принадлежит" (точка принадлежит прямой или плоскости), "между" (точка лежит между двумя другими точками) и "конгруэнтен" (конгруэнтны два отрезка или два угла). При этом точки обозначаются $A,B,C,\ldots$ , прямые — $a,b,c,\ldots$ , плоскости — $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$ . Эти объекты и эти отношения между ними удовлетворяют двадцати аксиомам, разделенным на пять групп: I. Аксиомы принадлежности (или инцидентности); II. Аксиомы порядка; III. Аксиомы конгруэнтности; IV. Аксиомы непрерывности; V. Аксиома параллельности Евклида. Пример 26.5 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля). Эта система предложена немецким математиком Германом Вейлем в 1916 г., и путь построения геометрии, основанный, на этой системе аксиом, возможно, является самым коротким и динамичным путем аксиоматизации геометрии. К тому же на этом пути в элементарную геометрию входит одно из фундаментальнейших понятий современной математики — понятие векторного пространства, чрезвычайно, важное и для многочисленных ее приложений (к физике, химии, экономике и т.д.). Идея Вейля состоит в том, чтобы принять в качестве первоначальных, неопределяемых понятий понятия "точка", "вектор" (в частности, понятия "прямая" и "плоскость" определяются), "сумма векторов", "произведение вектора на число", "скалярное произведение векторов", "откладывание вектора от точки", а в качестве аксиом — свойства этих операций над векторами и некоторые свойства, связывающие точки и векторы. С логической точки зрения вейлевский путь аксиоматизации эквивалентен гильбертовскому: он позволяет доказать все те же самые теоремы. Но с методологической точки зрения вейлевский путь имеет ряд преимуществ. Вместо скрупулезных и утомительных рассуждений по гильбертовской схеме путь Вейля дает ясное и краткое изложение, насыщенное современными идеями и мощными методами решения геометрических задач. Система аксиом Вейля включает 16 аксиом, которые отчетливо делятся на две части: аксиомы векторного (евклидова) пространства и аксиомы точечного пространства в его связи с векторным пространством. Здесь важно отметить, что понятие векторного пространства размерности п без преувеличения играет фундаментальную роль во всех областях современной математики и сопредельных с ней наук. Оно изучалось также в курсе алгебры и в курсе математического анализа. Исключительно важна его роль и в геометрии. Геометрия изучает точки и фигуры — множества точек (но не векторы, с которыми имеет дело векторное пространство). Понятие точки — следующее неопределяемое понятие. Точки и векторы — объекты разной природы, но они очень тесно связаны между собой. Эта связь выражена во второй части аксиом — аксиомах Вейля точечного пространства. Имеется отображение, сопоставляющее любым двум точкам $A$ и $B$ (в указанном порядке) вектор из векторного пространства $V$ , обозначаемый $\overrightarrow{AB}$ . Это отображение должно удовлетворять следующим аксиомам: $\begin{aligned}&\mathsf{(V_1)}\colon\quad (\forall A)(\forall\vec{a})(\exists B)\bigl(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\bigr);\\[2pt] &\mathsf{(V_2)}\colon\quad (\forall A,M,N) \bigl(\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AN}\to M=N\bigr)\\[2pt] &\mathsf{(V_3)}\colon \quad (\forall A,B,C)\bigl(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\bigr).<br />\end{aligned}$ Первая из этих аксиом называется аксиомой откладывания векторов: от каждой точки любой вектор можно отложить. Вторая аксиома утверждает, что это отложение осуществляется единственным образом: заданные начальная точка и вектор однозначно определяют концевую точку. Наконец, третья аксиома называется аксиомой треугольника. Итак, пространство векторов (векторное пространство) и пространство точек (точечное пространство) — разные объекты, но очень тесно связанные между собой. Говорят, что точечное пространство рассматривается (или задано) над векторным пространством и что векторное пространство является пространством переносов соответствующего точечного пространства. Если векторное пространство $V_n$ не является евклидовым (т. е. в нем не задано скалярное произведение), то соответствующее точечное пространство обозначается $A_n$ и называется аффинным. Если векторное пространство $V_n$ является евклидовым (в нем задано скалярное произведение векторов), то соответствующее точечное пространство обозначается $E_n$ и называется евклидовым точечным пространством. Таким образом, система аксиом векторного пространства вместе с аксиомами $\mathsf{(V_1)},\, \mathsf{(V_2)},\, \mathsf{(V_3)}$ и есть система аксиом евклидовой геометрии по Герману Вейлю. Все дальнейшие понятия (как то: прямая, плоскость и т.д.) вводятся при помощи определений на основе уже введенных первоначальных понятий, т.е. являются определяемыми, вторичными. Все теоремы о первоначальных и вторичных понятиях доказываются на основе сформулированных аксиом (с использованием, конечно, уже доказанных теорем). При этом фундаментальным с точки зрения логики является тот факт, что всякая аксиома системы аксиом Гильберта оказывается теоремой при вейлевском подходе к обоснованию геометрии. Отсюда следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Гильберта, может быть выведена и из системы аксиом Вейля (к выводу теоремы из системы аксиом Гильберта нужно добавить вначале выводы необходимых аксиом Гильберта из системы аксиом Вейля). Верно и обратное утверждение. Тот факт, что из системы аксиом Гильберта выводится каждое утверждение о векторах, которое Вейлем принято за аксиому, фактически и доказывается в разных курсах элементарной математики, в которых понятие вектора сделано вторичным. Отсюда и следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Вейля, может быть выведена и из системы аксиом Гильберта. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля оказываются эквивалентными: на основе каждой из них могут быть доказаны одни и те же теоремы евклидовой геометрии. Пример 26.6. Геометрия Лобачевского может быть построена, например, на базе системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии, о которой говорилось в примере 26.4, если в этой системе аксиому параллельности Евклида заменить аксиомой параллельности Лобачевского, представляющей собой отрицание аксиомы параллельности Евклида. Пример 26.7 (аксиоматическое построение канторовской ("наивной") теории множеств на основе нескольких систем аксиом). Читатель, знакомый с основами современной алгебры, узнает в приводимых системах аксиом аксиоматики так называемой "булевой алгебры", так как совокупность всех подмножеств данного множества образует алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Всего рассмотрим три системы аксиом. Первоначальными понятиями теории $T_1$ являются бинарные операции $\cap,\,\cup$ (называемые соответственно пересечением и объединением), унарная операция ${}'$ (называемая дополнением) и нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два разных элемента — нулевой и единичный. Система аксиом $\Sigma_1$ этой теории симметрична относительно операций $\cap,\,\cup,\,0,\,1$ (или, как говорят, самодвойственна): $\begin{array}{ll} \mathsf{(A1)} \colon ~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(A5)} \colon ~~ x\cap1=x; \\[2pt] \mathsf{(A2)} \colon ~~ x\cup y=y\cup x &\qquad \mathsf{(A6)} \colon ~~ x\cup0=x; \\[2pt] \mathsf{(A3)} \colon ~~ x\cap (y\cup z)= (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(A7)} \colon ~~ x\cap x'=0; \\[2pt] \mathsf{(A4)} \colon ~~ x\cup (y\cap z)= (x\cup y)\cap (x\cup z); &\qquad \mathsf{(A8)} \colon ~~ x\cup x'=1. \end{array}$ Первоначальными понятиями второй теории $T_2$ являются бинарная операция $\cap$ и унарная операция ${}'$ . Система аксиом $\Sigma_2$ этой теории, наоборот, асимметрична, "смещена" в сторону операции $\cap:$ $\begin{array}{ll}\mathsf{(B1)}\colon~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(B3)} \colon~~ x\cap y'= z\cap z'\Rightarrow x\cap y=x; \\[2pt] \mathsf{(B2)}\colon~~ (x\cap y)\cap z= x\cap (y\cap z); &\qquad \mathsf{(B4)} \colon~~ x\cap y=x\Rightarrow x\cap y'=z\cap z'.\end{array}$ Наконец, в третьей теории $T_3$ , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение $\subset$ , бинарные операции $\cap$ и $\cup$ , унарная операция ${}'$ и нульарные операции 0 и 1, система аксиом $\Sigma_3$ следующая: $\begin{array}{lll}\mathsf{(C1)}\colon~~ x \subset x; &\qquad \mathsf{(C4)} \colon~~ z \subset x\cap y\Rightarrow z \subset x\land z \subset y; &\qquad \mathsf{(C7)} \colon~~ 0 \subset x;\\[2pt] \mathsf{(C2)}\colon~~ x \subset y\land y \subset z\Rightarrow x \subset z; &\qquad \mathsf{(C5)} \colon~~ x\cap (y\cup z)\subset (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(C8)} \colon~~ 1 \subset x\cup x'; \\[2pt] \mathsf{(C3)}\colon~~ x\cup y \subset z\Rightarrow x \subset z\land y \subset z; &\qquad \mathsf{(C6)} \colon~~ x \subset1; &\qquad \mathsf{(C9)} \colon~~ x\cap x' \subset 0. \end{array}$ Можно доказать равносильность всех этих трех систем аксиом. Интерпретации и модели аксиоматической теории Формулируя аксиомы в примерах предыдущего пункта, мы не обращали никакого внимания на природу элементов тех множеств, которые там встречаются, а также на природу других первоначальных понятий этих аксиоматических теорий. Определение 26.8. Приписывание значений (смысла) первоначальным понятиям аксиоматической теории называется интерпретацией теории. Если некоторая совокупность предметов и отношений между ними, выбранных в качестве значений первоначальных понятий аксиоматической теории, т.е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет всем аксиомам теории, то она называется моделью данной аксиоматической теории (или моделью системы аксиом теории). Другими словами, интерпретация теории — просто функция $f$ , областью определения которой является множество $T$ первоначальных понятий этой теории. Если же образ $f[T]$ удовлетворяет всем аксиомам теории, то это есть модель данной теории. Так, в примере 26.1 каждое из множеств $F_{1-1}(M),\,Z$ и $V_2$ , рассматриваемое вместе с соответствующей операцией, является моделью аксиоматической теории групп или, проще, группой. Существуют многочисленные другие модели данной теории. Вот в этой-то свободе интерпретаций аксиоматических теорий заключена одна из причин их обширных приложений в других науках и в практике. Но искусство интерпретации поистине одно из высочайших искусств математика-прикладника. Например, теория групп была с успехом применена в 1890 г. русским кристаллографом Е.С.Федоровым (1853–1919) для классификации и описания всевозможных форм кристаллов, существующих в природе, а в самое последнее время эта теория плодотворно работает в теории элементарных частиц. Дадим аксиоматической теории, основанной на аксиомах $K_1$ и $K_2$ (пример 26.2), еще одну интерпретацию. В качестве первоначальных понятий возьмем множество $\mathbb{R}$ всех действительных чисел и отношение $\equiv$ , определяемое так: $x\equiv y$ тогда и только тогда, когда разность $x-y$ есть целое число. Нетрудно убедиться в том, что при такой интерпретации аксиомы $K_1$ и $K_2$ превращаются в истинные утверждения (в теоремы теории действительных чисел). Следовательно, получаем модель аксиоматической теории $\operatorname{Th(K_1,K_2)}$ . Наконец, укажем две модели теории $\operatorname{Th}(P_1-P_4)$ натуральных чисел. Если интерпретировать $\mathbb{N}$ как множество $\{1;2;3;\ldots\}$ натуральных чисел, а отношение ' интерпретировать как функцию следования (т.е. $x'=x+1$ ), то аксиомы $P_1-P_4$ будут выражать общеизвестные свойства натуральных чисел, т.е. получим модель рассматриваемой аксиоматической теории. Ранее уже отмечалась возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие в процессе создания аксиоматической теории. Проиллюстрируем это на примерах. Так, доказав в аксиоматической теории групп теорему $G_8$ , можно интерпретировать ее для конкретных моделей данной теории. В частности, на модели $F_{1-1}(M)$ она превращается в утверждение $(g\ast f)^{-1}= f^{-1}\ast g^{-1}$ , а на модели $V_2$ — в утверждение $-(\vec{a}+\vec{b})=(-\vec{a})+(-\vec{b})$ . Таким образом, природа этих, казалось бы, разнородных свойств одна — теоретико-групповая. Аналогично, без какого бы то ни было специального рассуждения мы уверены в том, что теоремы $K_3$ и $K_4$ станут истинными утверждениями о действительных числах при интерпретации, рассмотренной в настоящем пункте. Но не только аксиоматическая теория привносит что-то в свои модели. Имеется и обратная связь: порой модели аксиоматической теории могут сослужить ей определенную службу при решении некоторых внутренних проблем теории. Пусть, например, требуется выяснить, является или нет теоремой теории $\operatorname{Th(K_1,K_2)}$ следующее высказывание: $A\colon$ "Существуют два элемента $x$ и $y$ множества $S$ , для которых неверно, что $x\cong y$ (другими словами, существуют два неконгруэнтных отрезка)". То обстоятельство, что не удается получить вывод данного утверждения из аксиом $K_1,\,K_2$ , приводит к догадке (гипотезе), что это сделать невозможно. Для ее подтверждения рассуждаем следующим образом. Если бы утверждение $A$ было выводимо из аксиом $K_1,\,K_2$ , т.е. принадлежало бы аксиоматической теории $\operatorname{Th}(K_1,K_2)$ , то ему удовлетворяла бы каждая модель этой теории. Поэтому, если удастся построить такую модель системы аксиом $\{K_1,\,K_2\}$ , в которой не выполняется утверждение $A$ , то догадка (гипотеза) будет подтверждена, т.е. $A$ невозможно вывести из $K_1$ и $K_2$ . В самом деле, рассмотрим, например, множество всех целых чисел и введенное выше отношение = между его элементами: $x\equiv y$ тогда и только тогда, когда $x-y\in \mathbb{Z}$ . На этой структуре, как мы уже отмечали, аксиомы $K_1$ и $K_2$ выполняются. Но совершенно ясно, что утверждение $A$ на данной модели не выполняется, потому что $x\equiv y$ для любых элементов $x$ и $y$ из $\mathbb{Z}$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Неформальные аксиоматические теории

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Неформальные аксиоматические теории

Мы подошли к тому разделу курса математической логики, который должен убедительно продемонстрировать всю мощь воздействия методов этой науки на прочие математические науки, показать особую (цементирующую) роль математической логики в системе математических наук. Здесь необходимо увидеть отчетливую связь изученных понятий и методов со школьной математикой, с педагогической деятельностью учителя математики. Должна быть осознана всеобъемлющая, универсальная роль математической логики в вопросах обоснования математики вообще и школьного курса математики в особенности.

Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в XX в. показало, что математика выделяется в системе наук тем, что в ней чрезвычайно широко используется аксиоматический метод, который в значительной мере и обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

В настоящей лекции рассматривается аксиоматический или дедуктивный метод построения математических теорий. Это рассмотрение проводится на неформальном (содержательном) уровне. Будут изложены основные сведения об аксиоматическом методе и аксиоматических теориях, приведены примеры таких теорий, возникших в разных областях математики. Также дана характеристика свойств аксиоматических теорий — непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость системы аксиом.

Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории

Понятие аксиоматической теории. Аксиома (от греч. axioma) — положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, является истинным исходным положением теории. Такой способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики) позволяет путем дедукции, т.е. по правилам логики, получать утверждения данной теории. Аксиоматический метод не является достижением только двадцатого столетия. В начале XX в. благодаря главным образом работам немецкого математика Д.Гильберта (1862–1943) окончательно сформировались принципиальные положения данного метода и было осознано его значение для математики. Первые идеи, связанные с этим методом, восходят к титанам античной мысли Платону и Аристотелю (IV в. до н.э.). Первый практический шаг на этом пути был сделан более двух тысяч лет назад древнегреческим математиком Евклидом (около 300 г. до н.э.). Его труд "Начала" (15 книг) как энциклопедия геометрических знаний служил образцом написания математических работ на протяжении более двадцати веков. Именно благодаря этому авторитетнейшему произведению сформировалось общечеловеческое представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства, обоснования, являющем собой некую абсолютную истину. Тем не менее внутри математической науки этот взгляд на аксиомы претерпевал самые решительные изменения. Такой процесс шел постепенно, но качественный скачок в нем произошел после того, как в 20–30-е гг. XIX в. великим русским математиком Н.И.Лобачевским (1792–1856) и независимо от него молодым венгром Яношем Бояи (1802—1860), а также великим немецким ученым К. Ф. Гауссом (1777–1855) были внесены изменения в представления о природе пространства, т. е. возникает неевклидова геометрия. Суть открытия состояла в том, что вместо пятого постулата Евклида о параллельных в систему аксиом было включено утверждение, являющееся его отрицанием, и затем на базе полученной системы аксиом была построена непротиворечивая геометрическая теория, названная Н.И.Лобачевским "воображаемой геометрией". Важным этапом в процессе эволюции взглядов на аксиомы явилось построение во второй половине XIX в. нескольких моделей геометрии Лобачевского. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать разный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид.

Такое развитие взглядов на природу аксиом и аксиоматический метод привело к следующей концепции аксиоматической теории. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен ранее. Высказывание, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямые, плоскости и т. д. Но эти понятия также должны определяться через свои понятия, которые, в свою очередь, опираются на следующие понятия, и так до бесконечности. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.

Аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, а при их доказательстве, в свою очередь, — на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначим буквой Е. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Отметим только, что Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.

Итак, после того как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом и пользуясь правилами логического умозаключения, выводят новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории.

Можно более точно сформулировать понятия теоремы аксиоматической теории и ее доказательства. Доказательством утверждения $C$ , сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность $B_1,B_2,\ldots,B_s$ высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или большего числа предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание $B_s$ есть утверждение $C$ . При этом $C$ называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: $\vdash C$ . Отметим, что каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой: доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из нее самой.

Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть $\Gamma$ — конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение $C$ теории называется выводимым из $\Gamma$ (обозначается: $\Gamma\vdash C$ ), если существует конечная последовательность высказываний $B_1,B_2,\ldots,B_s$ , называемая выводом $C$ из $\Gamma$ , каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из $\Gamma$ , либо получено из одного или большего числа предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание $B_s$ есть утверждение $C$ . Утверждения из множества $\Gamma$ называются гипотезами (или посылками, или допущениями). В частном случае, когда $\Gamma=\varnothing$ , вывод $C$ из $\Gamma$ превращается в доказательство утверждения $C$ , а $C$ становится теоремой аксиоматической теории.

Итак, под аксиоматической теорией, построенной на основе системы аксиом $\Sigma$ , понимается совокупность всех теорем, доказываемых на основе этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают $\operatorname{Th}(\Sigma)$ .

Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином "аксиома" утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого "аксиома" означает "достойный признания") — именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике при построении аксиоматических теорий аксиомы условны. Они "достойны признания" не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому, что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Иначе говоря, аксиомы — это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы — то, что выводится из аксиом.

Как возникают аксиоматические теории

Можно проследить два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.

Первый путь можно охарактеризовать тем, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Подобным образом произошла аксиоматизация таких математических теорий, как арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пеано), геометрия (на основе систем аксиом Д.Гильберта, Г.Вейля, М.Пиери и др.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н.Колмогорова) и т.д.

Второй путь возникновения аксиоматических теорий связан с процессом постепенного осознания глубокого внутреннего сходства основных черт, казалось бы, совершенно разных математических теорий, с попыткой выделить общие черты, с тем чтобы, Руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. (Может быть, именно поэтому Д. Гильберт считал математику искусством называть разные вещи одним и тем же именем.) На этом пути возникли, по-видимому, все алгебраические (аксиоматические) теории, прежде всего теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д.

Именно на этом пути появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы для приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.

Примеры аксиоматических теорий

Приведем примеры аксиоматических теорий, возникших различными путями.

Пример 26.1. Теория групп — одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно немало объектов, обладающих многими общими чертами. Среди них, в частности: множество $F_{1-1}(M)$ всех взаимно-однозначных отображений множества $M$ на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений; множество $Z$ всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел; множество $V_2$ всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через $G$ , а каждую из операций через $\ast$ (и называя ее композицией элементов из $G$ ), обнаруживаем, что все три указанных объекта обладают следующими свойствами:

$(G_0)\colon$ Для любых $a$ и $b$ из $G$ композиция $a\ast b$ есть однозначно определенный элемент из $G$ ;

$(G_1)\colon$ Для любых $a,\,b$ и $c$ из $G(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ ;

$(G_2)\colon$ В $G$ имеется такой элемент $e$ , что для любого $a$ из $G$ имеем $a\ast e=e\ast a=a$ ;

$(G_3)\colon$ Для любого $a$ из $G$ имеется такой $a'$ из $G$ , что $a\ast a'=a'\ast a=e$ .

Например, элемент $e$ , существование которого утверждается в свойстве $G_2$ , в случае $F_{1-1}(M)$ есть тождественное отображение $M$ на $M$ , в случае $Z$ — целое число 0, в случае $V_2$ — нуль-вектор $\vec{0}$ . В свойстве $G_3$ элемент $a'$ есть обратное преобразование $f^{-1}$ (противоположное число $-m$ , противоположный вектор $\overrightarrow{BA}$ ) для преобразования $f$ (целого числа $m$ и вектора $\overrightarrow{AB}$ соответственно). Утверждения $G_0-G_3$ и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.

$(G_4)\colon$ В группе имеется точно один единичный элемент.

Доказательство. Ввиду $G_2$ нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в $G$ имеются два единичных элемента: $e_1$ и $e_2$ , т.е. на основании $G_2$ для любого $a$ справедливы равенства $e_1\ast a=a$ и $a\ast e_2=a$ . Тогда, в частности, $e_1\ast e_2=e_2$ и $e_1\ast e_2=e_1$ . Следовательно, в силу $G_0$ и свойств равенства $e_1=e_2$ .

$(G_5)\colon$ Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.

Доказательство. Ввиду $G_3$ остается доказать лишь его единственность. Допустим, что в $G$ для элемента $a$ имеются два обратных $a'$ и $a''$ , т.е. таких элементов, что $a''\ast a=e$ и $a\ast a'=e$ . Тогда в силу $G$ имеем $(a''\ast a)\ast a'=a''$ , а следовательно, $e\ast a'=a''\ast e$ . Отсюда следует, согласно $G_2$ , что $a'=a''$ .

В мультипликативной терминологии обратный элемент для $a$ обозначается через $a^{-1}$ , так что $a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e$ , где $e$ — единственный единичный элемент из $G$ .

$(G_6)\colon$ Для любых элементов $a,\,b,\,c$ группы $G$ из $a\ast b=a\ast c$ и из $b\ast a=c\ast a$ следует следует $b=c$ .

Доказательство. Пусть $a\ast b=a\ast c$ . Тогда $a^{-1}\ast (a\ast b)= (a^{-1}\ast a)\ast b=e\ast b=b$ . С другой стороны,

$a^{-1}\ast (a\ast b)= a^{-1}(a\ast c)= (a^{-1}\ast a)\ast c=e\ast c=c.$

Следовательно, $b=c$ . Второе утверждение доказывается аналогично.

Следующие две теоремы докажите самостоятельно.

$(G_7)\colon$ Для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ каждое из уравнений $a\ast x=b$ и $y\ast a=b$ имеет в $G$ единственное решение.

$(G_8)\colon$ Для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ имеем $(a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$ .

Пример 26.2. Как отмечалось в предыдущем пункте, примером аксиоматической теории, возникшей на первом пути, является геометрия. Здесь рассматривается ее маленький фрагмент — теория конгруэнтности (равенства) отрезков. Условимся, что первичными терминами являются $S$ — множество всех отрезков и $\cong$ — отношение, называемое отношением конгруэнтности, так что выражение $x\cong y$ читается так: отрезок $x$ конгруэнтен отрезку $y$ . Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:

$(K_1)\colon$ Для всякого $x$ из $S$ справедливо $x\cong x$ (другими словами, каждый отрезок конгруэнтен самому себе).

$(K_2)\colon$ Для любых элементов $x,y,z$ из $S$ , если $x\cong z$ и $y\cong z$ , то $x\cong y$ (другими словами, два отрезка, порознь конгруэнтные третьему, конгруэнтны между собой).

Докажем некоторые теоремы.

$(K_3)\colon$ Для любых элементов $y$ и $z$ из $S$ , если $y\cong z$ , то z $z\cong y$ .

Доказательство. По аксиоме $K_2$ , подставив $z$ вместо $x$ , получим, что если $z\cong z$ и $y\cong z$ , то $z\cong y$ . Поскольку член конъюнкции $z\cong z$ истинен на основании аксиомы $K_1$ , то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если $y\cong z$ , то $z\cong y$ .

$(K_4)\colon$ Для любых элементов $x,y,z$ из $S$ , если $x\cong y$ и $y\cong z$ , то $x\cong z$ .

Докажите самостоятельно.

Пример 26.3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж.Пеано (1858–1932) на рубеже XIX–XX вв. Ее первоначальными понятиями являются: непустое множество $\mathbb{N}$ , бинарное отношение " $\Large{'}$ " (называемое отношением следования) и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:

$\begin{aligned} & \mathsf{(P_1)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne 1);\\ &\mathsf{(P_2)}\colon\quad (\forall x,y)(x=y\to x'=y');\\ &\mathsf{(P_3)}\colon\quad (\forall x,y)(x'=y'\to x=y);\\ &\mathsf{(P_4)}\colon\quad \bigl(1\in M\land (\forall x)(x\in M\to x'\in M)\bigr)\to M=\mathbb{N}\,.\end{aligned}$

Аксиома $\mathsf{(P_4)}$ называется аксиомой индукции. Правилами вывода служат обычные логические правила modus ponens и правило подстановки.

Приведем доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

$\mathsf{(P_5)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne x).$

Доказательство. Рассмотрим множество: $M=\{x\in \mathbb{N}\colon\, x'\ne x\}$ . Покажем, используя аксиому индукции $\mathsf{(P_4)}$ , что $M=\mathbb{N}$ .

$1\in M$ , так как $1'\ne1$ по аксиоме $\mathsf{P_1}$ .

Пусть $x\in M$ , то есть $x'\ne x$ . Тогда, по аксиоме $P_3(x')'\ne x'$ . Следовательно, по определению $x'\in M$ .

Условия аксиомы $\mathsf{P_4}$ выполнены. Тогда, по аксиоме $\mathsf{P_4}$ имеем $M=\mathbb{N}$ . Это и означает, что $(\forall x)(x'\ne x)$ .

$\mathsf{(P_6)}\colon\quad (\forall x)\bigl(x=1\lor (\exists y)(x=y')\bigr).$

Доказательство. Рассмотрим множество: $M=\{1\}\cup \{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}$ и покажем, используя аксиому индукции />4, что М= N.

$1\in M$ по определению множества.

Пусть $x\in M$ и $x\ne1$ . Тогда $x\in\{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}$ , то есть $x=y'$ для некоторого $y\in\mathbb{N}$ . Отсюда, ввиду аксиомы $\mathsf{P_2}$ , получаем $x'=(y')'$ , то есть $x'$ следует за элементом $y'$ . Тогда, по определению $M$ элемент $x'\in M$ .

Условия аксиомы $\mathsf{P_4}$ выполнены. Тогда, по аксиоме $\mathsf{P_4}$ имеем $M=\mathbb{N}$ .

Аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на основе приведенной системы аксиом, много времени уделяется в курсе "Числовые системы", изучаемом после курса математической логики.

Пример 26.4 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта). Эта система аксиом представлена Гильбертом в его книге "Основания геометрии", вышедшей в 1899 г. и ставшей с того момента вечным фундаментом этой науки. Гильберт так начинает свое сочинение: "Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются "аксиомами геометрии". Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

В системе Гильберта первоначальными (неопределяемыми) понятиями являются понятия трех объектов — "точки", "прямые" и "плоскости" и трех сортов отношений между ними, выражаемых словами "принадлежит" (точка принадлежит прямой или плоскости), "между" (точка лежит между двумя другими точками) и "конгруэнтен" (конгруэнтны два отрезка или два угла). При этом точки обозначаются $A,B,C,\ldots$ , прямые — $a,b,c,\ldots$ , плоскости — $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$ . Эти объекты и эти отношения между ними удовлетворяют двадцати аксиомам, разделенным на пять групп:

I. Аксиомы принадлежности (или инцидентности);

II. Аксиомы порядка;

III. Аксиомы конгруэнтности;

IV. Аксиомы непрерывности;

V. Аксиома параллельности Евклида.

Пример 26.5 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля). Эта система предложена немецким математиком Германом Вейлем в 1916 г., и путь построения геометрии, основанный, на этой системе аксиом, возможно, является самым коротким и динамичным путем аксиоматизации геометрии. К тому же на этом пути в элементарную геометрию входит одно из фундаментальнейших понятий современной математики — понятие векторного пространства, чрезвычайно, важное и для многочисленных ее приложений (к физике, химии, экономике и т.д.). Идея Вейля состоит в том, чтобы принять в качестве первоначальных, неопределяемых понятий понятия "точка", "вектор" (в частности, понятия "прямая" и "плоскость" определяются), "сумма векторов", "произведение вектора на число", "скалярное произведение векторов", "откладывание вектора от точки", а в качестве аксиом — свойства этих операций над векторами и некоторые свойства, связывающие точки и векторы.

С логической точки зрения вейлевский путь аксиоматизации эквивалентен гильбертовскому: он позволяет доказать все те же самые теоремы. Но с методологической точки зрения вейлевский путь имеет ряд преимуществ. Вместо скрупулезных и утомительных рассуждений по гильбертовской схеме путь Вейля дает ясное и краткое изложение, насыщенное современными идеями и мощными методами решения геометрических задач.

Система аксиом Вейля включает 16 аксиом, которые отчетливо делятся на две части: аксиомы векторного (евклидова) пространства и аксиомы точечного пространства в его связи с векторным пространством. Здесь важно отметить, что понятие векторного пространства размерности п без преувеличения играет фундаментальную роль во всех областях современной математики и сопредельных с ней наук. Оно изучалось также в курсе алгебры и в курсе математического анализа. Исключительно важна его роль и в геометрии. Геометрия изучает точки и фигуры — множества точек (но не векторы, с которыми имеет дело векторное пространство). Понятие точки — следующее неопределяемое понятие. Точки и векторы — объекты разной природы, но они очень тесно связаны между собой. Эта связь выражена во второй части аксиом — аксиомах Вейля точечного пространства. Имеется отображение, сопоставляющее любым двум точкам $A$ и $B$ (в указанном порядке) вектор из векторного пространства $V$ , обозначаемый $\overrightarrow{AB}$ . Это отображение должно удовлетворять следующим аксиомам:

$\begin{aligned}&\mathsf{(V_1)}\colon\quad (\forall A)(\forall\vec{a})(\exists B)\bigl(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\bigr);\\[2pt] &\mathsf{(V_2)}\colon\quad (\forall A,M,N) \bigl(\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AN}\to M=N\bigr)\\[2pt] &\mathsf{(V_3)}\colon \quad (\forall A,B,C)\bigl(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\bigr).<br />\end{aligned}$

Первая из этих аксиом называется аксиомой откладывания векторов: от каждой точки любой вектор можно отложить. Вторая аксиома утверждает, что это отложение осуществляется единственным образом: заданные начальная точка и вектор однозначно определяют концевую точку. Наконец, третья аксиома называется аксиомой треугольника.

Итак, пространство векторов (векторное пространство) и пространство точек (точечное пространство) — разные объекты, но очень тесно связанные между собой. Говорят, что точечное пространство рассматривается (или задано) над векторным пространством и что векторное пространство является пространством переносов соответствующего точечного пространства. Если векторное пространство $V_n$ не является евклидовым (т. е. в нем не задано скалярное произведение), то соответствующее точечное пространство обозначается $A_n$ и называется аффинным. Если векторное пространство $V_n$ является евклидовым (в нем задано скалярное произведение векторов), то соответствующее точечное пространство обозначается $E_n$ и называется евклидовым точечным пространством.

Таким образом, система аксиом векторного пространства вместе с аксиомами $\mathsf{(V_1)},\, \mathsf{(V_2)},\, \mathsf{(V_3)}$ и есть система аксиом евклидовой геометрии по Герману Вейлю. Все дальнейшие понятия (как то: прямая, плоскость и т.д.) вводятся при помощи определений на основе уже введенных первоначальных понятий, т.е. являются определяемыми, вторичными. Все теоремы о первоначальных и вторичных понятиях доказываются на основе сформулированных аксиом (с использованием, конечно, уже доказанных теорем). При этом фундаментальным с точки зрения логики является тот факт, что всякая аксиома системы аксиом Гильберта оказывается теоремой при вейлевском подходе к обоснованию геометрии. Отсюда следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Гильберта, может быть выведена и из системы аксиом Вейля (к выводу теоремы из системы аксиом Гильберта нужно добавить вначале выводы необходимых аксиом Гильберта из системы аксиом Вейля). Верно и обратное утверждение. Тот факт, что из системы аксиом Гильберта выводится каждое утверждение о векторах, которое Вейлем принято за аксиому, фактически и доказывается в разных курсах элементарной математики, в которых понятие вектора сделано вторичным. Отсюда и следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Вейля, может быть выведена и из системы аксиом Гильберта. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля оказываются эквивалентными: на основе каждой из них могут быть доказаны одни и те же теоремы евклидовой геометрии.

Пример 26.6. Геометрия Лобачевского может быть построена, например, на базе системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии, о которой говорилось в примере 26.4, если в этой системе аксиому параллельности Евклида заменить аксиомой параллельности Лобачевского, представляющей собой отрицание аксиомы параллельности Евклида.

Пример 26.7 (аксиоматическое построение канторовской ("наивной") теории множеств на основе нескольких систем аксиом). Читатель, знакомый с основами современной алгебры, узнает в приводимых системах аксиом аксиоматики так называемой "булевой алгебры", так как совокупность всех подмножеств данного множества образует алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории $T_1$ являются бинарные операции $\cap,\,\cup$ (называемые соответственно пересечением и объединением), унарная операция ${}'$ (называемая дополнением) и нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два разных элемента — нулевой и единичный. Система аксиом $\Sigma_1$ этой теории симметрична относительно операций $\cap,\,\cup,\,0,\,1$ (или, как говорят, самодвойственна):

$\begin{array}{ll} \mathsf{(A1)} \colon ~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(A5)} \colon ~~ x\cap1=x; \\[2pt] \mathsf{(A2)} \colon ~~ x\cup y=y\cup x &\qquad \mathsf{(A6)} \colon ~~ x\cup0=x; \\[2pt] \mathsf{(A3)} \colon ~~ x\cap (y\cup z)= (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(A7)} \colon ~~ x\cap x'=0; \\[2pt] \mathsf{(A4)} \colon ~~ x\cup (y\cap z)= (x\cup y)\cap (x\cup z); &\qquad \mathsf{(A8)} \colon ~~ x\cup x'=1. \end{array}$

Первоначальными понятиями второй теории $T_2$ являются бинарная операция $\cap$ и унарная операция ${}'$ . Система аксиом $\Sigma_2$ этой теории, наоборот, асимметрична, "смещена" в сторону операции $\cap:$

$\begin{array}{ll}\mathsf{(B1)}\colon~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(B3)} \colon~~ x\cap y'= z\cap z'\Rightarrow x\cap y=x; \\[2pt] \mathsf{(B2)}\colon~~ (x\cap y)\cap z= x\cap (y\cap z); &\qquad \mathsf{(B4)} \colon~~ x\cap y=x\Rightarrow x\cap y'=z\cap z'.\end{array}$

Наконец, в третьей теории $T_3$ , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение $\subset$ , бинарные операции $\cap$ и $\cup$ , унарная операция ${}'$ и нульарные операции 0 и 1, система аксиом $\Sigma_3$ следующая:

$\begin{array}{lll}\mathsf{(C1)}\colon~~ x \subset x; &\qquad \mathsf{(C4)} \colon~~ z \subset x\cap y\Rightarrow z \subset x\land z \subset y; &\qquad \mathsf{(C7)} \colon~~ 0 \subset x;\\[2pt] \mathsf{(C2)}\colon~~ x \subset y\land y \subset z\Rightarrow x \subset z; &\qquad \mathsf{(C5)} \colon~~ x\cap (y\cup z)\subset (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(C8)} \colon~~ 1 \subset x\cup x'; \\[2pt] \mathsf{(C3)}\colon~~ x\cup y \subset z\Rightarrow x \subset z\land y \subset z; &\qquad \mathsf{(C6)} \colon~~ x \subset1; &\qquad \mathsf{(C9)} \colon~~ x\cap x' \subset 0. \end{array}$

Можно доказать равносильность всех этих трех систем аксиом.

Интерпретации и модели аксиоматической теории

Формулируя аксиомы в примерах предыдущего пункта, мы не обращали никакого внимания на природу элементов тех множеств, которые там встречаются, а также на природу других первоначальных понятий этих аксиоматических теорий.

Определение 26.8. Приписывание значений (смысла) первоначальным понятиям аксиоматической теории называется интерпретацией теории. Если некоторая совокупность предметов и отношений между ними, выбранных в качестве значений первоначальных понятий аксиоматической теории, т.е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет всем аксиомам теории, то она называется моделью данной аксиоматической теории (или моделью системы аксиом теории).

Другими словами, интерпретация теории — просто функция $f$ , областью определения которой является множество $T$ первоначальных понятий этой теории. Если же образ $f[T]$ удовлетворяет всем аксиомам теории, то это есть модель данной теории.

Так, в примере 26.1 каждое из множеств $F_{1-1}(M),\,Z$ и $V_2$ , рассматриваемое вместе с соответствующей операцией, является моделью аксиоматической теории групп или, проще, группой. Существуют многочисленные другие модели данной теории. Вот в этой-то свободе интерпретаций аксиоматических теорий заключена одна из причин их обширных приложений в других науках и в практике. Но искусство интерпретации поистине одно из высочайших искусств математика-прикладника. Например, теория групп была с успехом применена в 1890 г. русским кристаллографом Е.С.Федоровым (1853–1919) для классификации и описания всевозможных форм кристаллов, существующих в природе, а в самое последнее время эта теория плодотворно работает в теории элементарных частиц.

Дадим аксиоматической теории, основанной на аксиомах $K_1$ и $K_2$ (пример 26.2), еще одну интерпретацию. В качестве первоначальных понятий возьмем множество $\mathbb{R}$ всех действительных чисел и отношение $\equiv$ , определяемое так: $x\equiv y$ тогда и только тогда, когда разность $x-y$ есть целое число. Нетрудно убедиться в том, что при такой интерпретации аксиомы $K_1$ и $K_2$ превращаются в истинные утверждения (в теоремы теории действительных чисел). Следовательно, получаем модель аксиоматической теории $\operatorname{Th(K_1,K_2)}$ .

Наконец, укажем две модели теории $\operatorname{Th}(P_1-P_4)$ натуральных чисел. Если интерпретировать $\mathbb{N}$ как множество $\{1;2;3;\ldots\}$ натуральных чисел, а отношение ' интерпретировать как функцию следования (т.е. $x'=x+1$ ), то аксиомы $P_1-P_4$ будут выражать общеизвестные свойства натуральных чисел, т.е. получим модель рассматриваемой аксиоматической теории.

Ранее уже отмечалась возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие в процессе создания аксиоматической теории. Проиллюстрируем это на примерах. Так, доказав в аксиоматической теории групп теорему $G_8$ , можно интерпретировать ее для конкретных моделей данной теории. В частности, на модели $F_{1-1}(M)$ она превращается в утверждение $(g\ast f)^{-1}= f^{-1}\ast g^{-1}$ , а на модели $V_2$ — в утверждение $-(\vec{a}+\vec{b})=(-\vec{a})+(-\vec{b})$ . Таким образом, природа этих, казалось бы, разнородных свойств одна — теоретико-групповая. Аналогично, без какого бы то ни было специального рассуждения мы уверены в том, что теоремы $K_3$ и $K_4$ станут истинными утверждениями о действительных числах при интерпретации, рассмотренной в настоящем пункте.

Но не только аксиоматическая теория привносит что-то в свои модели. Имеется и обратная связь: порой модели аксиоматической теории могут сослужить ей определенную службу при решении некоторых внутренних проблем теории. Пусть, например, требуется выяснить, является или нет теоремой теории $\operatorname{Th(K_1,K_2)}$ следующее высказывание:

$A\colon$ "Существуют два элемента $x$ и $y$ множества $S$ , для которых неверно, что $x\cong y$ (другими словами, существуют два неконгруэнтных отрезка)".

То обстоятельство, что не удается получить вывод данного утверждения из аксиом $K_1,\,K_2$ , приводит к догадке (гипотезе), что это сделать невозможно. Для ее подтверждения рассуждаем следующим образом. Если бы утверждение $A$ было выводимо из аксиом $K_1,\,K_2$ , т.е. принадлежало бы аксиоматической теории $\operatorname{Th}(K_1,K_2)$ , то ему удовлетворяла бы каждая модель этой теории. Поэтому, если удастся построить такую модель системы аксиом $\{K_1,\,K_2\}$ , в которой не выполняется утверждение $A$ , то догадка (гипотеза) будет подтверждена, т.е. $A$ невозможно вывести из $K_1$ и $K_2$ . В самом деле, рассмотрим, например, множество всех целых чисел и введенное выше отношение = между его элементами: $x\equiv y$ тогда и только тогда, когда $x-y\in \mathbb{Z}$ . На этой структуре, как мы уже отмечали, аксиомы $K_1$ и $K_2$ выполняются. Но совершенно ясно, что утверждение $A$ на данной модели не выполняется, потому что $x\equiv y$ для любых элементов $x$ и $y$ из $\mathbb{Z}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]