Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Неформальные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории



Мы подошли к тому разделу курса математической логики, который должен убедительно продемонстрировать всю мощь воздействия методов этой науки на прочие математические науки, показать особую (цементирующую) роль математической логики в системе математических наук. Здесь необходимо увидеть отчетливую связь изученных понятий и методов со школьной математикой, с педагогической деятельностью учителя математики. Должна быть осознана всеобъемлющая, универсальная роль математической логики в вопросах обоснования математики вообще и школьного курса математики в особенности.


Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в XX в. показало, что математика выделяется в системе наук тем, что в ней чрезвычайно широко используется аксиоматический метод, который в значительной мере и обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.


В настоящей лекции рассматривается аксиоматический или дедуктивный метод построения математических теорий. Это рассмотрение проводится на неформальном (содержательном) уровне. Будут изложены основные сведения об аксиоматическом методе и аксиоматических теориях, приведены примеры таких теорий, возникших в разных областях математики. Также дана характеристика свойств аксиоматических теорий — непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость системы аксиом.




Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории


Понятие аксиоматической теории. Аксиома (от греч. axioma) — положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, является истинным исходным положением теории. Такой способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики) позволяет путем дедукции, т.е. по правилам логики, получать утверждения данной теории. Аксиоматический метод не является достижением только двадцатого столетия. В начале XX в. благодаря главным образом работам немецкого математика Д.Гильберта (1862–1943) окончательно сформировались принципиальные положения данного метода и было осознано его значение для математики. Первые идеи, связанные с этим методом, восходят к титанам античной мысли Платону и Аристотелю (IV в. до н.э.). Первый практический шаг на этом пути был сделан более двух тысяч лет назад древнегреческим математиком Евклидом (около 300 г. до н.э.). Его труд "Начала" (15 книг) как энциклопедия геометрических знаний служил образцом написания математических работ на протяжении более двадцати веков. Именно благодаря этому авторитетнейшему произведению сформировалось общечеловеческое представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства, обоснования, являющем собой некую абсолютную истину. Тем не менее внутри математической науки этот взгляд на аксиомы претерпевал самые решительные изменения. Такой процесс шел постепенно, но качественный скачок в нем произошел после того, как в 20–30-е гг. XIX в. великим русским математиком Н.И.Лобачевским (1792–1856) и независимо от него молодым венгром Яношем Бояи (1802—1860), а также великим немецким ученым К. Ф. Гауссом (1777–1855) были внесены изменения в представления о природе пространства, т. е. возникает неевклидова геометрия. Суть открытия состояла в том, что вместо пятого постулата Евклида о параллельных в систему аксиом было включено утверждение, являющееся его отрицанием, и затем на базе полученной системы аксиом была построена непротиворечивая геометрическая теория, названная Н.И.Лобачевским "воображаемой геометрией". Важным этапом в процессе эволюции взглядов на аксиомы явилось построение во второй половине XIX в. нескольких моделей геометрии Лобачевского. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать разный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид.


Такое развитие взглядов на природу аксиом и аксиоматический метод привело к следующей концепции аксиоматической теории. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен ранее. Высказывание, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямые, плоскости и т. д. Но эти понятия также должны определяться через свои понятия, которые, в свою очередь, опираются на следующие понятия, и так до бесконечности. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.


Аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, а при их доказательстве, в свою очередь, — на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначим буквой Е. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Отметим только, что Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.


Итак, после того как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом и пользуясь правилами логического умозаключения, выводят новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории.


Можно более точно сформулировать понятия теоремы аксиоматической теории и ее доказательства. Доказательством утверждения [math]C[/math], сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность [math]B_1,B_2,\ldots,B_s[/math] высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или большего числа предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание [math]B_s[/math] есть утверждение [math]C[/math]. При этом [math]C[/math] называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: [math]\vdash C[/math]. Отметим, что каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой: доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из нее самой.


Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть [math]\Gamma[/math] — конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение [math]C[/math] теории называется выводимым из [math]\Gamma[/math] (обозначается: [math]\Gamma\vdash C[/math]), если существует конечная последовательность высказываний [math]B_1,B_2,\ldots,B_s[/math], называемая выводом [math]C[/math] из [math]\Gamma[/math], каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из [math]\Gamma[/math], либо получено из одного или большего числа предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание [math]B_s[/math] есть утверждение [math]C[/math]. Утверждения из множества [math]\Gamma[/math] называются гипотезами (или посылками, или допущениями). В частном случае, когда [math]\Gamma=\varnothing[/math], вывод [math]C[/math] из [math]\Gamma[/math] превращается в доказательство утверждения [math]C[/math], а [math]C[/math] становится теоремой аксиоматической теории.


Итак, под аксиоматической теорией, построенной на основе системы аксиом [math]\Sigma[/math], понимается совокупность всех теорем, доказываемых на основе этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают [math]\operatorname{Th}(\Sigma)[/math].


Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином "аксиома" утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого "аксиома" означает "достойный признания") — именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике при построении аксиоматических теорий аксиомы условны. Они "достойны признания" не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому, что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Иначе говоря, аксиомы — это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы — то, что выводится из аксиом.




Как возникают аксиоматические теории


Можно проследить два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.


Первый путь можно охарактеризовать тем, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Подобным образом произошла аксиоматизация таких математических теорий, как арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пеано), геометрия (на основе систем аксиом Д.Гильберта, Г.Вейля, М.Пиери и др.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н.Колмогорова) и т.д.


Второй путь возникновения аксиоматических теорий связан с процессом постепенного осознания глубокого внутреннего сходства основных черт, казалось бы, совершенно разных математических теорий, с попыткой выделить общие черты, с тем чтобы, Руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. (Может быть, именно поэтому Д. Гильберт считал математику искусством называть разные вещи одним и тем же именем.) На этом пути возникли, по-видимому, все алгебраические (аксиоматические) теории, прежде всего теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д.


Именно на этом пути появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы для приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.




Примеры аксиоматических теорий


Приведем примеры аксиоматических теорий, возникших различными путями.


Пример 26.1. Теория групп — одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно немало объектов, обладающих многими общими чертами. Среди них, в частности: множество [math]F_{1-1}(M)[/math] всех взаимно-однозначных отображений множества [math]M[/math] на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений; множество [math]Z[/math] всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел; множество [math]V_2[/math] всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через [math]G[/math], а каждую из операций через [math]\ast[/math] (и называя ее композицией элементов из [math]G[/math]), обнаруживаем, что все три указанных объекта обладают следующими свойствами:


[math](G_0)\colon[/math] Для любых [math]a[/math] и [math]b[/math] из [math]G[/math] композиция [math]a\ast b[/math] есть однозначно определенный элемент из [math]G[/math];


[math](G_1)\colon[/math] Для любых [math]a,\,b[/math] и [math]c[/math] из [math]G(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)[/math];


[math](G_2)\colon[/math] В [math]G[/math] имеется такой элемент [math]e[/math], что для любого [math]a[/math] из [math]G[/math] имеем [math]a\ast e=e\ast a=a[/math];


[math](G_3)\colon[/math] Для любого [math]a[/math] из [math]G[/math] имеется такой [math]a'[/math] из [math]G[/math], что [math]a\ast a'=a'\ast a=e[/math].


Например, элемент [math]e[/math], существование которого утверждается в свойстве [math]G_2[/math], в случае [math]F_{1-1}(M)[/math] есть тождественное отображение [math]M[/math] на [math]M[/math], в случае [math]Z[/math] — целое число 0, в случае [math]V_2[/math] — нуль-вектор [math]\vec{0}[/math]. В свойстве [math]G_3[/math] элемент [math]a'[/math] есть обратное преобразование [math]f^{-1}[/math] (противоположное число [math]-m[/math], противоположный вектор [math]\overrightarrow{BA}[/math]) для преобразования [math]f[/math] (целого числа [math]m[/math] и вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] соответственно). Утверждения [math]G_0-G_3[/math] и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.


[math](G_4)\colon[/math] В группе имеется точно один единичный элемент.


Доказательство. Ввиду [math]G_2[/math] нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в [math]G[/math] имеются два единичных элемента: [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math], т.е. на основании [math]G_2[/math] для любого [math]a[/math] справедливы равенства [math]e_1\ast a=a[/math] и [math]a\ast e_2=a[/math]. Тогда, в частности, [math]e_1\ast e_2=e_2[/math] и [math]e_1\ast e_2=e_1[/math]. Следовательно, в силу [math]G_0[/math] и свойств равенства [math]e_1=e_2[/math].


[math](G_5)\colon[/math] Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.


Доказательство. Ввиду [math]G_3[/math] остается доказать лишь его единственность. Допустим, что в [math]G[/math] для элемента [math]a[/math] имеются два обратных [math]a'[/math] и [math]a''[/math], т.е. таких элементов, что [math]a''\ast a=e[/math] и [math]a\ast a'=e[/math]. Тогда в силу [math]G[/math] имеем [math](a''\ast a)\ast a'=a''[/math], а следовательно, [math]e\ast a'=a''\ast e[/math]. Отсюда следует, согласно [math]G_2[/math], что [math]a'=a''[/math].


В мультипликативной терминологии обратный элемент для [math]a[/math] обозначается через [math]a^{-1}[/math], так что [math]a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e[/math], где [math]e[/math] — единственный единичный элемент из [math]G[/math].


[math](G_6)\colon[/math] Для любых элементов [math]a,\,b,\,c[/math] группы [math]G[/math] из [math]a\ast b=a\ast c[/math] и из [math]b\ast a=c\ast a[/math] следует следует [math]b=c[/math].


Доказательство. Пусть [math]a\ast b=a\ast c[/math]. Тогда [math]a^{-1}\ast (a\ast b)= (a^{-1}\ast a)\ast b=e\ast b=b[/math]. С другой стороны,


[math]a^{-1}\ast (a\ast b)= a^{-1}(a\ast c)= (a^{-1}\ast a)\ast c=e\ast c=c.[/math]

Следовательно, [math]b=c[/math]. Второе утверждение доказывается аналогично.


Следующие две теоремы докажите самостоятельно.


[math](G_7)\colon[/math] Для любых элементов [math]a[/math] и [math]b[/math] из [math]G[/math] каждое из уравнений a\ast x=b и [math]y\ast a=b[/math] имеет в [math]G[/math] единственное решение.


[math](G_8)\colon[/math] Для любых элементов [math]a[/math] и [math]b[/math] из [math]G[/math] имеем [math](a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}[/math].




Пример 26.2. Как отмечалось в предыдущем пункте, примером аксиоматической теории, возникшей на первом пути, является геометрия. Здесь рассматривается ее маленький фрагмент — теория конгруэнтности (равенства) отрезков. Условимся, что первичными терминами являются [math]S[/math] — множество всех отрезков и [math]\cong[/math] — отношение, называемое отношением конгруэнтности, так что выражение [math]x\cong y[/math] читается так: отрезок [math]x[/math] конгруэнтен отрезку [math]y[/math]. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:


[math](K_1)\colon[/math] Для всякого [math]x[/math] из [math]S[/math] справедливо [math]x\cong x[/math] (другими словами, каждый отрезок конгруэнтен самому себе).


[math](K_2)\colon[/math] Для любых элементов [math]x,y,z[/math] из [math]S[/math], если [math]x\cong z[/math] и [math]y\cong z[/math], то [math]x\cong y[/math] (другими словами, два отрезка, порознь конгруэнтные третьему, конгруэнтны между собой).


Докажем некоторые теоремы.


[math](K_3)\colon[/math] Для любых элементов [math]y[/math] и [math]z[/math] из [math]S[/math], если [math]y\cong z[/math], то z [math]z\cong y[/math].


Доказательство. По аксиоме [math]K_2[/math], подставив [math]z[/math] вместо [math]x[/math], получим, что если [math]z\cong z[/math] и [math]y\cong z[/math], то [math]z\cong y[/math]. Поскольку член конъюнкции [math]z\cong z[/math] истинен на основании аксиомы [math]K_1[/math], то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если [math]y\cong z[/math], то [math]z\cong y[/math].


[math](K_4)\colon[/math] Для любых элементов [math]x,y,z[/math] из [math]S[/math], если [math]x\cong y[/math] и [math]y\cong z[/math], то [math]x\cong z[/math].


Докажите самостоятельно.




Пример 26.3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж.Пеано (1858–1932) на рубеже XIX–XX вв. Ее первоначальными понятиями являются: непустое множество [math]\mathbb{N}[/math], бинарное отношение "[math]{}'[/math]" (называемое отношением следования) и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:


[math]\begin{aligned} & \mathsf{(P_1)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne 1);\\ &\mathsf{(P_2)}\colon\quad (\forall x,y)(x=y\to x'=y');\\ &\mathsf{(P_3)}\colon\quad (\forall x,y)(x'=y'\to x=y);\\ &\mathsf{(P_4)}\colon\quad \bigl(1\in M\land (\forall x)(x\in M\to x'\in M)\bigr)\to M=\mathbb{N}\,.\end{aligned}[/math]


Аксиома [math]\mathsf{(P_4)}[/math] называется аксиомой индукции. Правилами вывода служат обычные логические правила modus ponens и правило подстановки.


Приведем доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.


[math]\mathsf{(P_5)}\colon\quad (\forall x)(x'\ne x).[/math]


Доказательство. Рассмотрим множество: [math]M=\{x\in \mathbb{N}\colon\, x'\ne x\}[/math]. Покажем, используя аксиому индукции [math]\mathsf{(P_4)}[/math], что [math]M=\mathbb{N}[/math].


[math]1\in M[/math], так как [math]1'\ne1[/math] по аксиоме [math]\mathsf{P_1}[/math].


Пусть [math]x\in M[/math], то есть [math]x'\ne x[/math]. Тогда, по аксиоме [math]P_3(x')'\ne x'[/math]. Следовательно, по определению [math]x'\in M[/math].


Условия аксиомы [math]\mathsf{P_4}[/math] выполнены. Тогда, по аксиоме [math]\mathsf{P_4}[/math] имеем [math]M=\mathbb{N}[/math]. Это и означает, что [math](\forall x)(x'\ne x)[/math].


[math]\mathsf{(P_6)}\colon\quad (\forall x)\bigl(x=1\lor (\exists y)(x=y')\bigr).[/math]


Доказательство. Рассмотрим множество: [math]M=\{1\}\cup \{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}[/math] и покажем, используя аксиому индукции />4, что М= N.


[math]1\in M[/math] по определению множества.


Пусть [math]x\in M[/math] и [math]x\ne1[/math]. Тогда [math]x\in\{x\in \mathbb{N}\colon\, (\exists y)(x=y')\}[/math], то есть [math]x=y'[/math] для некоторого [math]y\in\mathbb{N}[/math]. Отсюда, ввиду аксиомы [math]\mathsf{P_2}[/math], получаем [math]x'=(y')'[/math], то есть [math]x'[/math] следует за элементом [math]y'[/math]. Тогда, по определению [math]M[/math] элемент [math]x'\in M[/math].


Условия аксиомы [math]\mathsf{P_4}[/math] выполнены. Тогда, по аксиоме [math]\mathsf{P_4}[/math] имеем [math]M=\mathbb{N}[/math].


Аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на основе приведенной системы аксиом, много времени уделяется в курсе "Числовые системы", изучаемом после курса математической логики.




Пример 26.4 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта). Эта система аксиом представлена Гильбертом в его книге "Основания геометрии", вышедшей в 1899 г. и ставшей с того момента вечным фундаментом этой науки. Гильберт так начинает свое сочинение: "Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются "аксиомами геометрии". Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.


В системе Гильберта первоначальными (неопределяемыми) понятиями являются понятия трех объектов — "точки", "прямые" и "плоскости" и трех сортов отношений между ними, выражаемых словами "принадлежит" (точка принадлежит прямой или плоскости), "между" (точка лежит между двумя другими точками) и "конгруэнтен" (конгруэнтны два отрезка или два угла). При этом точки обозначаются [math]A,B,C,\ldots[/math], прямые — [math]a,b,c,\ldots[/math], плоскости — [math]\alpha,\beta,\gamma,\ldots[/math]. Эти объекты и эти отношения между ними удовлетворяют двадцати аксиомам, разделенным на пять групп:


I. Аксиомы принадлежности (или инцидентности);

II. Аксиомы порядка;

III. Аксиомы конгруэнтности;

IV. Аксиомы непрерывности;

V. Аксиома параллельности Евклида.




Пример 26.5 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля). Эта система предложена немецким математиком Германом Вейлем в 1916 г., и путь построения геометрии, основанный, на этой системе аксиом, возможно, является самым коротким и динамичным путем аксиоматизации геометрии. К тому же на этом пути в элементарную геометрию входит одно из фундаментальнейших понятий современной математики — понятие векторного пространства, чрезвычайно, важное и для многочисленных ее приложений (к физике, химии, экономике и т.д.). Идея Вейля состоит в том, чтобы принять в качестве первоначальных, неопределяемых понятий понятия "точка", "вектор" (в частности, понятия "прямая" и "плоскость" определяются), "сумма векторов", "произведение вектора на число", "скалярное произведение векторов", "откладывание вектора от точки", а в качестве аксиом — свойства этих операций над векторами и некоторые свойства, связывающие точки и векторы.


С логической точки зрения вейлевский путь аксиоматизации эквивалентен гильбертовскому: он позволяет доказать все те же самые теоремы. Но с методологической точки зрения вейлевский путь имеет ряд преимуществ. Вместо скрупулезных и утомительных рассуждений по гильбертовской схеме путь Вейля дает ясное и краткое изложение, насыщенное современными идеями и мощными методами решения геометрических задач.


Система аксиом Вейля включает 16 аксиом, которые отчетливо делятся на две части: аксиомы векторного (евклидова) пространства и аксиомы точечного пространства в его связи с векторным пространством. Здесь важно отметить, что понятие векторного пространства размерности п без преувеличения играет фундаментальную роль во всех областях современной математики и сопредельных с ней наук. Оно изучалось также в курсе алгебры и в курсе математического анализа. Исключительно важна его роль и в геометрии. Геометрия изучает точки и фигуры — множества точек (но не векторы, с которыми имеет дело векторное пространство). Понятие точки — следующее неопределяемое понятие. Точки и векторы — объекты разной природы, но они очень тесно связаны между собой. Эта связь выражена во второй части аксиом — аксиомах Вейля точечного пространства. Имеется отображение, сопоставляющее любым двум точкам [math]A[/math] и [math]B[/math] (в указанном порядке) вектор из векторного пространства [math]V[/math], обозначаемый [math]\overrightarrow{AB}[/math]. Это отображение должно удовлетворять следующим аксиомам:


[math]\begin{aligned}&\mathsf{(V_1)}\colon\quad (\forall A)(\forall\vec{a})(\exists B)\bigl(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\bigr);\\[2pt] &\mathsf{(V_2)}\colon\quad (\forall A,M,N) \bigl(\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AN}\to M=N\bigr)\\[2pt] &\mathsf{(V_3)}\colon \quad (\forall A,B,C)\bigl(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\bigr).
\end{aligned}[/math]

Первая из этих аксиом называется аксиомой откладывания векторов: от каждой точки любой вектор можно отложить. Вторая аксиома утверждает, что это отложение осуществляется единственным образом: заданные начальная точка и вектор однозначно определяют концевую точку. Наконец, третья аксиома называется аксиомой треугольника.


Итак, пространство векторов (векторное пространство) и пространство точек (точечное пространство) — разные объекты, но очень тесно связанные между собой. Говорят, что точечное пространство рассматривается (или задано) над векторным пространством и что векторное пространство является пространством переносов соответствующего точечного пространства. Если векторное пространство [math]V_n[/math] не является евклидовым (т. е. в нем не задано скалярное произведение), то соответствующее точечное пространство обозначается [math]A_n[/math] и называется аффинным. Если векторное пространство [math]V_n[/math] является евклидовым (в нем задано скалярное произведение векторов), то соответствующее точечное пространство обозначается [math]E_n[/math] и называется евклидовым точечным пространством.


Таким образом, система аксиом векторного пространства вместе с аксиомами [math]\mathsf{(V_1)},\, \mathsf{(V_2)},\, \mathsf{(V_3)}[/math] и есть система аксиом евклидовой геометрии по Герману Вейлю. Все дальнейшие понятия (как то: прямая, плоскость и т.д.) вводятся при помощи определений на основе уже введенных первоначальных понятий, т.е. являются определяемыми, вторичными. Все теоремы о первоначальных и вторичных понятиях доказываются на основе сформулированных аксиом (с использованием, конечно, уже доказанных теорем). При этом фундаментальным с точки зрения логики является тот факт, что всякая аксиома системы аксиом Гильберта оказывается теоремой при вейлевском подходе к обоснованию геометрии. Отсюда следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Гильберта, может быть выведена и из системы аксиом Вейля (к выводу теоремы из системы аксиом Гильберта нужно добавить вначале выводы необходимых аксиом Гильберта из системы аксиом Вейля). Верно и обратное утверждение. Тот факт, что из системы аксиом Гильберта выводится каждое утверждение о векторах, которое Вейлем принято за аксиому, фактически и доказывается в разных курсах элементарной математики, в которых понятие вектора сделано вторичным. Отсюда и следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Вейля, может быть выведена и из системы аксиом Гильберта. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля оказываются эквивалентными: на основе каждой из них могут быть доказаны одни и те же теоремы евклидовой геометрии.




Пример 26.6. Геометрия Лобачевского может быть построена, например, на базе системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии, о которой говорилось в примере 26.4, если в этой системе аксиому параллельности Евклида заменить аксиомой параллельности Лобачевского, представляющей собой отрицание аксиомы параллельности Евклида.


Пример 26.7 (аксиоматическое построение канторовской ("наивной") теории множеств на основе нескольких систем аксиом). Читатель, знакомый с основами современной алгебры, узнает в приводимых системах аксиом аксиоматики так называемой "булевой алгебры", так как совокупность всех подмножеств данного множества образует алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Всего рассмотрим три системы аксиом.


Первоначальными понятиями теории [math]T_1[/math] являются бинарные операции [math]\cap,\,\cup[/math] (называемые соответственно пересечением и объединением), унарная операция [math]{}'[/math] (называемая дополнением) и нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два разных элемента — нулевой и единичный. Система аксиом [math]\Sigma_1[/math] этой теории симметрична относительно операций [math]\cap,\,\cup,\,0,\,1[/math] (или, как говорят, самодвойственна):


[math]\begin{array}{ll} \mathsf{(A1)} \colon ~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(A5)} \colon ~~ x\cap1=x; \\[2pt] \mathsf{(A2)} \colon ~~ x\cup y=y\cup x &\qquad \mathsf{(A6)} \colon ~~ x\cup0=x; \\[2pt] \mathsf{(A3)} \colon ~~ x\cap (y\cup z)= (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(A7)} \colon ~~ x\cap x'=0; \\[2pt] \mathsf{(A4)} \colon ~~ x\cup (y\cap z)= (x\cup y)\cap (x\cup z); &\qquad \mathsf{(A8)} \colon ~~ x\cup x'=1. \end{array}[/math]

Первоначальными понятиями второй теории [math]T_2[/math] являются бинарная операция [math]\cap[/math] и унарная операция [math]{}'[/math]. Система аксиом [math]\Sigma_2[/math] этой теории, наоборот, асимметрична, "смещена" в сторону операции [math]\cap:[/math]


[math]\begin{array}{ll}\mathsf{(B1)}\colon~~ x\cap y=y\cap x; &\qquad \mathsf{(B3)} \colon~~ x\cap y'= z\cap z'\Rightarrow x\cap y=x; \\[2pt] \mathsf{(B2)}\colon~~ (x\cap y)\cap z= x\cap (y\cap z); &\qquad \mathsf{(B4)} \colon~~ x\cap y=x\Rightarrow x\cap y'=z\cap z'.\end{array}[/math]

Наконец, в третьей теории [math]T_3[/math], в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение [math]\subset[/math], бинарные операции [math]\cap[/math] и [math]\cup[/math], унарная операция [math]{}'[/math] и нульарные операции 0 и 1, система аксиом [math]\Sigma_3[/math] следующая:


[math]\begin{array}{lll}\mathsf{(C1)}\colon~~ x \subset x; &\qquad \mathsf{(C4)} \colon~~ z \subset x\cap y\Rightarrow z \subset x\land z \subset y; &\qquad \mathsf{(C7)} \colon~~ 0 \subset x;\\[2pt] \mathsf{(C2)}\colon~~ x \subset y\land y \subset z\Rightarrow x \subset z; &\qquad \mathsf{(C5)} \colon~~ x\cap (y\cup z)\subset (x\cap y)\cup (x\cap z); &\qquad \mathsf{(C8)} \colon~~ 1 \subset x\cup x'; \\[2pt] \mathsf{(C3)}\colon~~ x\cup y \subset z\Rightarrow x \subset z\land y \subset z; &\qquad \mathsf{(C6)} \colon~~ x \subset1; &\qquad \mathsf{(C9)} \colon~~ x\cap x' \subset 0. \end{array}[/math]

Можно доказать равносильность всех этих трех систем аксиом.




Интерпретации и модели аксиоматической теории


Формулируя аксиомы в примерах предыдущего пункта, мы не обращали никакого внимания на природу элементов тех множеств, которые там встречаются, а также на природу других первоначальных понятий этих аксиоматических теорий.


Определение 26.8. Приписывание значений (смысла) первоначальным понятиям аксиоматической теории называется интерпретацией теории. Если некоторая совокупность предметов и отношений между ними, выбранных в качестве значений первоначальных понятий аксиоматической теории, т.е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет всем аксиомам теории, то она называется моделью данной аксиоматической теории (или моделью системы аксиом теории).


Другими словами, интерпретация теории — просто функция [math]f[/math], областью определения которой является множество [math]T[/math] первоначальных понятий этой теории. Если же образ [math]f[T][/math] удовлетворяет всем аксиомам теории, то это есть модель данной теории.


Так, в примере 26.1 каждое из множеств [math]F_{1-1}(M),\,Z[/math] и [math]V_2[/math], рассматриваемое вместе с соответствующей операцией, является моделью аксиоматической теории групп или, проще, группой. Существуют многочисленные другие модели данной теории. Вот в этой-то свободе интерпретаций аксиоматических теорий заключена одна из причин их обширных приложений в других науках и в практике. Но искусство интерпретации поистине одно из высочайших искусств математика-прикладника. Например, теория групп была с успехом применена в 1890 г. русским кристаллографом Е.С.Федоровым (1853–1919) для классификации и описания всевозможных форм кристаллов, существующих в природе, а в самое последнее время эта теория плодотворно работает в теории элементарных частиц.


Дадим аксиоматической теории, основанной на аксиомах [math]K_1[/math] и [math]K_2[/math] (пример 26.2), еще одну интерпретацию. В качестве первоначальных понятий возьмем множество [math]\mathbb{R}[/math] всех действительных чисел и отношение [math]\equiv[/math], определяемое так: [math]x\equiv y[/math] тогда и только тогда, когда разность [math]x-y[/math] есть целое число. Нетрудно убедиться в том, что при такой интерпретации аксиомы [math]K_1[/math] и [math]K_2[/math] превращаются в истинные утверждения (в теоремы теории действительных чисел). Следовательно, получаем модель аксиоматической теории [math]\operatorname{Th(K_1,K_2)}[/math].


Наконец, укажем две модели теории [math]\operatorname{Th}(P_1-P_4)[/math] натуральных чисел. Если интерпретировать [math]\mathbb{N}[/math] как множество [math]\{1;2;3;\ldots\}[/math] натуральных чисел, а отношение ' интерпретировать как функцию следования (т.е. [math]x'=x+1[/math]), то аксиомы [math]P_1-P_4[/math] будут выражать общеизвестные свойства натуральных чисел, т.е. получим модель рассматриваемой аксиоматической теории.


Ранее уже отмечалась возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие в процессе создания аксиоматической теории. Проиллюстрируем это на примерах. Так, доказав в аксиоматической теории групп теорему [math]G_8[/math], можно интерпретировать ее для конкретных моделей данной теории. В частности, на модели [math]F_{1-1}(M)[/math] она превращается в утверждение [math](g\ast f)^{-1}= f^{-1}\ast g^{-1}[/math], а на модели [math]V_2[/math] — в утверждение [math]-(\vec{a}+\vec{b})=(-\vec{a})+(-\vec{b})[/math]. Таким образом, природа этих, казалось бы, разнородных свойств одна — теоретико-групповая. Аналогично, без какого бы то ни было специального рассуждения мы уверены в том, что теоремы [math]K_3[/math] и [math]K_4[/math] станут истинными утверждениями о действительных числах при интерпретации, рассмотренной в настоящем пункте.


Но не только аксиоматическая теория привносит что-то в свои модели. Имеется и обратная связь: порой модели аксиоматической теории могут сослужить ей определенную службу при решении некоторых внутренних проблем теории. Пусть, например, требуется выяснить, является или нет теоремой теории [math]\operatorname{Th(K_1,K_2)}[/math] следующее высказывание:


[math]A\colon[/math] "Существуют два элемента [math]x[/math] и [math]y[/math] множества [math]S[/math], для которых неверно, что [math]x\cong y[/math] (другими словами, существуют два неконгруэнтных отрезка)".


То обстоятельство, что не удается получить вывод данного утверждения из аксиом [math]K_1,\,K_2[/math], приводит к догадке (гипотезе), что это сделать невозможно. Для ее подтверждения рассуждаем следующим образом. Если бы утверждение [math]A[/math] было выводимо из аксиом [math]K_1,\,K_2[/math], т.е. принадлежало бы аксиоматической теории [math]\operatorname{Th}(K_1,K_2)[/math], то ему удовлетворяла бы каждая модель этой теории. Поэтому, если удастся построить такую модель системы аксиом [math]\{K_1,\,K_2\}[/math], в которой не выполняется утверждение [math]A[/math], то догадка (гипотеза) будет подтверждена, т.е. [math]A[/math] невозможно вывести из [math]K_1[/math] и [math]K_2[/math]. В самом деле, рассмотрим, например, множество всех целых чисел и введенное выше отношение = между его элементами: [math]x\equiv y[/math] тогда и только тогда, когда [math]x-y\in \mathbb{Z}[/math]. На этой структуре, как мы уже отмечали, аксиомы [math]K_1[/math] и [math]K_2[/math] выполняются. Но совершенно ясно, что утверждение [math]A[/math] на данной модели не выполняется, потому что [math]x\equiv y[/math] для любых элементов [math]x[/math] и [math]y[/math] из [math]\mathbb{Z}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved