Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств


Нахождение алгебраического дополнения подпространства


Для заданного подпространства L\triangleleft \mathbb{R}^n требуется найти алгебраическое дополнение подпространства L^{+}, т.е. такое подпространство L^{+} \triangleleft\mathbb{R}^n, что \mathbb{R}^n=L\oplus L^{+}.


В зависимости от способа описания подпространства L, используем одно из следующих двух утверждений.


1. Если подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано как линейная оболочка L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k) столбцов матрицы A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}, то множество решений однородной системы A^Tx=o является его алгебраическим дополнением L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n, т.е.


L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{+}= \Bigl\{A^Tx=o\Bigr\}.
(8.16)

2. Если подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано как множество решений однородной системы Ax=o m уравнений с n неизвестными, то линейная оболочка столбцов a_1^{\tau},\ldots, a_m^{\tau} транспонированной матрицы A^T=\begin{pmatrix}a_1^{\tau}&\cdots& a_m^{\tau}\end{pmatrix} является его алгебраическим дополнением L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n, т.е.


L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{+}=\operatorname{Lin} (a_1^{\tau},\ldots,a_m^{\tau}),
(8.17)

где a_i^{\tau} — i-й столбец матрицы A^T.


Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства L^{+} (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).


Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае (k=1), а потом в общем. Пусть L=\operatorname{Lin}(a) — одномерное подпространство R^n, a=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}^T — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства L. Рассмотрим уравнение a^Tx=o в координатной форме: \alpha_1x_1+\ldots+ \alpha_nx_n=0. Множество \{a^Tx=o\} решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство L' размерности (n-1). Найдем пересечение L\cap L'. Подставляя элемент x=\lambda a линейной оболочки L в уравнение a^Tx=o, получаем \lambda[(\alpha_1)^2+ (\alpha_2)^2+\ldots+(\alpha_n)^2]=0, что возможно только при \lambda=0, так как a\ne o. Следовательно, элемент x из L принадлежит подпространству L' только тогда, когда x — нулевой столбец, т.е. L\cap L'=\{o\}. Учитывая, что \dim{L}+\dim{L'}=n, заключаем, что L' — алгебраическое дополнение подпространства L в \mathbb{R}^n\colon\, L\oplus L'=\mathbb{R}^n.Таким образом,


\operatorname{Lin}(a)\oplus\{a^Tx=o\}=\mathbb{R}^n.
(8.18)

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае (k\geqslant1). Представим L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k) в виде суммы L=L_1+\ldots+L_k, где L_i=\operatorname{Lin}(a_i), i=1,\ldots,k. Из (8.15) следует, что (L_1+\ldots+L_k)\oplus (L_1^{+}+\ldots+L_k^{+})= \mathbb{R}^n. Согласно (8.18), множество L_1^{+}=\{(a_i)^Tx=o\} решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет L_i до всего пространства \mathbb{R}^n. Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество L_1^{+} \cap\ldots\cap L_k^{+}=\{A^Tx=o\} решений системы этих уравнений. Поэтому (L_1+ \ldots+L_k)\oplus\{A^Tx=o\}=\mathbb{R}^n, что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).




Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства L=\operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3] в пространстве P_3(\mathbb{R}) многочленов не более, чем 3-й степени.


Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в P_3(\mathbb{R}) стандартный базис \mathbf{e}_1(t)=1, \mathbf{e}_2(t)=t, \mathbf{e}_3(t)=t^2, \mathbf{e}_4(t)=t^3. Пространство P_3(\mathbb{R}) изоморфно \mathbb{R}^4. Найдем координаты многочленов \mathbf{a}_1(t)=(t-1)^2 и \mathbf{a}_2(t)=(t+1)^3 в стандартном базисе. Раскладывая \mathbf{a}_1(t) по базису, получаем:


\mathbf{a}_1(t)= (t-1)^2= 1-2t+t^2=1\cdot \mathbf{e}_1(t)+(-2)\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t),

т.е. многочлену \mathbf{a}_1(t) соответствует координатный столбец a_1= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\end{pmatrix}^T — элемент пространства \mathbb{R}^4. Аналогично получаем координатный столбец a_2= \begin{pmatrix} 1&3&3&1\end{pmatrix}^T для многочлена \mathbf{a}_2(t).


Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2) в пространстве \mathbb{R}^4. Используя правило (8.16), получаем, что L^{+} — это множество решений системы A^Tx=o, где A^T=\begin{pmatrix} a_1&a_2 \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}, т.е. системы \begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. \end{cases}


Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:


A^T=\begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 0&5&2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&9/5&2/5\\ 0&1&2/5&1/5 \end{pmatrix}\!.

Базисные переменные x_1,\,x_2, свободные — x_3,\,x_4. Выражаем базисные переменные через свободные: x_1=-\frac{9}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4; x_2=-\frac{2}{5}x_3-\frac{1}{5}x_4. Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных (x_3=1,\,x_4=0 и x_3= 0,\,x_4=1), получаем решения: \varphi_1=\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{5}&-\dfrac{2}{5}& 1&0\end{pmatrix}^T, \varphi_2=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5}&0&1 \end{pmatrix}^T, которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения L^{+}=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2) Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу \varphi_1 находим многочлен


\varphi_1(t)=-\frac{9}{9}\cdot \mathbf{e}_1(t)-\frac{2}{5}\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t)= -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2.

Аналогично получаем \varphi_2(t)= -\frac{2}{5}-\frac{1}{5}t+t^3. Искомое алгебраическое дополнение имеет вид


L^{+}=\operatorname{Lin}\!\left[\left( -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)\!,\,\left( -\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\right]\!,

Проверим равенство L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}. Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов \mathbf{a}_1(t),\,\mathbf{a}_2(t) и \varphi_1(t),\,\varphi_2(t):


\alpha(1-t)^2+\beta(1+t)^3= \gamma\!\left(-\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)+\delta\! \left(-\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\!.
Преобразовывая, получаем
(\alpha+\beta)\cdot t^3+(\alpha+3\beta-\gamma)\cdot t^2+\left(-2\alpha+ 3\beta+ \frac{2}{5}\,\gamma+\frac{1}{5}\,\delta\right)\!\cdot t+\alpha+\beta+ \frac{9}{5}\,\gamma+ \frac{2}{5}\,\delta=0.

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

\begin{cases}\beta-\delta=0,\\ \alpha+3\beta-\gamma=0,\\ -2\alpha+3\beta+ \frac{2}{5} \gamma+ \frac{1}{5}\delta=0,\\ \alpha+\beta+ \frac{9}{5}\gamma+ \frac{2}{5}\delta=0, \end{cases} \Leftrightarrow\quad \underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&-1\\ 1&3&-1&0\\ -2&3&2/5&1/5\\ 1&1&9/5&2/5 \end{pmatrix}}_{B}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.


Ранг матрицы B этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение \alpha=\beta= \gamma= \delta=0. Таким образом, равенство L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\} выполняется.




Нахождение алгебраической суммы подпространств


Для заданных подпространств A и B пространства \mathbb{R}^n требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы A+B. Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.


Пусть подпространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): \mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}) и \mathbf{B} =\operatorname{Lin} (\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}). Тогда, приписывая к образующим \mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1} одного подпространства образующие \mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2} другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств \mathbf{A} и \mathbf{B}:


\left.{\begin{gathered}\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}),\hfill\\ \mathbf{B}=\operatorname{Lin}(\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}) \end{gathered}}\!\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}+\mathbf{B}=\operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1},\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}),
(8.19)

поскольку любой вектор \mathbf{v}\in(\mathbf{A}+\mathbf{B}) имеет вид \mathbf{v}= \underbrace{\alpha_1 \mathbf{a}_1+\ldots+ \alpha_{k_1}\mathbf{a}_{k_1} }_{\mathbf{v}_1\in\mathbf{A}}+ \underbrace{\beta_1 \mathbf{b}_1+\ldots+ \beta_{k_1}\mathbf{b}_{k_2} }_{\mathbf{v}_2\in\mathbf{B}}. Базис суммы \mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}, \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_{k_2}) можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.


Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): \mathbf{A}=\{Ax=o\} и \mathbf{B}=\{Bx=o\}. Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:


1) для каждой однородной системы Ax=o и Bx=o найти фундаментальные системы решений \varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r} и \psi_1,\ldots,\psi_{n-r} соответственно. При этом получим A=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}) и B=\operatorname{Lin}(\psi_1,\ldots,\psi_{n-r}), где r_{A}=\operatorname{rg}A, r_{B}=\operatorname{rg}B;


2) по правилу (8.19) найти сумму \mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r},\psi_1,\ldots,\psi_{n-r}).




Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы \mathbf{A}+\mathbf{B} подпространств \mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4, если подпространство \mathbf{A} задано системой уравнений


\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0,\end{cases}

подпространство \mathbf{B} — линейной оболочкой своих образующих:


\mathbf{B}=\operatorname{Lin}(b_1,b_2),\quad b_1=\begin{pmatrix}-4&3&1&-1 \end{pmatrix}^T,\quad b_2=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T.

Решение. Образующие подпространства \mathbf{A} были найдены в примере 8.9: \mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2), где a_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T, a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1 \end{pmatrix}^T. По правилу (8.19) получаем \mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1,b_2). Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:


\begin{gathered}\begin{pmatrix}-6&-2&-4&1\\ 4&1&3&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 4&1&3&1\\ -6&-2&-4&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&-2&2&7\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы a_1,\,a_2,\,b_2 исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом \mathbf{A}+\mathbf{B} и \dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})=3.




Нахождение пересечения подпространств


Для заданных подпространств \mathbf{A} и \mathbf{B} пространства \mathbb{R}^n требуется найти размерность и базис их пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B}. Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.


Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): \mathbf{A}=\{Ax=o\} и \mathbf{B}=\{Bx=o\}. Тогда, приписывая к системе Ax=o, задающей одно подпространство, систему Bx=o, задающую другое подпространство, получаем систему \begin{cases} Ax=o,\\ Bx=o,\end{cases} определяющую пересечение подпространств:


\left.{\begin{gathered}\mathbf{A}=\{Ax=o\},\\ \mathbf{B}=\{Bx=o\} \end{gathered}}\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\left\{\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}\!x=o\right\}\!.
(8.20)

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.


Пусть подпространства \mathbf{A} и \mathbf{B} пространства \mathbb{R}^n заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): \mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_{k_1}) и \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2}). Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению \mathbf{A}\cap \mathbf{B} принадлежат только такие \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n, которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов a_1,\ldots,a_{k_1} и столбцов b_1,\ldots,b_{k_2} соответственно:


\mathbf{x}=\alpha\cdot \mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_{k_1}\cdot \mathbf{a}_{k_1}= \beta_{1}\cdot \mathbf{b}_{1}+\ldots+\beta_{k_2}\cdot \mathbf{b}_{k_2}.
(8.21)

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде A\alpha=B\beta, где A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_{k_1}\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix} — матрицы, составленные из данных столбцов, \alpha= \begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T, \beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_{k_2}\end{pmatrix}^T — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство A\alpha=B\beta можно рассматривать как одно родную систему A\alpha-B\beta=o n уравнений с (k_1+k_2) неизвестными \alpha и \beta. Каждому решению этой системы соответствует вектор \mathbf{x}= A\alpha=B\beta, при надлежащий пересечению \mathbf{A}\cap \mathbf{B}. Однако, на практике удобнее вместо системы A\alpha-B\beta=o рассматривать однородную систему A\alpha+B\beta=o, решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор \mathbf{x}= A\alpha=B\beta при надлежит пересечению \mathbf{A}\cap \mathbf{B}.


Поэтому для нахождения пересечения подпространств \mathbf{A}= \operatorname{Lin} (a_1,\ldots,a_{k_1}) и \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2}) и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.


1. Составить блочную матрицу (A\mid B) коэффициентов однородной системы уравнений A\alpha+B\beta=o, где матрицы A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_{k_1} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix} образованы из заданных столбцов.


2. Для однородной системы с матрицей (A\mid B) найти фундаментальную матрицу \Phi. Матрица Phi имеет размеры (k_1+k_2)\times (k_1+k_2-r), где r=\operatorname{rg}(A\mid B).


3. Из первых k_1 строк матрицы \Phi составить матрицу \Phi_{\alpha}= (E_{k_1}\mid O)\Phi. Столбцы матрицы \Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots &\varphi_{k_1+k_2-r}\end{pmatrix} содержат искомые коэффициенты \alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T линейных комбинаций (8.21).


4. Записать пересечение \mathbf{A}\cap \mathbf{B} как линейную оболочку столбцов матрицы A\Phi_{\alpha}: A\cap B=\operatorname{Lin}(A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r}).


5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r}.




Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы \mathbf{A}+ \mathbf{B} и пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B} подпространств \mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4, если они заданы линейными оболочками своих образующих: \mathbf{A}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,a_3) \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2,b_3), где


a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\3\end{pmatrix}\!,\quad b_1=\begin{pmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{pmatrix}\!,\quad b_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\2\end{pmatrix}\!,\quad b_3=\begin{pmatrix} 3\\1\\3\\1 \end{pmatrix}\!.

Решение. Найдем базис и размерность суммы \mathbf{A}+ \mathbf{B}. Составим из данных столбцов блочную матрицу


(A\mid B)= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\,\mid\, b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 0&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1 \end{pmatrix}\!.

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:


(A\mid B)\sim \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0 \end{pmatrix}= (A'\mid B').

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих a_1,a_2,a_3, b_1,b_2,b_3 подпространства \mathbf{A}+\mathbf{B} максимальную линейно независимую подсистему составляют столбцы a_1,a_2,b_1 (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: \mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1) и \dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3. По ступенчатому виду матрицы (A\mid B) можно также определить размерности подпространств. В блоке A' две ненулевых строки, следовательно, \dim\mathbf{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}A'=2. Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, \dim\mathbf{B}= \operatorname{rg}B= \operatorname{rg}B'=3.


Найдем базис и размерность пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B}~ (k_1=k_2=3,~ r=\operatorname{rg}(A\mid B)=3).


1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица (A\mid B) однородной системы A\alpha+B\beta=o приведена к ступенчатому виду (A'\mid B').


2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу (A'\mid B') системы к упрощенному виду:


(A'\mid B')= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\!\!&\vline\!\!& 0&3/2&2\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!& 0&-1/2&1\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\!.

Базисные переменные: \alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: \alpha_1=-2\alpha_3-\frac{3}{2} \beta_2-2\beta_3; \alpha_2=\alpha_3+\frac{1}{2}\beta_2-\beta_3; \beta_1=0. Придавая свободным переменным наборы значений


\alpha_3=1,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=2,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=1,

получаем линейно независимые решения


\varphi_1=\begin{pmatrix} -2&1&1&0&0&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2= \begin{pmatrix} -3&1&0&0&2&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_3=\begin{pmatrix}-2&-1&0&0&0&1 \end{pmatrix}^T.

т.е. фундаментальная матрица имеет вид
\Phi= \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.

3. Из первых трех строк (k_1=3) матрицы \Phi составляем матрицу \Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} -2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.


4. Вычисляем произведение
A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&3\\ 1&1&1\\ 1&-1&3 \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}o&c_1&c_2\end{pmatrix}\!.

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(o,c_1,c_2), где o — нулевой столбец, c_1= \begin{pmatrix} -2&-4&-2&-4 \end{pmatrix}^T, c_2=\begin{pmatrix}-3&-1&-3&-1 \end{pmatrix}^T.


5. Найдем базис пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B}. Для этого матрицу A\Phi_{\alpha} приводим к ступенчатому виду


A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&2&3\\ 0&0&5\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&1&3/2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!.

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы A\Phi_{\alpha} линейно независимы. Следовательно, два столбца c_1,c_2 являются базисом пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(c_1,c_2) и \dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2.


Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):


\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim \mathbf{A}+\dim \mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})= 2+3-3=2,

что совпадает с найденной ранее размерностью.




Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения \mathbf{A}\cap \mathbf{B} и суммы \mathbf{A}+ \mathbf{B} подпространств \mathbf{A}, \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4, если они заданы однородными системами уравнений:


\mathbf{A}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0;\end{cases}\quad \mathbf{B}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+x_3+2x_4=0,\\ x_1+2x_2+2x_4=0.\end{cases}

Решение. Обозначим матрицы данных систем через \mathbf{A} и \mathbf{B} соответственно. По правилу (8.20) пересечение \mathbf{A}\cap \mathbf{B} описывается однородной системой \begin{cases}Ax=o,\\Bx=o.\end{cases} Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы \begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix} и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:


\begin{gathered} \begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 2&3&0&1\\ 3&4&2&2\\\hline 1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&1&-4&-1\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&1&-3&0\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&0&0\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&2&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&6&2\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&-4\\ 0&1&0&3\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Базисные переменные: x_1,x_2,x_3, свободная переменная — x_4. Выражаем базисные переменные через свободную: x_1=4x_4; x_2=-3x_4; x_3=-x_4. Фундаментальная система содержит одно решение \varphi_1= \begin{pmatrix} 4&-3&-1&1\end{pmatrix}^T, которое получаем, задавая x_4=1. Следовательно, \mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(\varphi_1) и \dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B}).


Найдем теперь сумму \mathbf{A}+\mathbf{B}. Фундаментальная система решений однородной системы Ax=o была найдена в примере 8.9. Следовательно,


\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2), где a_1=\begin{pmatrix} -6&4&1&0 \end{pmatrix}^T,~~ a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T,~~ \dim{\mathbf{A}}=2.

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы Bx=o. Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:


B=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&-2\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.

Базисные переменные: x_1,\,x_2, свободные переменные: x_3,\,x_4. Выражаем базисные переменные через свободные: x_1=-2x_3+2x_4; x_2=x_3-2x_4. Фундаментальная система состоит из двух решений b_1=\begin{pmatrix}-2&1&1&0\end{pmatrix}^T, b_2=\begin{pmatrix}2&-2&0&1\end{pmatrix}^T, которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений (x_3=1,~x_4=0 и x_3=0,~x_4=1). Следователь но, \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2) и \dim \mathbf{B}=2.


По правилу (8.19) находим сумму \mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,b_1,b_2). Чтобы определить базис, составим из столбцов a_1,\,a_2,\, b_1,\,b_2 матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:


\begin{pmatrix}-6&-2&-2&2\\ 4&1&1&-2\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&-2&4&2\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&3&3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, \mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1) и \dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3.


Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем


\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \dim\mathbf{A}+\dim\mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2+2-1=3,

что совпадает с найденной ранее размерностью.




Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств


Пусть дана цепочка подпространств \mathbf{A}\triangleleft \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^n. Требуется найти относительное дополнение \mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B} подпространства \mathbf{A} до подпространства \mathbf{B}.


Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: \mathbf{A}=\{Ax=o\} и \mathbf{B}=\{Ax=o\}. Согласно (8.17) базис пространства \mathbf{A}^{+} образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы A^T. Тогда относительное дополнение \mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B} составляют такие векторы x=A^Ty, которые удовлетворяют системе Bx=o. Если обозначить через \Phi фундаментальную матрицу системы BA^Ty=o, то линейно независимые столбцы матрицы A^T\Phi являются максимальной системой векторов подпространства \mathbf{B}, линейно независимой над \mathbf{A}, т.е. базисом относительного дополнения.


На практике нахождение базиса \mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B} удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц A и B, согласно следующей методике.


1. Привести матрицы A и B при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы (A)_{\text{st}} и (B)_{\text{st}} модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).


2. Найти фундаментальную матрицу \Phi однородной системы уравнений (B)_{\text{st}}(A)_{\text{st}}^Ty=o.


3. Вычислить матрицу (A)_{\text{st}}^T\Phi. Ее столбцы образуют искомый базис \mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}.


Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства \mathbf{A} как линейной оболочки своих образующих: \mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k). Согласно (8.16) множество решений системы уравнений A^Tx=o (матрица A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix} составлена из образующих) является алгебраическим дополнением \mathbf{A}^{+}. Тогда множество решений системы \begin{cases}A^Tx=o,\\Bx=o,\end{cases}\!\!\Leftrightarrow\, \begin{pmatrix} \dfrac{A^T}{B} \end{pmatrix}\!x=o является относительным дополнением \mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}, а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.


Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства \mathbb{R}^n вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве \mathbb{C}^n нужно использовать операцию сопряжения матрицы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved