Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств Нахождение алгебраического дополнения подпространства Для заданного подпространства $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L^{+}$ , т.е. такое подпространство $L^{+} \triangleleft\mathbb{R}^n$ , что $\mathbb{R}^n=L\oplus L^{+}$ . В зависимости от способа описания подпространства $L$ , используем одно из следующих двух утверждений. 1. Если подпространство $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как линейная оболочка $L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ столбцов матрицы $A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}$ , то множество решений однородной системы $A^Tx=o$ является его алгебраическим дополнением $L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е. $L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{+}= \Bigl\{A^Tx=o\Bigr\}.$ (8.16) 2. Если подпространство $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как множество решений однородной системы $Ax=o$ $m$ уравнений с $n$ неизвестными, то линейная оболочка столбцов $a_1^{\tau},\ldots, a_m^{\tau}$ транспонированной матрицы $A^T=\begin{pmatrix}a_1^{\tau}&\cdots& a_m^{\tau}\end{pmatrix}$ является его алгебраическим дополнением $L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е. $L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{+}=\operatorname{Lin} (a_1^{\tau},\ldots,a_m^{\tau}),$ (8.17) где $a_i^{\tau}$ — i-й столбец матрицы $A^T$ . Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства $L^{+}$ (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств). Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае $(k=1)$ , а потом в общем. Пусть $L=\operatorname{Lin}(a)$ — одномерное подпространство $R^n$ , $a=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}^T$ — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства $L$ . Рассмотрим уравнение $a^Tx=o$ в координатной форме: $\alpha_1x_1+\ldots+ \alpha_nx_n=0$ . Множество $\{a^Tx=o\}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство $L'$ размерности $(n-1)$ . Найдем пересечение $L\cap L'$ . Подставляя элемент $x=\lambda a$ линейной оболочки $L$ в уравнение $a^Tx=o$ , получаем $\lambda[(\alpha_1)^2+ (\alpha_2)^2+\ldots+(\alpha_n)^2]=0$ , что возможно только при $\lambda=0$ , так как $a\ne o$ . Следовательно, элемент $x$ из $L$ принадлежит подпространству $L'$ только тогда, когда $x$ — нулевой столбец, т.е. $L\cap L'=\{o\}$ . Учитывая, что $\dim{L}+\dim{L'}=n$ , заключаем, что $L'$ — алгебраическое дополнение подпространства $L$ в $\mathbb{R}^n\colon\, L\oplus L'=\mathbb{R}^n$ .Таким образом, $\operatorname{Lin}(a)\oplus\{a^Tx=o\}=\mathbb{R}^n.$ (8.18) Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае $(k\geqslant1)$ . Представим $L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ в виде суммы $L=L_1+\ldots+L_k$ , где $L_i=\operatorname{Lin}(a_i),$ $i=1,\ldots,k$ . Из (8.15) следует, что $(L_1+\ldots+L_k)\oplus (L_1^{+}+\ldots+L_k^{+})= \mathbb{R}^n$ . Согласно (8.18), множество $L_1^{+}=\{(a_i)^Tx=o\}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет $L_i$ до всего пространства $\mathbb{R}^n$ . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество $L_1^{+} \cap\ldots\cap L_k^{+}=\{A^Tx=o\}$ решений системы этих уравнений. Поэтому $(L_1+ \ldots+L_k)\oplus\{A^Tx=o\}=\mathbb{R}^n$ , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18). Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства $L=\operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3]$ в пространстве $P_3(\mathbb{R})$ многочленов не более, чем 3-й степени. Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в $P_3(\mathbb{R})$ стандартный базис $\mathbf{e}_1(t)=1,$ $\mathbf{e}_2(t)=t,$ $\mathbf{e}_3(t)=t^2,$ $\mathbf{e}_4(t)=t^3$ . Пространство $P_3(\mathbb{R})$ изоморфно $\mathbb{R}^4$ . Найдем координаты многочленов $\mathbf{a}_1(t)=(t-1)^2$ и $\mathbf{a}_2(t)=(t+1)^3$ в стандартном базисе. Раскладывая $\mathbf{a}_1(t)$ по базису, получаем: $\mathbf{a}_1(t)= (t-1)^2= 1-2t+t^2=1\cdot \mathbf{e}_1(t)+(-2)\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t),$ т.е. многочлену $\mathbf{a}_1(t)$ соответствует координатный столбец $a_1= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\end{pmatrix}^T$ — элемент пространства $\mathbb{R}^4$ . Аналогично получаем координатный столбец $a_2= \begin{pmatrix} 1&3&3&1\end{pmatrix}^T$ для многочлена $\mathbf{a}_2(t)$ . Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ в пространстве $\mathbb{R}^4$ . Используя правило (8.16), получаем, что $L^{+}$ — это множество решений системы $A^Tx=o$ , где $A^T=\begin{pmatrix} a_1&a_2 \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}$ , т.е. системы $\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. \end{cases}$ Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой: $A^T=\begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 0&5&2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&9/5&2/5\\ 0&1&2/5&1/5 \end{pmatrix}\!.$ Базисные переменные $x_1,\,x_2$ , свободные — $x_3,\,x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободные: $x_1=-\frac{9}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;$ $x_2=-\frac{2}{5}x_3-\frac{1}{5}x_4$ . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( $x_3=1,\,x_4=0$ и $x_3= 0,\,x_4=1$ ), получаем решения: $\varphi_1=\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{5}&-\dfrac{2}{5}& 1&0\end{pmatrix}^T,$ $\varphi_2=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5}&0&1 \end{pmatrix}^T$ , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения $L^{+}=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2)$ Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу $\varphi_1$ находим многочлен $\varphi_1(t)=-\frac{9}{9}\cdot \mathbf{e}_1(t)-\frac{2}{5}\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t)= -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2.$ Аналогично получаем $\varphi_2(t)= -\frac{2}{5}-\frac{1}{5}t+t^3$ . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид $L^{+}=\operatorname{Lin}\!\left[\left( -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)\!,\,\left( -\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\right]\!,$ Проверим равенство $L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов $\mathbf{a}_1(t),\,\mathbf{a}_2(t)$ и $\varphi_1(t),\,\varphi_2(t):$ $\alpha(1-t)^2+\beta(1+t)^3= \gamma\!\left(-\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)+\delta\! \left(-\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\!.$ Преобразовывая, получаем $(\alpha+\beta)\cdot t^3+(\alpha+3\beta-\gamma)\cdot t^2+\left(-2\alpha+ 3\beta+ \frac{2}{5}\,\gamma+\frac{1}{5}\,\delta\right)\!\cdot t+\alpha+\beta+ \frac{9}{5}\,\gamma+ \frac{2}{5}\,\delta=0.$ Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю: $\begin{cases}\beta-\delta=0,\\ \alpha+3\beta-\gamma=0,\\ -2\alpha+3\beta+ \frac{2}{5} \gamma+ \frac{1}{5}\delta=0,\\ \alpha+\beta+ \frac{9}{5}\gamma+ \frac{2}{5}\delta=0, \end{cases} \Leftrightarrow\quad \underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&-1\\ 1&3&-1&0\\ -2&3&2/5&1/5\\ 1&1&9/5&2/5 \end{pmatrix}}_{B}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.$ Ранг матрицы $B$ этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение $\alpha=\beta= \gamma= \delta=0$ . Таким образом, равенство $L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ выполняется. Нахождение алгебраической суммы подпространств Для заданных подпространств $A$ и $B$ пространства $\mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы $A+B$ . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств. Пусть подпространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1})$ и $\mathbf{B} =\operatorname{Lin} (\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2})$ . Тогда, приписывая к образующим $\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}$ одного подпространства образующие $\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}$ другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}:$ $\left.{\begin{gathered}\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}),\hfill\\ \mathbf{B}=\operatorname{Lin}(\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}) \end{gathered}}\!\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}+\mathbf{B}=\operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1},\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}),$ (8.19) поскольку любой вектор $\mathbf{v}\in(\mathbf{A}+\mathbf{B})$ имеет вид $\mathbf{v}= \underbrace{\alpha_1 \mathbf{a}_1+\ldots+ \alpha_{k_1}\mathbf{a}_{k_1} }_{\mathbf{v}_1\in\mathbf{A}}+ \underbrace{\beta_1 \mathbf{b}_1+\ldots+ \beta_{k_1}\mathbf{b}_{k_2} }_{\mathbf{v}_2\in\mathbf{B}}$ . Базис суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}, \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_{k_2})$ можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов. Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Bx=o\}$ . Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия: 1) для каждой однородной системы $Ax=o$ и $Bx=o$ найти фундаментальные системы решений $\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}$ и $\psi_1,\ldots,\psi_{n-r}$ соответственно. При этом получим $A=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r})$ и $B=\operatorname{Lin}(\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})$ , где $r_{A}=\operatorname{rg}A,$ $r_{B}=\operatorname{rg}B$ ; 2) по правилу (8.19) найти сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r},\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})$ . Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если подпространство $\mathbf{A}$ задано системой уравнений $\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0,\end{cases}$ подпространство $\mathbf{B}$ — линейной оболочкой своих образующих: $\mathbf{B}=\operatorname{Lin}(b_1,b_2),\quad b_1=\begin{pmatrix}-4&3&1&-1 \end{pmatrix}^T,\quad b_2=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T.$ Решение. Образующие подпространства $\mathbf{A}$ были найдены в примере 8.9: $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,$ $a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1 \end{pmatrix}^T$ . По правилу (8.19) получаем $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду: $\begin{gathered}\begin{pmatrix}-6&-2&-4&1\\ 4&1&3&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 4&1&3&1\\ -6&-2&-4&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&-2&2&7\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}$ Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы $a_1,\,a_2,\,b_2$ исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ и $\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})=3$ . Нахождение пересечения подпространств Для заданных подпространств $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ пространства $\mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств. Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Bx=o\}$ . Тогда, приписывая к системе $Ax=o$ , задающей одно подпространство, систему $Bx=o$ , задающую другое подпространство, получаем систему $\begin{cases} Ax=o,\\ Bx=o,\end{cases}$ определяющую пересечение подпространств: $\left.{\begin{gathered}\mathbf{A}=\{Ax=o\},\\ \mathbf{B}=\{Bx=o\} \end{gathered}}\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\left\{\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}\!x=o\right\}\!.$ (8.20) Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений. Пусть подпространства $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ пространства $\mathbb{R}^n$ заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_{k_1})$ и $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})$ . Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ принадлежат только такие $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ , которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов $a_1,\ldots,a_{k_1}$ и столбцов $b_1,\ldots,b_{k_2}$ соответственно: $\mathbf{x}=\alpha\cdot \mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_{k_1}\cdot \mathbf{a}_{k_1}= \beta_{1}\cdot \mathbf{b}_{1}+\ldots+\beta_{k_2}\cdot \mathbf{b}_{k_2}.$ (8.21) Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде $A\alpha=B\beta$ , где $A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_{k_1}\end{pmatrix},$ $B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}$ — матрицы, составленные из данных столбцов, $\alpha= \begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T,$ $\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_{k_2}\end{pmatrix}^T$ — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство $A\alpha=B\beta$ можно рассматривать как одно родную систему $A\alpha-B\beta=o$ $n$ уравнений с $(k_1+k_2)$ неизвестными $\alpha$ и $\beta$ . Каждому решению этой системы соответствует вектор $\mathbf{x}= A\alpha=B\beta$ , при надлежащий пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Однако, на практике удобнее вместо системы $A\alpha-B\beta=o$ рассматривать однородную систему $A\alpha+B\beta=o$ , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор $\mathbf{x}= A\alpha=B\beta$ при надлежит пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Поэтому для нахождения пересечения подпространств $\mathbf{A}= \operatorname{Lin} (a_1,\ldots,a_{k_1})$ и $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})$ и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия. 1. Составить блочную матрицу $(A\mid B)$ коэффициентов однородной системы уравнений $A\alpha+B\beta=o$ , где матрицы $A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_{k_1} \end{pmatrix},$ $B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}$ образованы из заданных столбцов. 2. Для однородной системы с матрицей $(A\mid B)$ найти фундаментальную матрицу $\Phi$ . Матрица $Phi$ имеет размеры $(k_1+k_2)\times (k_1+k_2-r)$ , где $r=\operatorname{rg}(A\mid B)$ . 3. Из первых $k_1$ строк матрицы $\Phi$ составить матрицу $\Phi_{\alpha}= (E_{k_1}\mid O)\Phi$ . Столбцы матрицы $\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots &\varphi_{k_1+k_2-r}\end{pmatrix}$ содержат искомые коэффициенты $\alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T$ линейных комбинаций (8.21). 4. Записать пересечение $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ как линейную оболочку столбцов матрицы $A\Phi_{\alpha}:$ $A\cap B=\operatorname{Lin}(A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r})$ . 5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих $A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r}$ . Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ и пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если они заданы линейными оболочками своих образующих: $\mathbf{A}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,a_3)$ $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2,b_3)$ , где $a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\3\end{pmatrix}\!,\quad b_1=\begin{pmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{pmatrix}\!,\quad b_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\2\end{pmatrix}\!,\quad b_3=\begin{pmatrix} 3\\1\\3\\1 \end{pmatrix}\!.$ Решение. Найдем базис и размерность суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ . Составим из данных столбцов блочную матрицу $(A\mid B)= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\,\mid\, b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 0&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1 \end{pmatrix}\!.$ Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду: $(A\mid B)\sim \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0 \end{pmatrix}= (A'\mid B').$ По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих $a_1,a_2,a_3,$ $b_1,b_2,b_3$ подпространства $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ максимальную линейно независимую подсистему составляют столбцы $a_1,a_2,b_1$ (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: $\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и $\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3$ . По ступенчатому виду матрицы $(A\mid B)$ можно также определить размерности подпространств. В блоке $A'$ две ненулевых строки, следовательно, $\dim\mathbf{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}A'=2$ . Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, $\dim\mathbf{B}= \operatorname{rg}B= \operatorname{rg}B'=3$ . Найдем базис и размерность пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}~ (k_1=k_2=3,~ r=\operatorname{rg}(A\mid B)=3)$ . 1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица $(A\mid B)$ однородной системы $A\alpha+B\beta=o$ приведена к ступенчатому виду $(A'\mid B')$ . 2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу $(A'\mid B')$ системы к упрощенному виду: $(A'\mid B')= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\!\!&\vline\!\!& 0&3/2&2\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!& 0&-1/2&1\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\!.$ Базисные переменные: $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1$ ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: $\alpha_1=-2\alpha_3-\frac{3}{2} \beta_2-2\beta_3;$ $\alpha_2=\alpha_3+\frac{1}{2}\beta_2-\beta_3;$ $\beta_1=0$ . Придавая свободным переменным наборы значений $\alpha_3=1,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=2,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=1,$ получаем линейно независимые решения $\varphi_1=\begin{pmatrix} -2&1&1&0&0&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2= \begin{pmatrix} -3&1&0&0&2&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_3=\begin{pmatrix}-2&-1&0&0&0&1 \end{pmatrix}^T.$ т.е. фундаментальная матрица имеет вид $\Phi= \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.$ 3. Из первых трех строк $(k_1=3)$ матрицы $\Phi$ составляем матрицу $\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} -2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$ . 4. Вычисляем произведение $A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&3\\ 1&1&1\\ 1&-1&3 \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}o&c_1&c_2\end{pmatrix}\!.$ Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(o,c_1,c_2)$ , где $o$ — нулевой столбец, $c_1= \begin{pmatrix} -2&-4&-2&-4 \end{pmatrix}^T,$ $c_2=\begin{pmatrix}-3&-1&-3&-1 \end{pmatrix}^T$ . 5. Найдем базис пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Для этого матрицу $A\Phi_{\alpha}$ приводим к ступенчатому виду $A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&2&3\\ 0&0&5\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&1&3/2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!.$ По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы $A\Phi_{\alpha}$ линейно независимы. Следовательно, два столбца $c_1,c_2$ являются базисом пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(c_1,c_2)$ и $\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2$ . Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13): $\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim \mathbf{A}+\dim \mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})= 2+3-3=2,$ что совпадает с найденной ранее размерностью. Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ и суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A}, \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если они заданы однородными системами уравнений: $\mathbf{A}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0;\end{cases}\quad \mathbf{B}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+x_3+2x_4=0,\\ x_1+2x_2+2x_4=0.\end{cases}$ Решение. Обозначим матрицы данных систем через $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ соответственно. По правилу (8.20) пересечение $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ описывается однородной системой $\begin{cases}Ax=o,\\Bx=o.\end{cases}$ Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы $\begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}$ и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду: $\begin{gathered} \begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 2&3&0&1\\ 3&4&2&2\\\hline 1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&1&-4&-1\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&1&-3&0\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&0&0\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&2&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&6&2\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&-4\\ 0&1&0&3\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!.\end{gathered}$ Базисные переменные: $x_1,x_2,x_3$ , свободная переменная — $x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободную: $x_1=4x_4;$ $x_2=-3x_4;$ $x_3=-x_4$ . Фундаментальная система содержит одно решение $\varphi_1= \begin{pmatrix} 4&-3&-1&1\end{pmatrix}^T$ , которое получаем, задавая $x_4=1$ . Следовательно, $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(\varphi_1)$ и $\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})$ . Найдем теперь сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ . Фундаментальная система решений однородной системы $Ax=o$ была найдена в примере 8.9. Следовательно, $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1=\begin{pmatrix} -6&4&1&0 \end{pmatrix}^T,~~ a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T,~~ \dim{\mathbf{A}}=2$ . Найдем фундаментальную систему решений однородной системы $Bx=o$ . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному: $B=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&-2\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.$ Базисные переменные: $x_1,\,x_2$ , свободные переменные: $x_3,\,x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободные: $x_1=-2x_3+2x_4;$ $x_2=x_3-2x_4$ . Фундаментальная система состоит из двух решений $b_1=\begin{pmatrix}-2&1&1&0\end{pmatrix}^T,$ $b_2=\begin{pmatrix}2&-2&0&1\end{pmatrix}^T$ , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( $x_3=1,~x_4=0$ и $x_3=0,~x_4=1$ ). Следователь но, $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2)$ и $\dim \mathbf{B}=2$ . По правилу (8.19) находим сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Чтобы определить базис, составим из столбцов $a_1,\,a_2,\, b_1,\,b_2$ матрицу и приведем ее к ступенчатому виду: $\begin{pmatrix}-6&-2&-2&2\\ 4&1&1&-2\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&-2&4&2\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&3&3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.$ Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и $\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3$ . Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем $\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \dim\mathbf{A}+\dim\mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2+2-1=3,$ что совпадает с найденной ранее размерностью. Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств Пусть дана цепочка подпространств $\mathbf{A}\triangleleft \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^n$ . Требуется найти относительное дополнение $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ подпространства $\mathbf{A}$ до подпространства $\mathbf{B}$ . Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Ax=o\}$ . Согласно (8.17) базис пространства $\mathbf{A}^{+}$ образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы $A^T$ . Тогда относительное дополнение $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ составляют такие векторы $x=A^Ty$ , которые удовлетворяют системе $Bx=o$ . Если обозначить через $\Phi$ фундаментальную матрицу системы $BA^Ty=o$ , то линейно независимые столбцы матрицы $A^T\Phi$ являются максимальной системой векторов подпространства $\mathbf{B}$ , линейно независимой над $\mathbf{A}$ , т.е. базисом относительного дополнения. На практике нахождение базиса $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц $A$ и $B$ , согласно следующей методике. 1. Привести матрицы $A$ и $B$ при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы $(A)_{\text{st}}$ и $(B)_{\text{st}}$ модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые). 2. Найти фундаментальную матрицу $\Phi$ однородной системы уравнений $(B)_{\text{st}}(A)_{\text{st}}^Ty=o$ . 3. Вычислить матрицу $(A)_{\text{st}}^T\Phi$ . Ее столбцы образуют искомый базис $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ . Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства $\mathbf{A}$ как линейной оболочки своих образующих: $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ . Согласно (8.16) множество решений системы уравнений $A^Tx=o$ (матрица $A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}$ составлена из образующих) является алгебраическим дополнением $\mathbf{A}^{+}$ . Тогда множество решений системы $\begin{cases}A^Tx=o,\\Bx=o,\end{cases}\!\!\Leftrightarrow\, \begin{pmatrix} \dfrac{A^T}{B} \end{pmatrix}\!x=o$ является относительным дополнением $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ , а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения. Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства $\mathbb{R}^n$ вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве $\mathbb{C}^n$ нужно использовать операцию сопряжения матрицы. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

Для заданного подпространства $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L^{+}$ , т.е. такое подпространство $L^{+} \triangleleft\mathbb{R}^n$ , что $\mathbb{R}^n=L\oplus L^{+}$ .

В зависимости от способа описания подпространства $L$ , используем одно из следующих двух утверждений.

1. Если подпространство $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как линейная оболочка $L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ столбцов матрицы $A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}$ , то множество решений однородной системы $A^Tx=o$ является его алгебраическим дополнением $L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е.

$L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{+}= \Bigl\{A^Tx=o\Bigr\}.$

(8.16)

2. Если подпространство $L\triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как множество решений однородной системы $Ax=o$ $m$ уравнений с $n$ неизвестными, то линейная оболочка столбцов $a_1^{\tau},\ldots, a_m^{\tau}$ транспонированной матрицы $A^T=\begin{pmatrix}a_1^{\tau}&\cdots& a_m^{\tau}\end{pmatrix}$ является его алгебраическим дополнением $L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е.

$L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{+}=\operatorname{Lin} (a_1^{\tau},\ldots,a_m^{\tau}),$

(8.17)

где $a_i^{\tau}$ — i-й столбец матрицы $A^T$ .

Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства $L^{+}$ (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).

Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае $(k=1)$ , а потом в общем. Пусть $L=\operatorname{Lin}(a)$ — одномерное подпространство $R^n$ , $a=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}^T$ — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства $L$ . Рассмотрим уравнение $a^Tx=o$ в координатной форме: $\alpha_1x_1+\ldots+ \alpha_nx_n=0$ . Множество $\{a^Tx=o\}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство $L'$ размерности $(n-1)$ . Найдем пересечение $L\cap L'$ . Подставляя элемент $x=\lambda a$ линейной оболочки $L$ в уравнение $a^Tx=o$ , получаем $\lambda[(\alpha_1)^2+ (\alpha_2)^2+\ldots+(\alpha_n)^2]=0$ , что возможно только при $\lambda=0$ , так как $a\ne o$ . Следовательно, элемент $x$ из $L$ принадлежит подпространству $L'$ только тогда, когда $x$ — нулевой столбец, т.е. $L\cap L'=\{o\}$ . Учитывая, что $\dim{L}+\dim{L'}=n$ , заключаем, что $L'$ — алгебраическое дополнение подпространства $L$ в $\mathbb{R}^n\colon\, L\oplus L'=\mathbb{R}^n$ .Таким образом,

$\operatorname{Lin}(a)\oplus\{a^Tx=o\}=\mathbb{R}^n.$

(8.18)

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае $(k\geqslant1)$ . Представим $L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ в виде суммы $L=L_1+\ldots+L_k$ , где $L_i=\operatorname{Lin}(a_i),$ $i=1,\ldots,k$ . Из (8.15) следует, что $(L_1+\ldots+L_k)\oplus (L_1^{+}+\ldots+L_k^{+})= \mathbb{R}^n$ . Согласно (8.18), множество $L_1^{+}=\{(a_i)^Tx=o\}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет $L_i$ до всего пространства $\mathbb{R}^n$ . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество $L_1^{+} \cap\ldots\cap L_k^{+}=\{A^Tx=o\}$ решений системы этих уравнений. Поэтому $(L_1+ \ldots+L_k)\oplus\{A^Tx=o\}=\mathbb{R}^n$ , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).

Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства $L=\operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3]$ в пространстве $P_3(\mathbb{R})$ многочленов не более, чем 3-й степени.

Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в $P_3(\mathbb{R})$ стандартный базис $\mathbf{e}_1(t)=1,$ $\mathbf{e}_2(t)=t,$ $\mathbf{e}_3(t)=t^2,$ $\mathbf{e}_4(t)=t^3$ . Пространство $P_3(\mathbb{R})$ изоморфно $\mathbb{R}^4$ . Найдем координаты многочленов $\mathbf{a}_1(t)=(t-1)^2$ и $\mathbf{a}_2(t)=(t+1)^3$ в стандартном базисе. Раскладывая $\mathbf{a}_1(t)$ по базису, получаем:

$\mathbf{a}_1(t)= (t-1)^2= 1-2t+t^2=1\cdot \mathbf{e}_1(t)+(-2)\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t),$

т.е. многочлену $\mathbf{a}_1(t)$ соответствует координатный столбец $a_1= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\end{pmatrix}^T$ — элемент пространства $\mathbb{R}^4$ . Аналогично получаем координатный столбец $a_2= \begin{pmatrix} 1&3&3&1\end{pmatrix}^T$ для многочлена $\mathbf{a}_2(t)$ .

Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ в пространстве $\mathbb{R}^4$ . Используя правило (8.16), получаем, что $L^{+}$ — это множество решений системы $A^Tx=o$ , где $A^T=\begin{pmatrix} a_1&a_2 \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}$ , т.е. системы $\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. \end{cases}$

Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:

$A^T=\begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 0&5&2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&9/5&2/5\\ 0&1&2/5&1/5 \end{pmatrix}\!.$

Базисные переменные $x_1,\,x_2$ , свободные — $x_3,\,x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободные: $x_1=-\frac{9}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;$ $x_2=-\frac{2}{5}x_3-\frac{1}{5}x_4$ . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( $x_3=1,\,x_4=0$ и $x_3= 0,\,x_4=1$ ), получаем решения: $\varphi_1=\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{5}&-\dfrac{2}{5}& 1&0\end{pmatrix}^T,$ $\varphi_2=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5}&0&1 \end{pmatrix}^T$ , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения $L^{+}=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2)$ Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу $\varphi_1$ находим многочлен

$\varphi_1(t)=-\frac{9}{9}\cdot \mathbf{e}_1(t)-\frac{2}{5}\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t)= -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2.$

Аналогично получаем $\varphi_2(t)= -\frac{2}{5}-\frac{1}{5}t+t^3$ . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид

$L^{+}=\operatorname{Lin}\!\left[\left( -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)\!,\,\left( -\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\right]\!,$

Проверим равенство $L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов $\mathbf{a}_1(t),\,\mathbf{a}_2(t)$ и $\varphi_1(t),\,\varphi_2(t):$

$\alpha(1-t)^2+\beta(1+t)^3= \gamma\!\left(-\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)+\delta\! \left(-\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\!.$

Преобразовывая, получаем

$(\alpha+\beta)\cdot t^3+(\alpha+3\beta-\gamma)\cdot t^2+\left(-2\alpha+ 3\beta+ \frac{2}{5}\,\gamma+\frac{1}{5}\,\delta\right)\!\cdot t+\alpha+\beta+ \frac{9}{5}\,\gamma+ \frac{2}{5}\,\delta=0.$

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

$\begin{cases}\beta-\delta=0,\\ \alpha+3\beta-\gamma=0,\\ -2\alpha+3\beta+ \frac{2}{5} \gamma+ \frac{1}{5}\delta=0,\\ \alpha+\beta+ \frac{9}{5}\gamma+ \frac{2}{5}\delta=0, \end{cases} \Leftrightarrow\quad \underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&-1\\ 1&3&-1&0\\ -2&3&2/5&1/5\\ 1&1&9/5&2/5 \end{pmatrix}}_{B}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.$

Ранг матрицы $B$ этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение $\alpha=\beta= \gamma= \delta=0$ . Таким образом, равенство $L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}$ выполняется.

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Для заданных подпространств $A$ и $B$ пространства $\mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы $A+B$ . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1})$ и $\mathbf{B} =\operatorname{Lin} (\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2})$ . Тогда, приписывая к образующим $\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}$ одного подпространства образующие $\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}$ другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}:$

$\left.{\begin{gathered}\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}),\hfill\\ \mathbf{B}=\operatorname{Lin}(\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}) \end{gathered}}\!\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}+\mathbf{B}=\operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1},\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}),$

(8.19)

поскольку любой вектор $\mathbf{v}\in(\mathbf{A}+\mathbf{B})$ имеет вид $\mathbf{v}= \underbrace{\alpha_1 \mathbf{a}_1+\ldots+ \alpha_{k_1}\mathbf{a}_{k_1} }_{\mathbf{v}_1\in\mathbf{A}}+ \underbrace{\beta_1 \mathbf{b}_1+\ldots+ \beta_{k_1}\mathbf{b}_{k_2} }_{\mathbf{v}_2\in\mathbf{B}}$ . Базис суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}, \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_{k_2})$ можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Bx=o\}$ . Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:

1) для каждой однородной системы $Ax=o$ и $Bx=o$ найти фундаментальные системы решений $\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}$ и $\psi_1,\ldots,\psi_{n-r}$ соответственно. При этом получим $A=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r})$ и $B=\operatorname{Lin}(\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})$ , где $r_{A}=\operatorname{rg}A,$ $r_{B}=\operatorname{rg}B$ ;

2) по правилу (8.19) найти сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r},\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})$ .

Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если подпространство $\mathbf{A}$ задано системой уравнений

$\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0,\end{cases}$

подпространство $\mathbf{B}$ — линейной оболочкой своих образующих:

$\mathbf{B}=\operatorname{Lin}(b_1,b_2),\quad b_1=\begin{pmatrix}-4&3&1&-1 \end{pmatrix}^T,\quad b_2=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T.$

Решение. Образующие подпространства $\mathbf{A}$ были найдены в примере 8.9: $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,$ $a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1 \end{pmatrix}^T$ . По правилу (8.19) получаем $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:

$\begin{gathered}\begin{pmatrix}-6&-2&-4&1\\ 4&1&3&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 4&1&3&1\\ -6&-2&-4&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&-2&2&7\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}$

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы $a_1,\,a_2,\,b_2$ исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ и $\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})=3$ .

Нахождение пересечения подпространств

Для заданных подпространств $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ пространства $\mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Bx=o\}$ . Тогда, приписывая к системе $Ax=o$ , задающей одно подпространство, систему $Bx=o$ , задающую другое подпространство, получаем систему $\begin{cases} Ax=o,\\ Bx=o,\end{cases}$ определяющую пересечение подпространств:

$\left.{\begin{gathered}\mathbf{A}=\{Ax=o\},\\ \mathbf{B}=\{Bx=o\} \end{gathered}}\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\left\{\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}\!x=o\right\}\!.$

(8.20)

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.

Пусть подпространства $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ пространства $\mathbb{R}^n$ заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_{k_1})$ и $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})$ . Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ принадлежат только такие $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ , которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов $a_1,\ldots,a_{k_1}$ и столбцов $b_1,\ldots,b_{k_2}$ соответственно:

$\mathbf{x}=\alpha\cdot \mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_{k_1}\cdot \mathbf{a}_{k_1}= \beta_{1}\cdot \mathbf{b}_{1}+\ldots+\beta_{k_2}\cdot \mathbf{b}_{k_2}.$

(8.21)

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде $A\alpha=B\beta$ , где $A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_{k_1}\end{pmatrix},$ $B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}$ — матрицы, составленные из данных столбцов, $\alpha= \begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T,$ $\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_{k_2}\end{pmatrix}^T$ — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство $A\alpha=B\beta$ можно рассматривать как одно родную систему $A\alpha-B\beta=o$ $n$ уравнений с $(k_1+k_2)$ неизвестными $\alpha$ и $\beta$ . Каждому решению этой системы соответствует вектор $\mathbf{x}= A\alpha=B\beta$ , при надлежащий пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Однако, на практике удобнее вместо системы $A\alpha-B\beta=o$ рассматривать однородную систему $A\alpha+B\beta=o$ , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор $\mathbf{x}= A\alpha=B\beta$ при надлежит пересечению $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ .

Поэтому для нахождения пересечения подпространств $\mathbf{A}= \operatorname{Lin} (a_1,\ldots,a_{k_1})$ и $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})$ и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.

1. Составить блочную матрицу $(A\mid B)$ коэффициентов однородной системы уравнений $A\alpha+B\beta=o$ , где матрицы $A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_{k_1} \end{pmatrix},$ $B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}$ образованы из заданных столбцов.

2. Для однородной системы с матрицей $(A\mid B)$ найти фундаментальную матрицу $\Phi$ . Матрица $Phi$ имеет размеры $(k_1+k_2)\times (k_1+k_2-r)$ , где $r=\operatorname{rg}(A\mid B)$ .

3. Из первых $k_1$ строк матрицы $\Phi$ составить матрицу $\Phi_{\alpha}= (E_{k_1}\mid O)\Phi$ . Столбцы матрицы $\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots &\varphi_{k_1+k_2-r}\end{pmatrix}$ содержат искомые коэффициенты $\alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T$ линейных комбинаций (8.21).

4. Записать пересечение $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ как линейную оболочку столбцов матрицы $A\Phi_{\alpha}:$ $A\cap B=\operatorname{Lin}(A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r})$ .

5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих $A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r}$ .

Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ и пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если они заданы линейными оболочками своих образующих: $\mathbf{A}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,a_3)$ $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2,b_3)$ , где

$a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\3\end{pmatrix}\!,\quad b_1=\begin{pmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{pmatrix}\!,\quad b_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\2\end{pmatrix}\!,\quad b_3=\begin{pmatrix} 3\\1\\3\\1 \end{pmatrix}\!.$

Решение. Найдем базис и размерность суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ . Составим из данных столбцов блочную матрицу

$(A\mid B)= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\,\mid\, b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 0&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1 \end{pmatrix}\!.$

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

$(A\mid B)\sim \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0 \end{pmatrix}= (A'\mid B').$

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих $a_1,a_2,a_3,$ $b_1,b_2,b_3$ подпространства $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ максимальную линейно независимую подсистему составляют столбцы $a_1,a_2,b_1$ (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: $\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и $\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3$ . По ступенчатому виду матрицы $(A\mid B)$ можно также определить размерности подпространств. В блоке $A'$ две ненулевых строки, следовательно, $\dim\mathbf{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}A'=2$ . Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, $\dim\mathbf{B}= \operatorname{rg}B= \operatorname{rg}B'=3$ .

Найдем базис и размерность пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}~ (k_1=k_2=3,~ r=\operatorname{rg}(A\mid B)=3)$ .

1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица $(A\mid B)$ однородной системы $A\alpha+B\beta=o$ приведена к ступенчатому виду $(A'\mid B')$ .

2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу $(A'\mid B')$ системы к упрощенному виду:

$(A'\mid B')= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\!\!&\vline\!\!& 0&3/2&2\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!& 0&-1/2&1\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\!.$

Базисные переменные: $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1$ ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: $\alpha_1=-2\alpha_3-\frac{3}{2} \beta_2-2\beta_3;$ $\alpha_2=\alpha_3+\frac{1}{2}\beta_2-\beta_3;$ $\beta_1=0$ . Придавая свободным переменным наборы значений

$\alpha_3=1,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=2,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=1,$

получаем линейно независимые решения

$\varphi_1=\begin{pmatrix} -2&1&1&0&0&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2= \begin{pmatrix} -3&1&0&0&2&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_3=\begin{pmatrix}-2&-1&0&0&0&1 \end{pmatrix}^T.$

т.е. фундаментальная матрица имеет вид

$\Phi= \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.$

3. Из первых трех строк $(k_1=3)$ матрицы $\Phi$ составляем матрицу $\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} -2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$ .

4. Вычисляем произведение

$A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&3\\ 1&1&1\\ 1&-1&3 \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}o&c_1&c_2\end{pmatrix}\!.$

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(o,c_1,c_2)$ , где $o$ — нулевой столбец, $c_1= \begin{pmatrix} -2&-4&-2&-4 \end{pmatrix}^T,$ $c_2=\begin{pmatrix}-3&-1&-3&-1 \end{pmatrix}^T$ .

5. Найдем базис пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ . Для этого матрицу $A\Phi_{\alpha}$ приводим к ступенчатому виду

$A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&2&3\\ 0&0&5\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&1&3/2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!.$

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы $A\Phi_{\alpha}$ линейно независимы. Следовательно, два столбца $c_1,c_2$ являются базисом пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(c_1,c_2)$ и $\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2$ .

Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):

$\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim \mathbf{A}+\dim \mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})= 2+3-3=2,$

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ и суммы $\mathbf{A}+ \mathbf{B}$ подпространств $\mathbf{A}, \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4$ , если они заданы однородными системами уравнений:

$\mathbf{A}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0;\end{cases}\quad \mathbf{B}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+x_3+2x_4=0,\\ x_1+2x_2+2x_4=0.\end{cases}$

Решение. Обозначим матрицы данных систем через $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ соответственно. По правилу (8.20) пересечение $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ описывается однородной системой $\begin{cases}Ax=o,\\Bx=o.\end{cases}$ Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы $\begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}$ и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:

$\begin{gathered} \begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 2&3&0&1\\ 3&4&2&2\\\hline 1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&1&-4&-1\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&1&-3&0\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&0&0\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&2&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&6&2\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&-4\\ 0&1&0&3\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!.\end{gathered}$

Базисные переменные: $x_1,x_2,x_3$ , свободная переменная — $x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободную: $x_1=4x_4;$ $x_2=-3x_4;$ $x_3=-x_4$ . Фундаментальная система содержит одно решение $\varphi_1= \begin{pmatrix} 4&-3&-1&1\end{pmatrix}^T$ , которое получаем, задавая $x_4=1$ . Следовательно, $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(\varphi_1)$ и $\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})$ .

Найдем теперь сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ . Фундаментальная система решений однородной системы $Ax=o$ была найдена в примере 8.9. Следовательно,

$\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1=\begin{pmatrix} -6&4&1&0 \end{pmatrix}^T,~~ a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T,~~ \dim{\mathbf{A}}=2$ .

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы $Bx=o$ . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:

$B=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&-2\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.$

Базисные переменные: $x_1,\,x_2$ , свободные переменные: $x_3,\,x_4$ . Выражаем базисные переменные через свободные: $x_1=-2x_3+2x_4;$ $x_2=x_3-2x_4$ . Фундаментальная система состоит из двух решений $b_1=\begin{pmatrix}-2&1&1&0\end{pmatrix}^T,$ $b_2=\begin{pmatrix}2&-2&0&1\end{pmatrix}^T$ , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( $x_3=1,~x_4=0$ и $x_3=0,~x_4=1$ ). Следователь но, $\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2)$ и $\dim \mathbf{B}=2$ .

По правилу (8.19) находим сумму $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Чтобы определить базис, составим из столбцов $a_1,\,a_2,\, b_1,\,b_2$ матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

$\begin{pmatrix}-6&-2&-2&2\\ 4&1&1&-2\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&-2&4&2\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&3&3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.$

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, $\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и $\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3$ .

Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем

$\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \dim\mathbf{A}+\dim\mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2+2-1=3,$

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

Пусть дана цепочка подпространств $\mathbf{A}\triangleleft \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^n$ . Требуется найти относительное дополнение $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ подпространства $\mathbf{A}$ до подпространства $\mathbf{B}$ .

Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: $\mathbf{A}=\{Ax=o\}$ и $\mathbf{B}=\{Ax=o\}$ . Согласно (8.17) базис пространства $\mathbf{A}^{+}$ образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы $A^T$ . Тогда относительное дополнение $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ составляют такие векторы $x=A^Ty$ , которые удовлетворяют системе $Bx=o$ . Если обозначить через $\Phi$ фундаментальную матрицу системы $BA^Ty=o$ , то линейно независимые столбцы матрицы $A^T\Phi$ являются максимальной системой векторов подпространства $\mathbf{B}$ , линейно независимой над $\mathbf{A}$ , т.е. базисом относительного дополнения.

На практике нахождение базиса $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц $A$ и $B$ , согласно следующей методике.

1. Привести матрицы $A$ и $B$ при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы $(A)_{\text{st}}$ и $(B)_{\text{st}}$ модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).

2. Найти фундаментальную матрицу $\Phi$ однородной системы уравнений $(B)_{\text{st}}(A)_{\text{st}}^Ty=o$ .

3. Вычислить матрицу $(A)_{\text{st}}^T\Phi$ . Ее столбцы образуют искомый базис $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ .

Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства $\mathbf{A}$ как линейной оболочки своих образующих: $\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)$ . Согласно (8.16) множество решений системы уравнений $A^Tx=o$ (матрица $A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}$ составлена из образующих) является алгебраическим дополнением $\mathbf{A}^{+}$ . Тогда множество решений системы $\begin{cases}A^Tx=o,\\Bx=o,\end{cases}\!\!\Leftrightarrow\, \begin{pmatrix} \dfrac{A^T}{B} \end{pmatrix}\!x=o$ является относительным дополнением $\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}$ , а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.

Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства $\mathbb{R}^n$ вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве $\mathbb{C}^n$ нужно использовать операцию сопряжения матрицы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]