Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств
ОглавлениеЛинейная алгебра

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств


Нахождение алгебраического дополнения подпространства


Для заданного подпространства [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] требуется найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L^{+}[/math], т.е. такое подпространство [math]L^{+} \triangleleft\mathbb{R}^n[/math], что [math]\mathbb{R}^n=L\oplus L^{+}[/math].


В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math], используем одно из следующих двух утверждений.


1. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано как линейная оболочка [math]L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)[/math] столбцов матрицы [math]A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}[/math], то множество решений однородной системы [math]A^Tx=o[/math] является его алгебраическим дополнением [math]L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n[/math], т.е.


[math]L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k)\quad \Rightarrow\quad L^{+}= \Bigl\{A^Tx=o\Bigr\}.[/math]
(8.16)

2. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано как множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными, то линейная оболочка столбцов [math]a_1^{\tau},\ldots, a_m^{\tau}[/math] транспонированной матрицы [math]A^T=\begin{pmatrix}a_1^{\tau}&\cdots& a_m^{\tau}\end{pmatrix}[/math] является его алгебраическим дополнением [math]L^{+}\triangleleft \mathbb{R}^n[/math], т.е.


[math]L=\{Ax=o\}\quad \Rightarrow\quad L^{+}=\operatorname{Lin} (a_1^{\tau},\ldots,a_m^{\tau}),[/math]
(8.17)

где [math]a_i^{\tau}[/math] — i-й столбец матрицы [math]A^T[/math].


Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства [math]L^{+}[/math] (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).


Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае [math](k=1)[/math], а потом в общем. Пусть [math]L=\operatorname{Lin}(a)[/math] — одномерное подпространство [math]R^n[/math], [math]a=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}^T[/math] — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства [math]L[/math]. Рассмотрим уравнение [math]a^Tx=o[/math] в координатной форме: [math]\alpha_1x_1+\ldots+ \alpha_nx_n=0[/math]. Множество [math]\{a^Tx=o\}[/math] решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство [math]L'[/math] размерности [math](n-1)[/math]. Найдем пересечение [math]L\cap L'[/math]. Подставляя элемент [math]x=\lambda a[/math] линейной оболочки [math]L[/math] в уравнение [math]a^Tx=o[/math], получаем [math]\lambda[(\alpha_1)^2+ (\alpha_2)^2+\ldots+(\alpha_n)^2]=0[/math], что возможно только при [math]\lambda=0[/math], так как [math]a\ne o[/math]. Следовательно, элемент [math]x[/math] из [math]L[/math] принадлежит подпространству [math]L'[/math] только тогда, когда [math]x[/math] — нулевой столбец, т.е. [math]L\cap L'=\{o\}[/math]. Учитывая, что [math]\dim{L}+\dim{L'}=n[/math], заключаем, что [math]L'[/math] — алгебраическое дополнение подпространства [math]L[/math] в [math]\mathbb{R}^n\colon\, L\oplus L'=\mathbb{R}^n[/math].Таким образом,


[math]\operatorname{Lin}(a)\oplus\{a^Tx=o\}=\mathbb{R}^n.[/math]
(8.18)

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае [math](k\geqslant1)[/math]. Представим [math]L=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)[/math] в виде суммы [math]L=L_1+\ldots+L_k[/math], где [math]L_i=\operatorname{Lin}(a_i),[/math] [math]i=1,\ldots,k[/math]. Из (8.15) следует, что [math](L_1+\ldots+L_k)\oplus (L_1^{+}+\ldots+L_k^{+})= \mathbb{R}^n[/math]. Согласно (8.18), множество [math]L_1^{+}=\{(a_i)^Tx=o\}[/math] решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет [math]L_i[/math] до всего пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество [math]L_1^{+} \cap\ldots\cap L_k^{+}=\{A^Tx=o\}[/math] решений системы этих уравнений. Поэтому [math](L_1+ \ldots+L_k)\oplus\{A^Tx=o\}=\mathbb{R}^n[/math], что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).




Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=\operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] в пространстве [math]P_3(\mathbb{R})[/math] многочленов не более, чем 3-й степени.


Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в [math]P_3(\mathbb{R})[/math] стандартный базис [math]\mathbf{e}_1(t)=1,[/math] [math]\mathbf{e}_2(t)=t,[/math] [math]\mathbf{e}_3(t)=t^2,[/math] [math]\mathbf{e}_4(t)=t^3[/math]. Пространство [math]P_3(\mathbb{R})[/math] изоморфно [math]\mathbb{R}^4[/math]. Найдем координаты многочленов [math]\mathbf{a}_1(t)=(t-1)^2[/math] и [math]\mathbf{a}_2(t)=(t+1)^3[/math] в стандартном базисе. Раскладывая [math]\mathbf{a}_1(t)[/math] по базису, получаем:


[math]\mathbf{a}_1(t)= (t-1)^2= 1-2t+t^2=1\cdot \mathbf{e}_1(t)+(-2)\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t),[/math]

т.е. многочлену [math]\mathbf{a}_1(t)[/math] соответствует координатный столбец [math]a_1= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\end{pmatrix}^T[/math] — элемент пространства [math]\mathbb{R}^4[/math]. Аналогично получаем координатный столбец [math]a_2= \begin{pmatrix} 1&3&3&1\end{pmatrix}^T[/math] для многочлена [math]\mathbf{a}_2(t)[/math].


Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math]. Используя правило (8.16), получаем, что [math]L^{+}[/math] — это множество решений системы [math]A^Tx=o[/math], где [math]A^T=\begin{pmatrix} a_1&a_2 \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}[/math], т.е. системы [math]\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. \end{cases}[/math]


Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:


[math]A^T=\begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 1&3&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&0\\ 0&5&2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&9/5&2/5\\ 0&1&2/5&1/5 \end{pmatrix}\!.[/math]

Базисные переменные [math]x_1,\,x_2[/math], свободные — [math]x_3,\,x_4[/math]. Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-\frac{9}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;[/math] [math]x_2=-\frac{2}{5}x_3-\frac{1}{5}x_4[/math]. Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ([math]x_3=1,\,x_4=0[/math] и [math]x_3= 0,\,x_4=1[/math]), получаем решения: [math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{5}&-\dfrac{2}{5}& 1&0\end{pmatrix}^T,[/math] [math]\varphi_2=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5}&0&1 \end{pmatrix}^T[/math], которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения [math]L^{+}=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2)[/math] Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу [math]\varphi_1[/math] находим многочлен


[math]\varphi_1(t)=-\frac{9}{9}\cdot \mathbf{e}_1(t)-\frac{2}{5}\cdot \mathbf{e}_2(t)+ 1\cdot \mathbf{e}_3(t)+0\cdot \mathbf{e}_4(t)= -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2.[/math]

Аналогично получаем [math]\varphi_2(t)= -\frac{2}{5}-\frac{1}{5}t+t^3[/math]. Искомое алгебраическое дополнение имеет вид


[math]L^{+}=\operatorname{Lin}\!\left[\left( -\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)\!,\,\left( -\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\right]\!,[/math]

Проверим равенство [math]L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}[/math]. Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов [math]\mathbf{a}_1(t),\,\mathbf{a}_2(t)[/math] и [math]\varphi_1(t),\,\varphi_2(t):[/math]


[math]\alpha(1-t)^2+\beta(1+t)^3= \gamma\!\left(-\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\,t+t^2 \right)+\delta\! \left(-\frac{2}{5} -\frac{1}{5}t+ t^3\right)\!.[/math]
Преобразовывая, получаем
[math](\alpha+\beta)\cdot t^3+(\alpha+3\beta-\gamma)\cdot t^2+\left(-2\alpha+ 3\beta+ \frac{2}{5}\,\gamma+\frac{1}{5}\,\delta\right)\!\cdot t+\alpha+\beta+ \frac{9}{5}\,\gamma+ \frac{2}{5}\,\delta=0.[/math]

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

[math]\begin{cases}\beta-\delta=0,\\ \alpha+3\beta-\gamma=0,\\ -2\alpha+3\beta+ \frac{2}{5} \gamma+ \frac{1}{5}\delta=0,\\ \alpha+\beta+ \frac{9}{5}\gamma+ \frac{2}{5}\delta=0, \end{cases} \Leftrightarrow\quad \underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&-1\\ 1&3&-1&0\\ -2&3&2/5&1/5\\ 1&1&9/5&2/5 \end{pmatrix}}_{B}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]


Ранг матрицы [math]B[/math] этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение [math]\alpha=\beta= \gamma= \delta=0[/math]. Таким образом, равенство [math]L\cap L^{+}=\{\mathbf{o}\}[/math] выполняется.




Нахождение алгебраической суммы подпространств


Для заданных подпространств [math]A[/math] и [math]B[/math] пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы [math]A+B[/math]. Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.


Пусть подпространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): [math]\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1})[/math] и [math]\mathbf{B} =\operatorname{Lin} (\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2})[/math]. Тогда, приписывая к образующим [math]\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}[/math] одного подпространства образующие [math]\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}[/math] другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}:[/math]


[math]\left.{\begin{gathered}\mathbf{A} =\operatorname{Lin}(\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}),\hfill\\ \mathbf{B}=\operatorname{Lin}(\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}) \end{gathered}}\!\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}+\mathbf{B}=\operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1},\mathbf{b}_1,\ldots, \mathbf{b}_{k_2}),[/math]
(8.19)

поскольку любой вектор [math]\mathbf{v}\in(\mathbf{A}+\mathbf{B})[/math] имеет вид [math]\mathbf{v}= \underbrace{\alpha_1 \mathbf{a}_1+\ldots+ \alpha_{k_1}\mathbf{a}_{k_1} }_{\mathbf{v}_1\in\mathbf{A}}+ \underbrace{\beta_1 \mathbf{b}_1+\ldots+ \beta_{k_1}\mathbf{b}_{k_2} }_{\mathbf{v}_2\in\mathbf{B}}[/math]. Базис суммы [math]\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_{k_1}, \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_{k_2})[/math] можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.


Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): [math]\mathbf{A}=\{Ax=o\}[/math] и [math]\mathbf{B}=\{Bx=o\}[/math]. Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:


1) для каждой однородной системы [math]Ax=o[/math] и [math]Bx=o[/math] найти фундаментальные системы решений [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}[/math] и [math]\psi_1,\ldots,\psi_{n-r}[/math] соответственно. При этом получим [math]A=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r})[/math] и [math]B=\operatorname{Lin}(\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})[/math], где [math]r_{A}=\operatorname{rg}A,[/math] [math]r_{B}=\operatorname{rg}B[/math];


2) по правилу (8.19) найти сумму [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r},\psi_1,\ldots,\psi_{n-r})[/math].




Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}[/math] подпространств [math]\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4[/math], если подпространство [math]\mathbf{A}[/math] задано системой уравнений


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0,\end{cases}[/math]

подпространство [math]\mathbf{B}[/math] — линейной оболочкой своих образующих:

[math]\mathbf{B}=\operatorname{Lin}(b_1,b_2),\quad b_1=\begin{pmatrix}-4&3&1&-1 \end{pmatrix}^T,\quad b_2=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T.[/math]

Решение. Образующие подпространства [math]\mathbf{A}[/math] были найдены в примере 8.9: [math]\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)[/math], где [math]a_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,[/math] [math]a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1 \end{pmatrix}^T[/math]. По правилу (8.19) получаем [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1,b_2)[/math]. Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:


[math]\begin{gathered}\begin{pmatrix}-6&-2&-4&1\\ 4&1&3&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 4&1&3&1\\ -6&-2&-4&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&-2&2&7\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&-1&-3\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы [math]a_1,\,a_2,\,b_2[/math] исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}[/math] и [math]\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})=3[/math].




Нахождение пересечения подпространств


Для заданных подпространств [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] требуется найти размерность и базис их пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math]. Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.


Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): [math]\mathbf{A}=\{Ax=o\}[/math] и [math]\mathbf{B}=\{Bx=o\}[/math]. Тогда, приписывая к системе [math]Ax=o[/math], задающей одно подпространство, систему [math]Bx=o[/math], задающую другое подпространство, получаем систему [math]\begin{cases} Ax=o,\\ Bx=o,\end{cases}[/math] определяющую пересечение подпространств:


[math]\left.{\begin{gathered}\mathbf{A}=\{Ax=o\},\\ \mathbf{B}=\{Bx=o\} \end{gathered}}\right\}\quad \Rightarrow\quad \mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\left\{\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}\!x=o\right\}\!.[/math]
(8.20)

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.


Пусть подпространства [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): [math]\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_{k_1})[/math] и [math]\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})[/math]. Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math] принадлежат только такие [math]\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n[/math], которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов [math]a_1,\ldots,a_{k_1}[/math] и столбцов [math]b_1,\ldots,b_{k_2}[/math] соответственно:


[math]\mathbf{x}=\alpha\cdot \mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_{k_1}\cdot \mathbf{a}_{k_1}= \beta_{1}\cdot \mathbf{b}_{1}+\ldots+\beta_{k_2}\cdot \mathbf{b}_{k_2}.[/math]
(8.21)

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде [math]A\alpha=B\beta[/math], где [math]A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_{k_1}\end{pmatrix},[/math] [math]B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}[/math] — матрицы, составленные из данных столбцов, [math]\alpha= \begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T,[/math] [math]\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_{k_2}\end{pmatrix}^T[/math] — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство [math]A\alpha=B\beta[/math] можно рассматривать как одно родную систему [math]A\alpha-B\beta=o[/math] [math]n[/math] уравнений с [math](k_1+k_2)[/math] неизвестными [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math]. Каждому решению этой системы соответствует вектор [math]\mathbf{x}= A\alpha=B\beta[/math], при надлежащий пересечению [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math]. Однако, на практике удобнее вместо системы [math]A\alpha-B\beta=o[/math] рассматривать однородную систему [math]A\alpha+B\beta=o[/math], решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор [math]\mathbf{x}= A\alpha=B\beta[/math] при надлежит пересечению [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math].


Поэтому для нахождения пересечения подпространств [math]\mathbf{A}= \operatorname{Lin} (a_1,\ldots,a_{k_1})[/math] и [math]\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,\ldots,b_{k_2})[/math] и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.


1. Составить блочную матрицу [math](A\mid B)[/math] коэффициентов однородной системы уравнений [math]A\alpha+B\beta=o[/math], где матрицы [math]A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_{k_1} \end{pmatrix},[/math] [math]B=\begin{pmatrix} b_1&\cdots&b_{k_2}\end{pmatrix}[/math] образованы из заданных столбцов.


2. Для однородной системы с матрицей [math](A\mid B)[/math] найти фундаментальную матрицу [math]\Phi[/math]. Матрица [math]Phi[/math] имеет размеры [math](k_1+k_2)\times (k_1+k_2-r)[/math], где [math]r=\operatorname{rg}(A\mid B)[/math].


3. Из первых [math]k_1[/math] строк матрицы [math]\Phi[/math] составить матрицу [math]\Phi_{\alpha}= (E_{k_1}\mid O)\Phi[/math]. Столбцы матрицы [math]\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots &\varphi_{k_1+k_2-r}\end{pmatrix}[/math] содержат искомые коэффициенты [math]\alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_{k_1}\end{pmatrix}^T[/math] линейных комбинаций (8.21).


4. Записать пересечение [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math] как линейную оболочку столбцов матрицы [math]A\Phi_{\alpha}:[/math] [math]A\cap B=\operatorname{Lin}(A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r})[/math].


5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих [math]A\varphi_1,\ldots, A\varphi_{k_1+k_2-r}[/math].




Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы [math]\mathbf{A}+ \mathbf{B}[/math] и пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math] подпространств [math]\mathbf{A},\mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4[/math], если они заданы линейными оболочками своих образующих: [math]\mathbf{A}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,a_3)[/math] [math]\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2,b_3)[/math], где


[math]a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\3\end{pmatrix}\!,\quad b_1=\begin{pmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{pmatrix}\!,\quad b_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\2\end{pmatrix}\!,\quad b_3=\begin{pmatrix} 3\\1\\3\\1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Найдем базис и размерность суммы [math]\mathbf{A}+ \mathbf{B}[/math]. Составим из данных столбцов блочную матрицу


[math](A\mid B)= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\,\mid\, b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 0&1&3\\ 1&-1&3\!\!&\vline\!\!& 2&2&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

[math](A\mid B)\sim \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0 \end{pmatrix}= (A'\mid B').[/math]

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих [math]a_1,a_2,a_3,[/math] [math]b_1,b_2,b_3[/math] подпространства [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}[/math] максимальную линейно независимую подсистему составляют столбцы [math]a_1,a_2,b_1[/math] (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: [math]\mathbf{A}+ \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)[/math] и [math]\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3[/math]. По ступенчатому виду матрицы [math](A\mid B)[/math] можно также определить размерности подпространств. В блоке [math]A'[/math] две ненулевых строки, следовательно, [math]\dim\mathbf{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}A'=2[/math]. Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, [math]\dim\mathbf{B}= \operatorname{rg}B= \operatorname{rg}B'=3[/math].


Найдем базис и размерность пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}~ (k_1=k_2=3,~ r=\operatorname{rg}(A\mid B)=3)[/math].


1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица [math](A\mid B)[/math] однородной системы [math]A\alpha+B\beta=o[/math] приведена к ступенчатому виду [math](A'\mid B')[/math].


2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу [math](A'\mid B')[/math] системы к упрощенному виду:


[math](A'\mid B')= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&3\\ 0&-2&2\!\!&\vline\!\!& 1&1&-2\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\!\!&\vline\!\!& 0&3/2&2\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!& 0&-1/2&1\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Базисные переменные: [math]\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1[/math]; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: [math]\alpha_1=-2\alpha_3-\frac{3}{2} \beta_2-2\beta_3;[/math] [math]\alpha_2=\alpha_3+\frac{1}{2}\beta_2-\beta_3;[/math] [math]\beta_1=0[/math]. Придавая свободным переменным наборы значений


[math]\alpha_3=1,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=2,\quad \beta_3=0;\qquad \alpha_3=0,\quad \beta_2=0,\quad \beta_3=1,[/math]

получаем линейно независимые решения

[math]\varphi_1=\begin{pmatrix} -2&1&1&0&0&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2= \begin{pmatrix} -3&1&0&0&2&0 \end{pmatrix}^T,\quad \varphi_3=\begin{pmatrix}-2&-1&0&0&0&1 \end{pmatrix}^T.[/math]

т.е. фундаментальная матрица имеет вид
[math]\Phi= \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Из первых трех строк [math](k_1=3)[/math] матрицы [math]\Phi[/math] составляем матрицу [math]\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix} -2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}[/math].


4. Вычисляем произведение
[math]A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&3\\ 1&1&1\\ 1&-1&3 \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}-2&-3&-2\\ 1&1&-1\\ 1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}o&c_1&c_2\end{pmatrix}\!.[/math]

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(o,c_1,c_2)[/math], где [math]o[/math] — нулевой столбец, [math]c_1= \begin{pmatrix} -2&-4&-2&-4 \end{pmatrix}^T,[/math] [math]c_2=\begin{pmatrix}-3&-1&-3&-1 \end{pmatrix}^T[/math].


5. Найдем базис пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math]. Для этого матрицу [math]A\Phi_{\alpha}[/math] приводим к ступенчатому виду


[math]A\cdot\Phi_{\alpha}= \begin{pmatrix}0&-2&-3\\ 0&-4&-1\\ 0&-2&-3\\ 0&-4&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&2&3\\ 0&0&5\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&1&3/2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы [math]A\Phi_{\alpha}[/math] линейно независимы. Следовательно, два столбца [math]c_1,c_2[/math] являются базисом пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(c_1,c_2)[/math] и [math]\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2[/math].


Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):


[math]\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim \mathbf{A}+\dim \mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}+ \mathbf{B})= 2+3-3=2,[/math]

что совпадает с найденной ранее размерностью.



Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math] и суммы [math]\mathbf{A}+ \mathbf{B}[/math] подпространств [math]\mathbf{A}, \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^4[/math], если они заданы однородными системами уравнений:


[math]\mathbf{A}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0;\end{cases}\quad \mathbf{B}\colon\, \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+x_3+2x_4=0,\\ x_1+2x_2+2x_4=0.\end{cases}[/math]

Решение. Обозначим матрицы данных систем через [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math] соответственно. По правилу (8.20) пересечение [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}[/math] описывается однородной системой [math]\begin{cases}Ax=o,\\Bx=o.\end{cases}[/math] Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы [math]\begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}[/math] и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:


[math]\begin{gathered} \begin{pmatrix}\dfrac{A}{B}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 2&3&0&1\\ 3&4&2&2\\\hline 1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&1&-4&-1\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&1&-3&0\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&0&0\\\hline 0&0&-1&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&2&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim \begin{pmatrix}1&0&6&2\\ 0&1&-4&-1\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&-4\\ 0&1&0&3\\ 0&0&1&1\\\hline 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Базисные переменные: [math]x_1,x_2,x_3[/math], свободная переменная — [math]x_4[/math]. Выражаем базисные переменные через свободную: [math]x_1=4x_4;[/math] [math]x_2=-3x_4;[/math] [math]x_3=-x_4[/math]. Фундаментальная система содержит одно решение [math]\varphi_1= \begin{pmatrix} 4&-3&-1&1\end{pmatrix}^T[/math], которое получаем, задавая [math]x_4=1[/math]. Следовательно, [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \operatorname{Lin}(\varphi_1)[/math] и [math]\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})[/math].


Найдем теперь сумму [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}[/math]. Фундаментальная система решений однородной системы [math]Ax=o[/math] была найдена в примере 8.9. Следовательно,


[math]\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,a_2)[/math], где [math]a_1=\begin{pmatrix} -6&4&1&0 \end{pmatrix}^T,~~ a_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T,~~ \dim{\mathbf{A}}=2[/math].

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы [math]Bx=o[/math]. Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:


[math]B=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 2&3&1&2\\ 1&2&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&-2\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Базисные переменные: [math]x_1,\,x_2[/math], свободные переменные: [math]x_3,\,x_4[/math]. Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-2x_3+2x_4;[/math] [math]x_2=x_3-2x_4[/math]. Фундаментальная система состоит из двух решений [math]b_1=\begin{pmatrix}-2&1&1&0\end{pmatrix}^T,[/math] [math]b_2=\begin{pmatrix}2&-2&0&1\end{pmatrix}^T[/math], которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ([math]x_3=1,~x_4=0[/math] и [math]x_3=0,~x_4=1[/math]). Следователь но, [math]\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(b_1,b_2)[/math] и [math]\dim \mathbf{B}=2[/math].


По правилу (8.19) находим сумму [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,b_1,b_2)[/math]. Чтобы определить базис, составим из столбцов [math]a_1,\,a_2,\, b_1,\,b_2[/math] матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:


[math]\begin{pmatrix}-6&-2&-2&2\\ 4&1&1&-2\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&-2&4&2\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&3&3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, [math]\mathbf{A}+\mathbf{B}= \operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)[/math] и [math]\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})=3[/math].


Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем


[math\dim(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \dim\mathbf{A}+\dim\mathbf{B}-\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})=2+2-1=3,[/math]

что совпадает с найденной ранее размерностью.



Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств


Пусть дана цепочка подпространств [math]\mathbf{A}\triangleleft \mathbf{B}\triangleleft \mathbb{R}^n[/math]. Требуется найти относительное дополнение [math]\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}[/math] подпространства [math]\mathbf{A}[/math] до подпространства [math]\mathbf{B}[/math].


Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: [math]\mathbf{A}=\{Ax=o\}[/math] и [math]\mathbf{B}=\{Ax=o\}[/math]. Согласно (8.17) базис пространства [math]\mathbf{A}^{+}[/math] образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы [math]A^T[/math]. Тогда относительное дополнение [math]\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}[/math] составляют такие векторы [math]x=A^Ty[/math], которые удовлетворяют системе [math]Bx=o[/math]. Если обозначить через [math]\Phi[/math] фундаментальную матрицу системы [math]BA^Ty=o[/math], то линейно независимые столбцы матрицы [math]A^T\Phi[/math] являются максимальной системой векторов подпространства [math]\mathbf{B}[/math], линейно независимой над [math]\mathbf{A}[/math], т.е. базисом относительного дополнения.


На практике нахождение базиса [math]\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}[/math] удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц [math]A[/math] и [math]B[/math], согласно следующей методике.


1. Привести матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы [math](A)_{\text{st}}[/math] и [math](B)_{\text{st}}[/math] модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).


2. Найти фундаментальную матрицу [math]\Phi[/math] однородной системы уравнений [math](B)_{\text{st}}(A)_{\text{st}}^Ty=o[/math].


3. Вычислить матрицу [math](A)_{\text{st}}^T\Phi[/math]. Ее столбцы образуют искомый базис [math]\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}[/math].


Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства [math]\mathbf{A}[/math] как линейной оболочки своих образующих: [math]\mathbf{A}=\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)[/math]. Согласно (8.16) множество решений системы уравнений [math]A^Tx=o[/math] (матрица [math]A= \begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k\end{pmatrix}[/math] составлена из образующих) является алгебраическим дополнением [math]\mathbf{A}^{+}[/math]. Тогда множество решений системы [math]\begin{cases}A^Tx=o,\\Bx=o,\end{cases}\!\!\Leftrightarrow\, \begin{pmatrix} \dfrac{A^T}{B} \end{pmatrix}\!x=o[/math] является относительным дополнением [math]\mathbf{A}^{+}\cap \mathbf{B}[/math], а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.


Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве [math]\mathbb{C}^n[/math] нужно использовать операцию сопряжения матрицы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved