Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений


Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами


y''+p_1y'+p_2y=f(x),
(47)

где f(x) — функция, периодическая с периодом 2\pi, разлагающаяся в ряд Фурье


f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\Bigr).
(48)

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде


f(x)= \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos{nx}+B_n\sin{nx}\Bigr).
(49)

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при \cos nx и \sin nx в левых и правых частях полученного равенства, найдем


A_0=\frac{a_0}{p_2}, \quad A_n=\frac{(p_2-n^2)a_n-p_1nb_n}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}, \quad B_n=\frac{(p_2-n^2)b_n-p_1na_n}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}, \quad n\in\mathbb{N}.
(50)

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если a_0\ne0, то необходимо, чтобы p_2\ne0. Подставляя (50) в (49), получаем


y(x)=\frac{a_0}{2p_2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[(p_2-n^2)a_n-p_1nb_n]\cos{nx}+[( p_2-n^2)b_n-p_1na_n]\sin{nx}}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}.
(51)

Когда p_1=0 и p_2=n^2, где n\in\mathbb{N}, периодическое решение будет существовать только при условии


a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\cos{nx}\,dx=0, \quad b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\sin{nx}\,dx=0.
(52)

Коэффициенты A_k и B_k при k\ne0 расходятся по формулам (50), а коэффициенты A_n и B_n остаются произвольными, так как выражение A_n\cos{nx}+B_n\sin{nx} является общим решением соответствующего однородного уравнения.


В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При p_2=0 и a_0=0 коэффициент A_0 остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.


Если правая часть f(x) уравнения (47) имеет период 2l\ne2\pi, то надо разлагать f(x) по периоду 2l и искать решение уравнения (47) в виде


y=\frac{A_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\!\left(A_n\cos\frac{n\pi x}{l}+B_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)\!.

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.




Пример 8. Найти периодические решения уравнения y''+4y= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2}.


Решение. Имеем p_1=0,~p_2=4=2^2,~a_0=0,~a_n=0,~b_n=\frac{1}{n^2}~(n=3,4,\ldots). Функция f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2} не содержит резонирующего члена a_2\cos2x+b_2\sin2x, значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты


A_0=A_n=0, \quad B_1=0, \quad B_n=\frac{1}{n^2(4-n^2)}, \quad n=2,4,\ldots

Все периодические решения даются формулой


y(x)= A_2\cos2x+ B_2\sin2x- \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2(n^2-4)}\,,

где A_2 и B_2 — произвольные постоянные.




Пример 9. Найти периодические решения уравнения y''+y=\cos{x}.


Решение. В данном случае p_1=0,~p_2=1. Проверим выполнимость условий (52). Имеем


\int\limits_{0}^{2\pi}\cos{x}\cos{x}\,dx= \int\limits_{0}^{2\pi}\cos^2x\,dx=\pi\ne0; \quad \ \int\limits_{0}^{2\pi}\cos{x}\sin{x}\,dx=0~~(n=1).

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения y''+y=\cos{x} есть


y(x)= C_1\cos{x}+C_2\sin{x}+ \frac{x}{2}\sin{x}\,,

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого \frac{x}{2}\sin{x}.




Пример 10. Найти периодическое решение уравнения y''-y=|\sin{x}|.


Решение. Функция f(x)=|\sin{x}| — периодическая с периодом \pi. Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале (-\pi,\pi):


|\sin{x}|= \frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2nx}{4n^2-1}. \quad x\in(-\pi,\pi)

Решение данного уравнения ищем в виде


y(x)= \frac{A_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A-n\cos{nx}+B_n\sin{nx}\Bigr).

Имеем

p_1=0, \quad p_2=-1; \quad a_0=\frac{4}{\pi}, \quad a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}=-\frac{4}{\pi}\frac{1}{4n^2-1}, \quad b_n=0 \quad (n\in\mathbb{N}).

Формулы (50) дают


A_0=-\frac{4}{\pi}, \quad A_{2n-1}=0, \quad A_{2n}=-\frac{4}{\pi}\frac{1}{16n^2-1}, \quad B_n=0.

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида


y(x)= -\frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^2-1}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved