Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(47)
где — функция, периодическая с периодом , разлагающаяся в ряд Фурье
(48)
Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде
(49)
Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при и в левых и правых частях полученного равенства, найдем
(50)
Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если , то необходимо, чтобы . Подставляя (50) в (49), получаем
(51)
Когда и , где , периодическое решение будет существовать только при условии
(52)
Коэффициенты и при расходятся по формулам (50), а коэффициенты и остаются произвольными, так как выражение является общим решением соответствующего однородного уравнения.
В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При и коэффициент остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.
Если правая часть уравнения (47) имеет период , то надо разлагать по периоду и искать решение уравнения (47) в виде
Формулы (50) при этом соответственно изменятся.
Пример 8. Найти периодические решения уравнения .
Решение. Имеем . Функция не содержит резонирующего члена , значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты
Все периодические решения даются формулой
где и — произвольные постоянные.
Пример 9. Найти периодические решения уравнения .
Решение. В данном случае . Проверим выполнимость условий (52). Имеем
Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть
которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого .
Пример 10. Найти периодическое решение уравнения .
Решение. Функция — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале :
Решение данного уравнения ищем в виде
Имеем
Формулы (50) дают
Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|