Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений


Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами


[math]y''+p_1y'+p_2y=f(x),[/math]
(47)

где [math]f(x)[/math] — функция, периодическая с периодом [math]2\pi[/math], разлагающаяся в ряд Фурье

[math]f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\Bigr).[/math]
(48)

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде


[math]f(x)= \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos{nx}+B_n\sin{nx}\Bigr).[/math]
(49)

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при cos па; и sinnz в левых и правых частях полученного равенства, найдем


[math]A_0=\frac{a_0}{p_2}, \quad A_n=\frac{(p_2-n^2)a_n-p_1nb_n}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}, \quad B_n=\frac{(p_2-n^2)b_n-p_1na_n}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}, \quad n\in\mathbb{N}.[/math]
(50)

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если [math]a_0\ne0[/math], то необходимо, чтобы [math]p_2\ne0[/math]. Подставляя (50) в (49), получаем


[math]y(x)=\frac{a_0}{2p_2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[(p_2-n^2)a_n-p_1nb_n]\cos{nx}+[( p_2-n^2)b_n-p_1na_n]\sin{nx}}{(p_2-n^2)^2+p_1^2n^2}.[/math]
(51)

Когда [math]p_1=0[/math] и [math]p_2=n^2[/math], где [math]n\in\mathbb{N}[/math], периодическое решение будет существовать только при условии


[math]a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\cos{nx}\,dx=0, \quad b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\sin{nx}\,dx=0.[/math]
(52)

Коэффициенты [math]A_k[/math] и [math]B_k[/math] при [math]k\ne0[/math] расходятся по формулам (50), а коэффициенты [math]A_n[/math] и [math]B_n[/math] остаются произвольными, так как выражение [math]A_n\cos{nx}+B_n\sin{nx}[/math] является общим решением соответствующего однородного уравнения.


В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При [math]p_2=0[/math] и [math]a_0=0[/math] коэффициент [math]A_0[/math] остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.


Если правая часть [math]f(x)[/math] уравнения (47) имеет период [math]2l\ne2\pi[/math], то надо разлагать [math]f(x)[/math] по периоду [math]2l[/math] и искать решение уравнения (47) в виде


[math]y=\frac{A_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\!\left(A_n\cos\frac{n\pi x}{l}+B_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)\!.[/math]

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.




Пример 8. Найти периодические решения уравнения [math]y''+4y= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2}[/math].


Решение. Имеем [math]p_1=0,~p_2=4=2^2,~a_0=0,~a_n=0,~b_n=\frac{1}{n^2}~(n=3,4,\ldots)[/math]. Функция [math]f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2}[/math] не содержит резонирующего члена [math]a_2\cos2x+b_2\sin2x[/math], значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты


[math]A_0=A_n=0, \quad B_1=0, \quad B_n=\frac{1}{n^2(4-n^2)}, \quad n=2,4,\ldots[/math]

Все периодические решения даются формулой


[math]y(x)= A_2\cos2x+ B_2\sin2x- \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^2(n^2-4)}\,,[/math]

где [math]A_2[/math] и [math]B_2[/math] — произвольные постоянные.



Пример 9. Найти периодические решения уравнения [math]y''+y=\cos{x}[/math].


Решение. В данном случае [math]p_1=0,~p_2=1[/math]. Проверим выполнимость условий (52). Имеем


[math]\int\limits_{0}^{2\pi}\cos{x}\cos{x}\,dx= \int\limits_{0}^{2\pi}\cos^2x\,dx=\pi\ne0; \quad \ \int\limits_{0}^{2\pi}\cos{x}\sin{x}\,dx=0~~(n=1).[/math]

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения [math]y''+y=\cos{x}[/math] есть


[math]y(x)= C_1\cos{x}+C_2\sin{x}+ \frac{x}{2}\sin{x}\,,[/math]

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого [math]\frac{x}{2}\sin{x}[/math].



Пример 10. Найти периодическое решение уравнения [math]y''-y=|\sin{x}|[/math].


Решение. Функция [math]f(x)=|\sin{x}|[/math] — периодическая с периодом [math]\pi[/math]. Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале [math](-\pi,\pi)[/math]:


[math]|\sin{x}|= \frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2nx}{4n^2-1}. \quad x\in(-\pi,\pi)[/math]

Решение данного уравнения ищем в виде


[math]y(x)= \frac{A_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A-n\cos{nx}+B_n\sin{nx}\Bigr).[/math]

Имеем

[math]p_1=0, \quad p_2=-1; \quad a_0=\frac{4}{\pi}, \quad a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}=-\frac{4}{\pi}\frac{1}{4n^2-1}, \quad b_n=0 \quad (n\in\mathbb{N}).[/math]

Формулы (50) дают


[math]A_0=-\frac{4}{\pi}, \quad A_{2n-1}=0, \quad A_{2n}=-\frac{4}{\pi}\frac{1}{16n^2-1}, \quad B_n=0.[/math]

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида


[math]y(x)= -\frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^2-1}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved